Processos_Estocasticos

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Processos Estocásticos
Álgebra Linear II
Prof: Mário Jorge
Componentes do Grupo:
André Fraga
Anna Lydia Rodrigues
Bruno Gasparelli
Diego Janoti
Filipe Andrade
Marcelle Souza
Rafael de Almeida
Raquel Silva
Suelen Paixão
Vitor Tavares
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Cadeias de Markov
	Andrei Andreyevich Markov foi um matemático russo. Markov formou-se na universidade de St. Petersburg em 1878 e veio a se tornar professor na mesma em 1886. Os primeiros trabalhos de Markov foram limite de integrais e teoria da aproximação.
	Depois de 1900 Markov aplicou métodos de frações contínuas, que havia sido iniciada por Pafnuty Chebyshev, na teoria da probabilidade, Ele também provou o teorema do limite central. Markov é lembrado pelo seu estudo de Cadeias de Markov, assunto do qual nós trataremos agora.
	De particular interesse na área de estatística e bastante utilizadas em economia e ciência política, além da sua aplicação original na física e os desenvolvimentos em matemática, possuem atualmente uma ampla variedade de aplicações interessantes. 
	Em matemática, a cadeia de Markov é um caso particular de processo estocástico. Pega-se um evento aleatório, sendo este um processo estacionário e sua probabilidade de r(t) estar em um estado i depende de seu estado atual e não dos estados anteriores.
	Então, podemos perceber que estamos interessados no estado de um sistema, em sua evolução no tempo.
Temos aqui alguns exemplo de como utilizar a cadeia de Markov no nosso dia-a-dia:
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Aplicações Práticas
		Exemplo 1: Tempo
	
	Para calcular a probabilidade de chover depois de amanhã, sendo que choveu hoje:
 
 CHOVE NÃO CHOVE 
 CHOVE 30% 70%
 NÃO 
 CHOVE 40% 60% 
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ORGANOGRAMA:
 
 
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	Calculando: 
	0.3 x 0.3 + 0.7 x 0.4 = 0.37
	
	A probabilidade de CHOVER depois de amanhã, sendo que choveu hoje, é de 37%.
 	OUTRA MANEIRA PARA “PREVER” O TEMPO:
 C NC C NC C NC 
 C .3 .7 X .3 .7 = .37 .63 C
 NC .4 .6 .4 .6 .36 .64 NC
 HOJE para AMANHÃ AMANHÃ para HOJE para DEPOIS
 DEPOIS DE AMANHÃ DE AMANHÃ
 
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Exemplo 2: Futebol
 V D E V 1/2 1/5 3/10 0,5 0,2 0,3 (V -> Vitória)
D 3/10 3/10 2/5 = 0,3 0,3 0,4 (D -> Derrota)
E 1/5 2/5 2/5 0,2 0,4 0,4 (E -> Empate)
	Se o time não melhora nem piora, ele conseguirá mais vitórias ou mais derrotas a longo prazo?
 	Solução:
0,5 0,2 0,3 0,5 0,2 0,3 0,37 0,28 0,35
0,3 0,3 0,4 X 0,3 0,3 0,4 = 0,32 0,31 0,37
0,2 0,4 0,4 0,2 0,4 0,4 0,30 0,32 0,38
	Ao continuar calculando essas matrizes (multiplicando-as), achará certa uniformidade dos resultados.
	
	Multiplicando a 1ª matriz Por ela mesma, acha-se a 2ª rodada. Multiplicando a 1ª pela 2ª, acha-se a 3ª rodada e assim por diante.
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Exemplo 3: Consumo
 	Suponha que só existem dois refrigerantes: guaraná e soda.
 
	• Se uma pessoa escolheu guaraná, existe 90% de chance de que peça novamente guaraná.
	• Se a pessoa tiver escolhido soda, a chance de que peça este refrigerante outra vez é de 80%.
 	1. Se uma pessoa é atualmente consumidora de soda, qual a probabilidade de que escolha guaraná no segundo pedido futuro?
 	2. Se a pessoa é atualmente consumidora de guaraná, qual é a probabilidade de que escolha guaraná no terceiro pedido futuro?
 	
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Solução: 
 	Os pedidos de cada consumidor podem ser interpretados como uma Cadeia de Markov de dois estados, descritos como:
 Estado 1 = a pessoa escolheu guaraná da última vez (G);
Estado 2 = a pessoa escolheu soda da última vez (S);
 	Vamos definir:
 X0= refrigerante escolhido no presente;
Xn= refrigerante escolhido no n-ésimo pedido futuro;
	A seqüência X0, X1,... pode ser descrita como a seguinte Cadeia de Markov:
 
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	Agora sim, podemos responder às perguntas...
	1. Se uma pessoa é atualmente consumidora de soda, qual a probabilidade de que escolha guaraná no segundo pedido futuro?
	Queremos:
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	De outra maneira:
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	2.Se a pessoa é atualmente consumidora de guaraná, qual é a probabilidade de que escolha guaraná no terceiro pedido futuro?
 	Queremos:
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	De outra maneira:
 
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	Suponha, que 60% das pessoas bebem guaraná e 40% bebem soda agora. Daqui a três pedidos, que fração das pessoas beberá guaraná?
	Queremos:
	
	Temos:
	Portanto:
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Matrizes de transição
	Um processo aleatório de markov é um processo que pode assumir os estados, a1, a2,...,ar, de tal modo que a probabilidade de transição de um estado aj para um estado ai seja pij (um número que só depende de aj e ai).
 A matriz das probabilidades de transição (matriz estocástica) é dada por:
T= 
	
	(Observe que pij 0, e que a soma de cada coluna deve ser 1.)
	O vetor de probabilidade é aquele cuja i-ésima linha dá a probabilidade de ocorrência do estado ai após n transições: 
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	Seguindo o raciocínio do exemplo anterior vemos que após n passos, 
	Previsões a Longo Prazo: 
	Para podermos fazer previsões a longo prazo a matriz T deve cumprir certas condições. Uma matriz das probabilidades de transição é regular se alguma de suas potências tem todos os elementos não nulos. A importância da matriz regular para as previsões de longo prazo é dada pelo teorema que afirma : 
	Se a matriz das probabilidades de transição é regular, então:
As potências de se aproximam de uma matriz P, no sentido de que cada elemento de aproxima-se do elemento correspondente em P.
Todas as colunas de P são iguais, sendo que dadas por um vetor-coluna 
	V=
 = 
 . 
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	Com > 0 , > 0, ... Pr > 0.
	Para qualquer vetor de probabilidades inicial
	V1=
	
	O vetor de probabilidade aproxima-se de V (dado no item anterior).
O Vetor V é o único vetor que satisfaz V = TV.
	O que o teorema quer dizer, é que se a matriz das probabilidades de transição é regular, então podemos fazer uma previsão a longe prazo que não depende das probabilidades iniciais . Além disso o item (iv) nos indicará como achar a probabilidade depois de um longo prazo. O processo utilizado para se encontrar o vetor “final” de probabilidades, usando o item (iv) corresponde à procura de autovetor associado ao autovalor um da matriz T.
	A aplicação das matrizes de transição à engenharia se expande a vários setores. Desde cálculos para a “SIMULAÇÃO DINÂMICA DE FLORESTAS NATURAIS SOBRE DIFERENTES INTENSIDADES DE CORTES”, “AVALIAÇÃODAS RELAÇÕES ENTRE VOLUME DE CONSERVAÇÃO E DE PROTEÇÃO CONTRA AS CHEIAS”, até no “PROCESSO PRODUTIVO DE FILÉ CONGELADO DE PESCADAS”. 
	Enfim as possibilidades de uso das matrizes de transição para eventos que ocorrem diariamente e necessitam de um estudo de suas probabilidades são infinitas.
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	Um espaço de estados é representável por uma matriz. Chamada de matriz de transição, com o (i, j)-ésimo elemento igual a
	Para um espaço de estados discretos, as integrações na probabilidade de transição de k passos são somatórios, e podem ser calculados como a k-ésima potência da matriz de
transição. Isto é, se P é a matriz de transição para um passo, então Pk é a matriz de transição para a transição de k passos.
A distribuição estacionária é o vetor que satisfaz à equação
	onde πT é a matriz transposta de π. Em outras palavras, a distribuição estacionária π é o autovetor esquerdo da matriz de transição, associado com o autovalor 1.
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	Como conseqüência, nem a existência nem a unicidade de distribuição estacionária é garantida para uma matriz de transição qualquer P. Contudo, se P é irredutível e aperiódica, então existe uma distribuição estacionária π. Além disso, Pk converge para uma matriz na qual cada linha é a (transposta da) distribuição estacionária πT, que é dada por:
	
	onde é o vetor coluna com todas as entradas iguais a 1. Isto é estabelecido pelo Teorema de Perron-Frobenius.
	Isto significa que se nós simularmos ou observamos uma caminhada aleatória com matriz de transição P, então a probabilidade de longo prazo de que o indivíduo que faz a caminhada esteja em um certo estado é independente do estado em que a caminhada começou, e é definida pela distribuição estacionária. A caminhada aleatória "ignora" o passado. Em suma, cadeia de Markov é o passo seguinte depois dos processos sem memória (isto é, uma seqüência de variáveis aleatórias independentes distribuídas uniformemente).
Uma matriz de transição que é positiva (isto é, todo o elemento da matriz é positivo) é irredutível e aperiódica. Uma matriz é uma matriz estocástica se e somente se é uma matriz de probabilidades de transição de uma cadeia de Markov.
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Exemplo 1: Matriz de Transição
 	Suponhamos que em uma determinada região, a cada ano 3%(três por cento) da população rural migra para as cidades, enquanto que apenas 1%(um por cento) da população urbana migra para o meio rural. Se todas as demais condições permanecerem estáveis, as condições políticas não mudarem, e estas porcentagens de migração continuarem as mesmas, qual deve ser a relação entre as populações urbana e rural desta região em longo prazo?          	Como 3% da população rural migra para o meio urbano, a probabilidade de migração do meio rural para o meio urbano é 0,03, enquanto que a probabilidade de não migração é 0,97. Como 1% da população urbana migra para o meio rural, a probabilidade de migração do meio urbano para o rural é 0,01 e a de não migração é 0,99. Denotando por U o meio urbano e por R o meio rural, temos a matriz das probabilidades de transição:
    R      U
 R  0,97  0,01  U  0,03  0,99    
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	Como a matriz é regular, em longo prazo as probabilidades pR, de viver no meio rural, e pU, de viver no meio urbano, devem satisfazer:
                      0,97  0,01   pR   pR                                          . =                         0,03  0,99   pU      pU  
	onde,  
	0,97 . pR + 0,01 . pU = pR 
	0,03 . pR = 0,01 . pU 
	pU = 3 pR 	e, como devemos ter pU + pR = 1 (que é a probabilidade total), temos:
  	pU + pR = 1
	3 pR + pR = 1
	4 pR = 1
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	pR = 0,25   , logo,     pU = 0,75
	Ou seja, em longo prazo, e se não houver modificações nas tendências de migração, teremos 25% da população no meio rural e 75% da população no meio urbano.
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Bibliografia:
Richard Bellman; Introduction To Matrix Analysis McGraw-Hill Book Company, Inc. (1960)
Boldrini/Costa, Figueiredo/Wetzler ; Álgebra Linear 3ª edição – Editora Harbra Ltda. (1986)
Wikipedia – http://www.wikipedia.org