isoladas matemática do zero fepese funções aula 13 dudan

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Matemática
FUNÇÃO de 1° GRAU
Professor Dudan
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a 
qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma :
onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.
Seu gráfico é sempre uma reta. 
a → Coeficiente angular, Parâmetro angular, Inclinação ou 
Declividade.
b → Coeficiente linear, Parâmetro linear ou Termo 
Independente.
Função de 1° Grau
b ax f(x) +=
ATENÇÃO
O coeficiente linear b é o ponto de intersecção do eixo y. 
O coeficiente angular a não é o ponto de intersecção do eixo x.
Função de 1° Grau
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = -3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = -7
f(x) = -x, onde a = -1 e b = 0
Função de 1° Grau
Exemplo
Sendo f(x) = -4x + 10, determine:
a) f(3) b) f(0) c) f(x) = 2 d) f(x) = 0
Função de 1° Grau
COEFICIENTE ANGULAR
a > 0 a < 0
Reta CRESCENTE Reta DECRESCENTE
Função de 1° Grau
COEFICIENTE LINEAR
b > 0 b < 0 b = 0
Função de 1° Grau
Exemplo
Assinale as leis de formação das funções abaixo:
( ) f(x) = -3/2 x ( ) f(x) = -3x +2
( ) f(x) = -3/2 x +2 ( ) f(x) = 2x -3
( ) f(x) = -3x +2 ( ) f(x) = 2x -1
( ) f(x) = -2x + 3 ( ) f(x) = x - 2
( ) f(x) = -2/3x ( ) f(x) = 2x -2
Função de 1° Grau
Exemplo
Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8. 
Portanto, o valor de f(10) é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
Função de 1° Grau
Exemplo
Considere a tabela a seguir, que apresenta dados sobre as 
funções g, h, k, m, f.
A função cujo gráfico está sobre uma mesma reta é
a) g
b) h
c) k
d) m
e) f
Função de 1° Grau
Exemplo
A tabela a seguir, obtida a partir de dados do Ministério do 
Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies 
da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
Se mantida, nos anos subseqüentes, a tendência linear de 
crescimento mostrada na tabela, o número de espécies 
ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
a) 461
b) 498
c) 535
d) 572
e) n.d.a.
Função de 1° Grau
Exemplo
Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores 
frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como 
opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 
30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e 
devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por 
hora.
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, 
quando se utilizam x horas extras nesse período é
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 24
c) f(x) = 27
d) f(x) = 3x + 24
e) f(x) = 24x + 3
Função de 1° Grau
Exemplo
Em uma experiência realizada na aula de Biologia, um grupo de alunos 
mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. 
Plotando os pontos (t,a), em que t corresponde ao tempo em dias, e a 
corresponde à altura da planta em centímetros, os alunos obtiveram a 
figura a seguir.
Se essa relação entre tempo e altura da planta for mantida, estima-se 
que, no 34º dia, a planta tenha, aproximadamente,
a) 10 cm.
b) 6 cm.
c) 8 cm.
d) 5 cm.
e) 7 cm.
Função de 1° Grau
Exemplo
O valor de um caminhão do tipo A novo é de R$ 90.000,00 e, com 4 anos 
de uso, é de R$50.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, 
segundo uma função linear, o valor de um caminhão do tipo A, com 2 
anos de uso, em reais, é de
a) 40.000,00
b) 50.000,00
c) 60.000,00
d) 70.000,00
e) 80.000,00
Função de 1° Grau
Matemática
EQUAÇÃO DE 2° GRAU
Professor Dudan
A equação de 2° grau é a equação na forma ax² + bx + c = 0, 
onde a, b e c são números reais e x é a variável (incógnita). 
O valor da incógnita x é determinado pela fórmula de Bháskara. 
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal 
ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) 
chamamos a, b e c de coeficientes.
“a” é sempre o coeficiente de x²;
“b” é sempre o coeficiente de x,
“c” é o coeficiente ou termo independente. 
Equação de 2° grau
Assim:
x² - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.
6x² - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c =-1
7x² - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.
x² - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.
Equação de 2° grau
Equação
Coeficientes
a b c
6x² - 3x + 1= 0
-3x² - 5/2+4x = 0
2x² - 8 =0
6x² - 3x =0
Complete o quadro conforme os exemplos:
Equação de 2° grau
RESOLUÇÃO
1 – COMPLETAS
Para solucionar equações do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bháskara.
Onde a, b e c são os coeficientes (números) encontrados na equação.
Equação de 2° grau
Exemplo
Resolução a equação 7x² + 13x -2 = 0.
Equação de 2° grau
Vale ressaltar que de acordo com o discriminante, 
temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo , ∆ > 0, então a equação 
tem duas raízes reais diferentes.
2º Caso: O discriminante é nulo , ∆=0, então a equação tem 
duas raízes reais e iguais.
 3º Caso: O discriminante é negativo , ∆<0 ,então não há 
raízes reias.
Equação de 2° grau
Atenção!
A raiz (ou zero da função) é(são) o(s) valor(es) da incógnita x 
que zeram a equação.
Exemplos
I) As raízes de x² - 6x + 8 = 0 são x1 = 2 e x2 = 4 pois 
(2)² - 6(2) +8 =0 e (4)² - 6(4) +8 =0
II) As raízes de x² + 6x + 9 = 0 são x1 = x2 = -3 pois
(-3)² +6(-3) +9 =0
Equação de 2° grau
RESOLUÇÃO
2 – INCOMPLETAS
Na resolução das incompletas não é necessário resolver por 
Bháskara, basta usar os métodos específicos que variam de 
acordo com o tipo de incompleta: incompleta sem o termo 
com “x” ou a incompleta sem o termo independente.
Equação de 2° grau
Encontre as raízes das equações abaixo:
a) x² - 4x = 0
Equação de 2° grau
b) x² - 36 = 0
Equação de 2° grau
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados 
pelas fórmulas:
Equação de 2° grau
Exemplo
Determine a soma e o produto das raízes das equações:
a) x² – 7x – 9 = 0 b) -4x² + 6x = 0 c) 3x² - 10 = 0
Equação de 2° grau
Exemplo
O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas 
condições, o valor do coeficiente c é.
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
Exemplo
O produto das raízes reais da equação 4x² - 14x + 6 = 0 é igual 
a) -3/2
b) -1/2
c) 1/2
d) 3/2
e) 5/2
Exemplo
A maior raiz da equação -2x² + 3x + 5 = 0 vale:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 2,5
e) (3 + )/419
Exemplo
O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha há 20 
anos é igual a 2000. Assim minha idade atual é.
a) 41
b) 42
c) 43
d) 44
e) 45
Exemplo
Considere as seguintes equações:
I. x² + 4 = 0
II. x² - 2 = 0
III. 0,3x = 0,1
Sobre as soluções dessas equações é verdade que em
a) II são números irracionais.
b) III é número irracional.
c) I e II são números reais.
d) I e III são números não reais.
e) II e III são números racionais.
Matemática
FUNÇÃO de 2° GRAU
Professor Dudan
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, 
qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma 
f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva 
chamada parábola.
Função de 2° Grau
cbx ax² f(x) ++=
Exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = -4 e c = 1
f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x², onde a = -4, b = 0 e c = 0
Função de 2° Grau
Representação gráfica
Ao construir o gráfico de uma função quadrática 
y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo
Função de 2° GrauOutra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola 
corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente “c” na lei de formação 
da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o corta.
Função de 2° Grau
A análise do coeficiente "b" pode ser orientada pela analise 
de uma reta “imaginária” que passa pelo “c” e pelo vértice. 
Assim:
Nos exemplos acima se a reta “imaginária” for crescente, b > 0 caso contrário b < 0 e 
no caso em que o vértice e o “c” coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em relação 
ao eixo Y.
Função de 2° Grau
Atenção!
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor 
obtido para o radicando , chamado discriminante:
Se Δ > 0, Se Δ = 0, Se Δ < 0, 
há duas raízes há duas raízes reais não há raiz real. 
reais e distintas; e iguais; 
Função de 2° Grau
Complete as lacunas:
Função de 2° Grau
Função de 2° Grau
Exemplo
Determine o valor de K para que a função f(x) = x² - kx + 9 
tenha raízes reais e iguais.
Função de 2° Grau
Zero ou Raiz da Função
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = 
ax2 + bx + c, com a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de 
Bhaskara:
4.a.c-b² sendo 
2a
 4.a.c-b²b-x =∆±= ,
Função de 2° Grau
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados 
pelas fórmulas:
Função de 2° Grau
VÉRTICE da PARÁBOLA
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, 
pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. 
De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão 
definidos, observe:
Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de 
mínimo (quando a > 0):
Função de 2° Grau
COORDENADAS DO VÉRTICE
Atenção: Xv é o ponto médio das raízes reais.
) ,( vv yxV a2
bxv −=
a4
yv
∆
−=
Função de 2° Grau
Exemplo
Determine o vértice da parábola f(x) = 2x² - 8x + 5.
Função de 2° Grau
Exemplo
A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está 
esboçado, é:
(A) f(x) = –2x2 – 2x + 4.
(B) f(x) = x2 + 2x – 4.
(C) f(x) = x2 + x – 2.
(D) f(x) = 2x2 + 2x – 4.
(E) f(x) = 2x2 + 2x – 2.
Função de 2° Grau
Exemplo
Baseado no gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, e c , 
pode-se afirmar que:
Função de 2° Grau
Exemplo
A função f(x) = Ax2 + Bx + C, A 0 tem como gráfico a figura 
abaixo. Podemos então concluir que:
Função de 2° Grau
Exemplo
Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A 
ordenada do vértice é:
(A) 3
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7
Função de 2° Grau
FUNÇÕES
COMO A
FEPESE
COBRA ISSO?
Seja f: IR → IR dada por f(x) = 2x + 2.
Encontre o valor de a para que a equação f(ax – 1) = x seja válida para todo 
número real x.
a. 1/4
b. 1/2
c. 3/4
d. 3/2
e. 5/2
UFFS - 2012
As raízes da função quadrática y = 2x² +mx + 1 são positivas e uma é o dobro 
da outra. A soma dessas raízes é:
a. 2,4
b. 2,1
c. 1,8
d. 1,5
e. 1,2
UDESC - 2012
UDESC - 2010
GABARITOS
Questões FEPESE : B-D-B 
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