Física Geral II

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Física II
F 228 2º semestre 2012
aula 2: gravimetria, matéria escura, 
energia potencial gravitacional e a 
expansão do universo
Revendo a aula passada: 
princípio de superposição
(e corrigindo um erro)
M1
M2
z
ab


F2 F1
m
Discussão da solução
29
M1
M2
z
ab


F2 F1
m
    











22222
2
22222
1
bz
b
bz
M
az
a
az
M
GmF resx
    











22222
2
22222
1 11
bzbz
M
azaz
M
GmzF resy
Pelo referencial escolhido:
portanto:
Se |a| = |b| e M1 = M2 
0 xF
  









3
22
12
az
M
GmzF resy
Se z=0
0 yF







2
2
2
1
b
M
a
M
GmF resx
2
2
2
1
b
a
M
M

Condição de equilíbrio:
Se z >> a e b:
M1 + M2 compartam-se como
uma carga pontual!
Um problema parecido visto de cima
Um exemplo simples usando simetria
s.f. Correspondência de posição, de
forma, de medida em relação a um
eixo entre os elementos de um
conjunto ou entre dois ou mais
conjuntos...
Conceito fundamental em física
Atração gravitacional de um anel de massa 
sobre uma partícula localizada no seu eixo
M
m
a
x
dM, dl
dF
Um exemplo simples usando simetria
e o princípio de superposição: soma sobre todos os 
elementos de massa do anel
F1F2
F
dM1
dM2
z
a
dl
a
M
dM
2

 
cos
2
22 az
dMm
GdF



22
cos
az
z



 322 az
dMmz
GdF


 322 az
Mmz
GF


 dFF
O problema da casca esférica: 
superposição e simetria a partir do 
problema do anel
O problema da esfera maciça: 
superposição de cascas concêntricas
Gravitação de uma distribuição de massa
r
R
mM
GF ˆ
2


mMR
Uma distribuição esférica de massa atrai uma partícula 
externa como se toda a massa da distribuição estivesse 
concentrada em seu centro.
E para uma partícula “interna”?
A solução deste problema tomou bastante tempo de Newton
A solução é obtida com o cálculo da força gravitacional 
devido a uma casca esférica – ver livro texto
A solução desse problema também implica na validade 
do princípio de superposição, 
que aplicaremos depois em outro exemplo.
Sumário da solução das cascas 
esféricas
0F

2r
Mm
GF 
Forças gravitacionais dentro 
de uma esfera maciçaM )(* rMm
2
* )(
r
mrM
GF 
3
3
3*
3
4
)(
R
r
MrrM  
r
R
Mm
GrF
3
)( 
rR
Aplicação I: 
3ª lei de Kepler,distribuição de 
massa e matéria escura
Fritz Zwicky observou nos anos 1930 
que algo estranho ocorria com a 
velocidade de rotação de galáxias no 
aglomerado de galáxias de Coma.
A velocidade de rotação era muito maior 
do que a prevista pela quantidade 
de massa identificável no aglomerado. 
Assim surgiu a hipótese da 
“matéria escura”.
O que vem a ser este problema?
Curvas de rotação: 
sistema solar
3ª lei de Kepler: 
estimativa da massa
do sistema solar através 
da velocidade 
de rotação dos planetas
22
3
4
GM
T
r

Rotação de estrelas(planetas) 
em uma galáxia(sistema solar) 
e a massa da galáxia(sistema solar)
r
GM
v
T
r
v
GT
r
M



2
2
32
2
4


G
rv
rM
2
)( 
Resumindo para o sistema solar…
G
rv
rM
2
)( 
M(r) é constante: 
praticamente toda a massa concentrada no centro (Sol)
3
3
3*
3
4
)(
R
r
MrrM  
r
GM
v 
r
R
GM
r
GM
v
3

v
r
Velocidade de uma estrela 
em distribuições de massa
de uma galáxia
estrela
galáxia
O que se observou em galáxias?
rv
A única explicação possível seria a presença 
de uma grande quantidade de matéria, a matéria escura
rrM )(
!
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matéria escura
Ainda o princípio da superposição
Exemplo: 
esfera oca dentro de esfera maior
R r
D
d
F=?
R r
D
d




 )
11
(
3
4
2
3
2
3
d
r
D
RGmF 
Aplicação: gravimetria
2.0,11  scmGal
http://www.ufrgs.br/museudetopografia/Artigos/Gravimetria.pdf
Estudo de pequenas variações de g devido forma da Terra, 
latitude, variações geológicas locais, 
espessura da crosta, manto...
2.8,9  smg
Unidade usada em gravimetria:
mGalg 70
Nosso “levantamento” do pré-sal
2R
GM
g 
kgM 241096,5 
3.5,5  cmg
Medindo g e catando pedras...
• A densidade média na superfície é de 2,7g/cm3 , 
• portanto no interior da Terra a densidade é bem maior
• Propagação de ondas sísmicas (veremos adiante): 
transições abruptas de densidade 
G
R
gM
2
. kmR 371.6
2.8,9  smg
21311 .1067,6  skgmG
1
Variações pequenas de g







2
3
12
3
2
3
0 )
11
(
3
4
d
r
d
r
D
RGmF 














2
3
10
2
3
10
)(
3
4
)(
3
4
´
d
r
Gg
d
r
Ggg











2
3
102
3
0 )(
3
4
´
d
r
D
R
Gg 
2
Profundidade da 
esfera de pré sal: 7 km
Raio da esfera: 2 km
Densidade do material: 1g/cm3
mGalg 20
Energia potencial gravitacional
(força gravitacional: força conservativa)F

sd

















 
111
2 r
GMm
r
GMmdr
r
GMm
sdFU
r
rr
g

r
GMm
U g 
U(r)
r
R0
GMm
R

R+y
y
Energia potencial gravitacional: 
perto da superfície do planeta
 
 
2 2
2
2
2
´ 400 km
6,4
 9,8 8,7 m/s3
6,8
GM GMR
gh
RRhRh
 
    
 
 
   
 Pode-se estimar g a uma altura de 400 km:
kmR 31037,6 
  2
1 1
( ) ()URyUR GMm
RyR
y GM
GMm mymgy
RRy R
 
    
 
 
   
  2/8,9 smg
Velocidade de escape
2 2
2
11
1 1
() 0
,2 km/
2 2
2
2
s
2
esc esc
es
Terra
es
c
c
GMm
E mv URU mv
R
GM GM
v
v R gR
R R
  

 
  
escv v 0v 
Velocidade limiar para escapar da atração gravitacional de um astro:
velocidade de lançamento tal que no infinito tenha velocidade nula.
Por conservação de energia mecânica:

0)()()()(  UKRURKE
Duas aplicações do conceito
1 - buraco negro 
E se a velocidade de escape for 
igual à velocidade da luz
Ideia original de John Michell em 1784
http://www.amnh.org/explore/curriculum-collections/essay-books/cosmic-
horizons/case-study-john-michell-and-black-holes
R
GM
cvesc
2

2
2
c
GM
R 
Raio de Schwarzschild (1916) 
ou horizonte de eventos: 
ponto sem volta
Pergunta: 
se um corpo com a massa da Terra fosse um buraco negro, 
qual seria seu raio de Schwarzschild?
Observações importantes
• Buracos negros são objetos extremamente 
densos e em geral apenas estrelas com massa 
superior à do Sol evoluem para essa 
situação.
• Schwarzschild derivou seu resultado a partir 
da relatividade geral, o nosso resultado 
clássico é um feliz coincidência.
Duas aplicações do conceito
2 – expansão do universo 
Expansão do universo: lei de Hubble
http://en.wikipedia.org/wiki/Hubble's_law
Hrv 
Velocidade de expansão:
k
r
GMm
mv 2
2
1 M
m
k
r
r
GmrmH 
3
4
2
1 322 
crGrH
k
 222 4
3
1
2
1
0


G
H
c


8
3 2

Definição de velocidade de escape
G
H
c


8
3 2

c


k
r
r
Gm
rmH 
3
4
2
1 322 
01
01
01



k
k
k
Qual é o valor da densidade crítica?
Aproximadamente 5 átomos de hidrogênio por metro cúbico!
http://www.physicsoftheuniverse.com/topics_bigbang_accelerating.html
Acabamos de discutir um pouco o 
prêmio Nobel de Física de 2011
Problema de final de aula
http://phet.colorado.edu/sims/my-solar-system/my-solar-system_en.html
Por que a Lua gira em torno da Terra,
se o a força de atração do Sol é 2,2 vezes maior?