AP2-MetDet_I-2014-2-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2014-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (3.0 pts) : Determine o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es a seguir na forma de intervalo
ou reunia˜o de intervalos.
a) (1.5 pts) |3x− 4| > 1.
b) (1.5 pts) 2
(
x− 1
2
)2
+
7
2
≤ 5
Soluc¸a˜o:
a) Para resolver a inequac¸a˜o deste item, vamos substituir a expressa˜o com mo´dulo, para em seguida
resolver a expressa˜o resultante. Para isso, lembremos que
|w| =
{
w, se w ≥ 0
−w, se w < 0.
Desta forma, temos que
|3x− 4| =
{
3x− 4, se 3x− 4 ≥ 0
−(3x− 4), se 3x− 4 < 0,
o que e´ equivalente a dizer que
|3x− 4| =


3x− 4, se x ≥ 4
3
−3x+ 4, se x < 4
3
,
Notamos, enta˜o, que o valor do mo´dulo da inequac¸a˜o depende da localizac¸a˜o de x em relac¸a˜o ao
ponto
4
3
. Tomando como refereˆncia este ponto, vamos analisar a expressa˜o da inequac¸a˜o quando
substitu´ımos o mo´dulo nos intervalos
(
−∞, 4
3
)
,
[
4
3
,∞
)
. Tendo isso em vista, contru´ımos a
tabela a seguir.
Me´todos Determin´ısticos I AP2 2
Intervalo (−∞, 4/3) [4/3,∞)
Expressa˜o de |3x− 4| −3x+ 4 3x− 4
Expressa˜o de |3x− 4| > 1 −3x+ 4 > 1 3x− 4 > 1
Dessa forma, de acordo com a localizac¸a˜o de x, temos que calcular o conjunto soluc¸a˜o para cada
uma das duas desigualdades provenientes de |4x− 3| > 1, e, em seguida, fazer a reunia˜o destes
conjuntos. Temos:
Caso 1: Para x ∈
(
−∞, 4
3
)
, segue que
|3x− 4| > 1 =⇒ −3x+ 4 > 1
=⇒ −3x+ 4− 4 > 1− 4
=⇒ −3x > −3
=⇒ −3x
(
−1
3
)
< −3
(
−1
3
)
=⇒ x < 1.
Notemos que os valores de x tais que x < 1, que pertencem ao intervalo
(
−∞, 4
3
)
sa˜o aqueles que
esta˜o no intervalo (−∞, 1). Logo, o conjunto soluc¸a˜o, S1, deste caso, e´ dado por S1 = (−∞, 1).
Caso 2: Para x ∈
[
4
3
,∞
)
, segue que
|3x− 4| > 1 =⇒ 3x− 4 > 1
=⇒ 3x− 4 + 4 > 1 + 4
=⇒ 3x > 5
=⇒ 3x
(
1
3
)
> 5
(
1
3
)
=⇒ x > 5
3
.
Notemos que os valores de x tais que x >
5
3
, que pertencem ao intervalo
[
4
3
,∞
)
sa˜o aqueles
que esta˜o no intervalo
(
5
3
,∞
)
. Logo, o conjunto soluc¸a˜o, S2, deste caso, e´ S2 =
(
5
3
,∞
)
.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´
S = S1 ∪ S2
= (−∞, 1) ∪
(
5
3
,∞
)
.
Outra soluc¸a˜o para o item a)
Usando a propriedade que |w| > a se, e somente se, w > a ou w < −a, temos que:
3x− 4 > 1 ou 3x− 4 < −1.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Temos, enta˜o, de determinar o conjunto soluc¸a˜o de 3x− 4 > 1 e de 3x− 4 < −1 e, em seguida
fazer a reunia˜o deles. Temos que:
3x− 4 > 1 =⇒ 3x− 4 + 4 > 1 + 4 =⇒ 3x > 5 =⇒ 3x
(
1
3
)
> 5
(
1
3
)
=⇒ x > 5
3
,
3x− 4 < −1⇐⇒ 3x− 4 + 4 < −1 + 4 =⇒ 3x < 3 =⇒ 3x
(
1
3
)
< 3
(
1
3
)
=⇒ x < 1 .
Fazendo a reunia˜o, segue que o conjunto soluc¸a˜o e´: (−∞, 1) ∪
(
5
3
,∞
)
.
b) Temos que
2
(
x− 1
2
)2
+
7
2
≤ 5 ⇐⇒ 2
(
x− 1
2
)2
+
7
2
− 5 ≤ 0
⇐⇒ 2
(
x2 − x+ 1
4
)
+
7
2
− 5 ≤ 0
⇐⇒ 2x2 − 2x+ 1
2
+
7
2
− 5 ≤ 0
⇐⇒ 2x2 − 2x+ 4− 5 ≤ 0
⇐⇒ 2x2 − 2x− 1 ≤ 0.
Ou seja, a inequac¸a˜o 2
(
x− 1
2
)2
+
7
2
≤ 5 e´ equivalente a inequac¸a˜o 2x2 − 2x− 1 ≤ 0.
Chamando 2x2 − 2x − 1 de y, isto e´, y = 2x2 − 2x − 1, vamos determinar quando y e´ igual
a zero para, em seguida, determinar quando e´ negativo. Para isso, observemos que o gra´fico de
y = 2x2− 2x− 1 e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2
e´ positivo.
Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau 2x2−2x−1 = 0,
isto e´,
x =
2±
√
4− 4(2)(−1)
4
=
2±√12
4
=
2±
√
4(3)
4
=
2±√4√3
4
=
2± 2√3
4
=
1±√3
2
.
Temos, assim, as ra´ızes x =
1−√3
2
e x2 =
1 +
√
3
2
. O gra´fico da para´bola esta´ plotada na
Figura 1
Observando o gra´fico, vemos que o y da para´bola e´ negativo quando
1−√3
2
< x <
1 +
√
3
2
.
Portanto, os valores de x que satisfazem 2
(
x− 1
2
)2
+
7
2
≤ 5 pertencem ao intervalo
(
1−√3
2
,
1 +
√
3
2
)
.
Questa˜o 2 (2.5 pts) Seja S o sistema de equac¸o˜es do primeiro grau dado por
S :


−x+ 3y = 0
x+ 2y = −5.
a) (1.0 pts) Determine, caso exista, a soluc¸a˜o de S.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
++
-x1 x2
x
y
Figura 1: Questa˜o 1
b) (1.0 pts) Represente no plano cartesiano o gra´fico de cada uma das equac¸o˜es de S e localize,
tambe´m, a soluc¸a˜o encontrada para esse sistema, se houver.
c) (0.5 pts) Qual o significado geome´trico para a soluc¸a˜o de S?
Soluc¸a˜o:
a) Temos da equac¸a˜o (i) do sistema {
−x+ 3y = 0 (i)
x+ 2y = −5 (ii)
que x = 3y. Substituindo-a na Equac¸a˜o (ii) vem que
3y + 2y = −5⇐⇒ 5y = −5⇐⇒ y = −1.
Consequentemente, de x = 3y segue que x = 3(−1). Ou seja, x = −3. Portanto, a soluc¸a˜o do
sistema e´ o par ordenado (x, y) = (−3,−1) .
b) Cada uma das equac¸o˜es do sistema dado e´ representado no plano cartesiano por uma reta. Na
Figura 2 plotamos em linha cont´ınua rosa o gra´fico da reta −x+3y = 0⇔ x = 3y, trac¸ada pelos
pontos (0, 0) e (−3,−1), e em linha tracejada azul o gra´fico da reta x+2y = −5⇔ x = −5−2y,
trac¸ada pelos pontos (−5, 0) e (0,−5/2). O ponto (−3,−1) esta´ marcado em vermelho na Figura.
c) O ponto (−3,−1) representa a intersec¸a˜o das duas retas cujas equac¸o˜es sa˜o as equac¸o˜es do
sistema.
Questa˜o 3 (2.5 pts) Em uma certa plantac¸a˜o, a produc¸a˜o, P, de tomate depende da quantidade,
q, de fertilizante utilizada, e tal dependeˆncia pode ser expressa por
P = −q2 + 28 q + 60,
onde a produc¸a˜o e´ medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
-5 -3 -1 1 3
x
-
5
2
-1
y
Figura 2: Questa˜o 2
a) (1.0 pts) Determine em que ponto(s) o gra´fico da func¸a˜o corta o eixo q e em que ponto(s) corta
o eixo P . Fac¸a um esboc¸o do gra´fico no plano cartesiano.
b) (0.5 pts) Determine o valor da produc¸a˜o, quando o fertilizante na˜o e´ utilizado.
c) (0.8 pts) Determine a quantidade de fertilizante que deve ser usado para que a produc¸a˜o seja
ma´xima, bem como o valor da produc¸a˜o ma´xima.
d) (0.2 pts) Determine a partir de que quantidade de fertilizante utilizada, a planta e´ prejudicada e
impedida de produzir.
Soluc¸a˜o:
a) Notemos que a func¸a˜o P = −q2 + 28 q + 60 que representa a produc¸a˜o de tomate em termos
da quantidade de fertilizante e´ uma func¸a˜o quadra´tica. Logo, seu gra´fico e´ uma para´bola.
Como o coeficiente de q2 e´ negativo, a concavidade da para´bola e´ voltada para baixo.
A para´bola corta o eixo q quando P = 0, o que nos leva a
−q2 + 28 q + 60 = 0
cujas ra´ızes, se existirem, sa˜o obtidas pela fo´rmula de Ba´skara
q =
−28±
√
(28)2 − 4(−1)(60)
−2 =
−28±√1024
−2 =
−28±
√
210
−2 =
−28± 32
−2 .
Assim, temos duas ra´ızes reais e distintas
q1 =
−28 + 32
−2 = −2 e q2 =
−28− 32
−2 = 30.
O que significa que a para´bola corta o eixo q nos pontos q1 = −2 e q2 = 30.
A para´bola interceptao eixo P quando q = 0. Isto e´,
P (0) = −02 + 28(0) + 60 = 60.
Ou seja, a para´bola corta o eixo P no ponto P = 60.
Na Figura 3, plotamos o gra´fico da para´bola.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
-2 30
q
60
P
Figura 3: Questa˜o 3-a)
b) Quando o fertilizante na˜o e´ utilizado, isso significa que q = 0. Logo, substituindo esse valor na
func¸a˜o dada, vem que:
P = −(0)2 + 28(0)q + 60 = 60,
Nesse caso, o valor da produc¸a˜o sera´ de 60 kg.
c) Como o gra´fico da func¸a˜o e´ uma para´bola, a produc¸a˜o ma´xima Pv ocorrera´ em qv, primeira
coordenada do ve´rtice V =
(
qv, Pv
)
=
(
− b
2a
,−∆
4a
)
da para´bola. Ou seja,
V =
(
− (28)
2(−1) ,−
1024
4(−1)
)
= (14, 256).
Portanto, devera´ ser usado 14 g/m2 de fertilizante para que a produc¸a˜o seja ma´xima. O valor
dessa produc¸a˜o sera´ de 256 kg.
d) Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidades que fazem a produc¸a˜o se anular
(P = 0) sendo que q1 = −2 na˜o apresenta significado pra´tico e q2 = 30 g/m2 representa uma
quantidade ta˜o grande de fertilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a de produzir.
Questa˜o 4 (2.0 pts) : Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado
produto sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 14
3
P + 3 e Q(P ) = P 2 − P + 2, 0 ≤ P ≤ 4
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e, D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
a) (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,20?
b) (0.7 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua oferta e´ de 4 milho˜es de unidades?
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
c) (0.8 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
Soluc¸a˜o:
a) Vamos substituir P = 1.2 na func¸a˜o demanda D. Neste caso, temos que
D(1, 2)− (1, 2)2 + 14
3
(1, 2) + 3 =
179
25
= 7, 16.
Resposta: 7.160.000 unidades.
b) Vamos igualar a func¸a˜o oferta Q a 4 e encontrar os valores de P correspondentes.
P 2 − P + 2 = 4 ⇐⇒ P 2 − P + 2− 4 = 0⇐⇒ P 2 − P − 2 = 0
⇐⇒ P = 1±
√
1 + 8
2
⇐⇒ P = −1 ou P = 2.
Como 0 ≤ P ≤ 4, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com P = 2.
Resposta: O prec¸o do produto quando sua oferta e´ de 8 milho˜es de unidades e´ R$2,00.
c) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda D e oferta Q.
−P 2 + 14
3
P + 3 = P 2 − P + 2 ⇐⇒ −P 2 + 14
3
P + 3− P 2 + P − 2 = 0
⇐⇒ −2P 2 + 17
3
P + 1 = 0
⇐⇒ 6P 2 − 17P − 3 = 0
⇐⇒ P = 17±
√
289 + 72
12
⇐⇒ P = 17± 19
12
⇐⇒ P = 3 ou P = −1
6
.
Como 0 ≤ P ≤ 4, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com P = 3.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ R$3,00.
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