Inversao_de_Matrizes_2011.1_M_2_

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Gregório Luz
Fernando Fernandes
Priscila Velloso
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Dada uma matriz quadrada  A,  se existir outra matriz  B  da mesma ordem que verifique: 
A . B = B . A = I 
onde ( I é a matriz identidade ).
 
 Dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A-1
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Para determinar se uma matriz quadrada é inversível, ou seja, se admite inversa, deve-se verificar se seu determinante é diferente de zero.
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A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz.
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A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a transporta da inversa:
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O inverso de uma matriz multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número.
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O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada.
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O determinante de uma matriz invertível é diferente de zero.
Uma matriz quadrada é dita ortogonal se sua matriz inversa é igual a transposta.
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A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade.
I − 1 = I
Isso ocorre pois:
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Método Tradicional
	Aplicamos a seguinte propriedade:
	
	Sabemos que a matriz A é: 
	
	Criamos uma matriz simbólica :
	
	Substituímos na propriedade:
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Método Tradicional ( continuação)
	
Resolvendo a multiplicação de matrizes caímos no seguinte sistema:
	
Solucionando o sistema temos:
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Método de Gauss (Escalonamento)
Algoritmo: Escalonar a matriz [AI].
Seja a matriz abaixo, cuja inversa se deseja calcular. 
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O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito:
O objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por escalares de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo. Notar que esses escalares não são elementos da matriz. Devem ser escolhidos de acordo com o resultado desejado. 
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1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por −1. 
Com essa operação, consegue-se 1 no elemento a11 (primeira linha, primeira coluna) da matriz esquerda. 
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2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por −1. 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por −2. 
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Com as operações acima, os elementos a21 e a31 tornaram-se nulos, formando a primeira coluna da matriz unitária. 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por −3. Essa operação forma a segunda coluna da matriz identidade: 
 
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3ª linha = 3ª linha multiplicada por −1. Multiplicação executada para fazer 1 no elemento  da matriz esquerda. 
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2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por −1. Essa operação forma a terceira e última coluna da desejada matriz identidade no lado esquerdo. 
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E a matriz inversa é a parte da direita: 
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Método dos Determinantes e Cofatores.
 A matriz inversa é dada por:
Onde: Cof A= Matriz dos Cofatores de A
 (Cof A)t = Transposta da Matriz dos Cofatores
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Exemplo.
 Dada a matriz , determine a sua inversa, se existir: 
1º Passo: calculamos det A
 det A = 0 + 6 = 6 , logo existe a matriz inversa de A.
 2º Passo: determinamos a matriz dos co-fatores de A: 
 
	A11 = (–1)1 + 1 · (0) = (–1)2 – 0 = 0
	A12 = (–1)1 + 2 · 3 = (–1) (3) = –3
	A21 = (–1)2 + 1· (–2) = (–1)(–2) = 2
	A22 = (–1)2 + 2 · (1) = (1)(1) = 1
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3º Passo: achar a transposta da matriz dos cofatores, ou seja, sua adjunta.
4º Passo: Calcular a Inversa.
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Bibliografia
	Boldrini; 
	Home page do Profº Mario Jorge
	Wikipedia