Aplicacoes_Meteorologicas_EA1.2010-2_

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Mario Jorge Ferreira de Oliveira
Aplicações Meteorológicas
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Sumário
Introdução;
Integrantes;
Conteúdo:
Vetores;
Espaços Vetoriais;
Sistemas Lineares;
Matrizes;
Processos Estocásticos.
Fontes e Bibliografia.
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Introdução
A Meteorologia está intrinsecamente liga à Álgebra Linear. Esta se faz presente desde os processos diários de resolução de equações para a previsão do tempo até a organização de dados meteorológicos, passando por imagens de satélite que usam linguagem matricial aliada a toda a área computacional que desempenha um importante papel na Meteorologia se utilizando de conceitos algébricos.
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Integrantes
Alice Sayão
Camila Brasiliense
Camila de Assis
Danilo Carreira
Igor Balteiro
Igor Cunha
Luiz Felipe Neris
Nadini Corega
Nathália Moura
Raphael Barbarioli
Thiago Sousa
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Vetores na Meteorologia
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 Vetores na Meteorologia
É um segmento de reta orientado no espaço formado por variáveis - cuja quantidade depende das dimensões consideradas - que tem módulo, direção e sentido.
Definição
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Algebricamente podemos escrever, para um vetor v: 
v = (a , b , c) ou v = ai + bj + ck,
onde i, j e k são os unitários que representam uma dada direção tridimensional num plano xyz respectivamente.
Graficamente podemos representar um vetor v por: 
		 
 v
						Logo, v = B - A
		
Módulo ou Intensidade: IvI = , se considerarmos o plano xy.
 Vetores na Meteorologia
Representação
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 Vetores na Meteorologia
Dentre as várias vetores na área meteorológica, podemos destacar a representação dos vetores de vento. Algumas utilidades:
Estudos sobre mudanças climáticas;
Entendimento de fenômenos meteorológicos em geral etc.
Como o vento não é nada mais do que o movimento do ar, essas aplicações valem para qualquer fluido.
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Um exemplo de trabalho nesta área é pegar uma base de dados de 30 anos ou mais de componente meridional v e zonal u, fazer a composição das mesmas usando a fórmula de soma de componentes que nos dará um vetor resultante
 Vetores na Meteorologia
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 Vetores na Meteorologia
Tendência na Velocidade do Vento
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 Vetores na Meteorologia
Tromba D’Água – Estrutura Vertical
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Espaços Vetoriais na Meteorologia
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 Espaços Vetoriais na Meteorologia
Definição
 Espaço vetorial: é um conjunto de objetos chamados vetores, independentemente de sua natureza. Pode parecer estranho, mas chamamos de vetores: os próprios vetores anteriormente definidos, polinômios, matrizes e números.
 Tal afirmativa é coerente pelo fato de que ao fazermos as operações de adição e multiplicação por escalar com esses elementos observa-se comportamento idêntico para todos eles
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 Espaços Vetoriais na Meteorologia
B
A
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 Espaços Vetoriais na Meteorologia
B
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Na natureza sempre um campo escalar vem acompanhado de um campo vetorial naturalmente associado a ele:
Correntes oceânicas, ventos, trajetória de contaminantes, fluxo de calor, fluxo de energia etc.
Algumas Utilidades
Instrumento de tomada de decisão
Previsão de fenômenos naturais, atenuação das consequências de acidentes
Elaboração de projetos na Engenharia e nas áreas de Ciências.
 Espaços Vetoriais na Meteorologia
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O fluxo de calor é um campo vetorial. O vetor aponta na direção do fluxo de calor. Sua magnitude é a energia transportada por unidade de tempo através de um elemento de superfície orientado perpendicularmente ao fluxo, dividido pela área do elemento de superfície.
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Sistemas Lineares na Meteorologia
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 Sistemas Lineares na Meteorologia
Definição
 Definição 1: Uma equação linear nas variáveis x1, x2, x3, ..., xn, é uma equação do tipo: 
		a1x1 + a2x2 + ... +anxn = b,
	onde a1, a2, an, e b são constantes conhecidas. 
 Definição 2: Uma solução da eq. Linear, é um conjunto de valores das variáveis, 
		x1=s1, x2=s2, ..., xn=sn 
	que tem a propriedade de satisfazer a equação.
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 Sistemas Lineares na Meteorologia
Definição
 Definição 3: Um sistema linear é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n variáveis consideradas simultaneamente.
	
	
	onde aij e bi são constantes conhecidas e xj são as variáveis do sistema linear para i=1, ... i =n e j=1, ..., j=n.
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 Sistemas Lineares na Meteorologia
Definição
 Definição 4: Uma solução do sistema linear abaixo, é um conjunto dos valores das variáveis: x1=s1, x2=s2, ..., xn=sn, que tem a propriedade de satisfazer cada uma das suas equações lineares.
 
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 Sistemas Lineares na Meteorologia
Previsão numérica do tempo
 exemplo: Campo de pressão G(x)
	
	
Onde G(x) será os valores do campo de pressão, P(x-xi) uma função radial básica; (x-xi) é o vetor entre o ponto observado xi e outro ponto no mesmo domínio. Wi é um valor de massa.
A função utilizada é a covariância, entre um valor observado e outro valor já contido entre valores de análises. A partir desta primeira fórmula, e trabalhando com p(X-Xi) como X sendo um vetor X(xi, yj), trabalhando com p como uma função hiperbolóide: 
 c= constante
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 Sistemas Lineares na Meteorologia
Se X(xi,yj) é um vetor posição, eu posso reescrever a função anterior como: 
Usando agora dessa última fórmula, junto com a primeira, geramos como resposta um sistema linear para o campo de pressão:
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 Sistemas Lineares na Meteorologia
Por fim e resumindo, este é um dos sistemas lineares que podem ser usados na meteorologia para obtermos resultados e criarmos cartas sinóticas a partir destes valores calculados. 
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Software na Meteorologia
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 Software na Meteorologia
MATLAB (MATrix LABoratory) é um "software" interativo de alta performance voltado para o cálculo numérico. O MATLAB integra análise numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos. Problemas e soluções são expressos somente como eles são escritos matematicamente, ao contrário da programação tradicional. 	
O elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento. 
Definição
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 Software na Meteorologia
São exemplos de operações com matrizes no MATLAB :
· Adição; · Subtração; · Multiplicação; · Divisão a direita; · Divisão a esquerda; · Exponenciação; · Transposta;
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 Software na Meteorologia
Um exemplo de como se entra um matriz simples:
>> A=[ 1 2 3;4 5 6;7 8 9 ]
Pressionando <enter> o MATLAB mostra o resultado
 1 2 3
A= 4 5 6
 7 8 9
Logo é atribuído uma matriz à variável A, podendo ser feitas operações com uma maior facilidade.
Exemplos de operações com matrizes.
Transposta: Com o caractere apóstrofo, " ' " , pode ser obtida a transposta de uma matriz.
B = A’ ; logo, será atribuído à variável B a transposta de A.
Multiplicação : C = A*B , será atribuído a matriz multiplicação de A por B em C 
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 Software na Meteorologia
Possui uma grande aplicabilidade na Meteorologia e ciências afins, pois através dele pode-se gerar campos de AASM, TSM, dentre outros.
(a) Campo de AASM (b) RMS (c) Correlação 
Imagens geradas pelo Laboratório de Meteorologia Aplicada (LMA)
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 Software na Meteorologia
 O Grid Analysis and Display System (GrADS) é uma ferramenta interativa para fácil acesso, manipulação e visualização de dados de geociências.	 
Usa 5 dimensões de dados: as quatro dimensões convencionais (longitude, latitude, altitude, e tempo) e uma quinta dimensão opcional.
Definição
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 Software na Meteorologia
 
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Matrizes na Meteorologia
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 Matrizes na Meteorologia
Matrizes são tabelas com
colunas (vertical) e linhas (horizontal), utilizadas para organizar dados numéricos, onde cada número é chamado elemento da matriz. Então, chamamos de matriz toda tabela m x n onde m é o número de linhas e n o número de colunas. 
	
Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como ai,j ou a[i,j]:
Definição
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 Matrizes na Meteorologia
As matrizes são muito utilizadas na computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em computação gráfica, para se resolver sistemas de equações , etc.
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 Matrizes na Meteorologia
Modelo probabilístico paramétrico das equações de Lorenz para a previsão de tempo e clima.
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 Matrizes na Meteorologia
Fontes:
Cptec;
Tendência do Vento na América do Sul;
Trombas D’Água no Rio de Janeiro;
Anton.
Campo de Altura Geopotencial Previsão para 26-10 às 00Z
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 Matrizes na Meteorologia
Campo de Altura Geopotencial Previsão para 26-10 às 00Z
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Processos Estocásticos na 
Meteorologia
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
→ Um processo estocástico é uma família de variáveis que evoluem no tempo ou no espaço de acordo com leis probabilísticas.
 O processo é uma família Z = {Z(t), t є T} onde Z(t) é uma variável aleatória.
 → Constituem um ramo da Teoria da Probabilidade.
 → Através destes processos, podemos definir modelos matemáticos para estudar o comportamento de diversos fenômenos. 
 → De uma forma geral, qualquer tipo de evolução temporal que seja analisável através da teoria das probabilidades pode ser chamada de processo estocástico.
Definição
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Uma aplicação de Processos Estocásticos em Meteorologia é a utilização da Cadeia de Markov.
Uma Cadeia de Markov é um caso particular de processo estocástico, onde a previsão de uma determinada variável é influenciada apenas pelos estados anteriores mais próximos. Os estados ainda mais anteriores são irrelevantes para a predição desta variável.
Este processo pode assumir N estados, de forma que a probabilidade de transição de um estado para outro seja representada por uma Matriz de Transição.
Um tipo de Cadeia de Markov é a Cadeia de Markov de 2 Estados, que é utilizada para modelar a persistência de eventos binários.
Definição
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Suponha um evento binário, onde exista o ESTADO 0 e o ESTADO 1 e considere as respectivas probabilidades de transição, ilustrado na Figura abaixo.
Definição
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Assim a Matriz de Transição é dada por:
Definição
Vale lembrar que:
→ A soma das linhas deve sempre ser igual à 1;
→ É necessário estimar apenas 2 parâmetros da cadeia de Markov, já que os 2 pares de probabilidade condicional devem somar 1;
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
De acorde com a Matriz de Transição, o cálculo das probabilidades é feita da seguinte forma:
Definição
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Estimar a probabilidade de transição de um dia de chuva para um dia sem chuva e vice-versa, a partir dos dados abaixo, onde 0 indica um dia sem chuva e 1, um dia com chuva, para a estação de Ithaca (Estados Unidos) para Janeiro de 1987.
Exemplo
Estimar P01 e P10
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Exemplo
Número de dias considerados
N = 30
Número de dias sem chuva onde, no dia anterior, não houve chuva (n00)
	 n00 = 11
Número de dias com chuva onde, no dia anterior, não houve chuva (n01)
	 n01 = 5
Número de dias com chuva onde, no dia anterior, houve chuva (n11)
	 n11 = 10
Número de dias sem chuva onde, no dia anterior, houve chuva (n10)
	 n10 = 4
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Exemplo
P01 é 0,31 e P10 é 0,29
Assim, para este mês fica evidente que a probabilidade de chover sabendo que ontem não choveu, e vice-versa, é menor do que a probabilidade de não chover sabendo que ontem também não choveu e vice-versa.
Esta é uma característica marcante da precipitação.
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Estimar a probabilidade de transição de um dia de chuva para um dia sem chuva e vice-versa, a partir dos dados abaixo, onde 0 indica um dia sem chuva e 1, um dia com chuva, para a estação da Ilha do Governador para Outubro de 2009.
Exemplo
Estimar P01 e P10
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Exemplo
Número de dias considerados
N = 30
Número de dias sem chuva onde, no dia anterior, não houve chuva (n00)
	 n00 = 6
Número de dias com chuva onde, no dia anterior, não houve chuva (n01)
	 n01 = 5
Número de dias com chuva onde, no dia anterior, houve chuva (n11)
	 n11 = 14
Número de dias sem chuva onde, no dia anterior, houve chuva (n10)
	 n10 = 5
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 Processos Estocásticos na Meteorologia
Exemplo
P01 é 0,45 e P10 é 0,26
Vemos para este mês o mesmo comportamento recorrente da chuva presente no mês do exemplo anterior.
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CPTEC – Centro de Previsão de Tempo e Clima;
Trabalho: Tendência do Vento na América do Sul;
Trabalho: Trombas D’Água no Rio de Janeiro;
http://www.iges.org/grads/grads.html
http://www.del.ufms.br/tutoriais/matlab/apresentacao.htm
Laboratório de Meteorologia Aplicada – LMA
ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES - ANTON E RORRES
Statistical Methods in the Atmospheric Sciences – Daniel S. Wilks
Fontes e Bibliografia
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Obrigado!