ALEGEBRA LINEAR UEPA
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onde T1 e T2 são as matrizes canônicas de f1 e f2, respectivamente. 
 
4) A matriz canônica de f2 
o
 f1 
 
Solução 
 T2T1 = 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
85 
5) A matriz canônica de f1 
o
 f2 
 
Solução 
T1T2 = 
 
Assinale-se que f1 
o
 f2 f2 
o
 f1 e esse fato geralmente ocorre. 
 
6) A matriz canônica de f1 
o
 f1 
 
Solução 
 T1T1 = 
 
O operador f1 
o
 fl é também representado por . 
 
7) A matriz canônica de f3 
o
 f2 
 
Solução 
 T3T2 
A transformação f2 
o
 f3 não existe pela impossibilidade de multiplicar T2 por T3. 
 
 
 
3.8 - TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS 
 
 
 Transformação linear plana é toda função linear cujos domínio e contradomínio 
constituem o IR
2
. Serão estudadas algumas de especial importância e suas correspdndentes 
interpretações geométricas, ficando a cargo do leitor verificar que são lineares. 
 
 
3.8.1 - Reflexões 
 
 
a) Reflexão em relação ao eito dos x 
 
 Essa transformação linear leva cada ponto ou vetor (x,y) para a sua imagem (x, -y), 
simétrica em relação ao eixo dos x: 
 
f: IR
2 
 IR
2 
f (x y) = (x, -y) (Figura 3.8.l.a) 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
86 
 
 
A matriz canônica dessa transformação é: 
 
A = 
 
logo: 
 
 
 
b) Reflexão em relação ao eixo dos y 
 
f : IR
2
 IR
2
, f (x, y) = (-x, y) (Figura 3.8.1b) 
 
 
A matriz canônica dessa transformação é: 
A= , 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
87 
Logo: 
 
 
c) Reflexão em relação à origem 
 
f : IR
2 
 IR
2
, f (x,y) = (-x, -y) (Figura 3.8.l c) 
 
 
 
A matriz canônica dessa transformação é: 
 
A = 
logo: 
 
 
d) Reflexão em relação à reta y = x 
 
f : IR
2
 IR
2
, f (x,y) = (y ,x) (Figura 3.8.l d) 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
88 
 
 
A matriz canônica dessa transformação é: 
 
A = 
 
logo: 
 
 
e) Reflexão em relação à reta y = - x 
f: IR
2
 IR
2
, f(x,y) = (-y, -x) (Figura 3.8.1. e) 
 
A matriz canônica dessa transformação é: 
 
A = 
 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
89 
logo, 
 
 
 
 
3.8.2 \u2013 Dilatações e Contrações 
 
 
a) Dilatação ou contração na direção do vetor 
 
f : IR
2
 IR
2
, f (x, y) = = (x, y) = ( x, y), IR (Figura 3.8.2.a) 
 
A matriz canônica dessa transformação é: 
 
A = 
 
logo, 
 
 
 
 
 
 
 Observe o leitor que 
 \u2013 se > 1, f dilata o vetor; 
 \u2013 se < 1, f contrai ovetor; 
 \u2013 se < 1, f é a identidade I; 
 \u2013 se < 0, f muda o sentido do vetor. 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
90 
 A transformação f: IR
2
 IR
2
, f (x, y) = (x, y) = é um exemplo de 
contração. 
b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x 
f: IR
2
 IR
2
, f (x, y) = ( x, y), 0 (Fig. 3.8.2.b) 
A matriz canônica dessa transformação é: 
A = 
logo: 
 
 
 
 Observe o leitor que 
 \u2013 se > 1, f dilata o vetor; 
 \u2013 se 0 < 1, f contrai o vetor. 
 
 A transformação dada é também chamada dilatação ou contração na direção 
horizontal de um fator . 
 
A Fig. 3.8.2.b mostra uma dilatação de fator = 2 e uma contração de fator = . 
 
 
c) Dilatação ou contração na direção do eixo dos y 
f :IR
2
 IR
2
, f (x, y) = (x y), 0 (Figura3.8.2.c) 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
91 
 
 
A matriz canônica dessa transformação é: 
A = , 
logo: 
 
 
Observe o leitor que 
\u2013 se > 1, f dilata o vetor; 
\u2013 se 0 1, f contrai o vetor. 
 
\u2022 Nos casos b) e c), se = 0, viria, respectivamerite: 
b) f (x, y) = (0, y) e f seria a projeção do plano sobre o eixo dos y (Fig. 3.8.2.d) 
c) f (x,y) = (x, 0) e f seria a projeção do plano sobre o eixo dos x (Fig. 3.8.2.e) 
 
 
 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
92 
3.8.3. \u2013 Cisalhamentos 
 
 
a) Cisalhamento na direção do eixo dos x 
f : IR
2
 IR
2
, f (x,y) = (x + y, y) 
 
A matriz canônica desse cisalhamento é: 
A = 
logo: 
 
O efeito desse cisalhamento, para um determinado valor de , é transformar o 
retângulo OAPB no parelelogramo OAP\u2019B\u2019 de mesma base e mesma altura (Fig. 3.8.3.a). 
 
 
 
Por esse cisalhamento, cada ponto (x, y) se desloca paralelamente ao eixo dos x até 
chegar em (x + y, y), com exceção dos pontos do próprio eixo dos x \u2013 que permanecem em 
sua posição \u2013, pois para eles y = 0. Assim, fica explicado por que o retângulo e o 
paralelogramo da Figura têm a mesma base . 
 
 Esse cisalhamento é também chamado cisalhamento horizontal de fator . 
b) Cisalhamento na direção do eixo dos y 
f : IR
2
 IR
2
, f (x, y) = (x, y + x) = (x, x + y) 
A matriz canônica desse cisalhamento é: 
A = 
logo: 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
93 
O efeito desse cisalhamento, para um determinado valor de , é transformar o 
retângulo OAPB no paralelogramo OAP\u2019B\u2019 de mesma base e mesma altura (Fig. 3.8.3.b) 
 
Por esse cisalhamento, cada ponto (x, y) se desloca paralelamente ao eixo dos y até 
chegar em (x, x + y), com exceção dos pontos do próprio eixo dos y \u2013 que permanecem em 
sua posição \u2013, pois para eles x = 0. Assim, fica explicado por que o retângulo e o 
pasralelogramo da Figura têm a mesma base . 
 
 Esse cisalhamento é também chamado cisaihamento vertical de fator . 
 
 
 
 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
94 
3.8.4 \u2013 Rotação do Plano 
 
 
A rotação do plano de um ângulo em torno da origem do sistema de coordenadas, 
sistema determinado pela base A = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), é uma transformação linear f : 
IR
2
 IR
2
 que a cada vetor v = (x, y) faz corresponder o vetor f (v) = (x\u2019, y\u2019) (Fig. 3.8.4.a). 
 
 
 
Um vetor v = (x, y) é expresso, na base A, por 
v = x e1 + y e2, 
e, de acordo com a propriedade II) das transformações lineares, item 3.2.2, pode-se escrever: 
f (v) = xf (e1) yf (e2) (1) 
 
Mas, conforme a figura 3.8.4.b, tem-se: 
f (e1) = (cos , sen ) (2) 
f (e2) = (-sen , cos ) (3) 
 
Substituindo (2) e (3) em (l),vem: 
f (v) = (x\u2019, y\u2019) = x (cos , sen ) + y (-sen , cos ) 
= ((cos ) x, (sen ) x) + ((-sen ) y + (cos )y) 
= ((cos ) x + (-sen )y, (sen )x + (cos ) y) (4) 
 
A matriz canônica dessa transformação f é 
T = 
logo: 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
95 
A matriz T , chamada matriz de rotação de um ângulo , 0 2 , é a matriz canônica da 
transformação f : IR
2
 IR
2
, definida em (4). 
 
 Nada impede que, a rotação do plano seja de um ângulo < 0; nesse caso, o 
ângulo será designado por - e a respectiva matriz de rotação, por T(- ): 
 
T(- ) = 
mas, 
cos (- ) = cos 
sen (- ) = - sen , 
logo: 
T(- ) = , 
 
Como se pode ver T(- ) = T
-1
, isto é, a matriz da rotação de um ângulo - é a inversa 
da matriz da rotação de um ângulo . Este fato significa que se, por intermédio da matriz T , 
se leva o vetor v = (x, y) à sua imagem f (v) = (x\u2019, y\u2019), por meio da matriz T(- ) = T
-1
 a 
imagem f (v) = (x\u2019, y\u2019) é trazida de volta ao vetor v = (x, y). Assim: 
 
f(v) = T v 
e 
v = T
-1
 f (v) 
 
ou, na forma matricial: 
 
e 
 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES \u2013 Capítulo 3 
 
 
 
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3.8.5 \u2013 Problemas Resolvidos 
 
1) Determinar a matriz da transformação linear f em IR
2
 que representa