Lista_CALCULO 2(CFVV) com gabarito.pdf

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Lista 2 - CFVV - prof. Alexandre
Turma: 3◦Semestre Engenharia(Turmas : Civil e Mecaˆnica)
Assunto : Func¸o˜es de duas Varia´veis, Domı´nio , Imagem , Gra´ficos e Curvas de Nı´vel
1 Seja f : R2 −→ R uma func¸a˜o de duas varia´veis definida por f(x, y) = x2 + 3xy + y2 , calcule os
valores de :
(a) f(0, 0) (b) f(1, 2) (c) f(−1, 2) (d) f(4, 0) (e) f(0, 4) (f) f(√2,√2)
2 Seja f : R2 −→ R uma func¸a˜o de duas varia´veis definida por f(x, y) = ln(x−y) . Escreva o domı´nio
de f e em seguida fac¸a um esboc¸o no plano R2 desse domı´nio.
3 Escreva o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) =
√
4− x2 − y2 e em seguida fac¸a um esboc¸o do gra´fico do
domı´nio.
4 Escreva o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) = ln(x + y − 3) e em seguida fac¸a um esboc¸o do gra´fico do
domı´nio.
5 Dada a func¸a˜o f(x, y) = y2 + 2x− 16 . Obtenha:
(a) O domı´nio dessa func¸a˜o (b) f(8, 0)
6 (a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 + 2
(b) Escreva o conjunto imagem (c) Represente as curvas de n´ıvel para 2, 3, 6, 11.
7 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f : R2 −→ R tal que f(x, y) = 5.
8 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f : R2 −→ R tal que f(x, y) = x2.
9 Se z = f(x, y) = y2 − x2 fac¸a o esboc¸o da curva de n´ıvel de f para k = 0.
10 Desenhe algumas curvas de n´ıvel da func¸a˜o f : R2 −→ R tal que f(x, y) = x2 + y2.
11 Seja a func¸a˜o f : R2 −→ R tal que f(x, y) = 1
x2 + y2
. Escreva a equac¸a˜o das curvas de n´ıvel de f
e fac¸a um esboc¸o de algumas curvas.
12 Desenhe as curvas de n´ıvel da func¸a˜o f : R2 −→ R tal que f(x, y) = 1− x2 − y2 para k = 1, 1
2
, 5
9
.
13 Obtenha o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) =
√
16− x2 − y2. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico do domı´nio
desa func¸a˜o.
14 Seja a func¸a˜o de duas varia´veis x e y f(x, y) =
x + y
x− y . Calcule :
(a) f(−3, 4) (b) f(1
2
, 1
3
) (c) f(x + 1, y − 1)
15 Dada a func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 + x2y . Obtenha fx e fy.
16 Determine as derivadas parciais de primeira ordem, em x e em y das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x, y) = 5x4y2 +xy3 +4 (b) f(x, y) = cos(xy) (c) f(x, y) =
x3 + y2
x2 + y2
(d) f(x, y) =
x− y
x + y
(e) f(x, y) = e
−x2−y2
17 Uma placa fina de metal, localizada no plano XY , tem temperatura T (x, y), em ◦C, que depende
da localizac¸a˜o (x, y) do ponto na superf´ıcie dessa placa. Sabendo-se que:
T (x, y) =
100
x2 + y2
e que as Curvas de Nı´vel de T sa˜o chamadas de isote´rmicas porque todos os pontos
numa isote´rmica tem a mesma temperatura.
(a) Calcule a temperatura nos pontos: (1, 1) e (3, 4).
(b) Fac¸a um esboc¸o das curvas de n´ıvel para k = 1, k = 4 e k = 100
9
18 Um tanque para estocagem de oxigeˆnio l´ıquido num hospital deve ter a forma de um cilindro
circular reto de raio r e de altura l em metros(m :metros), com um hemisfe´rio em cada extremidade. O
volume do tanque e´ descrito em func¸a˜o da altura l e do raio r. Escreva tal func¸a˜o, admitindo V (l, r) como
o volume do tanque, em m3 e em seguida, calcule V (8, 1).
19 Um circuito ele´trico simples e´ constitu´ıdo de 4 resistores como na figura:
A intensidade da corrente I neste circuito e´ func¸a˜o das resisteˆncias R
i
(i = 1, 2, 3, 4)e a tensa˜o na fonte
e´ dada por E. Escreva a func¸a˜o I = f(R1 , R2 , R3 , R4). Em seguida, calcule o valor da corrente el´trica
nesse circuito, sabendo-se que R1 = 1, 0Ω, R2 = 2, 0Ω, R3 = 3, 0Ω e R4 = 4, 0Ω e E = 20, 0V .
Gabarito:(LISTA 2)
1
(a) 0 (b) 11 (c) −1 (d) 16 (e) 16 (f) 10
2 Df = {(x, y) ∈ R2 | y < x}
3 Df = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4}
4 Df = {(x, y) ∈ R2 | x+ y > 3}
5 (a) R2 (b) 0
6 (a) Imf = {z ∈ R | z ≥ 2}
7 O gra´fico e´ um plano paralelo ao plano XY passando passando pelos pontos (a, b, 5) com a ∈ R e b ∈ R.
8 O gra´fico e´ um cilindro parabo´lico onde os ve´rtices de todas as para´bolas esta˜o no eixo OY.
9 O gra´fico da curva de n´ıvel constitui um par de retas concorrentes parrasndo pela origem .
10 Trace circunfereˆncias conceˆntricas x2 + y2 = k
11 Trace circunfereˆncias conceˆntricas x2 + y2 =
1
k
e obserce que quando k cresce x e y decrescem.
12 Circunfereˆncias conceˆntricas e o ponto de origem tambe´m , para o caso k = 1.
13 Df = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 16}. Gra´fico: Disco de raio R = 4
14 (a) −1
7
(b) 5 (c)
x+ y
x− y + 2.
15 fx = 2x+ 2xy e fy = 2y + x
2
16
(a) fx = 20x
3y2 + y3 e fy = 10x
4y + 3xy2
(b) fx = −ysen(xy) e fy = −xsen(xy)
(c) fx =
x4 + 3x2y2 − 2xy2
(x2 + y2)2
e fy =
2x2y(1− x)
(x2 + y2)2
(d) fx =
2y
(x+ y)2
e fy = − 2x
(x+ y)2
(e) fx = −2xe−x
2−y2
e fy = −2ye−x
2−y2
17
(a)T (1, 1) = 25◦C e T (3, 4) = 4◦C (b) Circunfereˆncias de raios 10 , 5 e 3, respectivamente.
18 V (l, r) =
piR2(3l + 4R)
3
; para V (8, 1) =
28pi
3
m3
19 I(R1 , R2 , R3 , R4) =
E
(R1 +R2 +R3 +R4)
e I(1, 2, 3, 4) = 2, 0A