Carga Axial e Esforços - Teoria e Exercícios Propostos e Resolvidos (Com gabarito)

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Universidade Federal do Vale do São Francisco 
Colegiado de Engenharia Civil 
Resistência dos Materiais I 
Prof.: Bruno Ceotto 
Prof.: João Sedraz 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 
Juazeiro/ 2008 
Resistência dos Materiais I 
Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 
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SUMÁRIO 
CAPÍTULO 01 
 
CONCEITO DE TENSÃO .......................................................................................................... 3 
1.1. Introdução ......................................................................................................................................... 3 
1.1.1. Problemas tratados pela Resistência dos materiais.....................................................................................3 
1.1.2. Tipos de elementos estruturais .....................................................................................................................3 
1.1.3. Hipóteses simplificadoras para o estudo dos corpos deformáveis ..............................................................4 
1.1.4. Classificação dos esforços externos.............................................................................................................4 
1.1.5. Equilíbrio de um corpo deformável ...............................................................................................................5 
1.1.6. Determinação dos esforços internos.............................................................................................................5 
1.2. Forças Axiais e Tensões Normais ................................................................................................... 7 
1.3. Tensões Cisalhantes......................................................................................................................... 8 
1.4. Tensões Admissíveis, Tensões Últimas e Coeficiente de Segurança .......................................... 9 
1.5. Projeto de acoplamentos Simples ................................................................................................. 10 
1.6. Tensões num Plano Oblíquo ao Eixo ............................................................................................ 11 
CAPÍTULO 02 
 
RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES...................................................................... 22 
2.1. Diagrama Tensão Deformação.................................................................................................... 22 
2.1.1. Ensaio de Tração e Compressão para Cargas Axiais................................................................................22 
2.1.2. Diagrama Tensão - Deformação: Regimes Elástico e Plástico..................................................................22 
2.1.3. Tipos de Fratura ..........................................................................................................................................23 
2.2. Propriedades Mecânicas dos Materiais......................................................................................... 24 
2.3. Lei de Hooke.................................................................................................................................... 24 
2.3.1. Obtenção do alongamento elástico de barras ...........................................................................................25 
2.3.2. Recipientes de paredes finas ......................................................................................................................33 
2.3.3. Deformação Lateral - Coeficiente de Poisson ............................................................................................35 
2.3.3. Lei de Hooke Generalizada - Carregamento Triaxial .................................................................................36 
CAPÍTULO 03 
 
TORÇÃO EM BARRA DE SEÇÃO CIRCULAR ............................................................................. 38 
3.1. Fórmula Coulomb para torção ....................................................................................................... 39 
3.2. Observações sobre tensões cisalhantes causas por torção....................................................... 40 
3.3. Ângulo de torção no regime elástico............................................................................................. 43 
3.4. Projeto de Eixos de Transmissão de Potência ............................................................................. 46 
CAPÍTULO 04 
 
FLEXÃO PURA E SIMPLES EM VIGAS..................................................................................... 47 
4.1. Deformação por Flexão de uma Viga............................................................................................. 48 
4.2. Tensões no regime elástico ........................................................................................................... 49 
CAPÍTULO 05 
 
CISALHAMENTO EM VIGAS ................................................................................................... 52 
5.1. Tensão cisalhante em um plano horizontal .................................................................................. 52 
5.2. Vigas Compostas ............................................................................................................................ 55 
CAPÍTULO 06 
 
ESTADO DE TENSÕES.......................................................................................................... 58 
6.1. Estado geral de tensões ................................................................................................................. 58 
6.2. Estado plano de tensões ................................................................................................................ 58 
6.2.1. Circulo de Mohr ...........................................................................................................................................60 
6.2.2. Tensões e principais....................................................................................................................................61 
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CAPÍTULO 01 
 
CONCEITO DE TENSÃO 
1.1. Introdução 
Na Mecânica Geral, como apresentados na disciplina Mecânica dos Sólidos I - Estática, os 
corpos sólidos, ou elementos estruturais, são tratados como sendo corpos rígidos ou indeformáveis, já o 
estudo dos corpos sólidos deformáveis é realizado pela Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis. 
Este ramo da Mecânica reúne, entre outras disciplinas, a Resistência dos Materiais e a Teoria da 
Elasticidade. 
A Resistência dos Materiais estuda tanto a resistência dos elementos estruturais, para que não 
venham a se romper, como também a rigidez dos mesmos, a fim de que suas deformações sejam 
compatíveis com o uso a que se destinam. 
Os métodos de cálculo utilizados na Resistência dos Materiais são deduzidos a partir de uma 
série de hipóteses simplificadoras, baseadas em resultados comprovados experimentalmente. 
1.1.1. Problemas tratados pela Resistência dos materiais 
Como citado anteriormente, o estudo da Resistência dos Materiais busca principalmente garantir 
que os elementos estruturais não venham a se romper e que as suas deformações sejam compatíveis 
com o uso a que se destinam. Dessa forma, os problemas tratados nessa disciplina serão de Verificação 
de estabilidade e Dimensionamento dos elementos estruturais. 
 
Verificação de estabilidade: a partir do material e das dimensões do elemento estrutural, são 
pesquisados os esforços externos máximos (cargas) que podem atuar sobre ele com segurança, 
de maneira a produzir um equilíbrio estável. 
 
Dimensionamento: a partir dos esforços externos atuantes no elemento estrutural e das 
propriedades físicas do seu material constituinte, são calculadas as suas dimensões, assimcomo as deformações nele produzidas, com vistas a se obter segurança e economia; 
1.1.2. Tipos de elementos estruturais 
Em função de suas dimensões, os elementos estruturais podem ser classificados em: 
 
Barras: uma dimensão sobressai perante as outras duas. 
 
Fig. 1- Elemento Barra 
 
Lâminas: duas dimensões sobressaem perante a terceira. 
 
Fig. 2- Elemento Lâmina 
 
Blocos: as três dimensões são de mesma ordem de grandeza. 
 
Fig. 3- Elemento Bloco 
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1.1.3. Hipóteses simplificadoras para o estudo dos corpos deformáveis 
Entre as hipóteses simplificadoras, adotadas na disciplina Resistência dos Materiais I para o 
estudo dos corpos deformáveis, podemos citar: 
a) Considera-se que todo material é contínuo, homogêneo e isótropo. 
 
Contínuo: a matéria ocupa totalmente o volume do corpo, assim poderemos utilizar 
cálculo infinitesimal. 
 
Homogêneo: tem as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todos os pontos do 
seu volume. 
 
Isótropo: tem essas mesmas propriedades em todas as direções 
b) As deformações são muito pequenas em relação às dimensões do corpo - Devido a isto, 
pode-se desprezar a mudança que ocorre no ponto de aplicação do carregamento devido às 
deformações. 
c) Hipótese de Bernoulli - As seções permanecem planas e normais ao eixo longitudinal da 
peça após as deformações. 
d) Princípio de Saint Venant - Em regiões do corpo distantes do ponto de aplicação das ações 
externas, os efeitos dessas ações dependem muito pouco do modo da sua aplicação. 
e) Princípio da superposição dos efeitos - O efeito de um conjunto de esforços agindo 
simultaneamente sobre um corpo é igual à soma dos efeitos de cada esforço agindo 
isoladamente, em ordem arbitrária (válido para pequenas deformações). 
1.1.4. Classificação dos esforços externos 
a) Quanto ao tipo 
 Ativos 
 
cargas, peso próprio. 
 Reativos 
 
reações de apoio 
b) Quanto à natureza 
 
Forças - cargas 
 Binários 
 
momentos ou conjugados 
c) Quanto à variação no tempo 
 
Permanente - praticamente não varia de intensidade e ponto de aplicação 
 Dinâmico - varia de intensidade 
 De impacto - desenvolve vibrações na estrutura 
 Móveis ou acidentais - são as sobrecargas, podendo ou não variar de posição. 
d) Quanto à forma de aplicação 
 
Concentrados 
 
modelo matemático em que se supõem 
a aplicação de carga em um único ponto. 
Distribuídos 
 
Linearmente - forças referidas por unidade de 
comprimento. Ex.: Carga de alvenaria 
 
Superficialmente - forças referidas por unidade 
de área. Ex.: Pressão de vento, empuxo 
 
Volumetricamente - forças referidas por unidade 
de volume. Ex.: Forças de corpo Fig. 4- Classificação de esforços.
 
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1.1.5. Equilíbrio de um corpo deformável 
O equilíbrio de um corpo requer tanto equilíbrio de forças, para evitar que o corpo sofra 
translação, como o equilíbrio de momentos, para evitar a rotação do corpo. Essas condições podem 
ser expressas matematicamente por meio de duas equações vetoriais: 
 
 Eq. 1.
 
Equilíbrio estático 
 
Num sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O, as duas equações anteriores 
podem ser escritas na forma escalar, como seis equações, como a seguir: 
 
 Eq. 2.
 
Equilíbrio estático no espaço. 
Tipos de vínculos e reações de apoio 
No quadro abaixo, apresentamos os tipos de apoios mais encontrados nos problemas 
bidimensionais. 
Quadro 1. Principais tipos de apoio bidimensionais. 
1.1.6. Determinação dos esforços internos 
Podemos determinar os esforços internos de um estrutura a partir do método das seções. Esse 
método é baseado no princípio do equilíbrio estático, ou seja, qualquer parte de um corpo sujeito à 
ação de um sistema de forças em equilíbrio, estará também em equilíbrio sob a ação das forças externas 
diretamente aplicadas, e das forças internas que agem na superfície de separação (seção plana). 
Método das Seções: 
Fazemos uma seção ou corte , dividindo o corpo em duas partes; estas partes são então 
separadas, e o diagrama de corpo livre de uma das partes é desenhado. 
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Na figura abaixo, as forças agindo na área exposta representam os efeitos da parte superior 
atuando sobre a parte inferior. 
Fig. 5. Aplicação do Método das Seções 
Decompondo-se a força resultante e o momento em suas componentes normal e tangente ao 
plano secionado (d), ficam definidos quatro tipos diferentes de esforços internos: 
 
Força Normal, N: provoca o afastamento ou a aproximação de duas 
seções adjacentes. 
 
Fig. 6. Análise de um elemento submetido apenas por Força Normal 
 
Força de cisalhamento, V: promove o deslizamento relativo de uma 
seção em relação à outra. 
 
Fig. 7. Análise de um elemento submetido apenas por Força de Cisalhamento 
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Momento Torçor ou Torque, T: provoca a rotação relativa de duas 
seções em torno de um eixo que lhes é perpendicular; 
 
Fig. 8. Análise de um elemento submetido apenas por Momento Torçor 
 
Momento Fletor, M: tende a fletir o corpo em relação ao eixo 
localizado no próprio plano da seção. 
Convenção de sinais: 
 
Fig. 9. Convenção de sinais para esforços internos. 
Tipos de Flexão 
Pura - quando atua somente momento fletor (M); 
Simples - quando atuam simultaneamente momento fletor e força cortante (M e V); 
Composta - quando atua momento fletor, força cortante, força normal e/ou momento torçor 
(M, V, N e/ou T). 
1.2. Forças Axiais e Tensões Normais 
Seja a barra prismática (barra com seção transversal constante) da figura abaixo. Se 
desprezarmos o peso próprio da barra e a seccionarmos como indicado, então, para o equilíbrio do 
seguimento inferior (b), a resultante da força interna que atua na seção transversal deverá ser igual em 
intensidade, colinear e de sentido oposto ao da força externa que atua na extremidade inferior da barra. 
 
Fig. 10. Forças Axiais e Tensões Normais. 
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Para determinarmos a distribuição média de tensão que atua na área da seção transversal da 
barra, é necessário o atendimento das seguintes hipóteses simplificadoras: 
 
A barra deve permanecer reta durante a aplicação do carregamento; 
 
seção transversal deve permanecer plana durante a deformação (ao ser carregada a barra muda 
o seu volume e a sua forma). Para tanto não serão consideradas as regiões próximas das suas 
extremidades, sujeitas a distorções localizadas (c); 
 
Para que a barra sofra deformação uniforme, o seu material deve ser homogêneo e isótropo. 
A região intermediária da barra (c) está submetida a uma deformação uniforme e constante, que 
é conseqüência de uma tensão axial constante . 
 
Fig. 11. Tensão Normal. 
Devido a isto, cada elemento de área A da seção transversal da Fig. 11 está sujeito a uma 
força F = A.
 
Se A dA e conseqüentemente F dF, e sendo constante, temos que: 
dF = 
 
dA 
 
dF = A 
 
dA 
P = 
 
A = P
 
 A 
 
 Eq. 3.
 
Tensão Normal. 
Onde: 
 = tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal; 
P = resultante da força normal interna, aplicada nocentróide da seção transversal; 
A = área da seção transversal da barra. 
1.3. Tensões Cisalhantes 
Seja a barra da figura a seguir, submetida ao cisalhamento direto da força F. Admitindo-se que 
seus apoios sejam rígidos e que a força F seja suficiente grande, sua ação provocará a deformação e 
falha desta barra ao longo dos planos AB e CD. 
 
Fig. 12. Tensão Cisalhante. 
O DCL (diagrama de corpo livre) do segmento central da barra, situado entre os apoios (b), 
indica que uma força de cisalhamento V = F/2 deve ser aplicada em cada seção de corte, para que seja 
mantido o equilíbrio estático vertical deste segmento. 
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A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área secionada é definida por (c): 
 méd = V
 
 A 
Eq. 4.
 
Tensão Cisalhante.
 
 
Onde: 
 méd = tensão de cisalhamento média na seção, 
 admite-se ter o mesmo valor em qualquer 
 ponto da seção transversal de corte; 
V = resultante interna da força de cisalhamento na seção de corte; 
A = área da seção transversal de corte. 
Esse tipo de cisalhamento ocorre freqüentemente em vários tipos de acoplamentos simples que 
usam parafusos, pinos, colas, soldas, etc. 
Em todos estes casos, no entanto, a adoção do valor de uma tensão de cisalhamento média, 
 
méd, é apenas aproximada. 
1.4. Tensões Admissíveis, Tensões Últimas e Coeficiente de Segurança 
Para que se possa garantir a segurança dos elementos estruturais ou mecânicos, faz-se 
necessário escolher uma tensão admissível que restrinja a carga aplicada a um valor inferior ao da carga 
que o elemento possa suportar. Podem-se citar as seguintes razões para a adoção dessa prática: 
 
A carga para a qual o elemento foi projetado pode ser diferente do carregamento realmente 
aplicado; 
 
As dimensões da estrutura ou das peças que a compõem podem apresentar diferenças devido a 
erros de montagem e/ou fabricação; 
 
Ocorrência de cargas acidentais, de impacto ou vibrações desconhecidas não consideradas em 
projeto; 
 
Corrosão, deterioração ou desgaste provocado por agentes atmosféricos; 
 
Materiais que por sua natureza podem apresentar grande variação em suas propriedades 
mecânicas, tais como: madeiras, concretos, etc. 
Obtém-se carga admissível de projeto, Fadm, a partir da carga de ruptura, Frup, obtida em testes 
experimentais, por meio da adoção do chamado fator de segurança, F.S. 
O fator de segurança, F.S. é selecionado com base na experiência, a fim de que as incertezas 
mencionadas anteriormente sejam contempladas. Este fator é expresso matematicamente pela seguinte 
expressão: 
 
Eq. 5.
 
Fator de Segurança.
 
De igual maneira, também podemos expressar o fator de segurança como a relação entre a 
tensão de ruptura e a tensão admissível, ou seja: 
 
ou 
 
Eq. 6.
 
Fator de Segurança.
 
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1.5. Projeto de acoplamentos Simples 
Admitindo-se as hipóteses simplificadoras em relação ao comportamento do material, as 
equações 
 
= P/A e med = V/A podem ser utilizadas para análise ou projeto de acoplamentos ou 
elementos mecânicos. 
Se um elemento estiver sujeito a uma força normal em uma seção, a área requerida da seção 
será dada por: 
A= P/ adm Eq. 7.
 
Acoplamento submetido a uma tensão normal.
 
Por outro lado, se a seção estiver sujeita a uma força de cisalhamento, a área requerida da 
seção será: 
A= P/ adm Eq. 8.
 
Acoplamento submetido a uma tensão cisalhante. 
a) Elemento sob Tração 
Seja a barra da Fig. 13a. Na seção intermediária a-a, a distribuição de tensão é uniforme sobre a 
seção transversal, e a área requerida A é determinada como mostrado na Fig. 13b. 
 
Fig. 13. Dimensionamento de um elemento sob tração. 
b) Acoplamento submetido a Cisalhamento 
Seja a junta sobreposta mostrada na Fig. 14a, na qual a força de atrito entre as chapas seja 
desprezível. 
O DCL do corte que passa entre as chapas e através do parafuso é mostrado na Fig. 14b. O 
parafuso está submetido à força de cisalhamento interna V = P na seção transversal. Supondo que a 
tensão de cisalhamento agindo nesta seção seja uniformemente distribuída na seção transversal, a área 
requerida A é determinada como mostrado na Fig. 14c. 
 
Fig. 14. Dimensionamento de um elemento sob cisalhamento. 
c) Área Requerida para Resistir ao Esmagamento 
Para se evitar o esmagamento ou a deformação local excessiva em uma ou em ambas as 
superfícies em contato, é necessário determinar a área de apoio em relação ao material menos 
resistente da superfície de contato. 
Supondo que a tensão admissível de apoio do concreto seja menor que a da chapa de base, e 
que a tensão de apoio seja uniformemente distribuída entre a chapa e o concreto, a área A da chapa da 
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base da coluna B é determinada pela tensão de apoio admissível do concreto como mostrado na figura a 
seguir. 
 
Fig. 15. Dimensionamento de um elemento sob esmagamento. 
d) Área Requerida para Resistir ao Cisalhamento Provocado por Carga Axial 
Seja a haste de aço engastada em concreto e carregada como mostra a Fig. 16a. O DCL dessa 
haste (Fig. 16b) mostra que uma tensão de cisalhamento atua sobre a área de contato entre a haste e o 
concreto, dada por ( d)l, em que d é o diâmetro da haste e l o comprimento do engaste. Supondo que a 
tensão de cisalhamento seja uniformemente distribuída, podemos obter A = V/ adm; e assim, desde que 
d e adm sejam conhecidos, podemos calcular o valor de l, conforme mostrado na Fig. 16b. 
 
Fig. 16. Dimensionamento de um elemento sob cisalhamento provocado por uma carga axial. 
1.6. Tensões num Plano Oblíquo ao Eixo 
As tensões num plano oblíquo ao eixo de aplicação de uma determinação força pode ser 
calculada de acordo ao que está apresentado a seguir. 
 
 Componentes normal e tangencial 
da carga P no plano oblíquo. 
 
 
As tensões normal e tangencial médias no 
plano oblíquo ao eixo são: 
 
 
Fig. 17. Tensões em planos 
inclinados.
 
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Tensões Máximas 
A partir das deduções realizadas anteriormente, podemos determinas as tensões máximas 
determinadas pela aplicação de uma força da seguinte maneira. 
 
As tensões normal e tangencial num 
plano oblíquo a um eixo são expressas por: 
 
 
A tensão normal máxima ocorre para = 0º: 
 
 
A tensão tangencial máxima ocorre para 
 = + 45o: 
 
 
Exercício Resolvido 1 
Seja o guindaste da figura abaixo. Se o motor levanta a carga W de 500 lb com velocidade constante, 
determinar a resultante das cargas internas que atua na seção transversal no ponto C. Desprezar o peso 
das roldanas e da viga. 
 
Solução: 
- Análise do DCL do segmento à esquerda do ponto C. 
- Equações de equilíbrio estático: 
Fx = 0; 500 lb + NC = 0 NC = 500 lb 
Fy = 0; 500 lb VC = 0 VC = 500 lb 
MC = 0; 500 lb(4,5 pés) 500 lb(0,50 pé) + MC = 0 MC = 2.000 lb.pés 
Fig. 18. Tensões máximas. 
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Exercício Resolvido 2 
Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em G da viga de madeira 
mostrada na figura a seguir. Supor que as articulações A, B, C, D e E sejam acopladas por pinos.Solução: 
- Cálculo da reação em cada um dos apoios: 
- Análise do equilíbrio em B: 
- Análise do DCL do segmento à esquerda do ponto G, conforme figura a seguir. 
- Equações de equilíbrio estático: 
Fx = 0; 7.750 lb + NG = 0 NG = 6.200 lb 
Fy = 0; 
 
 1.500 lb + 7.750 VG = 0 VG = 3.150 lb 
MG = 0; MG (7.750 pés) + 1.500 lb(2 pés) = 0 MG = 6.300 lb.pés 
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Exercício Resolvido 3 
Determinar a resultante dos esforços internos que atuam na seção transversal em B do tubo mostrado 
na figura a seguir. O tubo tem massa de 2 kg/m e está submetido a uma força de 50 N e a um conjugado 
de 70 N.m em sua extremidade A . O tubo está fixado à parede em C. 
Solução: 
Calculando a força concentrada (aplicada no centro de gravidade) equivalente ao peso próprio de cada 
tubo, temos: 
WBD = (2 kg/m)(0,5 m)(9,81 N/kg) = 9,81 N 
WAD = (2 kg/m)(1,25 m)(9,81 N/kg) = 24,525 N 
- Equações de equilíbrio estático: 
Fx = 0 FBx = 0 
Fy = 0 FBy = 0 
Fz = 0 FBz 9,81 N 24,525 N 50 N = 0 FBz = 84,3 N 
Mx= 0 MBx+70 N.m (50N)(0,5m) 24,525 N(0,5m) 9,81 N(0,25m) = 0 MBx = 30,3 N.m 
My = 0 MBy + 24,525 N(0,625 m) + (50N)(0,125 m) = 0 MBy = 77,8 N.m 
Mz = 0 MBz = 0 
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Exercício Resolvido 4 
A barra da figura abaixo tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a tensão 
normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado. 
Solução: 
- Análise do DCL de três segmentos da barra. 
 
A partir dos DCLs apresentados acima, pode-se observar que as forças axiais internas nas regiões AB, 
BC e CD são todas constantes, mas de intensidades diferentes. A maior carga encontra-se no trecho 
BC, onde P = 30 kN. Assim, a maior tensão normal média ocorrerá neste trecho e será dada por: 
MPa,)m,m,(
N)(
A
PBC
BC 78501000350
1030 3
 
Exercício Resolvido 5 
A barra mostrada na Figura 1.24a tem seção transversal quadrada com largura e profundidade de 40 
mm. Para o carregamento mostrado, determinar a tensão normal média e a tensão de cisalhamento 
média que atuam sobre o material 
(a) no plano da seção a-a; 
(b) no plano da seção b-b. 
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Solução: 
- Análise do DCL do segmento à esquerda da seção a-a. 
De acordo com o DCL apresentado, a carga interna resultante consiste apenas na força axial P = 800 N. 
Assim , A tensão normal média nessa seção será dada por: 
kPa)m,m,(
N
A
P 500
040040
800
 
A tensão de cisalhamento média é nula, pois na existe força de cisalhamento nessa seção. 
( 0méd ) 
- Análise do DCL do segmento à esquerda da seção b-b. 
No DCL acima, a barra está secionada e a força norma N e a força cisalhante V atuarão sobre a área da 
seção (b-b) inclinada. Usando os eixos x e y , teremos: 
Fx = 0 N 800N cos 30º = 0 N = 692,8 N 
Fy = 0 V 800N sen 30º = 0 V = 400 N 
Nota: Nesse caso, a área secionada tem largura e comprimento, respectivamente, 
de 40 mm e 46,19 mm (40 mm/sen 60º) 
A tensão normal média nessa seção será dada por: 
kPa)m,m,(
N,
A
N 375
046190040
8692
 
A tensão de cisalhamento média nessa seção será dada por: 
kPa,)m,m,(
N,
A
V
med 5216046190040
00400
 
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Exercício Proposto 1 
Determine os valores e os tipos de esforços no ponto C de cada uma das estruturas abaixo. 
a) 
 
b) 
 
c) d) 
 
Exercício Proposto 2 
Determine o valor da força cortante e do momento fletor nos pontos A, B, C, D e E das vigas ilustradas. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
Exercício Proposto 3 
Ainda de acordo com a questão anterior, trace os gráficos de força cortante em função da posição da 
seção analisada (V x X) e do Momento fletor em função da posição da seção analisada (M x X). 
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Exercício Proposto 4 
Duas barras circulares maciças estão soldadas em B, como mostrado na 
figura. Determine a tensão normal na seção média de cada trecho. Resposta: 
AB = +95,5 Mpa; BC = +113,2 MPa. 
Exercícios propostos 04 e 05. 
Exercício Proposto 5 
Para o problema anterior, determine a intensidade para a força P que provoca nos dois trechos o mesmo 
valor de tensão normal. Resposta: P = 40 kN. 
Exercício Proposto 6 
Sabe-se que a haste BE tem seção transversal retangular uniforme de 
12 X 25 mm. Determine a intensidade P das forças aplicadas, de forma 
que a tensão normal em BE seja de +90 MPa. Resposta: P = 3,79 kN. 
Exercícios propostos 06 e 07. 
Exercício Proposto 7 
Três forças de mesma intensidade, P = 4 kN, estão aplicadas ao mecanismo do problema anterior. 
Determinar a área da seção transversal para a parte uniforme da barra BE, de modo que a tensão 
normal seja de +100 MPa. Resposta: ABE = 285 mm2. 
Exercício Proposto 8 
Determine as tensões normais nas barras CE e DE, sabendo que elas têm 
seções transversais retangulares iguais, de dimensões 20 X 50 mm. 
Resposta: CE = +15 Mpa; DE = +50 MPa. 
Exercícios propostos 08 e 09. 
Exercício Proposto 9 
Sabe-se que as barras tracionadas da treliça do problema anterior serão fabricadas com hastes 
cilíndricas. Determine o diâmetro que leva ao valor de tensão de 100 MPa para a: a) barra EG, b) barra 
FG. Resposta: a) 
 EG = 23,9 mm; b) 
 
FG = 30,9 mm. 
Exercício Proposto 10 
A haste AB será construída em aço, para o qual a tensão última 
normal é de 450 MPa. Determine a área da seção transversal para AB 
admitindo um coeficiente de segurança igual a 3,5. A haste está 
adequadamente reforçada em torno dos pinos A e B. 
Resposta: AAB = 168,2 mm2. 
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19
 
Exercício Proposto 11 
Uma alça de aço ABCD de 1,2 m de comprimento e 10 mm de 
diâmetro é colocada em volta de uma barra de aço circular AC, de 24 
mm de diâmetro. Aplica-se a carga Q por meio dos cabos BE e DF, de 
12 mm de diâmetro. Sabendo-se que para a barra adm = 60 MPa, e 
para a alça e os cabos adm = 180 MPa, determine a maior carga Q 
que pode ser aplicada. Resposta: Q = 16,96 kN. 
Exercício Proposto 12 
As duas partes da peça AB são coladas em um plano que forma um 
ângulo 
 
com a horizontal. As tensões últimas para a união colada valem 
U = 17 MPa e U = 9 MPa. Determine a faixa de valores de 
 
para os 
quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3. 
Resposta: 22,8 
 
 32,1. 
Exercício Proposto 13 
Dimensionar as barras FC e CB da treli»ca representada na 
figura de modo a resistir à ação de uma força indicada P de 
650 kN. Admitir para a tensão admissível um valor de 140 
MPa. 
 Resposta: AFC = 620 mm2 e ACB = 2.790 mm2. 
Exercício Proposto 14 
Uma torre utilizada em uma linha de alta tensão é representada na figura. 
Sabendo-se que a mesma está submetida a uma força horizontal de 540 kN e 
que as tensões admissíveis valem 100 MPa à compressão e 140 MPa à tração, 
respectivamente, qual a área necessária para a seção transversal de cada 
barra? Todas as barras são articuladas. Todas as dimensões estão em metros. 
Resposta: AAD = 3.640 mm2. 
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Exercício Proposto 15 
Determinar a tensão no mastro do guincho representado na figura. 
Todos os elementos estruturais situam-se no mesmo plano vertical e 
estão ligados por articulações. O mastroé constituído por um tubo de 
aço de 200 mm de diâmetro, cuja área transversal é de 6.000 mm2. 
Desprezar o peso próprio dos elementos estruturais. 
Resposta: mastro = 2,5 MPa. 
Exercício Proposto 16 
Uma força de 500 kN é aplicada ao nó B do sistema de duas barras 
articuladas representadas na figura. Determinar a área necessária para 
a seção transversal da barra BC se as tensões admissíveis valem 100 
MPa à tração e 70 MPa à compressão. Resposta: ABC = 745,2 mm2. 
Exercício Proposto 17 
Cada barra da treliça mostrada na figura tem área transversal igual a 1,25 
in2. Se a tensão normal admissível para as barras vale 20 ksi, quer à tração 
quer à compressão, determinar a máxima carga P que pode ser aplicada a 
esta treliça como indicado. Resposta: 15,0 kip. 
Exercício Proposto 18 
As barras AB e BC têm diâmetros de 25 mm e de 18 mm respectivamente. 
Se uma força P = 6 kN é aplicada ao anel em B, determinar a tensão normal 
em cada uma das barras quando 
 
 for igual a 60º. 
Resposta: AB = 21,2 MPa e BC = 23,6 MPa. 
Exercício Proposto 19 
A barra rígida AC é suportada pelos tirantes AB e CD, os quais têm 
respectivamente áreas transversais iguais a 10 mm2 e 15 mm2. 
Determinar a posição d para a carga distribuída de modo que as 
tensões normais nos tirantes sejam iguais. Resposta: d = 0,8 m. 
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21
 
Exercício Proposto 20 
Duas barras de alumínio AB e AC têm, respectivamente, 
diâmetros iguais a 10mm e 8mm. Determinar a maior força 
vertical P que pode ser aplicada ao conjunto como mostrado na 
figura. A tensão normal admissível para o alumínio vale 150 MPa. 
Resposta: 7,54 kN. 
Exercício Proposto 21 
Dois cabos de arco AB e AC são usados para suportar a força P 
indicada na figura. Se ambos os cabos têm tensão admissível à tração 
igual a 200 MPa, determinar o diâmetro mínimo necessário para cada 
um desses cabos quando P = 5 kN. 
Resposta: dAB = 5,26 mm e dAC = 5,48 mm. 
Exercício Proposto 22 
Uma lâmpada de peso igual a 50 lb está suspensa por duas barras de aço e 
ligadas entre si pelo anel em A. Determinar o ângulo de orientação 
 
para a 
barra AC, tal que a tensão normal na barra AC seja o dobro da tensão 
normal na barra AB. Neste caso, qual será a magnitude desta tensão 
normal. O diâmetro de cada barra está mostrado na figura. 
Resposta: = 47,4º; AB = 177 psi e AC = 353 psi. 
Exercício Proposto 23 
Uma lâmpada com massa igual a 80 kg è suportada por duas barras 
AB e BC como mostrado na figura. Se barra AB tem diâmetro de 
10mm e a barra BC de 8mm, determinar que barra está sujeita à 
maior tensão normal. Considerar g = 9,81 m/s2. 
Resposta: Barra AB, AB = 8,05 MPa. 
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22
 
CAPÍTULO 02 
 
RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
Nesse capítulo é realizado um estudo que mostra como a tensão pode ser relacionada com a 
deformação, por meio de métodos experimentais, a fim de se determinar o diagrama tensão-deformação 
para um material específico, assim como as suas aplicações para o dimensionamento e análise de 
problemas de engenharia. 
2.1. Diagrama Tensão Deformação 
2.1.1. Ensaio de Tração e Compressão para Cargas Axiais 
A relação entre as tensões e deformações, para um determinado material, é obtida por meio de 
um ensaio de tração (ou compressão). O ensaio trata-se de um teste experimental de laboratório, no 
qual um corpo-de-prova é colocado em uma máquina de ensaio, onde é submetido a uma força de 
tração (ou compressão) gradualmente crescente. À medida que se aplicam acréscimos de força, são 
medidos os correspondentes acréscimos (ou encurtamentos) sofridos pelo corpo-de-prova, em relação 
ao seu comprimento inicial de referência. Essas medidas podem ser efetuadas por intermédio de 
diversos instrumentos denominados extensômetros. 
Para a análise de tensões e deformações, corpos de prova são ensaiados em laboratório. Os 
ensaios são padronizados: a forma e as dimensões dos corpos de prova variam conforme o material a 
ser ensaiado ou o tipo de ensaio a se realizar. 
Fig. 19.Máquina para ensaio de corpos de prova. Fig. 20. Corpo de prova típico do ensaio de tração. 
2.1.2. Diagrama Tensão - Deformação: Regimes Elástico e Plástico 
Obtido durante o ensaio de corpos de prova, o diagrama de tensão-deformação, é um gráfico 
muito importante em engenharia, pois, permite a determinação de informações sobre a resistência à 
tração ou compressão do material sem considerar o tamanho ou formato físico desse material, ou seja, a 
sua geometria. 
De acordo com a Fig. 21, o diagrama de tensão-deformação, apresenta nas abscissas o valor da 
deformação especifica do material ( = [L-L0]/L0, onde L é o comprimento para uma dada carga e L0 é o 
comprimento original) e nas ordenadas o valor correspondente da tensão causadora da deformação 
( = P/A0, onde P é a carga e A0 é a seção reta do corpo de prova). 
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23
 
Fig. 21. Pontos principais de um diagrama de tensão-deformação. 
No diagrama de tensão-deformação podemos verificar a presença de duas regiões distintas: 
Região Elástica e a Região Plástica. 
 
Região elástica 
 
 é proporcional a => Lei de Hooke: = E. , onde E = módulo de Young; 
 
 A deformação é reversível; 
 
 Ligações atômicas são alongadas mas não se rompem. 
 
Região plástica 
 
 não é linearmente proporcional a . 
 
 A deformação é quase toda não reversível. 
 
 Ligações atômicas são alongadas e rompem-se. 
O diagrama tensão-deformação varia muito de material para material, mas por meio dele é 
possível distinguir duas importantes categorias de materiais: dúcteis e frágeis. Os Materiais dúcteis são 
aqueles que apresentam grandes deformações permanentes antes de romperem-se (ex: o aço e o 
alumínio). Materiais Frágeis são aqueles que se deformam relativamente pouco antes de romper-se, e 
que se rompem bruscamente, sem apresentar sinais consideráveis (ex: concreto, vidro, ferro fundido, 
etc.). 
2.1.3. Tipos de Fratura 
Chamamos de fratura o processo caracterizado pela formação e propagação de fendas no 
material. A fratura de materiais pode assumir dois modos: 
 
Fratura Dúctil 
 
o material deforma-se substancialmente antes da formação da fenda. 
 
O processo desenvolve-se de forma relativamente lenta à medida que a fenda 
se propaga. 
 
Este tipo de fenda é denominado estável porque ela para de se propagar e a 
tensão permanecer constante. 
 
Fratura frágil 
 
O material deforma-se pouco, antes da formação da fenda. 
 
O processo de propagação da fenda pode ser muito veloz, gerando situações 
catastróficas. 
 
A partir de um certo ponto, a fenda é dita instável porque se propagará mesmo 
sem aumento da tensão aplicada sobre o material. 
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24
 
É importante deixar claro que a classificação da fratura não ocorre em função do tipo de material, 
mas, pelo processo de formação e propagação da fenda. Dependendo das condições do teste, o 
comportamento do material pode variar de forma significativa. Um exemplo disso é o vidro. Em 
condições normais de temperatura o vidro se comporta claramente como material frágil, mas, para 
temperatura elevada podemos definir o vidro como um material dúctil. 
2.2. Propriedades Mecânicas dos Materiais 
Ainda de acordo com a Fig. 21, o diagrama tensão-deformação, permite caracterizar diversas 
propriedades do material, que são definidas a seguir. 
a) Limite de proporcionalidade ( P): É a tensão P, correspondente ao ponto P, e representao valor 
máximo da tensão, abaixo da qual o material obedece à Lei de Hooke. 
b) Limite de Elasticidade ( el): Próximo ao ponto P, existe um ponto A na curva tensão-deformação ao 
qual corresponde ao Limite de elasticidade el; ele representa a tensão máxima que pode ser aplicada 
ao material sem que apareçam deformações residuais, ou permanentes, após a retirada integral da 
carga externa. Para muitos materiais, P e el são praticamente iguais; nos casos em que eles são 
diferentes, o limite de elasticidade é maior que o de proporcionalidade. 
c) Limite de escoamento: Tensão correspondente ao ponto Y. A partir desse ponto aumentam as 
deformações sem que se altere, praticamente, o valor da tensão. Quando se atinge o limite de 
escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se. 
d) Limite de resistência ( u): A tensão correspondente ao ponto U (maior tensão atingida no ensaio) 
recebe o nome de limite de resistência. 
e) Limite de ruptura ( r): A tensão correspondente ao ponto B recebe o nome de Limite de ruptura; é 
a que corresponde à ruptura do corpo de prova. 
f) Módulo de elasticidade (E): Representa a constante de proporcionalidade entre a tensão ( ) e a 
deformação ( ) na região elástica. 
2.3. Lei de Hooke 
Esta relação linear, entre os deslocamentos e as cargas axiais, conforme indicada na região 
elástica do diagrama tensão-deformação (Fig. 21), foi apresentada pelo matemático inglês Robert Hooke 
em 1678 e é conhecida como a Lei de Hooke. Para representar esse trecho linear do diagrama tensão-
deformação, pode escrever-se: 
 = E.
 
Eq. 9.
 
Lei de Hooke. 
Módulo de elasticidade longitudinal (E), também chamado de módulo de Young, representa a 
tangente trigonométrica do ângulo que a reta OP forma com o eixo dos 
 
(figuraFig. 21). No quadro a 
seguir apresentamos valores para E de alguns tipos de metais. 
Quadro 2. Módulos de elasticidade de alguns metais. 
Metal Aços Alumínio Bronze Cobre Ferro fundido Latão 
E (GPa) 206,00 68,60 98,00 118,00 98,00 64,00 
 
Note que a unidade de E é a mesma de , isto é, força por unidade de área. Isso se deve ao fato 
de ser adimensional. 
Na Fig. 22 pode-se notar que abaixo da tensão de escoamento, tanto o aço puro como as outras 
ligas de aço, possuem o mesmo módulo de elasticidade. Em outras palavras pode-se dizer que, dentro 
da região linear do diagrama, a capacidade de resistir a deformações é a mesma para todos os aços. 
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25
 
A resistência, ductilidade, resistência a corrosão e outras propriedades físicas podem ser 
modificadas por tratamento térmico, presença de ligas metálicas ou pelo próprio processo de fabricação, 
mas o módulo de elasticidade, não. 
Fig. 22. Diagramas de tensão-deformação para aço puro e para diferentes teores de carbono. 
 
2.3.1. Obtenção do alongamento elástico de barras 
Fig. 23. Alongamento elástico de barras. 
Seja a barra de seção transversal A e comprimento inicial L submetida a um carregamento axial 
P (Fig. 23). Se desprezarmos o peso próprio da barra e considerar que a mesma se encontra em estado 
elástico, pela lei de Hooke, temos: 
L.EA
P
 
 
.E
 
Assim a deformação correspondente ao carregamento P pode ser ser calculada pela seguinte 
equação: 
A.E
L.P
 
Para os casos de variações de carregamento, de seção transversal ou propriedades do material, 
i ii
ii
EA
LP
 
Eq. 10.
 
Obtenção do alongamento elástico de barras. 
Exercício Resolvido 6 
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26
 
A estrutura de aço (E=200 GPa) representada na figura é composta por um elemento AC com diâmetro 
D=25 mm e um elemento CD com diâmetro d=15 mm, sendo carregada conforme indicado. Determine: 
 
(a) O diagrama de esforços normais; 
(b) as tensões normais em cada um dos elementos; 
(c) o deslocamento do ponto D. 
Solução: 
(a) 
(b) 
- Trecho AB: 
MPa,
/)).((
.
AB 312241025
1060
23
3
 
- Trecho BC: 
MPa,
/)).((
.
BC 63041025
1015
23
3
 
- Trecho BC: 
MPa,
/))((
.
CD 59542010
1030
23
3
 
(c) 
0,7mmm.,
).(
..
).,(
..
).,(
..
EA
LN
D
CDBCAB
i ii
ii
D
3
23
33
23
33
23
33
9
1070
1010
1010001030
10512
105001015
10512
105001060
10200
1 
Exercício Proposto 24 
Em uma barra de alumínio de 12 mm de diâmetro são feitas duas marcas distanciadas de 250 mm. 
Determinar o módulo de elasticidade longitudinal do alumínio usado, quando esta barra for tracionada 
por uma força igual a 6.000 N e se observar que as marcas estarão distanciadas de 250,18 mm. 
Resposta: E = 73,7 GPa. 
Exercício Proposto 25 
Uma força de tração de 9 kN vai ser aplicada a um fio de aço de 50 m de comprimento. Determine o 
menor diâmetro a ser adotado para o fio, se a tensão normal não pode exceder a 150 MPa e a 
deformação do fio deve ser no máximo de 25 mm. Considerar E = 200 GPa. 
Resposta: d = 10,70mm. 
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Exercício Proposto 26 
Duas barras de 36 mm de diâmetro, ABC de aço e CD de bronze, são 
ligadas em C e formando a barra ABCD de 7,5 m de comprimento. 
Determinar, para a carga aplicada e desprezando o peso da barra, os 
deslocamentos: a) da seção C. b) da seção D. 
Resposta: a) C = 2,95mm ; b) D = 5,29mm . 
Exercício Proposto 27 
A haste ABCD é feita de alumínio com E = 70 GPa. Para as cargas indicadas, 
desprezando o peso próprio, determine: a) o deslocamento da seção B, b) o 
deslocamento da seção D. 
Resposta: a) B = 0,781 mm ; b) D = 5,71 mm . 
Exercício Proposto 28 
Um trecho de um tubo de alumínio de 1,2 m e seção transversal de área 
de 1.100 mm2 está apoiado em um suporte fixo em A. Uma barra de aço 
BC de 15 mm de diâmetro está pendurada em uma placa rígida que se 
apóia sobre o tubo, em B. Considerando Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa, 
calcular o deslocamento da seção C quando P = 60 kN. 
Resposta: C = 4,5 mm . 
Exercício Proposto 29 
O fio de aço CD de 2 mm de diâmetro tem o seu comprimento 
ajustado de forma que, se nenhum carregamento atuar, existe uma 
distância de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rígida ABC e o 
ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser 
colocado um bloco de 20 kg sobre a viga de modo a causar contato 
entre B e E. Considerar Eaço = 200 GPa. 
Resposta: x 92,6 mm para contato. 
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28
 
Exercício Resolvido 7 
Determine as reações do apoio da barra biengastada ilustrada abaixo (estrutura hiperestática). 
Solução: 
- Condições de equilíbrio: equação da estática: 
Fy = 0 FA + FB = P (i) 
- Condições de compatibilidade: considerações sobre os deslocamentos da estrutura. 
 
L
L
PFEA
LF
EA
PL AC
B
BAC0 (ii) 
Aplicando ii em i, temos: 
L
L
PFFAFAL
L
PP ACA
AC 1 
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29
 
Exercício Proposto 30 
A barra de aço ACB está rigidamente fixa nos extremos A e B. 
Determinar as reações nesses apoios quando se aplica o 
carregamento indicado. 
Resposta: RA = 323 kN 
 
e RB = 577 kN . 
Exercício Proposto 31 
Dois tubos feitos do mesmo material estão conectados 
como indicado na figura. Se a seção transversal do tubo 
BC tem área A e a do tubo CD tem área 2A, determinar as 
reações nos extremos quando uma força P é aplicada na 
junção destes tubos. 
Resposta: RB = 1/3P ( ) e RD = 2/3P ( ). 
Exercício Proposto 32 
Calcular as reações nos extremos A e B da barra mostrada nafigura. 
Supor que exista uma distância de 4,5 mm entre a barra e o apoio B antes 
da aplicação do carregamento. Adotar E = 200 GPa. Considerar as forças 
mostradas na figura do problema anterior. 
Resposta: RA = 784,6 kN e RB = 115,4 kN . 
Exercício Resolvido 8 
Determine a tensão térmica em uma barra biengastada submetida a um acréscimo de temperatura T. 
Dados: 
TLT (dilatação linear) 
onde: 
 
= coeficiente de dilatação térmica linear do material constituinte da 
barra; 
L = comprimento original da barra; 
T = variação de temperatura da barra; 
T = mudança do comprimento da barra. 
Solução: 
Ao se aquecer, a barra tenderá a se alongar ( T). Como o alongamento é impedido, surgirão tensões 
normais de compressão. 
- Condições de compatibilidade: (considerações sobre os deslocamentos da estrutura) 
O deslocamento térmico T que ocorreria em A é contrabalançado pela força F que seria necessária para 
a barra ser deslocada F de volta à sua posição original, assim: 
E.T..A
F
A.E.T..FEA
LF
T.L. AAA
A
FT 00 
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30
 
Exercício Proposto 33 
As barras da figura estão distanciadas de 0,5 mm quando a 
temperatura é de 20ºC. Determinar, 
a) a que temperatura a tensão normal na barra de aço 
inoxidável atinge o valor de = 150 MPa; 
b) o correspondente comprimento da barra de aço inoxidável. 
Resposta: a) T = 103,2 ºC; b) L = 250,18 mm. 
Exercício Resolvido 9 
Calcular as forças que atuam no sistema formado 
pelas barras de aço e cobre ilustrado ao lado. 
Dados: 
Ac = área da seção transversal da barra de cobre; 
Ec = módulo de elasticidade do cobre; 
Aa = área da seção transversal da barra de aço; 
Ea = módulo de elasticidade do aço. 
Solução: 
- Condições de equilíbrio: equação da estática: 
Fy = 0; Fa + 2Fc = P (i) 
- Condições de compatibilidade: (consideração sobre os deslocamentos do sistema) 
Devido à simetria da estrutura e do carregamento aplicado, o alongamento do sistema L será igual ao 
alongamento das barras de aço e de cobre. Ou seja: 
L = La = Lc 
aa
cca
c
cc
c
aa
a
cc
cc
aa
aa
AE
AE.F
FAE
F
AE
F
AE
LF
AE
LF
 (ii) 
Aplicando ii em i, temos: 
)AEAE(
)AE(P
F
ccaa
aa
a 2
 
e )AEAE(
)AEAE(P
F
ccaa
ccaa
c 22
 
Exercício Resolvido 10 
Uma coluna de concreto de 1,2 m de altura é reforçada por quatro barras de 
aço, cada uma com 20 mm de diâmetro. Sabendo-se que os módulos de 
elasticidade para o concreto e para o aço valem, respectivamente, 25 GPa e 
200 GPa, determinar as tensões no aço e no concreto quando uma força 
centrada de 670 kN é aplicada na coluna. 
Solução: 
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- Equação da estática: 
Fy = 0 = 4. FA + FC - 670x10³ (i) 
- Condições de compatibilidade: considerações sobre os deslocamentos da estrutura. 
aço = concreto AC
AC F.,F
,...
LF
),..,.,.(.
L.F
41515
01010200010420201025 2929
 (ii) 
Aplicando ii em i, temos: 
FC = 531,95 kN e FA = 34,51 kN 
Exercício Proposto 34 
Uma barra maciça de aço inoxidável A está envolvida pelo tubo B feito 
em bronze. Ambos estão apoiados sobre uma base rígida. Se uma 
força igual a 5 kip é aplicada a tampa rígida, determinar o diâmetro d 
necessário para a barra A de modo que a força aplicada seja 
igualmente distribuída entre os dois elementos estruturais. Considerar 
Eaço = 28 x 103 ksi e Ebronze = 14,6 x 103 ksi. 
Resposta: d = 2,39 in. 
Exercício Proposto 35 
A viga rígida AC é suportada por duas barras de aço como mostrado 
na figura. Se a tensão normal admissível para o aço vale 16,2 ksi, a 
carga w = 3 kip/ft e x = 4 ft, determinar o diâmetro para cada barra 
de modo que a viga permaneça na posição horizontal após o seu 
carregamento. 
Resposta: dAB = 0,841 in e dCD = 0,486 in. 
Exercício Proposto 36 
Uma placa rígida transmite ao bloco composto da figura 
uma força axial centrada P = 385 kN. Determinar as 
tensões normais: a) na placa interna de aço; b) nas placas 
externas de alumínio. 
Resposta: a) aço = 175 MPa; b) al = 61,3 MPa. 
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32
 
Exercício Resolvido 11 
Uma barra rígida AD é sustentada por três cabos flexíveis, e 
submetida à carga P conforme mostrado. Sabendo-se que os 
cabos possuem a mesma seção transversal e são do mesmo 
material, determinar as forças atuantes em cada um dos 
cabos. 
Solução: 
DCL da barra rígida. 
- Equação de equilíbrio da estática: 
Fy = 0 = FA+ FB + FD P (i) 
MB = 0 = FA × L + FD × 3L P × 2L (ii) 
Observação: 3 incógnitas e 2 equação da estática (estrutura hiperestática) 
- Condições de compatibilidade: considerações sobre os deslocamentos da estrutura. 
Analise do deslocamento da barra 
LL
ADAB
3
 
(iii) 
Relações entre forças e alongamentos 
EA
'LF
;EA
'LF
;EA
'LF D
D
B
B
A
A
 
(iv) 
Aplicando iv em iii, encontramos a seguinte relação: 
3(FB FA) = FD FA (v) 
Assim, com i, ii e v, podemos encontrar os valores de FA, FB e FD, simplesmente resolvendo o sistema 
determinado de três equações e três incógnitas abaixo. 
0 = FA+ FB + FD P 
0 = FA × L + FD × 3L P × 2L 
3(FB FA) = FD FA 
Exercício Proposto 37 
A haste CE de 10 mm de diâmetro e a haste DF de 15 mm de diâmetro 
são ligadas à barra rígida ABCD como mostra a figura. Sabendo-se que as 
hastes são de alumínio e usando E = 70 GPa, determinar:a) a força 
provocada em cada haste pelo carregamento indicado; b) o deslocamento 
do ponto A. 
Resposta: a) NCE = 8 kN e NDF = 24 kN; b) A = 1,31 mm. 
Exercício Proposto 38 
A barra rígida ABC é suspensa por três fios idênticos. Determinar a força em 
cada fio, devido à carga P quando x = 2/3L. 
Resposta: NA = 1/2P; NB = 1/3P e NC = 1/6P. 
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33
 
Exercício Proposto 39 
O braço rígido mostrado na figura está suportado pela articulação em 
A, pelo fio de aço BC que tem área transversal com 22,5 mm2 e pelo 
bloco curto de alumínio em D com 40 mm2 de área transversal. Para a 
força aplicada como mostra a figura, determine as tensões no fio e no 
bloco. Considerar Eaço = 200 GPa e Eal = 70 GPa. 
Resposta: D = 13,4 MPa e BC = 9,55 MPa. 
Exercício Proposto 40 
Três barras feitas do mesmo material suportam a viga rígida ACE 
como indicado na figura. Se essas barras têm a mesma área 
transversal igual a A, determine a força normal em cada uma delas 
devido a ação da carga distribuída uniforme w. 
Resposta: NEF = 1/12wd, NAB = 7/12wd e NCD = 1/3wd. 
2.3.2. Recipientes de paredes finas 
Na seção anterior vimos várias aplicações de tensões normais relacionadas com o alongamento 
de barras. Nessa seção, veremos uma outra aplicação de tensões normais uniformemente distribuídas: 
tensões em recipientes de paredes finas. 
Um reservatório de raio médio r e espessura t é considerado de parede fina se r (10.t). Desde 
que esta condição seja satisfeita, podemos admitir que as tensões se distribuem uniformemente ao longo 
da espessura t do recipiente, e então, podemos determinar as tensões nas paredes com uma precisão 
razoável, usando apenas as equações da estática. 
As aplicações deste estudo se dão em tanques e recipientes de armazenagem de líquidos ou 
gazes, tubulações de água ou vapor (caldeiras), cascos de submarinos e certos componentes de avião, 
que são exemplos comuns de vasos de pressão de paredes finas. 
Vasos de pressão cilíndricos 
Seja o cilindro de parede fina indicado na Fig. 24(a) submetido a uma pressão interna p e 
espessurat. 
 
Fig. 24. Vaso de pressão cilíndrico. 
Considere o anel cilíndrico, de largura x, seccionado do cilindro. O quadrilátero destacado no 
anel representa uma porção elementar da parede do cilindro, que sofre em suas faces laterais a ação de 
uma tensão circunferencial 1 e uma tensão longitudinal 2. Estas tensões podem ser calculadas a partir 
do equilíbrio estático do diagrama de corpo livre (DCL) do cilindro. 
a) Tensão Circunferencial ( 1): 
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34
 
Se o anel cilíndrico obtido for cortado por um plano vertical que passa pelo seu eixo longitudinal, obtém-
se o DCL do segmento semi-circular de anel conforme indicado na Fig. 24(b). Para o equilíbrio estático 
da metade do anel, a força resultante produzida pelas tensões circunferenciais 1, deve ser igual à força 
provocada pela pressão interna p agindo no segmento do anel. Assim, temos: 
2 [ 1.( x.t)] 
 
p(2.r. x ) = 0 
 
Logo: 
t
r.p
1 
Eq. 11.
 
Tensão circunferencial de um vaso de 
pressão cilíndrico.
 
Note que a força F , devida à pressão interna p agindo no segmento semi-circular do anel, é igual 
ao valor desta pressão multiplicada pela projeção vertical da área interna do segmento de anel, ou seja, 
(2.r. x). 
b) Tensão Longitudinal ( 2): 
Com procedimento similar ao adotado para determinar 1, podemos encontrar o valor da tensão 
longitudinal 2 a partir do equilíbrio do segmento indicado em Fig. 24(c). 
A tensão 2 atua sobre a coroa circular do cilindro conforme indicado no DCL apresentado. 
Como t é pequeno em relação a r, podemos considerar a área desta coroa igual a (2. .r.t). Assim, a 
força resultante produzida pela tensão 2 agindo sobre a coroa circular do cilindro é igual a 2.(2. .r.t). 
Por outro lado, a força F , resultante da pressão interna p que age longitudinalmente contra a 
área circular plana de fluido que existe dentro do cilindro, é dada por p( .r2). 
Assim a equação de equilíbrio para o DCL da Fig. 24(c), será dada por: 
2.(2 r.t) p( .r2) = 0 
Logo: 
t
rp
22
 
Eq. 12.
 
Tensão longitudinal de um vaso de 
pressão cilíndrico.
 
Comparando Eq. 12 e Eq. 11 podemos verificar que 2 = 0,5. 1 . Dessa forma a tensão 
determinante para dimensionamento é a tensão no sentido da circunferência do cilindro ( 1). 
c) Cálculo da Deformação circunferencial em cilindros ( c): 
 
Assim, a deformação circunferencial do cilindro será dada por: 
r
r
r
r)rr(
c
)cc(
c
c f
c 2
22
0
0
0
 => 
r
r
rc
 
Lei de Hooke, temos: 
cc
E => 
r
r
E
t
rp 
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35
 
Exercício Resolvido 12 
Um tubo é formado por dois cilindros coaxiais de parede fina, com 
mostrado na figura. Devido a uma diferença inicial de diâmetros, o 
cilindro externo de aço é aquecido para que se possa introduzir nele o 
cilindro interno de alumínio. Pede-se determinar as tensões 
circunferenciais em cada cilindro, após a montagem do tubo e retorno à 
temperatura ambiente inicial. 
Dados: Eaço = 200GPa; Ealumínio = 70 GPa 
 
Diâmetro médio do tubo: 80 mm; 
 
Diferença inicial entre os diâmetros: 0,1mm; 
 
Espessura de cada cilindro: 2,5 mm. 
Solução: 
Configuração geométrica dos cilindros antes e depois da montagem 
- Considerações iniciais: 
 - A diferença inicial dos raios dos cilindros é de 0,05mm; 
 - Após a montagem a pressão interna do cilindro de aço é igual a pressão externa do cilindro de alumínio (p); 
 - Espessura do cilindro de aço igual a do cilindro de alumínio (t); 
 - alaço rr = )froalr()oaçorfr( = m.,rr oaçooal
310050
 
- Equações para recipientes de paredes finas: 
Pa.,p
..
.
.,
..p
.,
.E.Et
r.p
t.E
r.p
t.E
r.p
rr
t.E
r.p
r;
t.E
r.p
r
alaço
f
alal
f
açoaço
f
).,(
alaço
alal
f
al
açoaço
f
aço
6
993
23
3
222
31005022
10054
1070
1
10200
1
1052
1040
10050
11
 
MPa,Pa.,
.,
...,
t
r.p f
alaço 80641080641052
104010054 6
3
36
 
2.3.3. Deformação Lateral - Coeficiente de Poisson 
De acordo com a Fig. 25, para materiais homogêneos e isótropos, quando ocorre alongamento 
ao longo de uma direção de uma barra, ocorre contração no plano perpendicular. 
A relação entre a deformação transversal e a longitudinal recebe o nome de Coeficiente de 
Poisson (Eq. 13), e é comumente designado pelas letras gregas 
 
(ni) ou 
 
(mi). o sinal de menos 
apenas indica que um alongamento gera uma contração e vice-versa. 
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36
 
Fig. 25. Deformação lateral Coeficiente de Poisson. 
t
 
Eq. 13.
 
Coeficiente de Poisson.
 
Onde: 
 = coeficiente de Poisson, constante para tensões abaixo do limite de proporcionalidade; 
t = deformação transversal; 
 = deformação longitudinal. 
Para metais, o coeficiente de Poisson varia de 1/4 a 1/3. 
Para casos de carregamento axial em apenas uma da direções, como o exemplo da Fig. 25, 
temos 0zx
y
y eE . 
O alongamento na direção y é acompanhado da contração nas outras direções e, para 
materiais isótropos, o coeficiente de poisson poderá ser determinado da seguinte forma: 
y
z
y
x
alLongitudin Extensão
lTransversa Extensão
 
Eq. 14.
 
Coeficiente de Poisson.
 
Exercício Resolvido 13 
Um cilindro de latão com diâmetro de 10 mm é tracionado ao longo do seu 
eixo. Qual é a força necessária para causar uma mudança de 2.5 µm no 
seu diâmetro, no regime elástico ? 
Dado: latão=0,35 , Elatão = 10,1 MPa. 
Solução: 
y = z = d/d0 = -2,5 .10-6 /10.10-3 = -2,5 .10-4 
x = - z/ = -(-2,5 .10-4)/ 0,35 = 7,14.10-4 
x = E. x = 10,1 MPa .7,14.10-4 = 7.211 Pa 
F = x .A0 = x ( d02/4) = 7.211. (10.10-3)2/4 = 5.820 N 
2.3.3. Lei de Hooke Generalizada - Carregamento Triaxial 
Num carregamento triaxial como o indicado na figura abaixo, cada tensão é capaz de gerar uma 
deformação de valor /E na direção de sua aplicação e uma deformação /E na direção perpendicular 
de sua aplicação, ou seja, x gera da direção x uma deformação na direção x igual a x/E e nas direções 
y e z uma deformação . x/E. 
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37
 
Fig. 26. Lei de Hooke Generalizada Carregamento Triaxial. 
Fazendo a superposição dos efeitos da aplicação simultânea de x , y e z, temos: 
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x
 
Módulo de elasticidade Volumétrico (e): 
No estado livre de tensões o volume do cubo apresentado na Fig. 26 é definido por 
v0 = (dx.dy.dz). Após a aplicação de x , y e z, o volume inicial (v0) toma a forma de um paralelepípedo 
definido da seguinte maneira: 
v = (1+ x)dx . (1+ y)dy . (1+ z)dz 
Expandindo o produto anterior encontramos: 
v = (dx.dy.dz) + ( x+ y+ z).(dx.dy.dz) + ( x y+ y z+ x z).(dx.dy.dz) + ( x y z)dx.dy.dz 
Por se tratar de valores desprezíveis os termos sublinhados a expressão anterior podem ser 
igualados a zero. Com isso, a expressão pode ser escrita da forma a seguir: 
v = (dx.dy.dz) + ( x+ y+ z).(dx.dy.dz) = v0.(1+ x+ y+ z) 
Portanto, a variação de volume por unidade de volume (e), relativa ao estado livre de tensões, 
será dada por: 
0
0zyx0
0
0
0 v
v)(v
v
vv 
v
v
e
1 
= 
zyx = zyxE
21