Apresentacao_de_Algebra_Linear_22-09-2009_-_versao_final

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Introdução
Foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). 
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	No Ocidente este assunto começou a ser tratado esporadicamente a partir do século XVII. Nesta época surgem trabalhos de G.W. Leibniz (1646-1716), de G. Cramer (1704-1752) que desenvolveu um método de resolução de sistemas através de determinantes, conhecido por “Regra de Cramer” – que é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729 – que será explicado, e foi publicado em 1750.
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A.L.Cauchy (1789-1857) - elaborou a teoria das funções de variáveis complexas (1811) e divulgou um importante artigo sobre determinantes (sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes), com oitenta e quatro páginas em 1812 - tendo sido realizados em seguida, trabalhos de C. G. Jacobi (1804-1851) cognominado às vezes "o grande algorista". 
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		A partir de então, o uso de determinantes difundiu-se muito e este conceito de um número associado a uma matriz quadrada mostrou-se extremamente útil para caracterizar muitas situações, como a de saber se uma matriz é inversível, se um sistema admite ou não solução, o que veremos em seguida.
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Conceitos Preliminares
Consideremos o sistema ax = b com a diferente de 0. A solução deste sistema é x = b/a.
Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema, ou seja, [a].
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 Resolvendo (desde que sejam possíveis as operações), encontramos:
Num sistema 2x2:
Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coeficientes do sistema:
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Num sistema 3x3:
(desde que sejam possíveis as operações), ao procurarmos os valores de x1, x2, x3. 
Vemos que eles têm o mesmo denominador a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31, que também está associado à matriz dos coeficientes do sistema.
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Matriz Adjunta
Dada uma matriz A, lembremos que o cofator Aij do elemento aij da matriz é Aij=(-1)i + j.(mij), onde mij é o determinante da submatriz de A,obtida extraindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Dessa forma com estes cofatores podemos formar uma nova matriz que é a matriz dos cofatores de A, denominada de cof(A).
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Exemplo:
	Dada uma matriz 
 A = 1 -2
 3 0
	Determinamos a matriz dos co-fatores de A: 
 A11 = (–1)(1 + 1) · (0) = (–1)(2) . (0) = 0 
 A12 = (–1)(1 + 2) · (3) = (–1)(3) . (3) = –3 
 A21 = (–1)(2 + 1) · (–2) = (–1)(3) . (–2) = 2 
 A22 = (–1)(2 + 2) · (1) = (–1)(4) . (1) = 1 
	Dessa forma encontramos a matriz dos cofatores de A,que é:
 cof(A) = 0 -3
 2 1
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 Assim, por definição, a matriz adjunta, (adj(A)), é 
 transposta da matriz dos cofatores:
 (cof A)t = 0 2 = adj(A)
 -3 1
 Agora vamos efetuar o exemplo,adj(A).A:
 0 2 . 1 -2 = 6 0
 -3 1 3 0 0 6
 
	Dessa forma conclui-se que , adj(A).A = det(A).In:
 6 0 = 6 . 1 0
 0 6 0 1 
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Sabendo que, pela fórmula da matriz inversa,
	
	A . A-1 = In
E ajeitando-se a relação encontrada, temos:
 	A . adj(A) = In
 det(A)
Dessa forma, conclui-se que:
	A-1 = adj(A) . 1
	 det(A) 
 
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Matriz Inversa
	Definição:
	
	Uma matriz A é dita inversível quando existe uma outra matriz A-1 tal que:
					e
	onde I é a matriz identidade (unitária) e A-1 a matriz inversa.
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	Condições:
	Há duas condições básicas para que uma matriz seja inversível:
	1) A matriz precisa, necessariamente, ser quadrada;
	2) O determinante da matriz tem de ser diferente de 0.
	Se as condições forem obedecidas, podemos seguir para o próximo passo: inverter a matriz.
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	Métodos de inversão:
	Há variados métodos para se realizar a inversão de uma matriz, embora obviamente, todos alcancem o mesmo resultado. 
	
	A seguir, apresentaremos três deles.	
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a) Este método (o mais tradicional) consiste em associar variáveis arbitrárias a uma matriz e aplicar a definição de matriz inversa:
Exemplo:
Aplicando a definição:
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	Assim, multiplicamos as matrizes e obtemos um sistema, bastando obter sua solução:
	
	E a solução é a seguinte:
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b) Outro método para se inverter matrizes é o método da aplicação adjunta, que mostra-se um pouco mais rápido que o primeiro, especialmente para matrizes de segunda ordem. Ele é feito da seguinte forma:
	Exemplo: para uma matriz de segunda ordem, a fórmula ficaria da seguinte forma:
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c) O terceiro método que apresentaremos é o método de Gauss-Jordan, que consiste em emparelhar a matriz A com uma matriz identidade de mesma ordem e, através de certos procedimentos, transformar a matriz A em uma matriz identidade. Ao aplicarmos, simultaneamente, os mesmos procedimentos na matriz identidade emparelhada, obteremos a matriz inversa.
	Exemplo: Seja a matriz abaixo, cuja inversa se deseja saber:
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	O primeiro passo é acrescentar uma matriz identidade ao seu lado:
	
	Agora realizaremos os procedimentos. Primeiro:
	Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 . (-1)
	Lembre de realizar o cálculo, simultaneamente, em ambos os lados!
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	Prosseguindo com o mesmo raciocínio:
	Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 . (-1)
	Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 . (-2)
	obtemos:
	Agora:
	Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 . (-3)
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	Finalmente:
	Linha 2 = Linha 2 + Linha 3
	Linha 3 = Linha 3 . (-1)
	Obtendo-se:
	Assim, a matriz inversa alcançada é:
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d) Este método, obtenção da inversa por partição (blocos), é utilizado em matrizes de grande porte que necessitam ser reparticionadas em blocos, sendo inviável usar qualquer um dos processos de inversão apresentados anteriormente. 
Dada uma matriz: 
Vamos fazer uma partição de tal maneira que A11 seja quadrada.
Por exemplo:
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Pretende-se encontrar uma matriz B = A–1 
Pela definição da inversa será:
Isto conduz ao seguinte sistema:
Resolvendo-se o sistema, temos:
B11 = A11 – A12 . A22–1 . A21
B12 = - A12 . A22–1 ( - A11 . A12 . A22–1 . A21 )–1 
B21 = - A22–1 . A21 . B11
B22 = - A22–1 . A22–1 . A21 . B21
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Exemplo de um método simples e rápido para 
achar a inversa de uma matriz 2x2:
1) Calcule o determinante da matriz
 detA = 10 – 12 = – 2 
	
2) Troque de posição os elementos da diagonal principal e mantenha os da secundária, invertendo-se o sinal.
 		
	
3) Divida todos os elementos pelo determinante da matriz.
 
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Matrizes elementares são do tipo identidade, só que no lugar de um zero está um número não nulo.
A inversa dessas matrizes consiste em trocar o sinal do elemento não nulo .
Para achar a inversa de uma matriz diagonal, basta fazer os inversos aritméticos dos elementos da diagonal.
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	Propriedades das matrizes inversas:
	
	Considerando-se A uma matriz inversível, observam-se as seguintes propriedades:
	1) A matriz inversa é única.
	2) A matriz inversa de uma matriz inversível também é inversível, obtendo-se a matriz original.
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	3) A matriz transposta de uma matriz inversa é também inversível, e a transposta da inversa é a inversa da transposta.
	4) O produto de uma matriz inversível ou de sua transposta pela inversa da matriz é também inversível.
	5) O inverso de uma matriz multiplicada previamente
por um escalar diferente de zero é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso do escalar.
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	6) O inverso do produto de matrizes inversíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada.
 	
	7) O determinante da inversa de uma matriz é igual a um sobre o determinante dessa matriz.
	
	Essas são as principais propriedades das matrizes inversas, embora existam outras menos utilizadas. 
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Teorema de Cramer
	Ferramenta da Álgebra Linear que apresenta a resolução de sistemas lineares através do cálculo de determinantes.
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O Teorema:	
Seja AX=B, um sistema de equações lineares onde:
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	Então:
 
	
	Onde é o determinante que se obtém de A quando se substitui a i-ésima coluna pela matriz B de termos independentes e é o determinante de A.
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	Exemplo geral:
	Seja o sistema
	Quando escrito sob forma matricial temos
	Calculamos então os determinantes necessários:
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	Ao aplicar o Teorema de Cramer, temos:
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	Especificações:
	Como já foi verificado antes, o número de incógnitas deve ser igual ao número de equações, para que a matriz A seja quadrada e os determinantes e 	 possam ser calculados.
 deve ser diferente de 0, pois, caso contrário, o sistema será impossível ou possível e indeterminado.
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Exemplo:
Resolva o seguinte sistema:
Passando o sistema para a forma de matriz, temos:
=
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Agora, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
24
=
Seguindo o Teorema de Cramer , calculamos os determinantes referentes a cada variável, substituindo sua coluna pela matriz de termos independentes. 
= D
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	Agora, para encontrar cada variável, dividimos o determinante específico de cada variável pelo determinante original do sistema
X = 
y = 
z = 
 = 
 = 
 = 
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Substituindo em qualquer uma das equações para conferência dos valores.
Verificamos que a solução do sistema é de fato
S = 
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Determinantes
Funções reais de uma variável matricial, ou seja, são funções que associam um número real f(X) a uma matriz quadrada X.
Somatória de todos os produtos possíveis dos n elementos de uma matriz quadrada, de maneira que em cada parcela – formada por um produto – não haja dois elementos pertencentes a uma mesma linha e/ou coluna” (SOARES, 1979).
O elemento que satisfaz a equação:
onde ni é o número de inversões da permutação p = (j1, j2, j3, ..., jn) em relação à permutação (1, 2, 3, ..., n) escolhida como fundamental e o intervalo p1 a pn indica que a soma é sobre todas as n! permutações pu de {1, 2, 3, ..., n}. 
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Permutação	
	Chamamos permutação de um conjunto finito a toda função bijetora desse conjunto em si mesmo.
	Exemplo: Existem apenas 6 funções bijetoras definidas sobre I3={1,2,3}. Tais permutações são:
	O número das permutações em I3 é o fatorial de 3, isto é, 3!=6 e o conjunto dessas permutações é: P(3)={p1,p2,p3,p4,p5,p6}.
	Tomando o último exemplo como referência, tomemos a permutação:
	A segunda linha coincide com a primeira e esta permutação é denominada a permutação identidade.
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Consideremos a permutação:
Trocando o número 2 pelo número 3 na segunda linha, obtemos exatamente os números que aparecem na primeira linha.
 
Considerando que só podemos trocar os números de dois em dois, necessitamos apenas de 1 troca para obter a identidade, assim o número de trocas dessa permutação é 1 que é um número ímpar.
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Consideremos agora a permutação:
Trocando o número 3 pelo número 1 na segunda linha, obtemos uma outra permutação que ainda não é a identidade. Ainda devemos realizar uma segunda troca para obter a permutação identidade:
Neste caso, necessitamos de 2 trocas para obter a permutação identidade, assim o número de trocas dessa permutação é 2 que é um número par.
Em suma, uma permutação é denominada par se necessita de um número par de trocas para transformá-la na identidade e é ímpar se necessita de um número ímpar de trocas para isso.
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Seja Mn(K) o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem n com escalares em um corpo K e P(n) o conjunto de todas as permutações de elementos de In={1,2,3,...,n}. Definimos a função determinante que associa a cada matriz ,o escalar denotado por det(A), por:
sendo que a soma acima deve ser realizada sobre todas as permutações p que pertencem ao conjunto P(n).
Realiza um papel fundamental a indicação dos índices j e p(j). O primeiro j aponta para a linha onde está o elemento aj p(j) enquanto que o segundo p(j) aponta para a coluna do elemento aj p(j).
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Função determinante (por permutações) 
Exemplo: Seja a matriz
Cada elemento desta matriz pode ser escrito em função das 2 permutações de P(2)
segue que p1(1)=1, p1(2)=2, p2(1)=2, p2(2)=1, sgn(p1)=1 e sgn(p2)=-1, logo:
Somatório que coincide com a forma apresentada antes.
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Propriedades dos determinantes:
1) O determinante de uma matriz nula é zero.
2) O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
3) O determinante de uma matriz identidade é igual a 1.
4) O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta. 
 	det(At) = det(A)
5) O determinante de uma matriz com uma linha (ou coluna) nula é igual a zero.
6) Teorema de Binet: O determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes de cada matriz. 
 det (A · B) = det A · det B.
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7) O determinante de uma matriz é igual ao inverso do de sua inversa, se o determinante dessa matriz é diferente de zero.
 Essa propriedade advém do teorema de Binet: 
8) Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, o determinante é igual ao produto de k com o determinante de A:
 det(B) = k det(A)
9) Se todos os termos de uma matriz B(nxn) são obtidos pela multiplicação dos termos de A por um escalar K, o determinante é igual ao produto de k elevado a n com o determinante de A
10) Se uma matriz possui uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas, seu determinante é igual a zero.
11) Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz é uma mesma constante, seu determinante é igual a zero.
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12) Um determinante muda de sinal quando se troca a posição de duas filas paralelas.
Uma permutação, segundo o teorema de Bézout, muda de classe quando se troca a posição de dois quaisquer elementos. Logo, como se muda a classe, muda o sinal.
Isso é muito perceptível segundo a seguinte fórmula já vista:
 
					 sendo “ni” a classe
13) Se uma matriz tem linhas (ou colunas) iguais, seu determinante é igual a zero.
14) Se uma matriz tem linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante é igual a zero.
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Cálculo de Determinantes de Matrizes 2x2 
Seja A a matriz . O seu determinante será dado por: ad – bc.
Demonstração: Utilizando as propriedades 5, 8 e 13:
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Calcule o determinante da matriz M = 
 
Solução: det(M) = 3.4 – (-1).2 = 12 + 2 = 14
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 Cálculo de Determinantes de Matrizes 3x3
 Seja A a matriz . O seu determinante será dado por: 
 
 
Demonstração: Utilizando as propriedades 5, 8 e 13:
 
 
 
 	
 
	 
 
 
 
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 Existe uma regra prática para o cálculo de determinantes 3x3. É a chamada Regra de Sarrus. O algoritmo consiste em duplicar as duas primeiras linhas ao lado da matriz. O determinante será a soma do produto das diagonais para a esquerda,
menos a soma dos produtos das diagonais para a direita.
 
 
 
 
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Observação: A regra de Sarrus só é válida para determinantes 3x3
 
Exemplo: Calcule o determinante da matriz M = 
 
Solução:
det = 
			= 0 + 3 + 0 – 9 + 24 – 0 = 18. 
 
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 Teorema de Laplace
“O determinante de uma determinada matriz é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos seus respectivos co-fatores”.
Cada elemento da matriz tem seu respectivo co-fator. Os co-fatores são os determinantes de matrizes de ordem n-1 produzidas a partir da matriz de ordem n original, removendo a linha e a coluna ao qual o elemento pertence (Δij), multiplicados pelo fator (-1)i+j. O co-fator de um determinado elemento mij é representado por Mij.
Cof (mij)= Mij = (-1)i+j. Δij
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Exemplo:
 
Na matriz , o Δij de a12 é dado por: 
 
Desta forma, o determinante da Matriz de ordem n será:
ou
 
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Observação: A expansão em co-fatores, como também é conhecido o Teorema de Laplace, é sempre aplicado em uma linha ou uma coluna inteira. Daí, podemos perceber que quanto maior for o número de zeros de uma linha ou coluna, mais fácil será de se calcular o determinante da matriz.
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz M = pela expansão de co-fatores.
 
 
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Solução: 
A primeira coluna possui 3 zeros; portanto é conveniente aplicar o Teorema de Laplace nessa coluna.
 
O co-fator do elemento a21 é (-1)i+j.det . 
Utilizando a regra de Sarrus:
 
 
 det = = 0 + 3 + 0 – 9 + 24 – 0 = 18. 
  
Assim, cof(a21) = (-1)2+1.18 = -18. Desta forma, det(M) = 1 . (-18) = -18
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Propriedades dos determinantes:
 Matriz Transposta
Como consequências, temos:
a) um determinante não se altera quando se trocam ordenadamente suas linhas por colunas;
b) que todas as propriedades relativas às linhas podem ser aplicadas às colunas e vice-versa.
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2) Casos em que o determinante é nulo
fileira igual a zero
fileiras paralelas iguais
fileiras paralelas proporcionais
fileiras paralelas combinadas linearmente 
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3) Multiplicação ou divisão de uma fila por uma constante
Ao multiplicarmos ou dividirmos uma linha ou coluna por um número, o determinante da matriz será multiplicado pelo mesmo número. 
Da mesma forma, se multiplicarmos toda a matriz por um número, o determinante será multiplicado por tal número n vezes, sendo n o número de linhas e de colunas da matriz.
Exemplo:
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4) Troca de filas paralelas
Ao invertermos duas filas paralelas de uma matriz quadrada, seu determinante troca de sinal.
Exemplo:
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Adição de Determinantes:
O determinante de uma matriz A pode ser decomposto na soma dos determinantes 
de duas matrizes B e C, iguais a A, exceto pela coluna j, tal que essa coluna em A 
é a soma das colunas j de B e de C.
Exemplo:
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Teorema de Jacobi
O determinante não se altera ao somarmos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna) multiplicada por um número.
Aplicação: Abaixamento da ordem de um determinante.
Exemplo/ Exercício:
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Teorema de Binet:
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem; então:
Consequências:
det (ABC) = detA.detB.detC
 (serve para qualquer quantidade de matrizes)
 
b) det (A) = (det A)
c) det A = 1/ det A
Daí temos que para uma matriz ter inversa, 
seu determinante não pode ser 0.
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Matriz de Vandermonde
É toda matriz quadrada na qual a j-ésima coluna é formada pelas potências de 
mesma base xj, com seus expoentes variando de 0 a n-1. 
O seu determinante é dado pelo produto de todas as diferenças xi - xj, para i > j
Exemplo/ Exercício:
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Teorema de Chió
É um método prático para diminuírem uma unidade a ordem de um determinante 
em que o elemento a11 é igual a 1.
Na prática fazemos os seguintes procedimentos:
Suprimimos a primeira linha e a primeira coluna da matriz
De cada elemento restante na matriz, subtraímos o produto dos primeiros elementos 
da linha e da coluna em que esse elemento se encontra.
Exemplo/ Exercício:
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Aplicações de Determinantes e Matrizes Inversas
 Área do Triângulo
 Volume do Paralelograma
 Cálculo de Produto Vetorial
 Determinante de Slater
 Uso de Matriz Inversa em realidades virtuais 
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	 Área do Triângulo 
	O determinante pode ser usado para calcular a área de um triângulo ABC formado pelos pontos, A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3), da seguinte forma:
 
	A=0.5*Det
 
 	
	A área será igual a metade do módulo do determinante e os pontos devem ser colocados na matriz pelo sentido anti-horário começando de qualquer vértice do triângulo.
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	Volume de um Paralelograma 
	Dado três vetores K=<k1,k2,k3>, L=<l1,l2,l3> e M=<m1,m2,m3>, com a mesma origem, é possível calcular o volume do paralelogramo definido por esses vetores usando o produto misto desse vetores, que é calculando o determinante na seguinte matriz:
	V=Det 
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	Cálculo de Produto Vetorial 
	Podemos resumidamente calcular o Produto Vetorial da seguinte forma:
	Sendo dois vetores P=<p1,p2,p3> e Q=<q1,q2,q3>, o produto vetorial vale:
	PxQ= Det
	Onde a base no espaço R³ é i , j e k.
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	 Determinante de Slater 
	O determinante de Slater é uma técnica matemática da mecânica quântica que se usa para gerar funções de onda antissimétricas que descrevam os estados coletivos de vários fermiões (ex: prótons e nêutrons) e que cumpram o princípio de exclusão de Pauling.
	Para um sistema composto por N fermiões, define-se o determinante de Slater como: 
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	O uso do determinante como gerador da função de ondas garante a antissimétrica com respeito ao intercâmbio de partículas, assim como a impossibilidade de que duas partículas estejam no mesmo estado quântico, aspecto crucial ao se tratar com fermiões. 
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	 Uso de Matrizes Inversas em realidades virtuais 
	A inversão de matrizes é muito utilizada na computação gráfica, particularmente na renderização de gráficos em 3D e simulações 3D. Exemplos incluem o Ray Casting*, a transformação de objetos através de métodos “world-to-subspace-to-world”*², e simulações físicas.
 
	O problema é a dificuldade numérica de se calcular as inversas de matrizes de terceira ordem ou maiores. Comparando com a multiplicação de matrizes ou a criação de matrizes de rotação, a inversão de matrizes é um processo muito mais lento de ser realizado no computador. 
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	*Ray Casting é um algoritmo utilizado em tratamento de imagem, e que tem como objetivo a sintetização de imagens 3D.
	*²World-to-subspace-to-world é um modelo de programação em que dados são enviados do “world” (o computador do usuário ou mesmo uma realidade virtual) para um “subspace” (um servidor ou a um processador de dados) e as informações processadas(não obrigatoriamente alteradas) são retornadas para o “world”, esse conceito é muito usado em realidades virtuais mas não é usado exclusivamente nessa área.