CAPÍTULO III- (Medidas de Tendência Central)

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TRATAMENTO DE DADOS QUANTITATIVOS
INTRODUÇÃO
	As medidas de tendência central são estatísticas, aplicadas às variáveis quantitativas, que representam a distribuição e resumem informações. Recebem esse nome porque, ao representar um conjunto de dados, tendem a localizar-se no centro. Dentre estas, destacamos:
Média (
);
Mediana (
 ou Md);
Moda (Mo).
	Assim, para uma distribuição como a do exemplo inicial {1, 3, 4, 5, 5, 6}, teremos:
	
= 4;		
= 4,5	e	Mo = 5
MÉDIAS (aritmética, geométrica, harmônica e quadrática)
MÉDIA ARITMÉTICA (
)
É uma das principais medidas de tendência central, cuja aplicação é seguramente a mais usada, sendo que podem ser simples (dados não agrupados em classe) e ponderadas (dados agrupados em classe).
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
	A média aritmética simples será o quociente entre a soma de todos os valores assumidos pela variável que traduz o fenômeno analisado (x1, x2, x3,..., xn) e o número de valores n assumidos pela variável:
Ex: Determine a média aritmética simples dos valores {3, 7, 8, 10, 11}
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
O cálculo da média aritmética será efetuado considerando-se os pesos (número de vezes com que eles se repetem), que se denominam freqüências (fi).
	Assim, quando as medidas x1, x2, x3, ..., xn tiverem, respectivamente, freqüências ou pesos f1, f2, f3, ..., fn, a média aritmética será:
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA PARA DADOS TABULADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE
Ex: Determine a média aritmética
	(xi)
	(fi)
	xifi
	1
2
3
4
	1
3
5
1
	1
6
15
4
	(
	10
	26
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA PARA DADOS TABULADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
Ex: Determine a média aritmética para a distribuição abaixo.
	i
	CLASSES
	fi
	xi
	xifi
	1
2
3
4
5
	2 |- 4
4 |- 6
6 |- 8
8 |- 10
10 |- 12
	5
10
14
8
3
	3
5
7
9
11
	15
50
98
72
33
	
	(
	40
	
	268
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA:
1.a) A soma dos desvios tomados em relação à média é nula.
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou seja, 
. 
Ex: { 2, 3, 5, 7, 8 }	
		
(-3) + (-2) + 0 + 2 +3 = 0
2.a) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.
yi = xi ( c ( 
Ex: Dados { 2, 3, 5, 7, 8 } com c = 5
	xi
	2
	3
	5
	7
	8
	yi = xi + c
	7
	8
	10
	12
	13
Assim, 
	e	
( 
3.a) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c ( 0, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
yi = xi.c ( 
 ( 
Ex: Dados { 2, 3, 5, 7, 8 }	com c = 5
	xi
	2
	3
	5
	7
	8
	yi = xi.c
	10
	15
	25
	35
	40
Assim, 
	e	
 ( 
CÁLCULO DA MÉDIA PELA VARIÁVEL TRANSFORMADA:
	O processo da variável transformada para o cálculo da média é útil de ser aplicado quando os valores de x forem grandes e a amplitude entre tais valores for constante. O uso desse processo oferece-nos rapidez e facilidade nos cálculos.
Fases para o cálculo da média pela Variável Transformada:
1.a) Abrimos uma coluna para os valores de x;
2.a) Escolhemos um dos pontos médios (geralmente o de maior frequência) para os valores de x 0;
3.a) Abrimos uma coluna para os valores de yi e escrevemos zero na linha correspondente à classe onde se encontra o valor de x 0; a sequência -1, -2, -3, ..., logo acima do zero, e a sequência 1, 2, 3, ..., logo abaixo;
4.a) Abrimos uma coluna para os valores do produto yifi, conservando os sinais + ou -, e, em seguida, somamos algebricamente esses produtos;
5.a) Aplicamos a fórmula 
.
Ex: Determine a média aritmética da distribuição pelo processo breve.
	i
	CLASSES
	fi
	xi
	yi
	yifi
	1
2
3
4
5
	2 |- 4
4 |- 6
6 |- 8
8 |- 10
10 |- 12
	5
10
14
8
3
	3
5
7
9
11
	-2
-1
0
+1
+2
	-10
-10
0
+8
+6
	
	(
	40
	
	
	-6
Observação: A média é extremamente influenciada por valores acentuados, muito altos ou muito baixos.
Ex: 	{ 1, 2, 3, 10}	
	{ 1, 2, 3, 1.000}	
MÉDIA GEOMÉTRICA (Mg)
	Denominamos média geométrica a raiz n-ésima do produto de n valores de um conjunto. A média geométrica deve ser utilizada quando os dados se desenvolvem segundo uma progressão geométrica, como é o caso dos preços num período de inflação galopante.
MÉDIA GEOMÉTRICA SIMPLES
Sejam x1, x2, x3, ..., xn, valores de x. A média geométrica simples será definida pela expressão:
Ex: Calcule a média geométrica dos valores { 2, 4, 8, 16, 32 }.
MÉDIA GEOMÉTRICA PONDERADA
Sejam x1, x2, x3, ..., xn, valores de x associados às freqüências absolutas f1, f2, f3,..., fn, respectivamente. A média geométrica ponderada será definida pela expressão:
Ex: Calcule a média geométrica para a distribuição:
	xi
	2
	8
	32
	fi
	3
	2
	1
MÉDIA HARMÔNICA (Mh)
	É o inverso da média aritmética dos inversos dos valores. A média harmônica é recomendada para séries de valores que são inversamente proporcionais, como para o cálculo de velocidade média, tempo médio de escoamento de estoques, custo médio de bens comprados com uma quantia fixa, etc.
MÉDIA HARMÔNICA SIMPLES
Sejam x1, x2, x3, ..., xn, valores de x. A média harmônica simples será definida pela expressão:
Ex: Calcule a média harmônica dos valores { 2, 5, 7, 9 }.
MÉDIA HARMÔNICA PONDERADA
Sejam x1, x2, x3, ..., xn, valores de x associados às freqüências absolutas f1, f2, f3,..., fn, respectivamente. A média harmônica ponderada será definida pela expressão:
Ex: Calcule a média harmônica para a distribuição:
	xi
	2
	4
	5
	fi
	1
	3
	4
MÉDIA QUADRÁTICA (Mh)
É a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos “n” valores.
A) MÉDIA QUADRÁTICA SIMPLES
Seja um conjunto de “n” valores x1, x2, x3, ..., xn, a média quadrática será definida pela expressão:
Ex: Calcule a média quadrática dos valores {10, 15, 16, 18}
B) MÉDIA QUADRÁTICA ´PONDERADA
Sejam x1, x2, x3, ..., xn, valores de x associados às frequências absolutas f1, f2, f3,..., fn, respectivamente. A média quadrática ponderada será definida pela expressão:
=
Ex: Calcule a média quadrática para a distribuição:
	xi
	fi
	xi2
	xi2fi
	2
5
7
8
	4
6
7
3
	4
25
49
81
	16
150
343
243
	∑
	20
	
	752
MEDIANA ( 
 ou Md )
	É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados.
MEDIANA PARA UM ROL
	Dado um conjunto qualquer de valores, o primeiro passo é ordenar estes valores em ordem crescente ou decrescente. O segundo passo é verificar se o número de elementos que compõe este conjunto é par ou ímpar.
No caso de n ímpar, a posição da mediana é determinada por 
.
No caso de n par, a posição da mediana é determinada por 
 e 
.
Ex1: Calcule a mediana da série { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 }.
	Neste caso, n = 9 (ímpar) e a posição do elemento central é dada por 
 ( 5º termo da série). Assim, 
= 10.
Ex2: Calcule a mediana da série { 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 }.
	Neste caso, n = 8 (par) e as posições dos elementos centrais são dadas por 
 ( 4º termo da série) e 
 ( 5º termo da série).
Assim, a mediana corresponde à média aritmética entre os valores centrais 
.
MEDIANA PARA DADOS TABULADOS SEM E COM INTERVALOS DE CLASSE
	O cálculo da mediana se processa de modo semelhante àquele dos dados não-tabulados, implicando, porém, a determinação prévia das freqüências acumuladas crescentes.
MEDIANA PARA DADOS TABULADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE
	Neste caso, é preciso verificar se o númerode observações é ímpar ou par, e, para cada caso, aplicar os critérios anteriores.
No caso de n ímpar:
Ex: Calcule a mediana da distribuição abaixo.
	 (xi)
	(fi)
	faci
	1
2
3
4
	1
3
5
2
	1
4
9
11
	(
	n = 11
	
	n = 11 (ímpar), logo 
 será o elemento de ordem 
, ou seja, o 6º termo. Para identificá-lo, abre-se a coluna da freqüência acumulada crescente (faci) e através dela encontra-se o valor ( xi ) correspondente à mediana. Neste exemplo 
= 3.
No caso de n par:
Ex: Calcule a mediana da distribuição abaixo.
	(xi)
	(fi)
	faci
	4
5
6
8
10
	3
7
6
4
4
	3
10
16
20
24
	(
	n = 24
	
	n = 24 (par), logo 
 será a média entre os elementos de ordem 
 e 
, ou seja, o 12º e o 13º termos. Para identificá-lo, abre-se a coluna da freqüência acumulada crescente (faci). Neste exemplo, os elementos de ordem 12 e 13 correspondem a 6 e 6. Logo, 
.
MEDIANA PARA DADOS TABULADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
	Neste caso, usamos o seguinte procedimento:
1.º) Calculamos a ordem 
 (independendo de n ser ímpar ou par);
2.º) Determinamos as freqüências acumuladas crescentes (faci) e identificamos a classe que contém a mediana (classe mediana);
3.º) Aplicamos a fórmula 
.
Onde:
	l* = limite inferior da classe mediana;
	n = tamanho da amostra ou número de elementos;
	fac (ant) = freqüência acumulada até a classe anterior à classe mediana;
	h* = amplitude do intervalo da classe mediana;
	f* = freqüência simples ou absoluta da classe mediana.
Ex: Calcule a mediana da distribuição abaixo.
	i
	CLASSES
	fi
	faci
	1
2
3
4
	2 |- 12
12 |- 22
22 |- 32
32 |- 42
	3
8
7
2
	3
11
18
20
	
	(
	n = 20
	
Procedimento:
1.º) Como n = 20, temos 
= 10 (10º termo);
2.º) Neste caso, a classe mediana é a 2.a;
3.º) 
MODA ( Mo )
	Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
MODA PARA UM ROL
	Neste caso, a moda é facilmente reconhecida. Basta procurar o valor que mais se repete.
Ex1: { 3, 5, 8, 10, 12, 13 } (conjunto amodal)
Ex2: { 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 } Mo = 10 (conjunto unimodal)
Ex2: { 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } Mo = 4 e Mo = 7 (conjunto bimodal)
MODA PARA DADOS TABULADOS SEM E COM INTERVALOS DE CLASSE
MODA PARA DADOS TABULADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE
Quando os dados estiverem dispostos em uma tabela de freqüência, não agrupados em classe, a localização da moda é imediata, bastando, para isso, verificar na tabela o valor da variável de maior freqüência.
Ex: Calcule a moda da distribuição abaixo.
	(xi)
	(fi)
	2
4
5
7
	3
5
10
8
	(
	n = 26
Mo = 5 (Notem que esse número é o mais comum nesta distribuição)
MODA PARA DADOS TABULADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
	Tratando-se de dados agrupados em classe, a moda não é percebida tão facilmente como nos casos anteriores. Para tal, utilizamos diversos processos na sua obtenção. Mas qualquer que seja o processo adotado, o primeiro passo é identificar a classe que contém a maior freqüência. A esta classe denominamos classe modal.
MODA BRUTA
	De todos os processos, este é o mais elementar, bastando, para isso, tomar o ponto médio da classe modal.
	A moda bruta será definida pela expressão: 
onde:	l* é o limite inferior da classe modal;
	L* é o limite superior da classe modal.
Ex: Calcule a moda bruta da distribuição abaixo.
	i
	CLASSES
	fi
	1
2
3
4
	0 |- 10
10 |- 20
20 |- 30
30 |- 40
	12
5
15
8
	
	(
	n = 40
	A classe modal é i = 3, l*= 20 e L*= 30
Logo:
MODA PELO PROCESSO DE CZUBER
	O processo utilizado por Czuber leva em consideração as freqüências anterior e posterior à classe modal. O ponto correspondente à moda divide o intervalo em partes proporcionais às diferenças da freqüência da classe modal com as freqüências anterior e posterior, respectivamente.
Passos:
1.º) Identificamos a classe modal (aquela que possui maior freqüência);
2.º) Aplicamos a fórmula 
onde:
	l* é o limite inferior da classe modal;
	(1 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente anterior;
	(2 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente posterior;
	h* é a amplitude da classe modal.
Ex: Calcule a moda da distribuição abaixo pelo processo de Czuber.
	i
	CLASSES
	fi
	1
2
3
4
	0 |- 10
10 |- 20
20 |- 30
30 |- 40
	2
8
10
4
	
	(
	n = 24
Passos:
1.º) A 3.a classe é a classe modal;
2.º) 
.
MODA PELO PROCESSO DE KING
	No processo proposto por King, é considerada a influência sobre a classe modal das frequências das classes anterior e posterior, fazendo com isto que a moda se desloque dentro do intervalo de classe para um ponto tal que as distâncias deste ponto aos limites da classe sejam inversamente proporcionais às frequências anterior e posterior.
	A inconveniência deste processo é justamente não levar em consideração a frequência máxima ou frequência da classe modal.
Passos:
1.º) Identificamos a classe modal (aquela que possui maior frequência);
2.º) Aplicamos a fórmula 
onde:
	l* é o limite inferior da classe modal;
	fant é a frequência absoluta simples anterior à classe modal;
	fpost é a frequência absoluta simples posterior à classe modal;
	h* é a amplitude da classe modal.
Ex: Calcule a moda da distribuição abaixo pelo processo de King.
	i
	CLASSES
	fi
	1
2
3
4
	0 |- 10
10 |- 20
20 |- 30
30 |- 40
	2
8
10
4
	
	(
	n = 24
Passos:
1.º) A 3.a classe é a classe modal;
2.º) 
.
MODA PELO PROCESSO DE PEARSON
	Este processo pressupõe que a distribuição seja aproximadamente simétrica, na qual a média aritmética e a mediana são levadas em consideração.
	A moda pelo processo de Pearson será definida pela expressão: 
.
Ex: Calcule a moda da distribuição abaixo pelo processo de Pearson.
	i
	CLASSES
	fi
	xi
	xifi
	faci
	1
2
3
4
	2 |- 12
12 |- 22
22 |- 32
32 |- 42
	3
8
7
2
	7
17
27
37
	21
136
189
74
	3
11
18
20
	
	(
	n = 20
	
	420
	
Neste caso:
	e	
POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MEDIANA E MODA
	Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém, a assimetria torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos:
Curva Simétrica – Apresenta como principal característica o fato das três medidas de tendência central serem iguais. O Gráfico 3.1 ilustra a situação.
GRÁFICO 3.1 – CURVA DE FREQÜÊNCIA SIMÉTRICA
Curva Assimétrica Positiva – Uma distribuição com deformação positiva se apresenta com uma cauda mais alongada à direita da ordenada máxima (correspondente à moda) do que à esquerda. O Gráfico 3.2 ilustra a situação. Nas distribuições assimétricas positivas, há uma predominância de valores superiores à moda.
GRÁFICO 3.2 – CURVA DE FREQÜÊNCIA ASSIMÉTRICA POSITIVA
Curva Assimétrica Negativa – Uma distribuição com deformação negativa se apresenta com uma cauda mais alongada à esquerda da ordenada máxima. O Gráfico 3.3 ilustra a situação. Nas distribuições assimétricas negativas, há uma predominância de valores inferiores à moda.
GRÁFICO 3.3 – CURVA DE FREQÜÊNCIA ASSIMÉTRICA NEGATIVA
Observação: Podemos determinar o tipo de assimetria sem, necessariamente dispor das curvas de freqüência. O tipo de assimetria será dado pelas relações entre as medidas de tendência central.
		
 – Mo > 0	( distribuição assimétrica positiva
		
 – Mo = 0	( distribuição simétrica
		
 – Mo < 0	( distribuição assimétrica negativa
�PAGE �
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