Matrize._2009-2.EM1_word_CERTO

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ÁLGEBRA LINEAR II
Profº Mario Jorge
Leonardo Ribas Neves 
 Jackeline Leal Aleksitch 
 Vitor Piffer Arbucias 
 Natalia Rodrigues Guerra 
 Nathália dos Santos Ribeiro 
 Bruno Dutra Valério 
 Pedro de Paiva Romeiro 
 Paulo Henrique Amaral 
 Matheus Donadio 
 Pedro Behnken 
 Emanuelle 
João Pedro Fabres 
Índice:
	
Introdução
Operações com matrizes
Processes Estocásticos
Métodos de Resolução
Maple 
MatLab 
Mathematica 7
Aplicações de matrizes
Tipos especiais de matrizes
Exercícios
Introdução
	
	Matrizes são tabelas com colunas (vertical) e linhas (horizontal), utilizadas para organizar dados numéricos, onde cada número é chamado elemento da matriz. Então, chamamos de matriz toda tabela m x n onde m é o número de linhas e n o número de colunas. 
	
	Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]:
		 
		 
		 
	
	Uma matriz com m(i) colunas e n(j) linhas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Uma matriz quadrada é aquela na qual o número de linhas (n) é igual ao número de colunas (m), e dizemos que tem ordem n.
	Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, colchetes ou entre duas barras duplas.
Exemplos: 
			
 		
			
�
�
Processos Estocásticos
Um processo Estocástico é um processo cujo comportamento é não-determinístico, no sentido em que cada estado desse processo não determina completamente qual será o seu estado seguinte. Matematicamente, um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias, ou seja, se X é um processo estocástico, então X(t) é uma variável aleatória para cada valor de t pertencente ao conjunto índice T. Intuitivamente, se uma variável aleatória unidimensional é um número real que varia aleatoriamente, um processo estocástico é uma função que varia aleatoriamente. 
Classificação:
 Processos Estocásticos foram inicialmente utilizados na física para descrever o movimento de partículas. Podem ser classificados dentro das seguintes categorias:
Processos de Tempo Contínuo: A variável pode mudar o seu valor em qualquer momento de tempo.
Processos de Tempo Discreto: A variável somente pode alterar o seu valor a intervalos fixos de tempo. 
Variável Contínua: A variável pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo. 
Variável Discreta: A variável pode assumir apenas alguns valores discretos.
Processos Estacionários: A média e variância são constantes no tempo. 
Processos não-estacionários: O valor esperado da variável aleatória pode crescer sem limite e sua variância aumenta com o tempo.
Processo de Markov
O Processo de Markov é um processo estocástico onde somente o valor atual da variável é relevante para predizer a evolução futura do processo. Isso significa que valores históricos ou mesmo o caminho através do qual a variável atingiu o seu valor atual são irrelevantes para a determinação do seu valor futuro. Dentro desse modelo, seria impossível prever o valor futuro de uma ação baseado em informações históricas de preço.
 Uma forma de descrever uma cadeira de Markov é através de um diagrama de estados, como o da figura ao lado.
Processo de Walk:
Random Walk, ou Caminho Aleatório, é um dos processos estocásticos mais básicos. O nome deriva do caminho seguido por um marinheiro bêbado andando ao longo do cais. Os seus passos trôpegos variam aleatoriamente de direção enquanto que o seu destino final se torna mais incerto com tempo. Random Walk é um processo de Markov em tempo discreto.
Processo de Wiener:
Um processo de Wiener é um processo estocástico que tem uma média de zero e variância de um por ano. O processo de Wiener é um caso particular do processo de Markov (tempo contínuo), e também é conhecido como Movimento Browniano. Esse processo foi descrito pela primeira vez pelo botânico Robert Brown em 1827, e é utilizado na física para descrever o movimento de pequenas partículas sujeitas a um grande número de pequenos choques aleatórios. Este processo tem esse nome em homenagem ao matemático Norbert Wiener, que em 1923 desenvolveu a teoria matemática do movimento Browniano.
Wiener
Métodos de Resolução:
Método 2: Multiplicação por uma matriz de transição. P(n) é uma matriz de transição de passo n.
Passeio Aleatório
Maple
O Maple é um sistema algébrico computacional, hoje na sua 13ª versão. Foi lançado para o público pela primeira vez em 1985, tendo sido criado em 1980 na Universidade de Waterloo, Canadá.
Define a matriz(2 por 2) 
 
A:= matrix(2,2 [1,3,5,6]
	|1 3|
	|5 6| 
Invertendo matrizes
Inverse(A)
	|-2/3 1/3|
	| 5/9 -1/9| 
Somando matrizes
A := matrix(2,2,[1,2,3,4])
B :=matrix(2,2,[-1,-2,-3,-4])
Evalm(A+B)
	|0 0|
	|0 0|
Subtraindo matrizes 
Evalm(A-B)
	|2 4|
	|6 8| 
MATLAB
O MATLAB (Matrix Laboratory) é um software de alta perfomace voltado para o calculo numérico, é um sistema interativo cujo o elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento.
Criado nos fim dos anos 70 por Cleve Moler, então presidente do departamento de ciências da computação da Universidade do Novo México.
Em 1983, um engenheiro chamado Little Jack conheceu o MATLAB e visando lucros promoveu sua venda.
Em 1984, é fundada a MATHWORKS, empresa a qual, até hoje, pertence a marca MATLAB.
RECURSOS
Construção de gráficos;
Funções pré-definidas de análise de dados;
Cálculos com matrizes e vetores;
Integração com outras plataformas: Ex.: C, C++, Excel, etc.
UTILIZAÇÃO
O software é um ambiente fácil de usar pois problemas e soluções são, na maioria das vezes, expressos como são escritos matematicamente;
Operadores básicos: “+”, “-”, “*”, “/” e “^”;
Atribuição de valor a uma variável: “VARIÁVEL=VALOR”;
Declaração de uma matriz “M”: M=[1 2 3; 4 5 6].
Software Matemático “Mathematica 7”-
O Mathematica 7 é um software matemático extremamente abrangente.Além de servir como plataforma de programação ele nos oferece recursos úteis, tais como:
- Efetuar cálculos numéricos
- Operar expressões algébricas (por exemplo, resolver equações envolvendo literais)
Gerar uma grande variedade de gráficos (em 2-D e 3-D)
Produzir documentos com alta qualidade para impressão.
Cálculo estrutural, séries temporais, redes neurais, otimização, programação linear, análises, entre outros.
Neste Trabalho, porém, vamos nos concentrar mais na parte referente às matrizes.
O Mathematica 7 oferece um ambiente de trabalho bastante diversificado para as matrizes. Ele pode efetuar desde operações simples como adição e subtração de matrizes até as mais complexas como cálculo de determinantes, transpostas, entre outras. As possíveis operações e funções são:
Adição (+)
Subtração (-)
Multiplicação (.) (apenas entre matrizes em que o numero de colunas de uma é igual ao de linhas da outra)
Matriz Inversa: Inverse
Matriz Transposta: Transpose
Determinante da Matriz: Det
Matriz Identidade: IdentityMatrix
Matriz Diagonal: DiagonalMatrix
Potencia: MatrixPower
Além de todo esse aparato, o Mathematica 7 também oferece uma facilidade gráfica importante. Atravéz do comando “MatrixForm[]” o programa retorna a Matriz na forma em que nós desenhamos, diferente dos outros programas que representam matrizes da seguinte forma: [[a,b],[c,d]]. Essa representação nos mostra uma matriz 2x2, porém de uma forma não agradável e que pode causar erros devido à dificuldade de entende-la.
	O Mathematica 7 é, portanto, um excelente software para o manuseio dematrizes e , por isso, é o mais utilizado tanto no meio profissional (analistas e engenheiros) quanto no educacional (professores e alunos).
Aplicações de Matrizes
As matrizes são conhecidas por sua capacidade de armazenar grande quantidade de números. Esta característica faz com que sejam muito utilizadas em trabalhos com informações abundantes.
Em diversas situações diárias as matrizes são encontradas. Um grande exemplo são as planilhas feitas em computadores. Estas são matrizes usadas para organizar custos, marcar pontuação de campeonatos e realizar contabilidade de empresas por economistas. Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as associadas a redes estaduais de distribuição de energia elétrica, grandes redes de comunicações(como na utilização de fibra ótica), redes de transportes, entre outros.
Alem disso, a matriz é a base das imagens usadas principalmente em computadores, games e cinemas. Muitas animações que vemos utilizam matrizes. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel. Para isso, utilizam vetores, matrizes e aproximações poligonais de superfícies para determinar a característica de cada pixel. Um simples quadro de um filme criado no computador tem mais de dois milhões de pixels, o que torna indispensável o uso de computadores para realizar todos os cálculos necessários. 
As matrizes têm muita importância nas ciências exatas. Na engenharia ajudam na resolução de equações diferenciais (equações que apresentam derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida) que são a base de toda a teoria de circuitos elétricos. Engenheiros civis também utilizam bastante as matrizes para otimizar projetos, contabilizando principalmente preços e durabilidade de materiais para melhor realizarem seus trabalhos, e em cálculos estruturais, calculando esforços e deformações de estruturas. Já na matemática isso acontece nos sistemas de equações lineares. 
Também estão presentes as matrizes em aspectos relacionados a outras ciências como Biologia, Química e Sociologia, contribuindo para análise de situações e tomadas de decisões na resolução de situações diversas. Uma nova utilidade das matrizes foi proposta pela aluna Cristiani dos Santos Campos (UEL- Universidade Estadual de Londrina), onde afirma que uma de suas aplicações é no campo das ciências biológicas para auxiliar os biocientistas no tratamento dos diabéticos. Operações com matrizes solucionam problemas ligados ao tratamento de pacientes diabéticos, verificando a quantidade e o tipo de insulina em cada caso de tratamento.
Na genética as matrizes também atuam. Facilitam na realização de análises cromossomicas e o comportamento de suas interações. Desvenda combinações genéticas e suas conseqüências, caracterizando cada indivíduo. Explica, por exemplo, o porque de pessoas canhotas e destras, diferentes cor de olhos ou pele. Tudo faz parte de uma combinação de genes. Doenças genéticas são estudadas graças as matrizes, pois com estas é possível notar a combinação que origina e a probabilidade de que esta ocorra cada caso de doença.
Em suma, as matrizes, mesmo que muitas vezes não sendo notadas, estão no dia-a-dia do homem. Aparecendo em aparelhos eletrônicos, em meios de comunicação e transporte. Ajudam os seres humanos a resolver problemas de grande número de informações e complexidade.
Tipos Especiais de Matrizes
Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual m = n. Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. 
2 3
5 6 
Uma Matriz Linha é toda aquela na qual m = 1. Isto é, ela possui apenas uma linha.
[ 1 3 5 ]
 
Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual n = 1. Isto é, ela possui apenas uma coluna. 
	2
	3
	5
	Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual m = n e cujo elemento Ai,j = 0 se i diferente de j. Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal. 
	2 0 0 
	0 5 0 
	0 0 9 
	
	Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual m = n cujo elemento Ai,j = 0 se i diferente de j e Ai,j= X. Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor. 
	2 0 0
	0 2 0
	0 0 2 
	Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos Ai,j = 0. Isto é, se todos os seus elementos forem nulos. 
	0 0 0
	0 0 0 
	0 0 0 
	Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual m = n cujos elementos Ai,j = 0 se i diferente de zero e Ai,j = 1 se i = j. Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1. 
	1 0 0
	0 1 0 
 	0 0 1 
Exercícios