Matrizes_e_processos_aleatorios_soft

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MATRIZES
Grupo 1: Beatriz Ferreira
	 Isabel Figueiredo
 Marcia Couto
 Marina Rocha
 Maurício Herranz
 Paulo Victor Rocha
 Sara Merlath 
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O início
Arthur Cayley, matemático;
1857 - Publicação da Memoir on the Theory of Matrices;
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Elementos básico para a construção de matrizes
Conjunto N (naturais) : N = {1,2,3...};
Produto cartesiano N×N = {(a,b): são números naturais}
Relação importante: Smn= {(i,j): 1 < i < m, 1 < j < n};
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Definição de matriz
Uma matriz é uma função que, a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn, associa um número real (ou complexo).
É formada por linhas e colunas.
Cada elemento é representado por uma letra minúscula e um par ordenado como índice que representa sua posição na matriz.
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 Por exemplo, tomemos abaixo a matriz A contendo m×n números reais (ou complexos):
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Definições básicas sobre matrizes
Ordem (ou Dimensão): Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n;
Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j);
Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)];
Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j;
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Tipos de Matrizes
Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1xn (n єR*)
A =
1x3
Matriz Coluna: é toda matriz do tipo mx1 (m єR*)
A = 
3x1
Matriz Quadrada: é toda matriz cujo múmero de linhas é igual ao número de colunas
A= 
B=
2x2
3x3
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 Matriz nula: é toda matriz do tipo mxn cujos elementos são todos nulos. Para indicar uma matriz nula utiliza-se a notação:
 Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes a diagonal principal são todos nulos.
 Matriz identidade: é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Para indicar uma matriz identidade de ordem n, utilizamos a notação:
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Matriz transposta:
 
 A matriz transposta da matriz A, de ordem m x n, é a matriz AT, de ordem n x m, que se obtém permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice.
Propriedades da matriz transposta:
(A+B)T = AT +BT
(a A)T=a AT
(AT)T=A
(AB)T=BTAT
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 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada S = aij é simétrica se ST = S
 S = ST = 1 5 9
 5 3 8
 9 8 7
 Matriz Anti- Simétrica: Uma matriz A = aij é anti-simétrica se AT = - A
 A = 0 3 4 AT = 0 -3 -4 
 -3 0 -6 3 0 6
 -4 6 0 4 -6 0
 Isto é: 
 AT = - A
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Operações com matrizes:
 
 Adição e subtração entre matrizes: Ocorrerá se as matrizes 
 forem de mesma ordem. Para fazer a adição ou subtração entre 
 os elementos dessa matriz basta somar ou subtrair os termos correspondentes, que resultará em uma terceira matriz.
Propriedades da Adição de matrizes:
A + (B + C) = (A + B) + C
A + 0 = 0 + A =A
- A + A = A – A = 0
A + B = B + A
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Produto de uma matriz por um escalar: se b é um escalar, o produto de uma matriz A = aij por esse escalar é uma matriz C= Cij
 5 x 4 -2 1 = 20 -10 5 
 3 -5 0 15 -25 0 
 
 Propriedades:
 I) (b c) A = b (c A)
 II) (b + c) A = b A + c A 
 III) c (A + B) = c A + c B
 
 
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 Produto de uma matriz por outra: Multiplicação de duas 
 matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da 
 matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz
 da direita.
 
Propriedades da Multiplicação de Uma Matriz por outra:
( A B ) C = A ( B C )
( A + B ) C = A C + B C
C ( A + B) = CA + CB
I m A = A I n = A
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Processos Estocásticos
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Objetivos
Proporcionar uma introdução aos processos estocásticos, no domínio do tempo e da frequência, de séries temporais invariáveis e multivariáveis;
Familiarizarmo-nos com os aspectos formais da Teoria de Processos Estocásticos ;
Mostrar a ampla aplicabilidade nas diversas áreas do conhecimento;
Aquisição de um linguajar universal para a descrição de problemas envolvendo probabilidade;
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Introdução
Definição
Constituem um ramo da Teoria da Probabilidade;
Conjunto diversificado de modelos que permitem, nas situações mais frequentes e de interesse prático, realizar o estudo dos fenômenos aleatórios que evoluem de acordo com o tempo;
Possui um vasto leque de aplicações, quanto as dos fenômenos a modelar nas diferentes ciências como: 
Economia
Gestão 
Engenharia 
Física 
Biologia
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Processos Estocásticos
Estes processos foram inicialmente utilizados na física para descrever o movimento de partículas. 
Podem ser classificados dentro das seguintes categorias:
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Processos Estocásticos
Processos de Tempo Contínuo: A variável pode mudar o seu valor em qualquer momento de tempo.
Processos de Tempo Discreto: A variável somente pode alterar o seu valor a intervalos fixos de tempo. 
Variável Contínua: A variável pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo. 
Variável Discreta: A variável pode assumir apenas alguns valores discretos.
Processos Estacionários: A média e variância são constantes no tempo. 
Processos não-estacionários: O valor esperado da variável aleatória pode crescer sem limite e sua variância aumenta com o tempo.
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Processos Estocásticos
A maioria dos problemas reais são modelados utilizando-se processos estocásticos de tempo contínuo com variável contínua.
 Por outro lado, processos de tempo contínuo exigem o uso de cálculo para a resolução das equações diferenciais estocásticas que modelam estes processos.
 Processos de tempo contínuo podem ser aproximados através de processos discretos, cuja modelagem é mais simples.
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Cadeia de Markov
Muitos dos processos que ocorrem na natureza e na sociedade podem ser estudados como se o fenômeno passasse, a partir de um estado inicial, por uma sequência de estados, nos quais a transição de um determinado estado para o seguinte ocorreria segundo uma certa probabilidade.
Tendo isso em vista, esses processos podem ser ditos markovianos, já que seguem uma probabilidade fixa e esta depende apenas do estado em que o fenômeno se encontra e do estado a seguir.
Com essas informações, somos capazes de fazer a previsão de certos fenômenos, cujas probabilidades não se modificam com o passar do tempo.
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Exemplo:
 Observa-se experimentalmente que, em condições naturais e sem ser submetida à pesca industrial, a quantidade de uma certa espécie de peixes varia da seguinte forma: se em um determinado ano a população diminui, a probabilidade de que diminua ainda mais no ano seguinte é de 0,6 e, se em um determinado ano a população aumenta, a probabilidade de que diminua no ano seguinte é de apenas 0,3. Entretanto, observa-se que sendo submetida à pesca industrial, quando a população aumenta num determinado ano, a probabilidade de que diminua no ano seguinte se altera pra 0,5, enquanto que se a população diminui num ano, a probabilidade de que diminua no ano seguinte continua sendo 0,6. Deseja-se saber qual será a probabilidade de decrescimento da população no terceiro ano caso esta população tenha diminuído no primeiro ano, considerando a inexistência da pesca industrial.
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 Os estados deste processo são: diminuição da população
(D) e aumento da população (A). Então sem haver pesca industrial temos:
(a soma das colunas deve sempre dar 1, já que estamos tratando de probabilidades de um evento)
Na matriz anterior temos as probabilidades de que determinados eventos ocorreram no segundo ano condicionadas a ocorrência de um certo evento no primeiro ano. Assim, para acharmos a probabilidade de diminuição da população no terceiro ano dado que a população diminuiu no primeiro devemos fazer:
		0,6 x 0,6 + 0,3 x 0,4 = 0,48
Logo a população tem 48% de chance de diminuir no terceiro ano dado que no primeiro ano ela diminuiu de fato.
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No entanto, conforme a número de anos aumenta, as contas se tornam mais complicadas e, se estivermos interessados em previsões a longo prazo sobre o crescimento (ou decrescimento) dessa população, temos que procurar outro procedimento. Isto pode ser feito se introduzirmos a noção de matriz de probabilidades, e a de vetor de probabilidades.
A matriz T das probabilidades de transição é obtida da tabela de probabilidades (mostrada no slide anterior) onde o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna indica a probabilidade de transição do j-ésimo para o i-ésimo estado.
		
		T = 
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O vetor de probabilidades é a matriz 
cuja primeira linha dá a probabilidade de que a população diminua no 
n-ésimo ano e a segunda linha dá a probabilidade de que a população aumente no n-ésimo ano. 
Observamos que T . 
= 
.
=
E portanto vemos que: 
= T. 
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Então, temos que:
= T
n
Portanto a dinâmica desta população a longo prazo (isto é, quando n aumenta) poderá ser prevista se soubermos que os elementos , 
n = 1, 2, ... se aproximam dos elementos de uma matriz fixa P.
Se não se aproximar de uma matriz P, então não poderemos fazer nenhuma modificação a longo prazo, pois o processo se modificará bastante através do tempo.
Sendo assim, para fazermos previsões a longo prazo, a matriz T deve cumprir certas condições. Introduzimos, então, a definição a seguir:
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Uma matriz de probabilidades de transição é regular se alguma de suas potências tem todos os elementos não nulos. Sua importância é dada pelos teoremas abaixo:
1. As potências se aproximam de uma matriz P, ou seja, cada elemento de aproxima-se do elemento correspondente em P.
2. Todas as colunas de P são iguais, sendo dadas por um vetor-coluna, no qual todos os elementos são maiores que zero
3. Para qualquer vetor de probabilidades inicial 
O vetor de probabilidades aproxima-se de V
4. O vetor V é o único vetor que satisfaz V = TV.
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Este teorema nos diz que se a matriz das probabilidades de transição é regular, então é possível fazer previsão a longo prazo e esta não depende das probabilidades iniciais V .
1
Além disso, o último item nos indicará como achar as probabilidades depois de um longo prazo.
Com isso, estamos aptos a responder outras questões sobre a dinâmica populacional de peixes vista no exemplo inicial. 
Por exemplo, desejamos saber como, a longo prazo, a pesca industrial afetaria os peixes dessa espécie, para ver se é necessário diminuir a intensidade de pesca ou se, ao contrário, é possível aumentá-la.
Primeiro faríamos as matrizes de probabilidades de transição que são:
Processo natural
Processo com a pesca industrial
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Como as matrizes são regulares, as probabilidades da população diminuir e aumentar a longo prazo são dadas por:
sem pesca: 
Resolvendo essa multiplicação obtemos um sistema o qual sendo resolvido fornece 
Atenção, devemos lembrar que , já que se trata de probabilidade!
com pesca industrial: 
Temos então
Como a probabilidade de a população diminuir é maior, se a espécie for submetida à pesca industrial, sua sobrevivência será ameaçada e, portanto, a pesca deve ser diminuída.
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Exercício: 
Numa cidade industrial, os dados sobre a qualidade do ar são classificados como satisfatório (S) e insatisfatório (I). Assuma que, se num dia é registrado S, a probabilidade de se ter S no dia seguinte é ²/5 e que, uma vez registrado I, tem-se ¹/5 de probabilidade de ocorrer S no dia seguinte.
Qual é a probabilidade do quarto dia ser S, se o primeiro dia é I?
 O que se pode dizer a longo prazo sobre a probabilidade de termos dias S ou I?
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Aplicações
 A matriz é muito importante para otimização do produto de uma empresa. Um exemplo é a Matriz de Halevi que é aplicada na resolução de problemas de planejamento e programaçãp da manufatura de empresas que trabalham com pequenos lotes. A ferramenta foi concebida para apoiar as tomadas de decisões necessárias em diferentes estágios da produção, dando a possibilidade de escolher entre diferentes critérios de otimização: mínimo tempo de produção, mínimo custo, máximo lucro, etc.. Sua concepção teórica assim como seu arranjo matricial fazem da matriz uma boa ferramenta para atender o planejamento e a programação da produção da moderna manufatura em pequenos lotes. 
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 A metodologia de otimização proposta por Halevi baseia-se no conceito de planos de processos alternativos, oferecendo a escolha dentre várias possibilidades para as pessoas responsáveis pelas tomadas de decisões nos diferentes estágios de produção na empresa, como Marketing, Vendas, Projeto de Produto, Fabricação, etc. A Matriz contem as informações necessárias para calcular todas as possíveis rotas de fabricação, por isso poderia ser considerada como uma solução de processo universal que aproveita o arranjo de matriz para dar a possibilidade de analisar várias alternativas de rotas de fabricação para um determinado produto da empresa.
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Softwares
Mostraremos aqui alguns softwares que podem ser configurados para resolver problemas de matrizes, por exemplo, soma e multiplicação de matrizes. Os softwares abordados serão PASCAL e MATLAB.
Pascal é uma linguagem de programação estruturada, que recebeu este nome em homenagem ao matemático Blaise Pascal. Foi criada em 1970 pelo suíço Niklaus Wirth, tendo em mente encorajar o uso de código estruturado. . 
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 Código fonte para ler e imprimir uma matriz 5x4, onde a cada linha representa um aluno qualquer e cada coluna representa suas notas.
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program produtoMatrizes;
    uses wincrt;
    const lim=50;
    type matriz=array[1..lim,1..lim] of integer;
    var m,n,p,i,j,k:integer;
      m1,m2,m3:matriz;
  begin
    read(m,n,p);
    for i:=1 to m do
      for j:=1 to n do read(m1[i,j]);
    for i:=1 to n do
      for j:=1 to p do read(m2[i,j]);
   writeln;
   for i:=1 to m do
    begin
    for j:=1 to p do
      begin
       m3[i,j]:=0;
       for k:=1 to n do m3[i,j]:=m3[i,j]+m1[i,k]*m2[k,j];
       write(m3[i,j]:3)
      end;
     writeln;
    end
  end.
Multiplicação de Matrizes: Matriz MxN X Matriz NxP
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MATLAB (MATrix LABoratory) é um software interativo de alta performance voltado para o cálculo numérico. O MATLAB integra análise numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar onde problemas e soluções são expressos somente como eles são escritos matematicamente, ao contrário da programação tradicional 
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Este programa apresenta uma linguagem bem mais simples.
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Soma de Matrizes no MATLAB
Lembrando que para soma, as ordens das matrizes devem ser iguais.
Matriz A + Matriz E
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Multiplicando Matrizes no MATLAB
Matriz C x Matriz D
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Exemplos:
Escrever um programa que calcule a soma de duas matrizes com valores inteiros de m linhas e n colunas em pascal 
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Exercícios
1- Na confecção de três modelos de camisas(A, B, C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela: 
      O número de camisas fabricadas, de cada
modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: 
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. 
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RESOLUÇÃO: O problema se resume na multiplicação das matrizes: 
Resposta:
Logo, a tabela que dá o total de botões é: 
a11 = 3x100 + 1x50 + 3x50 = 500
a12 = 3x50 + 1x 100+ 3x50 = 400
a21= 6x100 + 5x50 + 5x50 = 1100
a22 = 6x50+ 5x100 + 5x50 = 1050
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2- Uma indústria eletrônica de ponta fabrica determinado equipamento em dois modelos P e Q. Na montagem do aparelho tipo P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e no modelo Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores (veja tabela 1). Essa mesma indústria recebeu as seguintes encomendas para os meses de janeiro e fevereiro: 
 a) 8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q para o mês de janeiro
 b) 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q para o mês de fevereiro ( veja a tabela 2)
Determine a matriz (tabela 3 )que registra o total de transistores , capacitores e resistores que serão utilizados para atender às encomendas de cada mês?
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RESOLUÇÃO: 
 x = 
a11 = 6x8+4x12 = 96
a12 = 6x10 + 4x6 =84
a21= 9x8 + 7x12 = 156 
a22 = 9x10 + 7x6 = 132
a31 =11x8 + 10x12 = 208
a32 = 11x10 + 10x6 = 170
Resposta:
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3- Uma matriz A é simétrica se, e somente se, for igual à sua transposta, isto é A = At
Seja A= . Se A é simétrica, o valor de 2x+y é:
=
2x = x-2 
x= -2
x+y = x+2y
y=0
2x+y = -4
RESOLUÇÃO