Matrizes_2011.2_M

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MATRIZES
Desvendando as
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Grupo:
Henderson Brandina
Luiz Felipe
Érick Moinho
Marcelo Augusto
Quézia Pink
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O que é uma Matriz?
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No Dicionário nós encontramos que Matriz é um lugar onde alguma coisa se gera ou se cria. Matriz significa Criar! Reproduzir!
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O pai do nome matriz
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
James Joseph Sylvester.
História das matrizes ...
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Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?  Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..."   
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O estudo de matrizes remota aos tempos mais antigos da história da humanidade. O primeiro cubo mágico (3 por 3) é referenciado na literatura chinesa por volta do ano 650 ac (Swaney, Mark. “History of Magic Squares”).
Os cubos mágicos eram conhecidos entre os matemáticos árabes quando conquistaram o nordeste da Índia, absorvendo o conhecimento matemático, astronômico e outros conceitos da matemática combinatória.
Cubo Mágico 3x3
Cubo Mágico 5x5
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Uma importante curiosidade foi a utilização da Matriz na Segunda Guerra Mundial com o fenômeno aerodinâmico conhecido como Aeroelasticidade. Olga Taussky-Todd foi a principal percursora desta pesquisa.   
Olga Taussky-Todd
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A aplicação de matrizes possui uma forte ferramenta matemática fundamental para resolver problemas associados a equações simultâneas lineares. 
Na atualidade permitem, para além disso, descrever a mecânica quântica da estrutura dos átomos, auxiliar no desenvolvimento de modelos matemáticos computáveis, analisar e representar relações entre variáveis matemáticas, entre outras.
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Em matemática, uma Matriz é uma tabela com elementos divididos em linhas e colunas. Esses elementos contém informações importantes sobre um determinado assunto. 
Este estoque é um exemplo de Matriz. Os produtos estão organizados em fileiras (Linhas) e colunas. 
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Veja abaixo como uma Matriz é organizada:
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As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas, e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais:
A= 
2 4 6 
8 5 3
Veja como estas duas Matrizes se parecem.
2x3
mXn
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Daremos alguns exemplos:
Existem diversos tipos de Matrizes. 
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1 2 3
4 5 6
1 2 3
4 5 6
Podemos dizer que duas Matrizes são Iguais se, e somente se, todos os seus elementos internos (valores) forem iguais. As duas Matrizes são portanto, do mesmo tamanho. Veja e exemplo abaixo:
Igualdade de Matrizes:
A =
B =
Neste caso, as Matrizes A e B são consideradas Matrizes Iguais.
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Matriz Linha:
Como o próprio nome já diz, é uma Matriz que contém somente uma linha e ‘n’ colunas. Não é necessário usar mais representações (dimensões) para os dados envolvidos.Veja o exemplo: 
A = [ 2 5 7 6 4 1 9 3 ]
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Matriz Coluna:
Também, como o próprio nome já diz, é uma Matriz em que somente as informações das colunas já são suficientes. Esta Matriz contém apenas colunas. Veja:
B = 
50
-63
8
11
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Matriz Nula:
Matriz Nula, é aquela que (independentemente do número de linhas ou colunas), contém o valor de todos os seus elementos igual a zero. Veja:
C = 
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
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Matriz Quadrada:
Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A, chama-se de diagonal principal os elementos aij onde i = j. Veja abaixo:
2 4 6 
3 1 5 
3 4 7 
A=
Repare que os elementos na diagonal principal possuem posições i (linhas) sempre iguais a j (colunas). 
3x3
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4x4
Matriz Identidade:
A Matriz Identidade In é a Matriz quadrada m × n que tem todos os membros da diagonal principal iguais a 1, e 0 nas outras posições. 
1 0 0 0 
0 1 0 0 
0 0 1 0
0 0 0 1
Repare que só existem os números 1 e 0 nesta Matriz.
B =
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Uma matriz A − 1 é dita inversa de uma matriz A, se obedece à equação Matricial A.A − 1 = I, ou seja, se o produto entre as matrizes é a Matriz Identidade.
Matriz Inversa:
2 5
1 3
A B
C D
X
=
1 0
0 1
Matriz Identidade
Matriz A
Matriz A − 1 
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Matriz Transposta:
A matriz transposta de uma matriz Am × n é a matriz Atn × m . Ou seja, a primeira linha da Matriz original torna-se a primeira coluna da transposta, a segunda linha da original se torna a segunda coluna da transposta, e a ‘n’ linha da Matriz original, se tornará a ‘n’ coluna da Matriz transposta. 
Veja o exemplo:
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A =
1 2 3 
4 5 6
At =
1 4
2 5
3 6
Repare que as colunas da Matriz Transposta contém exatamente os mesmos elementos que as linhas da Matriz original.
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Agora, algumas operações que podemos fazer com Matrizes: 
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Algumas propriedades das operações com Matrizes:
Propriedade da Soma:
ASSOCIATIVA: (A + B) + C = A + (B + C)
COMUTATIVA: A +B = B + A
ELEMENTO NEUTRO: 0 + A = A
ELEMENTO OPOSTO: A + (-A) = 0
Multiplicação por escalar:
1.A = A 
0.A = 0 
DISTRIBUTIVIDADE: k.(A + B) = k.A + k.B
DISTRIBUTIVIDADE DOS ESCALARES: (p + q).A = pA + qA) 
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Soma de Matrizes:
Para se somar duas Matrizes diferentes, basta somar todos os seus elementos internos correspondentes. Imagine duas Matrizes A e B. O elemento a11 da Matriz A deve ser somado ao elemento b11 da Matriz B. O elemento aij da Matriz A ao elemento bij da Matriz B! 
E assim sucessivamente. Veja:
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4 1 2
3 6 5
+
1 2 3
4 5 6 
Lembrem-se de que as Matrizes devem ser do mesmo tamanho para serem somadas. 
=
(1+4) (2+1) (3+2)
(4+3) (5+6) (6+5)
=
5 3 5
7 11 11
O mesmo processo se dá ao se subtrair Matrizes.
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Multiplicação por um Escalar:
Para se multiplicar uma Matriz por um número escalar qualquer K, basta multiplicar todos os elementos internos da Matriz pelo número escalar K. Por exemplo:
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4 5 6
1 3 2
2 .
(2.4) (2.5) (2.6)
(2.1) (2.3) (2.2)
=
=
8 10 12
2 6 4
2x3
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Multiplicação de Matrizes:
O processo de multiplicação de uma Matriz por outra é um pouco mais complicado. Neste caso, vamos multiplicar todos os elementos da Matriz A pelos elementos da Matriz B, porém seguiremos algumas regras para que esta multiplicação dê certo:
1) O NÚMERO DE COLUNAS DA PRIMEIRA MATRIZ DEVE SER IGUAL AO NÚMERO DE LINHAS DA SEGUNDA! 
(NEVER FORGET IT!)
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2 4 3 
5 3 1
3 7
4 6
6 4
X
Repare que esta Matriz contém 3 colunas!
E esta aqui tem 3 linhas!
2x3
3x2
O número de Colunas da primeira é igual ao número de Linhas da segunda.
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2 4 3 
5 3 1
3 7
4 6
6 4
X
Primeiro, multiplica-se a primeira linha da Primeira Matriz pela primeira coluna da Segunda. Só que devemos multiplicar cada elemento por seu correspondente, parecido com o que fizemos na soma de Matrizes. 
(2.3) + (4.4) + (3.6) = Elemento a11 da Matriz que será resultada. 
=
2x3
3x2
*
*
*
2x3
3x2
X
a12
a21
a22
2 4
3 
5 3 1
3 7
4 6
6 4
a11
Observe a sequência de Operações feitas aqui!
(2.3) + (4.4) + (3.6) = 6 + 16 + 18 = 40 = a11
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2x3
3x2
X
a21
a22
2 4 3 
5 3 1
3 7
4 6
6 4
40
a12
(2.7) + (4.6) + (3.4) = 14 + 24 + 12 = 50 = a12
*
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*
2x3
3x2
X
 50
a22
2 4 3 
5 3 1
3 7
4 6
6 4
 40
a21
(5.3) + (3.4) + (1.6) = 15 + 12 + 6 = 33 = a21
*
*
*
2x3
3x2
X
 50
 33
2 4 3 
5 3 1
3 7
4 6
6 4
 40
a22
(5.7) + (3.6) + (1.4) = 35 + 18 + 4 = 57 = a22
*
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*
2x3
3x2
X
2 4 3 
5 3 1
3 7
4 6
6 4
40
50
33
57
E temos como resultado, esta nova Matriz! 
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Escalonamento de Matrizes:
O significado de se escalonar no dicionário é: Dispor em Escalão, Dar forma de escada à ..., ato ou efeito de escalonar. 
Quando escalonamos Matrizes fazemos um processo que torna a Matriz bem parecida com uma escada. O objetivo é fazer com que a Matriz se torne idêntica à Matriz Identidade (que contém somente 0 e 1). 
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Observe como a Matriz Identidade se parece com uma escada:
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
I =
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Nosso objetivo é fazer com que a Matriz se transforme em uma Matriz identidade fazendo operações em suas linhas de forma que todos os elementos sejam ou 0 ou 1. Os elementos na diagonal principal devem ser formados por 1 e os outros elementos devem ser (sempre que possível) iguais a 0. 
As operações que podemos usar são as seguintes:
1) PODEMOS TROCAR LINHAS QUANDO NECESSÁRIO (PERMUTAÇÃO DE LINHAS). 
2) PODEMOS MULTIPLICAR UMA LINHA POR UM ESCALAR (Para podermos usar o resultado para trabalhar em outra linha).
3) SUBSTITUIR UMA LINHA POR ELA MESMA SOMADA A OUTRA LINHA (E essa outra linha já deve ter sido devidamente multiplicada por um escalar não nulo). Linha A = (Linha A) + K.(Linha x). 
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Veja como se usa este sistema pra resolver sistemas Lineares:
2x + 3y = 8
-3x + y = -1
2 3 8
-3 1 -1
Devemos Escalonar esta Matriz.
L1 = 3.L1
L2 = 2.L2
6 9 24
-6 2 -2
Arbitrariamente escolhemos multiplicar a L1 por 3 e a L2 por 2. Nosso objetivo é pegar o 6 como pilar e zerar o -6 que está abaixo dele.
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L2 = L2 + L1
6 9 24
0 11 22
L2 = L2/11
6 9 24
0 1 2
Aqui já zeramos o –6 fazendo a soma da L2 com L1.
Agora dividimos a L2 por 11 pra simplificar. Repare que fazemos estas operações com todos os elementos da linha trabalhada! 
Neste exemplo não precisaremos transformar o 6 em 1, porque aqui já chegamos a um ponto em que podemos saber que y = 2. Sabendo disso, basta substituir o valor no sistema de equações do início e descobriremos o valor de x. Acompanhe:
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Conseguimos chegar a Matriz:
6 9 24
0 1 2
6x + 9y = 24 
0x + 1y = 2 
Temos que (segundo a segunda linha que acabamos de achar), 1y = 2. Portanto Y = 2.
Substituindo Y = 2 na equação de cima, temos: 6x + 9.(2) = 24
Portanto x = 6/6 = 1. 
Nosso objetivo foi cumprido neste sistema, pois achamos os valores de X e Y através do escalonamento. 
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Veremos mais exemplos de operações com Matrizes nos próximos exercícios. 
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OBRIGADO PELA ATENÇÃO! 
Grupo: Luiz Felipe, Marcelo Augusto, Quézia Pink, Erick Moinho e Henderson Brandina.
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Bibliografia:
Álgebra Linear – Boldrini.
Wikipedia – A enciclopédia Livre.
Matéria escrita dada por professor Mário Jorge – UFRJ