Cálculo 2 - Prof. José Jozelmo - Prova 2 resolvida

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Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET MG
Departamento de Matemática - DM
Disciplina: Cálculo 2
Prof.: José Jozelmo G. Vieira
Segunda Prova - 25 pontos - 24/10/2018
Observações:
• Respostas sem justificativas não serão consideradas;
• Não é permitido a comunicação entre os alunos durante a prova;
• Não é permitido o uso de quaisquer aparelhos eletrônicos durante a prova, inclusive calculadora;
• A interpretação das questões faz parte da avaliação.
Aluno:
Questão 1. Calcule
ZZ
D
y 5 + xy 4
x5
dA, em que D é a região fechada no primeiro quadrante, limitada
pelas parábolas y 2 = x , y 2 = 4x e pelas retas y = 3x e y = x .
Questão 2. Calcule
ZZZ
E
24zdV , em que E é o sólido limitado por x + y + z = 2, x = 0, y = 0,
z = 0 e z = 1.
Questão 3. Seja E é a região do espaço limitada pelo paraboloide z = 4 − x2 − y 2 e o plano
z = 4− 2x . Como mostra a figura abaixo. Calcule o volume do sólido E.
x
y
z
Questão 1. Solução:
x
y
R
y 2 = x
y 2 = 4x
y = 3x
y = x
=⇒
u
v
D
1
1 2
4
Podemos usar a mudança de variáveis u = y
x
e v = y
2
x
. Segue que x = v
u2
e y = v
u
e o jacobiano da
transformação é
@(x; y)
@(u; v)
=
˛˛˛˛
˛−2vu3 − vu21
u2
1
u
˛˛˛˛
˛ = −2vu4 + vu4 = − vu4 :
Logo, ZZ
R
y 5 + xy 4
x5
dA =
ZZ
R
“y
x
”5
+
„
y
x
«4ff
dA =
ZZ
D
“
u5 + u4
”˛˛˛˛
− v
u4
˛˛˛˛
dvdu
=
Z 3
1
Z 4
1
(u + 1)vdvdu =
»
(u + 1)2
2
–3
1
·
»
v 2
2
–4
1
= 45 :
Questão 1. Solução: A região E pode ser descrita por
E =
n
(x; y ; z); 0 ≤ x ≤ 2− z; 0 ≤ y ≤ 2− x − z; 0 ≤ z ≤ 1
o
x
y
z
2
2
2
1
y = 2− x − z
x
z
21
1
x = 2− z
Assim, ZZZ
E
24dV =
Z 1
0
Z 2−z
0
Z 2−x−z
0
24zdydxdz
=
Z 1
0
Z 2−z
0
24z(2− x − z)dxdz =
Z 1
0
24z
»
(2− z)x − x
2
2
–2−z
0
dz
= 12
Z 1
0
z(2− z)2dz = 11
Questão 3. Solução: A interseção entre o plano z = 4− 2x e o paraboloide z = 4− x2− y 2 nos
dá a circunferência x2 + y 2 = 2x que a fronteira da região D, projeção do sólido E sobre o plano
xy .
x
y
z
D
x
y
D
x2 + y 2 = 2x
Assim, o volume do sólido E é dado por
Volume(E) =
ZZ
D
“
4− x2 − y 2 − (4− 2x)
”
dA =
ZZ
D
(2x − x2 − y 2)dA
Agora, em coordenadas polares, a equação do círculo x2 + y 2 = 2x é r = 2 cos „. Assim, a região
D pode ser descrita por
D =
n
(r; „); −ı
2
≤ „ ≤ ı
2
; 0 ≤ r ≤ 2 cos „
o
:
Segue que o volume do sólido E será
Volume(E) =
ZZ
D
(2x − x2 − y 2)dA =
Z ı
2
−ı
2
Z 2 cos „
0
(2r cos „ − r 2)rdrd„
=
Z ı
2
−ı
2
»
2
3
r 3 cos „ − r
4
4
–2 cos „
0
d„ =
4
3
Z ı
2
−ı
2
cos4 „d„
=
1
3
Z ı
2
−ı
2
(1 + 2 cos „ + cos2 „)d„
=
1
3
»
3„
2
+ sen 2„ +
1
8
sen 4„
–ı
2
−ı
2
=
ı
2
: