Aula 06 - Teorema do Transporte de Reynolds

Prévia do material em texto

Mecânica dos Fluidos I Prof. Strobel 
 
 
Mecânica dos Fluidos I Página 1 de 5 
Mecânica dos Fluidos 
Teorema do Transporte de Reynolds 
Por 
Christian Strobel 
 
"Eu tenho três filhos e nenhum dinheiro. Porque eu não posso ter 
nenhum filho e três dinheiros?” 
 - Homer Simpson 
 
1. Análise de escoamentos 
 
 
Existem três formas clássicas de estudar o escoamento de um fluido e os seus efeitos, 
todas importantes, e algumas vezes complementares: 
a. Estudo do escoamento de um elemento de fluido de dimensões infinitesimais, 
conhecido por estudo diferencial. Quando as leis de conservação são escritas para um 
elemento de fluido infinitesimal, estas equações passam a ser conhecidas por equações 
diferenciais básicas de escoamento. Após serem estabelecidas para um dado problema, elas 
tem que ser integradas, sujeitas às condições de contorno apropriadas. Soluções analíticas 
exatas são na grande maioria dos casos impossíveis de se obter, e o método numérico 
computacional deve ser utilizado, gerando resultados próximos, mas nunca exatos da 
solução. Com este tipo de análise, os detalhes do escoamento não são ignorados, sendo 
possível descrever todo o campo de escoamento, velocidade e pressão. 
b. Estudo do escoamento e seus efeitos em um volume de controle selecionado, 
designado por estudo integral, onde as leis de conservação são escritas e aplicadas a um 
sistema que é definido como uma quantidade arbitraria de massa com identidade própria. 
Tudo o que não faz parte do sistema é designado como vizinhança e entre a vizinhança e 
o sistema existe a fronteira. Em muitos problemas de Mecânica dos Fluidos não existe o 
interesse em estudar o escoamento de uma dada massa de fluido, ou seja, não há o interesse 
no escoamento em si, mas sim os efeitos deste escoamento. Ao estudar a ação dos ventos 
em uma ponte, não é interessante estudar o campo de escoamento do ar em torno da 
ponte, mas sim estudar os efeitos dos ventos sobre a ponte. Assim, define-se uma região, 
que no caso anterior engloba a ponte, a qual é definida por volume de controle. Este volume 
Mecânica dos Fluidos I Prof. Strobel 
 
 
Mecânica dos Fluidos I Página 2 de 5 
de controle pode ser fixo ou móvel no espaço, e rígido ou deformável no tempo. 
 
c. Estudo experimental de um escoamento e seus efeitos com suporte na análise 
dimensional e de semelhança. Muitos problemas são difíceis de estudar quer por análise 
integral quer por análise diferencial, devido à imensa quantidade de variáveis envolvidas, 
como por exemplo, no estudo das condições aerodinâmicas de um carro de Fórmula I. Estes 
estudos são geralmente levados a cabo experimentalmente. Quando a dimensão dos objetos 
é pequena, simulam-se as condições exteriores, por exemplo, em túneis de vento ou de 
água, e realizam-se estudos em protótipos. Quando as dimensões dos objetos são grandes, 
realizam-se estudos em modelos a escala, sendo a análise dimensional uma ferramenta 
importante para que se possa tirar conclusões corretas a respeito de um sistema. 
Qualquer que seja a forma de abordar um escoamento, as equações fundamentais de 
conservação devem ser sempre satisfeitas, assim como a equação de estado do fluido e as 
condições na fronteira. Elas são elencadas a seguir: 
a. Conservação da massa e da continuidade; 
b. Conservação da quantidade de movimento (2ª Lei de Newton); 
c. Conservação da Energia (1ª Lei da Termodinâmica); 
d. Equação de estado do fluido; 
e. Condições de contorno em superfícies sólidas, interfaces, entradas e saídas. 
 
2. Teorema do transporte de Reynolds 
 
O teorema do Transporte de Reynolds serve de suporte às equações de escoamento na 
forma integral: equação da conservação da massa, quantidade de movimento e energia. Este 
teorema faz a ligação entre o que se passa em um sistema e o que se passa em um volume de 
controle, localizado dentro deste sistema. Considere a Figura 01, onde há uma representação de 
um volume de controle fixo em linha pontilhada com uma entrada (1) e uma saída (2). O fluido 
desloca-se na direção normal às superfícies de entrada e saída, com velocidades v1 e v2, 
respectivamente. Estas velocidades são, por hipótese inicial, uniformes nas respectivas seções. 
Mecânica dos Fluidos I Prof. Strobel 
 
 
Mecânica dos Fluidos I Página 3 de 5 
 
Num dado instante t, a massa de fluido do sistema preenche totalmente o volume de 
controle. Durante o intervalo de tempo δt, o sistema move-se para a direita, e está representado a 
tracejado (mais forte), na figura. Os elementos do sistema que estavam no instante t sobre a 
superfície de saída do volume de controle (2) deslocaram-se para a direita de δl2 = v2δt. Os 
elementos fluidos que estavam sobre a superfície de entrada (1) do volume de controle no 
instante t deslocaram-se para a direita de δl1 = v1δt. 
Para facilitar a dedução do teorema de Reynolds, o volume de controle passa a ser 
designado por VC, o que sai do VC durante o intervalo de tempo δt ocupa um volume designado 
por II e o que entra no VC durante este intervalo de tempo ocupa um volume designado por I. 
Assim, no instante t o sistema está no interior de todo o VC, enquanto que no instante t+δt está 
contido em VC-I+II. 
Seja N uma propriedade extensiva qualquer (que dependa da massa do sistema – Massa, 
Volume, Energia, Entropia, etc.). 
No instante t: 
 ( ) ( ) 
No instante t+δt: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Volume de controle e Sistema no instante t 
Sistema no instante t + δt 
Mecânica dos Fluidos I Prof. Strobel 
 
 
Mecânica dos Fluidos I Página 4 de 5 
A variação de Nsist no intervalo de tempo δt é dada por: 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
Sabendo que: 
 ( ) ( ) 
E rearranjando os termos, tem-se: 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
Quando aplicado um limite quando δt tende a zero, cada uma das parcelas da 
expressão anterior possui um significado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta parcela representa a variação da propriedade 
extensiva N no sistema por unidade de tempo. Esta 
variação é também designada por derivada total ou 
substancial. 
O primeiro termo do lado direito requer uma análise mais detalhada. Sabendo que a 
propriedade extensiva N no volume de controle pode ser escrita como: 
 
 
∑ ( )
 
 
 
Desta forma, tem-se: 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
∫ 
 
 
Representa a variação da propriedade N no 
VC por unidade de tempo. 
O segundo e terceiro termo pode ser escrito como: 
 
 
 ( )
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
∫ ⃗ ⃗ 
 
 
 ∫ ⃗ ⃗
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
∫ ⃗ ⃗ 
 
 
 ∫ ⃗ ⃗
 
 
∫ ⃗ ⃗
 
 
Representa o fluxo mássico da propriedade 
intensiva nque cruza a fronteira. 
 
Mecânica dos Fluidos I Prof. Strobel 
 
 
Mecânica dos Fluidos I Página 5 de 5 
Logo, 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 ∫ 
 
 ⃗ ⃗ 
 
Detalhe importante 
 ⃗ ⃗ ( ) 
De forma geral 
 ⃗ ⃗ 
Saída normal à superfície 
 ⃗ ⃗ 
Entrada normal à superfície 
 
 
 
3. Particularidades do Teorema do Transporte de Reynolds 
 
O teorema do Transporte de Reynolds é a equação fundamental para a formulação integral 
das seguintes grandezas: 
a. Conservação da massa: N = m ; n = 1; 
b. Conservação da quantidade de movimento: N = P = mV; n = V; 
c. Conservação da energia pela primeira lei da termodinâmica: N = E = m.e ; n = e. 
Onde “e” é a energia específica.