2-Teorema_do_Valor_Medio

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4.2	
  Teorema	
  do	
  Valor	
  Médio	
  
Material	
  online:	
  h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  	
  
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:	
a)  f é contínua no intervalo [a,b]	
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)	
c)  f(a) = f(b)	
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.	
Prova: 	
caso 1: f(x) = k constante	
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:	
a)  f é contínua no intervalo [a,b]	
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)	
c)  f(a) = f(b)	
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.	
f’(x)=0 para qualquer x em (a,b)	
caso 2: f(x) > f(a) para algum x em (a,b)	
Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge um valor���
máximo f(xM) em algum xM em [a,b]. 	
Como f(a)=f(b)< f(x) para algum x,���
xM deve estar no aberto (a,b).	
Como f é diferenciável em (a,b) e xM é ponto de máximo, temos f’(xM)=0,���
Dai c=xM.	
Prova: 	
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:	
a)  f é contínua no intervalo [a,b]	
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)	
c)  f(a) = f(b)	
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.	
Analogamente, f atinge um valor mínimo f(xm) 
em algum xm em (a,b), onde teremos f’(xm)=0,���
Dai c=xm.	
caso 3: f(x) < f(a) para algum x em (a,b)	
Exemplo: 	
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:	
a)  f é contínua no intervalo [a,b]	
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)	
c)  f(a) = f(b)	
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.	
Considere uma bola jogada para cima de uma altura inicial de 2m. 	
Em algum momento, a bola para de subir e desce, até atingir 
novamente a altura de 2m.	
Logo, se f é uma função que dá a altura da bola em metros no 
instante t, o Teorema de Rolle nos garante que em algum momento a 
velocidade da bola se anula, pois:	
f(t0)=f(t1)= 2, onde t0 é o instante de tempo inicial e t1 o instante de 
tempo final onde a altura mede 2m.	
  
Como a função altura é contínua e diferencial, existe c 
em (t0, t1) tal que f’(c)=0.	
  
2m	
  
f(c)	
  
Exemplo: 	
Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:	
a)  f é contínua no intervalo [a,b]	
b)  f é diferenciável no intervalo (a,b)	
c)  f(a) = f(b)	
Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.	
Demonstre que a equação x3 + x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.	
Temos que f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0.	
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é 
contínua, existe um número c entre 0 e 1 tal que ���
f(c) = 0. Logo, f tem pelo menos uma raiz real.	
  
Suponha agora que f tem duas raízes reais. Então ���
f(a) = f(b) = 0.	
  
f é derivável e contínua em todo ponto, pois é polinômio. Logo, pelo 
Teorema de Rolle, existe c entre a e b tal que f’(c) = 0.	
  
Mas isso é um absurdo, pois f’(c) = 3x2 + 1 ≥ 1 para todo x.	
  
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− aou	
y=f(x)	
  
A = (a, f(a))
B = (b, f(b))
P = (c, f(c))
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− aou	
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− aou	
Prova: 	
Equação da reta por A e B:	
  
Considere a funcão h(x) que dá a diferença entre 
f e a função linear cujo gráfico é a secante que 
por A e B.	
y − f(a) = f(b)− f(a)
b− a (x− a),
mAB =
f(b)− f(a)
b− a
y = f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a),
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− aou	
Prova: 	
y = f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a),
1.  h é contínua em [a,b]	
2.  h é derivável em (a,b)	
  
3.  h(a) = 0 = h(b)	
  
Pelo Teorema de Rolle, existe c em (a,b) tal que h’(c) = 0	
  
0 = h�(c) = f �(c)− f(b)− f(a)
b− a � f
�(c) =
f(b)− f(a)
b− a
h�(x) = f �(x)− f(b)− f(a)
b− a .Mas	
  
Exemplo: Se um objeto se move em linha reta com função posição s = f(t), então a 
velocidade média entre t = a e t = b é	
Pelo Teorema do Valor Médio, em algum instante t = c entre a e b, temos 	
  
vm =
f(b)− f(a)
b− a
Mas f’(c) é a velocidade instantânea do objeto quando t = c. 	
  
Logo, o Teorema do Valor Médio nos diz que em algum momento entre a e b a 
velocidade instantânea é igual a velocidade média.	
  
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− a = vm
Por exemplo, se um carro percorre 180 km em duas horas, sua velocidade média é 
de 90 km/h. Logo, em algum instante nessas duas horas, o velocímetro marcou 90 
km/h.	
  
Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f
(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte? 	
Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:	
  
f �(c) =
f(2)− f(0)
2− 0 =
f(2) + 3
2
Mas f’(c) ≤ 5, logo: 	
  
f(2) + 3
2
≤ 5
f(2) + 3 ≤ 10
f(2) ≤ 7
Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f
(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte? 	
Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:	
  
f �(c) =
f(2)− f(0)
2− 0 =
f(2) + 3
2
Mas f’(c) ≤ 5, logo: 	
  
f(2) + 3
2
≤ 5
f(2) + 3 ≤ 10
f(2) ≤ 7
f’(c) = 0 = f(b) – f(a)	
  
f(b) = f(a)	
  
Podemos, analogamente, tomar b < a e chegar a mesma conclusão de que f(b) = f(a).	
  
Logo, f(x) = f(a) para todo x, e f é constante.	
  
Corolário: Se f’(x) = g’(x) para todo x em um intervalo aberto (a,b) então f – g é 
constante em (a, b), isto é, f(x) = g(x) + c, onde c é uma constante.	
Seja F(x) = f(x) – g(x).	
  
F’(x) = f’(x) – g'(x)	
  
Como f’(x) = g’(x) em (a,b) , F’(x) = 0	
  
Pelo corolário anterior, F é constante em (a,b).	
  
Demonstração:	
  
Exemplo: Demonstre que arctg(x) + arccotg(x) = π/2.	
Seja F(x) = arctg(x) + arccotg(x).	
  
F �(x) =
1
1 + x2
− 1
1 + x2
= 0
Pelo corolário, F é constante. Resta mostrar que essa constante vale π/2.	
Basta tomar um valor qualquer de x, por exemplo, x=1:	
  
F(1) = arctg(1) + arccotg(1) = π/4 + π/4 = π/2. 	
  
Logo, arctg(x) + arccotg(x) = F(x) = F(1) = π/2. 	
  
Exercício: Mostre que se x > 0.	
Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…	
  
√
1 + x < 1 +
1
2
x
Tome	
   f(x) =
√
1 + x
f �(x) =
1
2
√
1 + x
Se x > 0, 	
   f �(x) <
1
2
Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, 
podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em 
(a, b) tal que	
  
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− a <
1
2
√
1 + b−√1 + a
b− a <
1
2
Exercício: Mostre que se x > 0.	
Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…	
  
√
1 + x < 1 +
1
2
x
Tome	
   f(x) =
√
1 + x
f �(x) =
1
2
√
1 + x
Se x > 0, 	
   f �(x) <
1
2
Pelo Teorema do Valor Médio, como f é 
contínua e derivável quando x > 0, podemos 
tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de 
modo que existe c em (a, b) tal que	
  
f �(c) =
f(b)− f(a)
b− a <
1
2
√
1 + b−√1 + a
b− a <
1
2
√
1 + b−√1 + a < 1
2
(b− a)
Para chegar próximo da 
expressão desejada, 
façamos b = x:	
  
√
1 + x−√1 + a < 1
2
x− 1
2
a
√
1 + x <
√
1 + a+
1
2
x− 1
2
a
Finalmente, faça a = 0:	
  
√
1 + x < 1 +
1
2
x
Exercício: Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio 
na função	
f(x) = e−2x, [0,3]	
  
f �(x) = e−2x · d
dx
[−2x] = −2 · e−2xSolução:	
  
f(0) = e−2·0 = e0 = 1
f(3) = e−2·3 = e−6
=
e−6 − 1
3− 0
f �(c) = −2 · e−2c
−2 · e−2c = f �(c) = f(b)− f(a)
b− a
log
�
e−2c
�
= log
�
1− e−6
6
�
c = −1
2
log
�
1
6
(1− e−6)
�Exercício: Suponha que para todo x. Mostre que 	
Solução:	
  
3 ≤ f �(x) ≤ 5
18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30.
Vamos aplicar o Teorema do Valor no intervalo (2,8).	
  
f �(c) =
f(8)− f(2)
8− 2 =
f(8)− f(2)
6
Como : 	
  3 ≤ f �(c) ≤ 5
3 ≤ f(8)− f(2)
6
≤ 5
18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30