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Apostila de Estatística

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	0,499499
	3,3
	0,499517
	0,499534
	0,499550
	0,499566
	0,499581
	0,499596
	0,499610
	0,499624
	0,499638
	0,499651
	3,4
	0,499663
	0,499675
	0,499687
	0,499698
	0,499709
	0,499720
	0,499730
	0,499740
	0,499749
	0,499758
	3,5
	0,499767
	0,499776
	0,499784
	0,499792
	0,499800
	0,499807
	0,499815
	0,499822
	0,499828
	0,499835
	3,6
	0,499841
	0,499847
	0,499853
	0,499858
	0,499864
	0,499869
	0,499874
	0,499879
	0,499883
	0,499888
	3,7
	0,499892
	0,499896
	0,499900
	0,499904
	0,499908
	0,499912
	0,499915
	0,499918
	0,499922
	0,499925
	3,8
	0,499928
	0,499931
	0,499933
	0,499936
	0,499938
	0,499941
	0,499943
	0,499946
	0,499948
	0,499950
	3,9
	0,499952
	0,499954
	0,499956
	0,499958
	0,499959
	0,499961
	0,499963
	0,499964
	0,499966
	0,499967
	4,0
	0,499968
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	0,499976
	0,499977
	0,499978
�
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
Determinar o valor, ou valores, de z em cada um dos casos, nos quais as áreas referem-se às limitadas pela curva normal:
Resposta:
a área entre 0 e z é 0,3770			(z= 1,16)
a área a esquerda de z é 0,8621		(z=1,09)
O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino de uma determinada universidade é 75,5kg e o desvio padrão é de 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos normalmente, determinar quantos estudantes pesam:
Resposta
entre 60 e 77,5kg				(P(-2,06<z<0,266)=0,6 => 300 estudantes)
mais do que 92,5kg				(P(z>2,26)=0,0119 = > 6 estudantes)
A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por certa máquina é 0,502 polegadas e o desvio padrão é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso não se verifica, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.						Resposta: 23,02%
Se z é normalmente distribuída, com média zero e variância 1, determinar:
Resposta:
P(z>-1,64) = 							(0,9495)
P(-1,96<z<1,96) =						(0,95)
P(0<z<1,44) = 						(0,4251)
P(-0,85<z<0) = 						(0,3023)
P(-1,48<z<2,05) = 						(0,9104)
P(0,72<z<1,86) = 			 			(0,2044)
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CAPITULO 8
INTRODUÇÃO
	A REGRESSÃO e a CORRELAÇÃO são técnicas utilizadas para estimar uma relação que possa existir na população, enquanto as técnicas anteriormente estudadas (Medidas de Tendência Central e de Dispersão: Média, Desvio Padrão, Variância, etc.) servem para estimar um único parâmetro populacional.
	A análise de correlação e regressão compreende a análise de dados amostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra numa população.
	A correlação mede a força, ou grau, de relacionamento entre duas variáveis; a regressão dá a equação que descreve o relacionamento em termos matemáticos.
	
(1) CORRELAÇÃO
Definição: Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas.
Por exemplo:
 - A circunferência C e o raio r estão perfeitamente correlacionados, porque 
r.
 - As variáveis altura e peso de indivíduos revelariam alguma correlação.
Diagrama de dispersão: O diagrama de dispersão é um gráfico onde pontos no espaço cartesiano XY são usados para representar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas medidas em um conjunto de dados. 
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Por exemplo:
Um dos objetivos dos pesquisadores neste estudo é encontrar uma maneira de conhecer o peso do urso através de uma medida mais fácil de se obter do que a direta (carregar uma balança para o meio da selva e colocar os ursos em cima dela) como, por exemplo, uma medida de comprimento (altura, perímetro do tórax, etc.). 
O problema estatístico aqui é encontrar uma variável que tenha uma relação forte com o peso, de modo que, a partir de seu valor medido, possa ser calculado (estimado) o valor peso indiretamente, através de uma equação matemática. 
O primeiro passo para encontrar esta variável é fazer o diagrama de dispersão das variáveis candidatas (eixo horizontal) versus o peso (eixo vertical), usando os pares de informações de todos os ursos. Você pode tentar as variáveis: idade, altura, comprimento da cabeça, largura da cabeça, perímetro do pescoço e perímetro do tórax. 
A Figura  mostra a relação entre peso e altura e entre peso e perímetro do tórax. 
Analisando o gráfico:
1) Podemos ver que, tanto a altura quanto o perímetro do tórax são fortemente associados ao peso do urso, no sentido de que quanto mais alto o urso ou quanto maior a medida de seu tórax, mais pesado ele será. 
2) Note que este crescimento é linear para o perímetro do tórax e não-linear para a altura. 
3) Os pontos estão mais dispersos no gráfico da altura, a variável mais adequada para estimar o peso é o perímetro do tórax. 
Observação: A correlação entre duas variáveis pode ser POSITIVA, NULA ou NEGATIVA. 
 Gráfico 1 (+) Gráfico 2 (-)
Gráfico 3 (nula)
Cálculo do Coeficiente de Correlação Linear de Pearson
Definição: Dado n pares de valores (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), o coeficiente entre as duas variáveis X e Y é dado pela média dos valores dos produtos padronizados das variáveis.
 
Indica o grau de intensidade entre duas variáveis e ainda o sentido dessa correlação (positivo ou negativo).
Só deve ser utilizado com variáveis contínuas.
A partir dos valores de r, podemos verificar o tipo da correlação existente entre as variáveis estudadas, conforme tabela seguinte:
�
Exemplo: Considerando uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística:
 
Calcule o coeficiente de correlação e interprete seu valor.
Conclusão: O resultado nos indica uma correlação linear positiva altamente significativa entre as duas variáveis.
Se o relacionamento entre X e Y for consistente e necessitamos fazer uma predição para o valor de Y, conhecido um valor de X, através de uma formula matemática adequada, podemos aplicar a chamada ANÁLISE DE REGRESSÃO SIMPLES.
�
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1) Observou-se que o volume mensal de lixo gerado em uma cidade, em função do número de dormitórios das residências, é o seguinte (em m3):
	No Dormitórios
	1
	2
	3
	4
	Volume de lixo
	0,15
	0,29
	0,45
	0,57
Calcular o coeficiente de correlação de Pearson. (0,9986)
2) A função de demanda de um produto está representada na tabela abaixo:
	Preço (R$)
	 56,00
	60,00
	63,00
	68,00
	74,00
	Demanda (un.)
	100
	93
	87
	81
	75
Calcular o coeficiente de correlação de Pearson. 	(-0,983)
3) Os gastos com propaganda e o respectivo volume de vendas gerado, de um certo produto, são dados abaixo:
	Gastos com propaganda (em milhares de R$)
	20
	40
	10
	100
	70
	Volume de vendas (em milhares de R$)
	1.110
	1.250
	1.000
	1950
	1600
Calcular o coeficiente de correlação de Pearson. 	(0,9969)
�
(2) REGRESSÃO
Objetivo: A regressão linear simples constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática linear (linha reta) que descreva o relacionamento entre duas variáveis.
Para obter uma reta de regressão, n pares de observações das variáveis são utilizados. Considerando Y como a variável dependente ou variável resposta e, X como a variável independente ou preditora, a reta de regressão é dada por:
Y = (+ (X + u
( é o coeficiente linear (intercepto), ou seja, é o ponto onde a reta corta o eixo Y; 
( é o coeficiente angular, ou seja, determina a inclinação da reta.

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