inversao_de_matriz_2010-1em1

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Inversao de matrizes
Nomes: Tiago Motta, Bruno Araujo, Pedro Abreu Bastos, Luiz Fernando de O. M. Nunes, Joao Marcello M. Rosa Maia, Guilherme Trindade
Inversão de números reais
Dizemos que um número y é inverso de x se x.y=1, exemplo: 2.y=1 y=1/2, logo o inverso de 2 é ½.
O número inverso de x pode ser denotado por x ¹ . 
O conceito de número inverso é usado para resolver equações da forma ax=b , exemplo: 6x=3 6x.(1/6)=3.(1/6) x=1/2 . 
Matriz inversa
O conceito de matriz inversa é bastante parecido com o de números reais, uma matriz A é inversa de B se, e somente se, A.B=B.A=I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A.
 A inversa da matriz B pode ser denomida por B ¹, logo B.B ¹=I.
Uma matriz é chamada de não singular se ela for invertível, e de singular se não for invertível.
Propriedades e teoremas da inversa
Uma matriz possui uma inversa se, e somente se o determinante dela for diferente de zero.
Se uma matriz possui uma inversa, esta é única.
A matriz inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz; (A–1)–1 = A
A matriz transposta de uma inversa é igual a inversa da transposta; (A–1)t = (At)–1
O determinante da matriz inversa é igual ao inverso do determinante da matriz; det A–1 = 1/detA
A inversa de um produto de matrizes é igual ao produto das matrizes inversas; (AB)–1 = B–1 · A–1 ( obs: repare que A é o primeiro termo da multiplicação no lado esquerdo da igualdade, porém ele é o segundo termo no lado direito)
Uma matriz é dita ortogonal se sua transposta é igual a sua inversa.
Métodos para se obter a matriz inversa
 A seguir veremos alguns métodos para se encontra a matriz inversa, são eles: 
 1- pela definição; 
 2- equivalência da identidade (condensação)
 3- pela matriz dos cofatores
 4- partição de matriz
Obtenção da matriz pela definição
Nesse método usaremos o fato de A.A–1 = I 
A= 1 2 A–1 = a b I= 1 0
 3 1 c d 0 1
A.A–1 =I 1.a+2.c=1 1.b+2.d=0
 3.a+1.c=0 3.b+1.d=1
Resolvendo o sistema encontramos, a=-1/5, b=2/5, c=3/5, d=-1/5
{
{
Logo A–1= -1/5 2/5
 3/5 -1/5
equivalência da identidade (condensação)
Ao condensar uma matriz pode-se trocar filas entre si, pode-se multiplicar uma fila por um escalar não nulo e pode-se substituir uma fila pela soma dela com o produto dum escalar (não nulo) por outra fila paralela. A condensação não altera as características da matriz
Achar uma inversa por condensação (ou equivalência da identidade) consiste em ampliar a matriz A pela matriz identidade da mesma ordem , condensar a matriz ampliada até aparecer a identidade da esquerda; e a que aparece à direita é a inversa.
condensação
Vamos encontrar, se existir, a inversa de 1 2 3
 1 1 2
 0 1 2
1ª eliminação:
 O pivô da 1a linha é igual a 1. Logo, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 2ª linha, –1 vezes a 1ª linha.
 1 2 3 1 0 0
 0 -1 -1 -1 1 0
 0 1 2 0 0 1
2°linha- 1ºlinha= 2°’ linha
condensação
2ª eliminação:
 Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se a 1a linha da matriz. Escolhemos como pivô um elemento não nulo da 1ª coluna não nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posição 2,2 . Como temos que “fazê-lo” igual a 1, multiplicamos a 2ª linha por –1.
condesação
3ª eliminação:
 Olhamos para a submatriz obtida eliminando-se as duas primeiras linhas. Escolhemos para pivô um elemento não nulo da primeira coluna não nula da submatriz. Este elemento é o elemento de posição 3,3. Como ele é igual a 1, precisamos apenas “zerar” os outros elementos da coluna do pivô. Para isto, somamos à 1ª linha, –1 vezes a 3ª linha e somamos à 2ª linha, –1 vezes a 3ª.
condesação
Temos do lado esquerdo uma matriz identidade e do lado direito a matriz inversa.
 1 2 3 0 1 -1 A= 1 1 2 A–1 = 2 -2 1
 0 1 2 -1 1 1
Calculo da matriz inversa por partição 
 M= α β 
 λ σ 
 
 M–1 = A B 
 C D 
Α e α, sxs α β . A B = Ip 0
B e β, sxm λ σ C D 0 Iq
C e λ, mxs
D e σ, mxm sendo Iq e Ip matrizes identidade.
 
Esse método é mais pratico de ser utilizado em grandes matrizes em relação aos demais. 
Calculo da matriz inversa por partição 
α A+ βC= Ip 
αB+BD=0
λA+ σC=0
λB+ σD= Iq Resolvendo o sistema:
 A=(α- β σ–1 λ) –1
 B=-A β σ–1
 C=- σ–1 λ A
 D= σ–1 - σ–1 λ B
Obtenção da matriz inversa pela matriz dos cofatores
Pela formula temos:A–1 =(cofA)’/detA Sendo (cofA)’ a transposta da matriz dos cofatores.
Calculo da matriz dos cofatores
 a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
 a31 a32 a33
 O menor de Aij eliminamos os elementos da linha i e da coluna j, e assim calculamos o determinante dessa nova matriz.
 a matriz dos cofatores é forma multiplicando um menor por -1 elevado pela soma de sua linha e coluna, e fazendo esse processo para todos os elementos.
Exemplo de calculo inversão pelo metodo do cofator 
A
3
1
0
2
=
1
1
1
0
-1
Seja a matriz A:
Calculando a matriz dos cofatores:
C11 = (–1) .(-2)=(1).(-2) = -2
C12 = (–1) .(-1)=(–1).(-1) = 1
C13 = (-1) .(-2)=(1).(-2)= -2
C21 = (–1) .(–1)=(–1).(–1) = 1
C22 = (–1) .(-4)=(1).(-4) = -4
C23 = (-1) .(-1)=(-1).(-1) = 1
C31 = (-1) .(-1)= (1).(-1) = -1
C32 = (-1) .(3) = (-1).(3) = -3
C33 = (-1) .(6) = (1).(6) = 6
Exemplo de calculo inversão pelo metodo do cofator 
Logo (cofA)=
Então (cofA)’=
A–1 = = 
-2
1
1
-4
-2
1
-1
-3
6
-2
1
1
-4
-1
-3
-2
1
6
-2
1
1
-4
-1
-3
-2
1
6
1
-7
2/7
-1/7
-1/7
4/7
1/7
3/7
2/7
-1/7
-6/7
Obtenção de um elemento
Para calcularmos o elemento bij da matriz inversa da matriz A = (aij )m · n , aplicamos a fórmula abaixo, decorrente do teorema:
bij = 1 . Aji
 det A
 
 onde: Aji é co-fator de aji.
Utilização das matrizes inversas
 Uso de Matrizes Inversas em realidades virtuais 
	A inversão de matrizes é muito utilizada na computação gráfica, particularmente na renderização de gráficos em 3D e simulações 3D. Exemplos incluem o Ray Casting*, a transformação de objetos através de métodos “world-to-subspace-to-world”*², e simulações físicas.
 
	O problema é a dificuldade numérica de se calcular as inversas de matrizes de terceira ordem ou maiores. Comparando com a multiplicação de matrizes ou a criação de matrizes de rotação, a inversão de matrizes é um processo muito mais lento
de ser realizado no computador. 
Utilização das matrizes inversas
*Ray Casting é um algoritmo utilizado em tratamento de imagem, e que tem como objetivo a sintetização de imagens 3D.
	*²World-to-subspace-to-world é um modelo de programação em que dados são enviados do “world” (o computador do usuário ou mesmo uma realidade virtual) para um “subspace” (um servidor ou a um processador de dados) e as informações processadas(não obrigatoriamente alteradas) são retornadas para o “world”, esse conceito é muito usado em realidades virtuais mas não é usado exclusivamente nessa área. 
Modelo Insumo-Produto
 Desenvolvido na década de 1930 por Wassily Leontief, ganhador do prêmio Nobel por sua criação. 
 Seu sucesso se deve ao fato de utilizar dados da economia real que podem ser obtidos de maneira relativamente fácil.
Matriz Inversa de Leontief :
 Registra a origem dos insumos e o destino das produções de uma economia. 
 Permite medir o impacto das mudanças na demanda final sobre a economia.
 A metodologia básica para identificação dos setores-chave da economia é a seguinte:
 X = (I – A)-1F
Onde: X é o vetor da produção setorial; 
I é a matriz identidade; 
A é a matriz dos coeficientes técnicos, cujos elementos aiJ indicam o produto do setor i usado diretamente pelo setor j para obtenção de uma unidade de demanda final do bem j; 
F é o vetor demanda final total.
 (I – A)-1 é a matriz inversa de Leontief, que indica a estrutura da economia; 
Matriz Inversa de Jones
Permite calcular o índice de sensibilidade à dispersão.
Mede os impactos diretos e indiretos de cadeias de produtos
Xt = Vt(I – A*)-1
Na relação acima, a matriz (I – A*)-1 é a matriz inversa de Jones (1976). 
Onde: I = matriz identidade; 
A* = matriz dos coeficientes diretos de produto; 
Xt = vetor-coluna transposto dos valores brutos de produção (vetor linha); e 
Vt = vetor-coluna transposto do valor adicionado (vetor-linha).
Utilização das matrizes inversas
As matrizes inversas aqui apresentadas, de Jones e de Leontief são largamente aplicadas não só na economia, como em: 
segmentos como transportes e políticas públicas, 
meios de comunicação ,
sociedade,
 indústria química
mineral e em geral, entre outras aplicações...
execícios
 
Dada a matriz , determine a sua inversa, se existir:
calculamos det A:
 det A = 0 + 6 = 6 , logo existe a matriz inversa de A.
determinamos a matriz dos co-fatores de A:
 A11 = (–1)1 + 1 · (0) = (–1)2 – 0 = 0
 A12 = (–1)1 + 2 · 3 = (–1) (3) = –3
 A21 = (–1)2 + 1· (–2) = (–1)(–2) = 2
 A22 = (–1)2 + 2 · (1) = (1)(1) = 1
exercício
Determinar o elemento b23 da matriz inversa de
 1 2 1
 A= 0 3 2
 0 0 1
det A = 1 · 3 · 1 = 3
B23 = 1 · A32
 det A
onde  A32= (-1)3+2 . 1 1 = -2
 0 2
b23 = 1/3 . (-2) = - 2/3
exercício
Calcule a inversa de A= 3 1
 2 1
 3 1 . a b = 1 0
 2 1 c d 0 1
3a +c=1 3b+d=0
2a +c=0 2b+d=1 A–1 = 1 -1
a=1, b=-1, c=-2, d=3 -2 3
execício
Calcule a matriz inversa M pelo método da partição de matrizes.
exercicio