Inversao

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Inversão de Matrizes
Alunos:
Edgard Romero
Julia Mello 
Mariana Império
Philippe Thiago
Pietrangelo Ventura
Rafael Serejo
Tiago Miranda
Roberto Vario
Disciplina: 	Álgebra Linear
Professor: 	Mario Jorge
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Definição de Matriz inversa
Dada uma matriz A, A’ é sua inversa se e somente se:
A*A’= A’*A= I 
sendo I a matriz unitária.
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Condição para que haja inversão:
Para que haja inversão de uma matriz A é necessário que:
	 A seja uma matriz quadrada;
	 det A  0.
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Exemplo:
A =
 
det A = 0 , portanto não é possível inverter essa matriz.
B = 
 
det B  0 , portanto é possível inverter essa matriz.
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Propriedades 
1) (A’)’ = A
2) (A’)*t = (A*t)’ , sendo t Є IR 
3) (A*B)’ = B’ * A’
4) det A’ =
5) Se a matriz A admite inversa (det 0), esta é única
6) A matriz unidade I é não-singular (det I=1) e é a sua própria inversa: I=I’
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Propriedades
7) Se a matriz A é não-singular, sua transposta AT também é. A matriz inversa de AT é (A-1)T
8) Se A é uma matriz inversível, então 	A∙AT e AT∙A também são inversíveis.
 
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Métodos de obtenção da Matriz inversa
Existem muitos métodos de obtenção da matriz inversa. Iremos apresentar 4 deles:
Pela definição;
Utilizando a matriz de cofatores;
Operações de Matrizes;
Partição de Matrizes
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Pela definição
Utilizando A*A’=I , então supondo 
A = 
3
1
2
1
A*A’
3
1
2
1
=
a
b
c
d
*
=
1
0
0
1
*
Pela definição
3*a + c = 1
2*a + c = 0
{
Resolvendo o sistema temos:
a = 1
b = -1
c = -2
d = 3
*
Pela definição
Assim a matriz inversa de :
É a matriz:
A’
1
-1
-2
3
=
*
Utilizando a matriz de co-fatores
Pode-se utilizar a seguinte fórmula:
1
Sendo (cof A) a matriz transposta de co-fatores de A
t
*
 Relembrando como se calcula (cof A) 
o MENOR de a11 é
t
*
Relembrando como se calcula (cof A)
O co-fator do elemento aij de uma matriz A, indicado por C, se define como:
j
i
+
ij
ij
M
c
=
)
-1
(
t
*
Resolvendo com esse método
det A = -7 , portanto existe matriz inversa.
Seja a matriz A
*
Calculando a matriz de co-fatores
C11 = (–1) .(-2)=(1).(-2) = -2
C12 = (–1) .(-1)=(–1).(-1) = 1
C13 = (-1) .(-2)=(1).(-2)= -2
C21 = (–1) .(–1)=(–1).(–1) = 1
C22 = (–1) .(-4)=(1).(-4) = -4
C23 = (-1) .(-1)=(-1).(-1) = 1
C31 = (-1) .(-1)= (1).(-1) = -1
C32 = (-1) .(3) = (-1).(3) = -3
C33 = (-1) .(6) = (1).(6) = 6
2
3
4
3
4
5
5
4
6
*
Calculando a matriz inversa
(Cof A)
=
-2
1
1
-4
-2
1
-1
-3
6
(Cof A)
=
-2
1
1
-4
-1
-3
-2
1
6
t
*
Calculando a matriz inversa
-2
1
1
-4
-1
-3
-2
1
6
A`=
1
-7
A`=
2/7
-1/7
-1/7
4/7
1/7
3/7
2/7
-1/7
-6/7
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Operações de Matrizes
Teorema:
	Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por uma sequência de operações elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas. 
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Operações de Matrizes
Para determinar a matriz inversa de A
Coloca-se ao lado da matriz A a matriz I, separada por um traço vertical;
	(A | I)
Transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I, aplicando-se, simultaneamente, à matriz I as mesmas operações elementares.
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Cálculo da Inversa da Matriz por Partição
α e A, sxs 
β e B, sxm 
γ e C, mxs
δ e D, mxm 
*
Cálculo da Inversa da Matriz por Partição
Resolvendo o sistema linear por substituição
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Cálculo da Inversa da Matriz por Partição
Exemplo:
*
Cálculo da Inversa da Matriz por Partição
 
 
 
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Exemplo:
 Seja a matriz A:
det A  0, logo A tem matriz inversa.
 
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Exemplo:
Fazendo as operações elementares:
	| 2 1 3 | 1 0 0 | | 4 2 2 | 0 1 0 | | 2 5 3 | 0 0 1 |
	| 1 ½ 3/2 | ½ 0 0 |
	| 4 2 2 | 0 1 0 |
	| 2 5 3 | 0 0 1 |
*
Exemplo:
	| 1 ½ 3/2 | 	½ 0 0 	|
	| 0	 0 	 -4 |	-2 1 0 	|
	| 2 5 3 | 	 0 0 1 	|
 	
			...
	| 1 0 0 | -1/8 3/8 -1/8 |
	| 0 1 0 | -1/4 0 1/4 |
	| 0 0 1 | 1/2 -1/4 0 | 
*
Exemplo:
Logo, a matriz:
 
	 	| -1/8 3/8 -1/8 |
B = 	| -1/4 0 1/4 |
	 	| 1/2 -1/4 0 |
 	é a matriz A’, inversa de A.
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Exemplo:
Obs: ( A | I ) -> ( E | B )
	Se a matriz do lado direito tiver na forma escada, mas não for a matriz identidade, então a matriz A não tem inversa. 
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Exemplo:
 	 ( E | B)
 | 1 0 1 | 1 	0	0 |
| 0 1 0 | -1/2 -1/2 	0 |
| 0 0 0 |	1	-1	1 |
	A matriz E está na forma escada, mas não é a matriz identidade, então A não tem inversa.
*