Sequencias Numéricas e Series

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Sequências Numéricas e Séries
Disciplina na modalidade a distância
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Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina | Campus UnisulVirtual | Educação Superior a Distância
Reitor
Ailton Nazareno Soares
Vice-Reitor 
Sebastião Salésio Heerdt
Chefe de Gabinete da Reitoria 
Willian Corrêa Máximo
Pró-Reitor de Ensino e 
Pró-Reitor de Pesquisa, 
Pós-Graduação e Inovação
Mauri Luiz Heerdt
Pró-Reitora de Administração 
Acadêmica
Miriam de Fátima Bora Rosa
Pró-Reitor de Desenvolvimento 
e Inovação Institucional
Valter Alves Schmitz Neto
Diretora do Campus 
Universitário de Tubarão
Milene Pacheco Kindermann
Diretor do Campus Universitário 
da Grande Florianópolis
Hércules Nunes de Araújo
Secretária-Geral de Ensino
Solange Antunes de Souza
Diretora do Campus 
Universitário UnisulVirtual
Jucimara Roesler
Equipe UnisulVirtual 
Diretor Adjunto
Moacir Heerdt 
Secretaria Executiva e Cerimonial
Jackson Schuelter Wiggers (Coord.)
Marcelo Fraiberg Machado
Tenille Catarina
Assessoria de Assuntos 
Internacionais 
Murilo Matos Mendonça
Assessoria de Relação com Poder 
Público e Forças Armadas
Adenir Siqueira Viana
Walter Félix Cardoso Junior
Assessoria DAD - Disciplinas a 
Distância
Patrícia da Silva Meneghel (Coord.)
Carlos Alberto Areias
Cláudia Berh V. da Silva
Conceição Aparecida Kindermann
Luiz Fernando Meneghel
Renata Souza de A. Subtil
Assessoria de Inovação e 
Qualidade de EAD
Denia Falcão de Bittencourt (Coord.)
Andrea Ouriques Balbinot
Carmen Maria Cipriani Pandini
Assessoria de Tecnologia 
Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord.)
Felipe Fernandes
Felipe Jacson de Freitas
Jefferson Amorin Oliveira
Phelipe Luiz Winter da Silva
Priscila da Silva
Rodrigo Battistotti Pimpão
Tamara Bruna Ferreira da Silva
Coordenação Cursos
Coordenadores de UNA
Diva Marília Flemming
Marciel Evangelista Catâneo
Roberto Iunskovski
Auxiliares de Coordenação
Ana Denise Goularte de Souza
Camile Martinelli Silveira
Fabiana Lange Patricio
Tânia Regina Goularte Waltemann
Coordenadores Graduação
Aloísio José Rodrigues
Ana Luísa Mülbert
Ana Paula R.Pacheco
Artur Beck Neto
Bernardino José da Silva
Charles Odair Cesconetto da Silva
Dilsa Mondardo
Diva Marília Flemming
Horácio Dutra Mello
Itamar Pedro Bevilaqua
Jairo Afonso Henkes
Janaína Baeta Neves
Jorge Alexandre Nogared Cardoso
José Carlos da Silva Junior
José Gabriel da Silva
José Humberto Dias de Toledo
Joseane Borges de Miranda
Luiz G. Buchmann Figueiredo
Marciel Evangelista Catâneo
Maria Cristina Schweitzer Veit
Maria da Graça Poyer
Mauro Faccioni Filho
Moacir Fogaça
Nélio Herzmann
Onei Tadeu Dutra
Patrícia Fontanella
Roberto Iunskovski
Rose Clér Estivalete Beche
Vice-Coordenadores Graduação
Adriana Santos Rammê
Bernardino José da Silva
Catia Melissa Silveira Rodrigues
Horácio Dutra Mello
Jardel Mendes Vieira
Joel Irineu Lohn
José Carlos Noronha de Oliveira
José Gabriel da Silva
José Humberto Dias de Toledo
Luciana Manfroi
Rogério Santos da Costa
Rosa Beatriz Madruga Pinheiro
Sergio Sell
Tatiana Lee Marques
Valnei Carlos Denardin
Sâmia Mônica Fortunato (Adjunta)
Coordenadores Pós-Graduação
Aloísio José Rodrigues
Anelise Leal Vieira Cubas
Bernardino José da Silva
Carmen Maria Cipriani Pandini
Daniela Ernani Monteiro Will
Giovani de Paula
Karla Leonora Dayse Nunes
Letícia Cristina Bizarro Barbosa
Luiz Otávio Botelho Lento
Roberto Iunskovski
Rodrigo Nunes Lunardelli
Rogério Santos da Costa
Thiago Coelho Soares
Vera Rejane Niedersberg Schuhmacher
Gerência Administração
Acadêmica
Angelita Marçal Flores (Gerente)
Fernanda Farias
Secretaria de Ensino a Distância
Samara Josten Flores (Secretária de Ensino)
Giane dos Passos (Secretária Acadêmica)
Adenir Soares Júnior
Alessandro Alves da Silva
Andréa Luci Mandira
Cristina Mara Schauffert
Djeime Sammer Bortolotti
Douglas Silveira
Evilym Melo Livramento
Fabiano Silva Michels
Fabricio Botelho Espíndola
Felipe Wronski Henrique
Gisele Terezinha Cardoso Ferreira
Indyanara Ramos
Janaina Conceição
Jorge Luiz Vilhar Malaquias
Juliana Broering Martins
Luana Borges da Silva
Luana Tarsila Hellmann
Luíza Koing  Zumblick
Maria José Rossetti
Marilene de Fátima Capeleto
Patricia A. Pereira de Carvalho
Paulo Lisboa Cordeiro
Paulo Mauricio Silveira Bubalo
Rosângela Mara Siegel
Simone Torres de Oliveira
Vanessa Pereira Santos Metzker
Vanilda Liordina Heerdt
Gestão Documental
Lamuniê Souza (Coord.)
Clair Maria Cardoso
Daniel Lucas de Medeiros
Jaliza Thizon de Bona
Guilherme Henrique Koerich
Josiane Leal
Marília Locks Fernandes
Gerência Administrativa e 
Financeira
Renato André Luz (Gerente)
Ana Luise Wehrle
Anderson Zandré Prudêncio
Daniel Contessa Lisboa
Naiara Jeremias da Rocha
Rafael Bourdot Back 
Thais Helena Bonetti
Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa e 
Extensão
Janaína Baeta Neves (Gerente)
Aracelli Araldi
Elaboração de Projeto
Carolina Hoeller da Silva Boing
Vanderlei Brasil
Francielle Arruda Rampelotte
Reconhecimento de Curso
Maria de Fátima Martins 
Extensão
Maria Cristina Veit (Coord.)
Pesquisa
Daniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC)
Mauro Faccioni Filho (Coord. Nuvem)
Pós-Graduação
Anelise Leal Vieira Cubas (Coord.)
Biblioteca
Salete Cecília e Souza (Coord.)
Paula Sanhudo da Silva
Marília Ignacio de Espíndola
Renan Felipe Cascaes
Gestão Docente e Discente
Enzo de Oliveira Moreira (Coord.)
Capacitação e Assessoria ao 
Docente
Alessandra de Oliveira (Assessoria)
Adriana Silveira
Alexandre Wagner da Rocha
Elaine Cristiane Surian (Capacitação)
Elizete De Marco
Fabiana Pereira
Iris de Souza Barros
Juliana Cardoso Esmeraldino
Maria Lina Moratelli Prado
Simone Zigunovas
Tutoria e Suporte
Anderson da Silveira (Núcleo Comunicação)
Claudia N. Nascimento (Núcleo Norte-
Nordeste)
Maria Eugênia F. Celeghin (Núcleo Pólos)
Andreza Talles Cascais
Daniela Cassol Peres
Débora Cristina Silveira
Ednéia Araujo Alberto (Núcleo Sudeste)
Francine Cardoso da Silva
Janaina Conceição (Núcleo Sul)
Joice de Castro Peres
Karla F. Wisniewski Desengrini
Kelin Buss
Liana Ferreira
Luiz Antônio Pires
Maria Aparecida Teixeira
Mayara de Oliveira Bastos
Michael Mattar
Patrícia de Souza Amorim
Poliana Simao
Schenon Souza Preto
Gerência de Desenho e 
Desenvolvimento de Materiais 
Didáticos
Márcia Loch (Gerente)
Desenho Educacional
Cristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD)
Roseli A. Rocha Moterle (Coord. Pós/Ext.)
Aline Cassol Daga
Aline Pimentel
Carmelita Schulze
Daniela Siqueira de Menezes
Delma Cristiane Morari
Eliete de Oliveira Costa
Eloísa Machado Seemann
Flavia Lumi Matuzawa
Geovania Japiassu Martins
Isabel Zoldan da Veiga Rambo
João Marcos de Souza Alves
Leandro Romanó Bamberg
Lygia Pereira
Lis Airê Fogolari
Luiz Henrique Milani Queriquelli
Marcelo Tavares de Souza Campos
Mariana Aparecida dos Santos
Marina Melhado Gomes da Silva
Marina Cabeda Egger Moellwald
Mirian Elizabet Hahmeyer Collares Elpo
Pâmella Rocha Flores da Silva
Rafael da Cunha Lara
Roberta de Fátima Martins
Roseli Aparecida Rocha Moterle
Sabrina Bleicher
Verônica Ribas Cúrcio
Acessibilidade 
Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) 
Letícia Regiane Da Silva Tobal
Mariella Gloria Rodrigues
Vanesa Montagna
Avaliação da aprendizagem 
Claudia Gabriela Dreher
Jaqueline Cardozo Polla
Nágila Cristina Hinckel
Sabrina Paula Soares Scaranto
Thayanny Aparecida B. da Conceição
Gerência de Logística
Jeferson Cassiano A. da Costa (Gerente)
Logísitca de Materiais
Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.)
Abraao do Nascimento Germano
Bruna Maciel
Fernando Sardão da Silva
Fylippy Margino dos Santos
Guilherme LentzMarlon Eliseu Pereira
Pablo Varela da Silveira
Rubens Amorim
Yslann David Melo Cordeiro
Avaliações Presenciais
Graciele M. Lindenmayr (Coord.)
Ana Paula de Andrade
Angelica Cristina Gollo
Cristilaine Medeiros
Daiana Cristina Bortolotti
Delano Pinheiro Gomes
Edson Martins Rosa Junior
Fernando Steimbach
Fernando Oliveira Santos
Lisdeise Nunes Felipe
Marcelo Ramos
Marcio Ventura
Osni Jose Seidler Junior
Thais Bortolotti
Gerência de Marketing
Eliza B. Dallanhol Locks (Gerente)
Relacionamento com o Mercado 
Alvaro José Souto
Relacionamento com Polos 
Presenciais
Alex Fabiano Wehrle (Coord.)
Jeferson Pandolfo
Karine Augusta Zanoni
Marcia Luz de Oliveira
Mayara Pereira Rosa
Luciana Tomadão Borguetti
Assuntos Jurídicos
Bruno Lucion Roso
Sheila Cristina Martins
Marketing Estratégico
Rafael Bavaresco Bongiolo
Portal e Comunicação
Catia Melissa Silveira Rodrigues
Andreia Drewes
Luiz Felipe Buchmann Figueiredo
Rafael Pessi
Gerência de Produção
Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)
Francini Ferreira Dias
Design Visual
Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord.)
Alberto Regis Elias
Alex Sandro Xavier
Anne Cristyne Pereira
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro
Daiana Ferreira Cassanego
Davi Pieper
Diogo Rafael da Silva
Edison Rodrigo Valim
Fernanda Fernandes
Frederico Trilha
Jordana Paula Schulka
Marcelo Neri da Silva
Nelson Rosa
Oberdan Porto Leal Piantino
Multimídia
Sérgio Giron (Coord.)
Dandara Lemos Reynaldo
Cleber Magri
Fernando Gustav Soares Lima
Josué Lange
Conferência (e-OLA)
Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.)
Bruno Augusto Zunino 
Gabriel Barbosa
Produção Industrial
Marcelo Bittencourt (Coord.)
Gerência Serviço de Atenção 
Integral ao Acadêmico
Maria Isabel Aragon (Gerente)
Ana Paula Batista Detóni
André Luiz Portes 
Carolina Dias Damasceno
Cleide Inácio Goulart Seeman
Denise Fernandes
Francielle Fernandes
Holdrin Milet Brandão
Jenniffer Camargo
Jessica da Silva Bruchado
Jonatas Collaço de Souza
Juliana Cardoso da Silva
Juliana Elen Tizian
Kamilla Rosa
Mariana Souza
Marilene Fátima Capeleto
Maurício dos Santos Augusto
Maycon de Sousa Candido
Monique Napoli Ribeiro
Priscilla Geovana Pagani
Sabrina Mari Kawano Gonçalves
Scheila Cristina Martins
Taize Muller
Tatiane Crestani Trentin
Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca | Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: cursovirtual@unisul.br | Site: www.unisul.br/unisulvirtual
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Palhoça
UnisulVirtual
2011
Revisão e atualização de conteúdo
Carlos Henrique Hobold
Design instrucional
Roseli Rocha Moterle
1 ª edição revista
Carlos Henrique Hobold
Paulo José Sena dos Santos
Sequências Numéricas e Séries
Livro didático
sequencias_numericas_e_series.indb 3 14/01/15 11:15
Edição – Livro Didático
Professor Conteudista
Carlos Henrique Hobold
Paulo José Sena dos Santos
Revisão e atualização de conteúdo
Carlos Henrique Hobold
Designer Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
Roseli Rocha Moterle (1ª edição revista)
ISBN
978-85-7817-310-4
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
 Rafael Pessi
Fernanda Fernandes (1ª edição revista)
Revisão
Diane Dal Mago
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © UnisulVirtual 2011
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. 
515.24
H67 Hobold, Carlos Henrique
Sequências numéricas e séries : livro didático / Carlos Henrique Hobold, 
Paulo José Sena dos Santos ; revisão e atualização de conteúdo Carlos 
Henrique Hobold ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes, Roseli 
Rocha Moterle. – 1. ed. rev. – Palhoça : UnisulVirtual, 2011.
132 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia. 
ISBN 978-85-7817-310-4
1. Sequências (Matemática). 2. Séries (Matemática). I. Santos, Paulo José 
Sena dos.II. Nunes, Karla Leonora Dahse. III. Moterle, Roseli Rocha. IV. Título.
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Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 - Sequências numéricas: uma introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
UNIDADE 2 - Progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
UNIDADE 3 - Sequências e séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
UNIDADE 4 - Séries e funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 111
Biblioteca Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
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7
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Sequências 
Numéricas e Séries.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma 
e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados 
à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática 
e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, 
proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a 
um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre-se que sua caminhada, nesta disciplina, será 
acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica 
caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou 
para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores 
e instituição estarão sempre conectados com você.
Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem 
à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como: 
telefone, e-mail e o Espaço Unisul Virtual de Aprendizagem, 
que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e 
recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. 
Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe 
atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual.
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Palavras dos professores
Caro(a) aluno(a),
Neste texto, apresentamos os conteúdos da disciplina 
Sequências Numéricas e Séries que estão de acordo com a 
ementa do projeto pedagógico do seu curso.
Ao fazer a escolha de um curso na modalidade a distância, 
você assume uma grande responsabilidade, pois você vai ser o 
principal personagem da construção dos seus conhecimentos. 
Mas, não se preocupe, pois você não está sozinho nesta 
caminhada. Estamos bem perto de você com cada uma das 
palavras, fórmulas ou algebrismos colocados neste texto 
didático. Informamos que as tabelas e ilustrações sem 
indicação de fonte foram elaboradas pelos autores.
Nas Unidades 1 e 2, você está lidando com assuntos tratados 
no Ensino Médio, como sequências, progressões aritméticas e 
progressões geométricas.
Na Unidade3, apresentamos os conceitos fundamentais e 
principais resultados sobre a teoria de sequências e séries 
numéricas.
E, finalmente, na Unidade 4, estudaremos as séries de funções, 
onde podemos destacar as Séries de potências, Séries de Taylor, 
Séries de Maclaurin, Polinômios de Taylor e Séries de Fourier.
Não deixe de realizar todos os exercícios propostos nas 
atividades de auto-avaliação, assim, temos certeza de que 
você concluirá a disciplina com sucesso. Nós, autores e 
professores, estamos à disposição para atendê-lo da melhor 
maneira possível, por isso, não deixe de interagir através das 
ferramentas disponíveis no ambiente virtual.
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Seja bem-vindo à nossa comunidade virtual, na qual estamos 
inseridos, compartilhando dúvidas, dificuldades, vitórias e alegrias!
Um grande abraço!
Prof. Carlos Henrique Hobold e 
Prof. Paulo José Sena dos Santos.
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Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da 
disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o 
contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva 
em conta instrumentos que se articulam e se complementam, 
portanto, a construção de competências se dá sobre a 
articulação de metodologias e por meio das diversas formas de 
ação/mediação.
São elementos desse processo:
 „ o livro didático;
 „ o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
 „ as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de 
autoavaliação); 
 „ o Sistema Tutorial.
Ementa
Padrões numéricos. Sequências: numéricas, geométricas e 
de Fibonacci. Sequências geométricas e algébricas. Séries 
numéricas: características, propriedades e convergência. Séries 
de funções: séries de potências e séries de Taylor.
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12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Objetivos
Geral
O objetivo geral da disciplina consiste em propiciar ao futuro 
professor condições para que ele identifique padrões numéricos 
que se repetem em várias situações do dia a dia.
Específicos
 „ Identificar uma sequência numérica;
 „ Reconhecer uma progressão aritmética;
 „ Resolver problemas envolvendo progressões aritméticas;
 „ Reconhecer uma progressão geométrica;
 „ Resolver problemas envolvendo progressões geométricas;
 „ Reconhecer e conceituar sequências de funções;
 „ Provar o limite de uma sequência;
 „ Identificar sequências monótonas e limitadas;
 „ Reconhecer séries monótonas crescentes ou decrescentes;
 „ Trabalhar com séries infinitas;
 „ Identificar séries geométricas;
 „ Reconhecer os critérios para determinação do caráter de 
uma série;
 „ Trabalhar com séries alternadas;
 „ Resolver operações entre séries;
 „ Definir e operar com séries de funções;
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13
Nome da disciplina
 „ Identificar séries de potência;
 „ Resolver séries de potência;
 „ Reconhecer série de Maclaurin eTaylor;
 „ Derivar e integrar séries de potência;
 „ Trabalhar com séries de Fourier.
Carga horária
A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula.
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta 
disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos 
resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de 
estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento 
de habilidades e competências necessárias à sua formação. 
Unidades de estudo: 4 
sequencias_numericas_e_series.indb 13 14/01/15 11:15
14
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 1 – Sequências numéricas: uma introdução
Nesta unidade, vamos discutir o conceito de sequências 
numéricas no contexto da formação dos elementos de uma 
sequência.
Unidade 2 – Progressões
Nesta unidade, apresentamos as progressões, destacando as 
progressões aritméticas e as geométricas, bem como a soma de 
seus elementos.
Unidade 3 – Sequências e séries
Nesta unidade, estudamos as sequências e séries, trabalhando 
com a definição de convergência de sequência e suas 
propriedades, no que tange às séries. Temos os diversos tipos de 
séries e desenvolveremos vários critérios de convergência.
Unidade 4 – Séries e funções
Nesta unidade, vamos trabalhar com séries de funções discutindo as 
séries de potências, de Taylor e de Maclaurin, Polinômios de Taylor, 
séries de Fourier e extensão periódica de uma série de Fourier.
sequencias_numericas_e_series.indb 14 14/01/15 11:15
15
Nome da disciplina
Agenda de atividades/Cronograma
 „ Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar 
periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus 
estudos depende da priorização do tempo para a leitura, 
da realização de análises e sínteses do conteúdo e da 
interação com os seus colegas e professor.
 „ Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço 
a seguir as datas com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
 „ Use o quadro para agendar e programar as atividades 
relativas ao desenvolvimento da disciplina.
Atividades obrigatórias
Demais atividades (registro pessoal)
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sequencias_numericas_e_series.indb 16 14/01/15 11:15
1
UNIDADe 1
Sequências numéricas: 
uma introdução
Objetivos de aprendizagem
 „ Conceituar sequências. 
 „ Identificar e ordenar sequências mais simples.
 „ Representar matematicamente uma sequência.
 „ Classificar as sequências como convergentes e 
divergentes.
Seções de estudo
Seção 1 Sequências numéricas
sequencias_numericas_e_series.indb 17 14/01/15 11:15
Universidade do Sul de Santa Catarina
18
Para início de estudo
Alguma vez você já se perguntou: o que há em comum entre o 
número de escamas de certas espécies de peixes e o número de 
segmentos da superfície de uma pinha? Ou ainda, qual a relação 
entre os ramos e as folhas de algumas árvores e a métrica definida 
em alguns poemas de Virgílio e outros poetas romanos?
Essas e muitas outras perguntas igualmente intrigantes poderão 
surgir durante e após o término deste curso.
Por hora, é interessante observar que essas perguntas começaram a 
ser respondidas por um matemático chamado Leonardo de Pisa, ou 
Leonardo Pisano, ou ainda, Leonardo Fibonacci, aproximadamente 
no final do século XII – início do século XIII de nossa era.
Seu livro publicado em 1202, Líber Abaci ou Livro do Ábaco, 
trazia, entre outros problemas, o seguinte:
Quantos pares (um macho e uma fêmea) de coelhos serão 
produzidos em um ano, começando por um único par, se 
em cada mês cada par gerar um novo par, que se torna 
fértil a partir do segundo mês?
A resolução desse problema e de outras variações leva à sequência 
de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, que ficou conhecida como 
sequência de Fibonacci. Exemplos disso também servem como 
base para as respostas das perguntas feitas no início desta seção.
sequencias_numericas_e_series.indb 18 14/01/15 11:15
Seqüências Numéricas e Séries
19Unidade 1
Seção 1 – Sequências numéricas
Você certamente já elaborou uma lista de itens para fazer a 
compra em um supermercado, não? Ao fazer essa lista, vários 
critérios podem ter sido usados para ordenar os itens. Quando 
você ordena uma determinada lista, chamamos isso de sequência. 
Como outros exemplos de ordenação, podemos citar: a relação 
dos dias da semana, a relação dos alunos em uma lista de 
chamada etc.
Neste livro, os números serão ordenados. Dessa forma, define-se:
uma sequência numérica como todo conjunto denúmeros dispostos numa certa ordem.
Matematicamente, podemos representar uma sequência numérica 
da forma (a1, a2, a3, a4, a5, …, an–1, an), em que
a1 é o primeiro termo
a2 é o segundo termo
 
an é o enésimo termo.
Pode-se determinar qualquer termo de uma sequência por meio 
de uma regra chamada lei de formação. Você pode ver alguns 
exemplos a seguir:
sequencias_numericas_e_series.indb 19 14/01/15 11:15
Universidade do Sul de Santa Catarina
20
Exemplo 1: (2, 5, 8, 11, 14, 17)
a1 = 2
a2 = 5 = 2 + 3 = a1 + 3
a3 = 8 = 5 + 3 = a2 + 3
a4 = 11 = 8 + 3 = a3 + 3
a5 = 14 = 11 + 3 = a4 + 3
a6 = 17 = 14 + 3 = a5 + 3
A lei de formação da sequência é an = an–1 + 3.
O Gráfico 1.1 permite que você visualize esta sequência. Veja!
Figura 1.1 – Gráfico correspondente à sequência numérica an = an–1 + 3
sequencias_numericas_e_series.indb 20 14/01/15 11:15
Seqüências Numéricas e Séries
21Unidade 1
Exemplo 2: (2, 4, 8, 16, 32, …)
a1 = 2 = 21
a2 = 4 = 22
a3 = 8 = 23
a4 = 16 = 24
a5 = 32 = 25
A lei de formação é: an = 2n e pode ser visualizada no Gráfico da 
sequência 1.2.
Figura 1.2 – Gráfico correspondente à sequência numérica an = 2
n
sequencias_numericas_e_series.indb 21 14/01/15 11:15
Universidade do Sul de Santa Catarina
22
Exemplo 3: ( , , , , , …)
A lei de formação é .
O Gráfico da sequência pode ser visto a seguir.
Figura 1.3 – Gráfico correspondente à sequência numérica 
sequencias_numericas_e_series.indb 22 14/01/15 11:15
Seqüências Numéricas e Séries
23Unidade 1
Exemplo 4: (1, – , , – , , …)
A lei de formação é .
O Gráfico da sequência pode ser visto a seguir.
Figura 1.4 – Gráfico correspondente à sequência numérica 
sequencias_numericas_e_series.indb 23 14/01/15 11:15
Universidade do Sul de Santa Catarina
24
Dos exemplos que você acompanhou, é possível perceber que 
as sequências podem ser classificadas em convergentes (3 e 4) e 
divergentes (1 e 2). Se a sequência converge, pode-se escrever:
Assim, nos exemplos 3 e 4:
Agora que você estudou um pouco sobre sequências numéricas, 
verifique o que foi aprendido, tentando resolver as atividades de 
autoavaliação propostas.
Síntese
Você estudou nesta unidade:
 „ Que uma sequência numérica é um conjunto de números 
dispostos em certa ordem; 
 „ Como obter a lei de formação de uma sequência 
numérica;
 „ Que as sequências numéricas podem ser convergentes ou 
divergentes. 
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Seqüências Numéricas e Séries
25Unidade 1
Atividades de autoavaliação
1) Cada um dos itens abaixo dá a fórmula para o enésimo termo an de uma 
sequência. encontre os valores de a1, a2, a3 e a4.
2) Nos itens abaixo, encontre uma lei de formação para as sequências.
a) A sequência 1, –1, 1, –1, 1, … 
(números 1 com sinais alternados).
b) A sequência 0, 3, 8, 15, 24, … 
(números inteiros positivos menos 1).
c) A sequência 1, 0, 1, 0, 1, … 
(alternando 1 e 0).
Saiba mais
Se você ficou interessado em conhecer mais detalhes sobre 
sequências numéricas, consulte as seguintes obras:
THOMAS, George B. Cálculo, v. 2. São Paulo: Pearson, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. 
Matemática: 2º grau, v. 2. São Paulo: FTD, 1992.
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2
UNIDADe 2
Progressões
Objetivos de aprendizagem
 „ Identificar as progressões aritmética e geométrica.
 „ escrever a forma geral das progressões aritméticas e 
geométricas.
 „ Somar os termos de uma progressão aritmética finita.
 „ Somar os termos de uma progressão geométrica.
 „ Aplicar as progressões para a resolução de problemas.
Seções de estudo
Seção 1 Progressões Aritméticas
Seção 2 Soma dos termos de uma progressão 
aritmética finita
Seção 3 Progressões Geométricas
Seção 4 Soma dos termos de uma progressão 
geométrica
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Universidade do Sul de Santa Catarina
28
Para início de estudo
As progressões começaram a ser estudadas desde os povos mais 
antigos. Há registros de que os egípcios e os babilônios, por 
exemplo, já se dedicavam à sua compreensão. Inicialmente, 
tentaram encontrar padrões, como a ocorrência das enchentes 
dos rios e outros fenômenos que eram vitais para as atividades 
agrícolas e a sobrevivência.
Uma informação maior sobre o conhecimento das progressões na 
sociedade egípcia pode ser encontrada em um pergaminho doado 
à Sociedade Histórica de Nova York, em 1932, conhecido como 
papiro de Rhind (ou Ahmes). Inicialmente, acreditava-se que 
este papiro contivesse informações sobre medicina. Entretanto, 
com a descoberta de uma camada escondida, comprovou-se que 
este papiro era, na verdade, uma fonte rica de dados sobre o 
conhecimento matemático daquele povo. 
Entre outras coisas, descobriu-se que os egípcios tinham 
conhecimento das progressões e de métodos para obter a soma de 
seus termos. Como exemplo, podemos citar o aparecimento de uma 
progressão interessante formada pelas frações: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64.
Os termos desta sequência são conhecidos como frações do olho 
de Hórus.
Figura 2.1 – Frações do olho de Hórus 
Fonte: History ...(2008).
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Seqüências Numéricas e Séries
29Unidade 2
Os elementos da progressão acima (com seis elementos) eram 
somados usando a multiplicação por um fator comum:
Eles multiplicavam todos os termos por 64, o último 
denominador, encontrando:
Entre os gregos, o conhecimento das progressões foi utilizado, 
entre outros, pelos pitagóricos. Após várias observações do 
movimento e da produção de sons em cordas vibrantes, eles 
concluíram que a relação entre a altura dos sons e a largura 
da corda da lira seria responsável pela existência da harmonia 
musical. Observaram, também, que os intervalos musicais 
se colocavam de modo que podiam ser descritos por meio de 
progressões aritméticas.
Muito tempo mais tarde, já na modernidade, Michael Stifel 
(1486 – 1567), na primeira parte de sua obra mais conhecida, 
Arithmética, salienta as vantagens de se associar uma progressão 
aritmética a uma progressão geométrica. Realmente essa 
associação se mostrou interessante, quando por volta de 1590, 
Napier chegou aos logaritmos. 
Entretanto, um fato interessante ocorreu quando Johann Friederich 
Carl Gauss (1777 – 1855), com dez anos, conseguiu resolver um 
problema proposto por seu professor de matemática. Esse professor 
pediu que os alunos de sua turma obtivessem a soma dos números 
de 1 a 100. Gauss resolveu esse problema em alguns minutos, 
baseado no fato de que a soma dos números opostos da sequência é 
sempre constante, como pode ser visto na Figura a seguir:
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Universidade do Sul de Santa Catarina
30
Figura 2.2 – Representação de sequência numérica 
Fonte: Dante (2002, p. 281).
Ele multiplicou o resultado desta constante (101) pelo número 
de termos e dividiu o resultado pela metade. Mais tarde, esse 
procedimento levou a uma fórmula para a soma dos n termos de 
uma progressão aritmética.
As progressões também podem ser aplicadas na economia. 
Thomas Maltus, em sua teoria econômica, refere-se às progressões 
aritmética e geométrica. Segundo o economista: “As populações 
crescem em progressões geométricas ao mesmo tempo em que as 
reservas alimentares crescem apenas em progressões aritméticas.” 
(MALTUS, 1798 apud SMOLE, 2003).
Essa comparação não é mais aceita atualmente, apesar da maior 
taxa de crescimento populacional, pois não há uma desproporção 
tão grande devido a outros fatores que devem ser considerados.
Tendo conhecido um pouco da históriae das aplicações das 
progressões, podemos agora discuti-las com um pouco mais de 
profundidade.
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Seqüências Numéricas e Séries
31Unidade 2
Seção 1 – Progressões Aritméticas (PA)
Observe as sequências abaixo:
a) (3, 7, 11, 15, 19, …)
a1 = 3
a2 = 7 = 3 + 4
a3 = 11 = 7 + 4
a4 = 15 = 11 + 4
a5 = 19 = 15 + 4
 
an = an–1 + 4
b) (10, 7, 4, 1, –2, –5, –8, …)
a1 = 10
a2 = 7 = 10 – 3
a3 = 4 = 7 – 3
a4 = 1 = 4 – 3
a5 = –2 = 1 – 3
a6 = –5 = –2 – 3
a7 = –8 = –5 – 3
 
an = an–1 – 3 = an–1 + (–3)
Nas duas sequências, a lei de formação é:
termo posterior = termo anterior + número fixo
Esse tipo de sequência é denominado progressão aritmética 
(PA). O número fixo que aparece na lei de formação é chamado 
razão (r). Assim:
an = an–1 + r (lei de formação de um PA)
Você sabia? As progressões aritméticas podem ser 
classificadas da forma:
 „ crescente: r > 0;
 „ decrescente: r < 0;
 „ constante: r = 0.
Fique atento. Em toda 
a unidade estaremos 
fazendo uso da palavra 
progressão aritmética 
abreviada como PA.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
32
Voltando a observar os exemplos que abrem esta seção, podemos 
escrever:
a) Para a sequência (3, 7, 11, 15, 19, …)
a1 = 3 = 3 + 0∙4
a2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 1∙4
a3 = 11 = 7 + 4 = 3 + 2∙4
a4 = 15 = 11 + 4 = 3 + 3∙4
a5 = 19 = 15 + 4 = 3 + 4∙4
 
an = an–1 + 4 = a1 + (n – 1)∙4
b) Para a sequência (10, 7, 4, 1, –2, –5, –8, …), verifique que
an = a1 + (n – 1)∙(–3).
Dessa forma, percebemos que para uma PA de razão r, a lei de 
formação pode ser reescrita da forma
an = a1 + (n – 1)∙r (fórmula do termo geral de uma PA)
Veja alguns exemplos.
Exemplo 1
Encontrar o termo geral da PA (2, 6, …).
a1 = 2
r = 6 – 2 = 4
n = n
an = a1 + (n – 1)∙r an = 2 + (n – 1)∙4
an = 2 + 4n – 4
an = 4n – 2 
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Seqüências Numéricas e Séries
33Unidade 2
Exemplo 2 
Qual é o vigésimo termo da PA (3, 8, …)?
a1 = 3
r = 8 – 3 = 5
n = 20
an = a1 + (n – 1)∙r a20 = 3 + (20 – 1)∙5
a20 = 3 + 95
a20 = 98
Exemplo 3
Determinar o número de termos da PA (–3, 1, 5, …, 113)
a1 = –3
r = 1 –(–3) = 1 + 3 = 4
an = a1 + (n – 1)∙r 113 = –3 + (n – 1)∙4
113 = –3 + 4n – 4
113 = 4n – 7
120 = 4n
n = 30
Exemplo 4 
Quantos são os múltiplos de 5 maiores que 21 e menores que 623?
Pode-se tratar este problema como uma PA de razão 5, cujo 
primeiro termo é 25 e o último termo é 620, assim, aplicando-se 
a fórmula do termo geral:
an = a1 + (n – 1)∙r 620 = 25 + (n – 1)∙5
620 = 25 + 5n – 5
620 = 5n + 20
n = 120
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Universidade do Sul de Santa Catarina
34
Exemplo 5
Numa PA, o décimo termo é igual a 130, e o décimo nono termo 
é 220. Calcular o quarto termo dessa PA.
Se a10 = 130 a1 + 9r = 130
Se a19 = 220 a1 + 18r = 220
Você deve resolver o sistema de duas equações acima, 
encontrando 
a1 = 40 e r = 10.
Desse modo, o quarto termo da PA será:
a4 = a1 + 3r = 40 + 3∙10 a4 = 70.
Exemplo 6
Três números estão em PA, de tal forma que a soma entre eles é 
18 e o produto é 66. Determine o valor desses três números.
Nesse caso, pode-se escrever (a1, a2, a3) = (x – r, x, x + r) e formar 
um sistema com duas variáveis (x e r).
(x – r) + x + (x + r) = 18 3x = 18
(x – r)∙x∙(x + r) = 66 x∙(x2 – r2) = 66
Resolvendo o sistema, encontra-se: x = 6 e r = ±5.
Sendo r = 5 a1 = 1, a2 = 6, a3 = 11.
Sendo r = –5 a1 = 11, a2 = 6, a3 = 1.
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Seqüências Numéricas e Séries
35Unidade 2
Seção 2 – Soma dos termos de uma progressão 
aritmética finita
Observe a PA finita (2, 5, 8, 11, 14, 17). Os extremos desta 
progressão são 2 e 17. Os termos que se encontram a mesma 
distância dos extremos são chamados equidistantes, que nesse caso 
são: 5 e 14, 8 e 11.
Observando mais atentamente, percebemos que: 
2 + 17 = 5 + 14 = 8 + 11 = 19, ou seja:
Numa PA, a soma dos termos equidistantes aos extremos é 
igual à soma dos extremos.
Dessa forma, podemos aplicar essa propriedade para 
determinarmos a soma dos n termos de uma PA finita:
 +Sn = a1 + a2 + … + an–1 + an
 +Sn = an + an–1 + … + a2 + a1
2∙Sn = (an + a1) + (an–1 + a2) + … + (an–1 + a2) + (an + a1)
como a soma dos termos é equidistante e igual à soma dos 
extremos
2∙Sn = (an + a1) + (an–1 + a2) + … + (an–1 + a2) + (an + a1)
2∙Sn = (an + a1)∙n
 (soma dos n termos de uma PA finita)
Exemplo 7
Achar a soma dos 30 primeiros termos da PA (2, 5, …).
a1 = 2, r = 5 – 2 = 3 e n = 30.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
36
Assim, o trigésimo termo pode ser encontrado por meio do termo 
geral:
a30 = 2 + (30 – 1)∙3 = 89.
A soma dos termos será então,
.
Exemplo 8
A soma dos seis termos consecutivos de uma PA é 12, e o último 
termo é 7. Calcular os termos da PA.
Sn = 12, a6 = 7 e n = 6.
Deve-se determinar o primeiro termo desta PA:
A razão da PA pode ser encontrada por meio do termo geral
an = a1 + (n – 1)∙r 7 = –3 + (6 – 1)∙r r = 2
A PA procurada é (–3; –1; 1; 3; 5; 7).
Seção 3 – Progressões Geométricas (PG)
Acompanhe o seguinte problema:
A população de certa cidade cresce sempre a uma taxa de 10% 
por década. Em 1950, essa cidade tinha 200.000 habitantes, qual 
será a população em 2008?
Vamos à solução. Esquematizando temos:
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Seqüências Numéricas e Séries
37Unidade 2
População em 1950 = 200.000 habitantes
População em 1960 = 200.000.1,10 = 220.000
População em 1970 = 220.000.1,10 = 242.000
População em 1980 = 242.000.1,10 = 266.200
População em 1990 = 266.200.1,10 = 292.820
População em 2000 = 292.820.1,10 = 322.102
Nessas condições, podemos representar a população pela 
sequência:
(200.000; 220.000; 242.000; 266.200; 292.820; 322.102).
Note que cada termo, a partir do segundo, é obtido a partir do 
anterior, multiplicando-o por um número fixo, ou seja, 1,10. 
Desse modo, progressão geométrica indicada por PG 
é toda sucessão de termos não nulos (a1, a2, a3, a4, …, 
an, …) ,...),...,,,,( 4321 naaaaa tais que o quociente, 
chamado razão da progressão geométrica (q) entre 
termos consecutivos, seja constante, assim, temos:
sendo q constante.
Acompanhe alguns exemplos.
Exemplo 9
A sequência (3; 9; 27; 81; 243) é uma PG de cinco termos, o 1o 
termo é a1 = 3 e a razão q = 3, pois:
a1 = 3
a2 = 9, ou seja a2 = a1∙3
a3 = 27, ou seja a3 = a2∙3
a4 = 81, ou seja a4 = a3∙3
a5 = 243, ou seja a5 = a4∙3
Fique atento. PG é a forma 
abreviada de Progressão 
Geométrica.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
38
Temos então:
Você sabia que uma PG é crescente quando q > 1 e os 
termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos 
são negativos.
Exemplo 10
A sequência (2; –4; 8; –16; 32; –64; …) é uma PG, onde o 1o 
termo é a1 = 2 e q = –2, pois:
a1 = 2
a2 = –4, ou seja a2 = a1∙(–2)
a3 = 8, ou seja a3 = a2∙(–2)
a4 = –16, ou seja a4 = a3∙(–2)
a5 = 32, ou seja a5 = a4∙(–2)
a6 = –64, ou seja a6 = a5∙(–2)
Temos, então:
Quando a PG apresenta q < 0 a PG é dita oscilante.
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Seqüências Numéricas e Séries
39Unidade 2
Exemplo 11
A sequência (1; ; ; ; …) é uma PG, onde o 1o termo é a1 = 1 e 
q = , pois:
a1 = 1
a2 = , ou seja a2 = a1∙ 
a3 = , ou seja a3 = a2∙ 
a4 = , ou seja a4 = a3∙ 
E assim por diante. Temos, então:
Você sabia que uma PG é decrescente quando 0 < q < 1 
e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos 
são negativos.
Exemplo12
A sequência (5; 5; 5; 5; …) é uma PG, sendo o a1 = 5 e q = 1.
De fato
a1 = 5
a2 = 5, ou seja a2 = a1∙1
a3 = 5, ou seja a3 = a2∙1
a4 = 5, ou seja a4 = a3∙1
Temos, então:
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Universidade do Sul de Santa Catarina
40
Quando a PG apresenta q = 1, a PG é constante.
Fórmula do termo geral
Como a PA a PG também apresenta uma fórmula de termo geral, 
então, vamos a sua demonstração. Sabemos que o sucessor de um 
termo é o produto da razão pelo antecessor, vamos começar por:
a2 = a1∙q
a3 = a2∙q = a1∙q∙q = a1∙q2
a4 = a3∙q = a1∙q2∙q = a1∙q3
a5 = a4∙q = a1∙q3∙q = a1∙q4
 
an = an–1∙q = a1∙qn–2∙q = a1∙qn–1
Logo, o termo geral da PG é dado pela fórmula an = a1∙qn–1
Numa PG não oscilante, se você tomar três termos 
consecutivos, o quadrado do termo médio é igual ao 
produto dos outros dois termos.
O que é interpolação geométrica?
Interpolar é inserir meios geométricos entre dois números.
Exemplo 13
Inserir quatro meios geométricos entre 3 e 96.
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Seqüências Numéricas e Séries
41Unidade 2
O 3 é o nosso a1 = 3, o nosso número de termos é n = 2 + 4 = 6, o 
último termo é a6 = 96, então:
a6 = a1∙q5 96 = 3q5 q5 = 32 q = 2
Logo, a PG é (3, 6, 12, 24, 48, 96).
Seção 4 – Soma dos termos de uma progressão 
geométrica
Soma dos termos de uma PG finita
Vejamos a PG (a1, a2, a3, …,an). A soma de seus n termos é dada 
por Sn = a1 + a2 + a3 + … + an , aplicando a fórmula do termo 
geral para cada termo temos:
Sn = a1 + a1∙q + a1∙q2 + … + a1∙qn–1
Vamos multiplicar ambos os lados por (q – 1):
(q – 1)Sn = (a1 + a1∙q + a1∙q2 + … + a1∙qn–1)(q – 1)
Multiplicando termo a termo, no 2o membro da equação 
chegamos em:
(q – 1)Sn = a1∙q + a1∙q2 + a1∙q3 + … 
 + a1∙qn – a1 – a1∙q – a1∙q2 – … – a1∙qn–1
Somando todos os termos, isso resulta em:
sendo q ≠ 1.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
42
Soma dos termos de uma PG infinita e decrescente
Observe o exemplo a seguir. Vamos supor que a1 > 0 e 0 < q < 1, 
ou seja:
Vamos, agora, aumentar um pouco mais para n = 10:
Percebe-se que a tendência para n muito grande qn ≈ 0, isto é,
No cálculo chamamos de limite, logo 
como o , temos:
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Seqüências Numéricas e Séries
43Unidade 2
Exemplo 14
João aposta na mega, na primeira semana aposta R$ 1,50, na 
segunda semana o dobro da primeira, em cada semana aposta 
o dobro da semana anterior. Após 10 semanas quanto João terá 
apostado?
O primeiro termo a1 = 1,50, a razão q = 2, e n = 11, então, 
ou seja, 
Logo, João terá apostado uma quantia de R$ 3.070,50.
Exemplo 15
Dado um triângulo de perímetro 8, unindo os pontos médios de 
seus lados forma-se um 2o triângulo; unindo os pontos médios 
dos lados desse 2o triângulo forma-se um 3o triângulo, e assim 
por diante, indefinidamente. 
Dê a soma dos perímetros de todos esses triângulos.
Por semelhança de triângulos, concluímos que cada triângulo 
formado é a metade do anterior, ou seja, a soma é:
S = 8 + 4 + 2 + 1 + + + …
Como , temos:
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Universidade do Sul de Santa Catarina
44
Síntese
Você estudou nesta unidade, os seguintes conteúdos:
 „ Uma PA é uma sequência cuja lei de formação é:
termo posterior = termo anterior + número fixo
an = a1 + r 
 „ O número fixo que aparece na lei de formação é 
chamado razão (r);
 „ Uma PA pode ser classificada como: crescente (r > 0), 
constante (r = 0) ou decrescente (r < 0); 
 „ A fórmula geral de uma PA é .rnaan )1(1 −+= ; 
 „ A soma dos termos de uma PA finita é
 „ Uma PG é toda sucessão de termos não nulos, tais que o 
quociente, chamado razão da progressão geométrica )(q 
entre termos consecutivos, seja constante;
 „ O termo geral da PG é dado pela fórmula 11 −= nn qaa ;
 „ Uma PG pode ser crescente, decrescente, finita, infinita, 
oscilante e constante;
 „ A soma dos termos de uma PG pode ser de uma PG finita 
ou de uma PG infinita e decrescente.
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Seqüências Numéricas e Séries
45Unidade 2
Atividades de autoavaliação
1) Ache o termo geral da PA (2, 7, …).
2) Determine o sexagésimo número natural ímpar.
3) Calcule o número de termos da PA (5, 10, …, 785).
4) Quantos são os inteiros positivos múltiplos de 7 menores que 1000?
5) Hoje um atleta nada 500 m e, nos próximos dias, ele deverá nadar 
uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior. No 15o dia 
ele quer chegar a nadar 3300 m. Sabendo que a distância cresce em 
progressão aritmética, determine: (a) qual distância ele deverá nadar a 
mais cada dia? (b) Qual a distância ele deverá nadar no 10o dia?
6) A soma dos três números em PA, crescente, é 21 e a soma de seus 
quadrados é 165. Determine os três números.
7) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, …).
8) A soma de dez termos consecutivos de uma PA é 200 e o primeiro 
termo é 2. Calcule os termos dessa PA.
9) Determine a razão da PG (x – 2, x + 2, x – 1).
10) Se você colocar R$ 2.000,00 no banco e o rendimento for de 12% ao 
ano, quanto terá ao final de 6 anos?
11) Numa PG crescente, o 4º e o 6º termos são, respectivamente, 8 e 36. 
Qual é o 11º termo
12) Calcule a soma dos 40 primeiros termos da sequência (2, 4, 8, 16, …).
13) Calcule a fração geratriz da dízima 0,36363636…
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Universidade do Sul de Santa Catarina
46
Saiba mais
BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy. 
Matemática 2. São Paulo: FTD, 1992.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto & aplicações. v. 
2, 2. ed. São Paulo: 2002.
GOULART, Márcio Cintra. Matemática no Ensino Médio. v. 
2. São Paulo: Scipione, 1999.
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de 
matemática elementar. v. 4. São Paulo: Atual, 1983.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática. v. 1, 3. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2003.
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3
UNIDADe 3
Sequências e séries
Objetivos de aprendizagem
 „ Reconhecer e conceituar sequências de funções.
 „ Provar o limite de uma sequência.
 „ Identificar sequências monótonas e limitadas.
 „ Reconhecer séries monótonas crescentes ou 
decrescentes. 
 „ Trabalhar com séries infinitas.
 „ Identificar séries geométricas.
 „ Reconhecer os critérios para determinação do caráter 
de uma série.
 „ Trabalhar com séries alternadas.
Seções de estudo
Seção 1 Sequências
Seção 2 Séries numéricas
Seção 3 Convergência de séries
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48
Para início de estudo
Nesta unidade, você estuda sequências, limite de uma sequência, 
as propriedades de sequências, séries numéricas e os critérios de 
convergência. Nos critérios de convergência, convém destacar: 
o critério da razão, o critério da raiz, o critério da integral, o 
critério da comparação e o critério de Leibniz. 
Bom estudo e inicie a seção 1.
Seção 1 – Sequências 
Uma sequência ou uma sucessão de números reais é uma função f : 
IN IR, que associa a cada número natural n um número real f (n).
Também estudou que as sequências são definidas por regras, da 
mesma maneira que outras funções o são, tais como:
an = n + 1
Os números pertencentes ao conjunto de valores de uma 
sequência são chamados termos da sequência, e o número a(n) é 
chamado o n-ésimo termo, ou o termo de índice n.
Exemplo1 
Seja a sequência , então, os termos são:
1o termo 2o termo 3o termo n-ésimo termo
a1 = 2
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SeqüênciasNuméricas e Séries
49Unidade 3
Como as sequências são funções, vamos observar alguns 
exemplos e representá-las graficamente.
Exemplo 2
Seja a sequência { }.
A sequência pode ser escrita como f (n) = e está definida para 
n = 1, 2, 3, …
f(n)
0,5
1,5
1
5
0,5
Figura 3.1 – Gráfico correspondente à sequência numérica { }
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50
Exemplo 3
Seja a sequência {n +2}.
A sequência pode ser escrita como f (n) = n + 2 e está definida para 
n = 1, 2, 3, …
f(n)
–1
Figura 3.2 – Gráfico correspondente à sequência numérica {n + 2}
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Seqüências Numéricas e Séries
51Unidade 3
Exemplo 4 
Seja a sequência {(–1)n+1}.
A sequência pode ser escrita como f (n) = (–1)n+1 e está definida para 
n = 1, 2, 3, …
f(n)
1
2
3
4
5
0,5 1,5 2,5 3,5 4,5
1
Figura 3.3 – Gráfico correspondente à sequência numérica {(–1)n+1}
Um pouco da história
Um contribuinte importante para sequências 
foi Fibonacci (1170-1240). ele descobriu uma 
sequência de inteiros na qual cada número 
é igual à soma dos dois antecessores (1, 1, 
2, 3, 5, 8, …), introduzindo-a em termos de 
modelagem de uma população reprodutiva de coelhos. essa 
sequência tem muitas propriedades curiosas e interessantes e 
continua sendo aplicada em várias áreas da matemática moderna 
e ciência. Durante o mesmo período, astrônomos chineses 
desenvolveram técnicas numéricas para analisar resultados 
experimentais. Durante os séculos XIII e XIV, matemáticos 
chineses usaram a ideia de diferenças finitas para analisar 
tendências em seus dados. Hoje, métodos como os deles são 
usados para entender o comportamento em longo prazo e os 
limites de sequências infinitas. 
Fonte: Thomas (2002).
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52
Limite de uma sequência
Dizemos que um número real L é o limite de uma sequência {an}, 
ou que a sequência {an} converge para L, se para todo e > 0, existir 
um número N > o, tal que | an – L | < e para todo inteiro n > N; e 
escrevemos an = L ou an L quando n .
Se an existir, dizemos que a sequência converge (ou é convergente). 
Caso contrário, dizemos que a sequência diverge (ou é divergente).
A Figura 3.4 e a Figura 3.5 ilustram o uso da definição.
Figura 3.4 – Convergência de uma sequência no gráfico
Note que a partir de certo ponto em diante, todos os pontos da 
sequência estão dentro do intervalo (L – e, L + e).
Figura 3.5 – Convergência de uma sequência na reta
Note que a partir de certo ponto em diante, todos os pontos da 
sequência estão dentro do intervalo (L – e, L + e).
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Seqüências Numéricas e Séries
53Unidade 3
Exemplo 5
Use da definição para demonstrar que a sequência 
tem o limite igual a .
Deve-se mostrar que para todo e > 0, existe um número N > 0, 
tal que < e para todo inteiro n > N.
Logo, deve-se encontrar um N > 0, tal que < e para todo n > N.
Assim, isolando o n, temos
Então, se N = , a definição é válida.
Em particular, se tomarmos um e = ,
Assim, < para todo inteiro n > .
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54
A Figura 3.6 ilustra o limite da sequência.
x
y
Figura 3.3 – Gráfico da sequência .
Exemplo 6 
Use a definição para demonstrar que o c = c.
Devemos mostrar que para todo e > 0, existe um número N > 0, 
tal que | c – c | < e para todo inteiro n > N.
Como c – c = 0, podemos usar qualquer inteiro positivo para N e a 
implicação é verdadeira. Logo, c = c para toda constante c.
Observação: podemos comparar 
 an = L e f(x) = L 
a única diferença é que n precisa ser inteiro positivo, 
enquanto que x é um número real.
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Seqüências Numéricas e Séries
55Unidade 3
Teorema 3.1
Se f (x) = L e f (n) = an quando n é um número inteiro, então, 
an = L
Propriedades
Sejam {an} e {bn} sequências convergentes, com limites a e b, 
respectivamente, e c for uma constante, então,
i) (an + bn) = an + bn = a + b
ii) (an – bn) = an – bn = a – b
iii) c .an = c . an = ca
iv) an.bn = an. bn = a .b
v) 
Exemplo 7 
Calcule .
Vamos, primeiramente, dividir o numerador e o denominador 
por n e aplicar o teorema.
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56
Podemos também aplicar o teorema assim: 
aplicando a Regra de L’Hôspital, isto é, derivando o numerador e o 
denominador, temos 
Teorema 3.2 
Teorema do confronto para sequências infinitas (teorema do 
Sanduíche).
Se {an}, {bn} e {cn} são sequências infinitas, tais que an ≤ bn ≤ cn para 
todo n, e se an = L = cn, então, bn = L.
Demonstração
Dado qualquer e > 0, corresponde um número N, tal 
que se n > N, então, |an – L| < e e |cn – L| < e, podemos 
escrever L – e < an < L + e e L – e < cn < L + e, portanto, 
L – e < an e cn < L + e, como an ≤ bn ≤ cn, para n > N, teremos 
L – e < bn < L + e que equivale a |bn – L| < e. Como queríamos 
demonstrar.
Exemplo 8
Determine o limite da sequência { }.
Como 0 < cos2 n < 1, todo n inteiro e positivo, podemos, então, 
confrontar com a sequência { }, cujo = 0. 
Utilizando o teorema do confronto com an = 0, bn = e 
cn =  , logo concluímos que = 0.
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Seqüências Numéricas e Séries
57Unidade 3
Sequência monótona
Definição
Uma sequencia {an} onde:
i) an ≤ an+1 para todo n é chamada sequência crescente, isto 
é, a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ …;
ii) Se an ≥ an+1 para todo n é chamada sequência decrescente. 
Uma sequência será monótona se for crescente ou decrescente.
Exemplo 9
A sequência 1, 2, 3, …, n, …, cujo termo geral é an = n, é 
crescente.
De fato, 1 < 2 < 3 < 4 < …
Exemplo 10
A sequência { } é crescente.
Os primeiros termos são , , , …, , ….
De fato, se olharmos os três primeiros termos da sequência, 
observamos que os elementos crescem quando n cresce.
Então, < = , 
multiplicando n(n + 2) < (n + 1)(n + 1) → n2 + 2n + 1, observe que 
o lado direito da desigualdade apresenta 1 a mais.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
58
Exemplo 11 
A sequência , , , …, , …
cujo termo geral é an = , é decrescente.
De fato, > > para todo o n ≥ 1, 
isto é, o lado direito da desigualdade é menor porque tem um 
denominador maior.
Sequência limitada
Uma sequência {an} é dita limitada superiormente quando existir 
um número real M, denominado cota superior da sequência, tal 
que an ≤ M, ∀n.
Uma sequência {an} é dita limitada inferiormente quando existir 
um número real m, denominado cota inferior da sequência, tal 
que m ≤ an, ∀n.
Se a sequência {an} for limitada superior e inferiormente, então, é 
uma sequência limitada.
Exemplo 12 
A sequência 1, , , , …, , … 
é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.
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Seqüências Numéricas e Séries
59Unidade 3
Seção 2 – Séries numéricas
Para iniciarmos esta seção, vamos enunciar um dos paradoxos de 
Zenão de Eleia (495-435 a.C.), ou seja, um corredor nunca pode 
alcançar a meta numa corrida porque tem sempre que correr a 
metade da meta, ou seja, quando tiver corrido a primeira metade, 
terá ainda que correr a segunda metade. Quando tiver corrido 
a metade dessa falta-lhe a quarta parte do total. Quando tiver 
corrido a metade dessa parte falta-lhe a oitava parte do inicial, e 
assim indefinidamente.
Essa afirmação foi rejeitada 2000 anos depoisde Zenão, com a 
criação da teoria das séries.
Série infinita
Quando somamos os termos de uma sequência infinita, obtemos 
uma expressão a1 + a2 + a3 + … + an + … que é chamada de uma 
série infinita, que é abreviada pelo símbolo:
an ou ∑an.
Exemplo 13
Seja a série
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Universidade do Sul de Santa Catarina
60
Quando adicionamos termos de uma série, essas somas parciais se 
tornam cada vez mais próximas de , ou seja, no exemplo:
De um modo geral:
S1 = a1
S2 = a1 + a2 
S3 = a1 + a2 + a3 
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 
e assim temos,
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = .
Definição
Seja an uma série infinita dada, e seja {Sn} a sequência de somas 
parciais, definindo esta série infinita. Se a sequência {Sn} for 
convergente e Sn = S existir como um número real, então, a 
série an é chamada de convergente e S é a soma da série infinita 
em questão. Caso contrário, a série é chamada de divergente.
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Seqüências Numéricas e Séries
61Unidade 3
Exemplo 14
A série , 
cuja fórmula para as somas parciais para a série dada {Sn} = , é:
e assim Sn = .
Vamos calcular o limite de Sn = , ou seja, 
logo, a série é convergente.
Um pouco da história
O uso generalizado das séries infinitas começou 
no século XVII, aproximadamente cinquenta anos 
antes do nascimento de euler, e coincidiu com o 
desenvolvimento inicial do cálculo integral. Nicholas 
Mercator (1620-1687) e Willian Broncker (1620-1684) 
descobriram uma série infinita para o logaritmo, em 
1668, quando tentavam calcular a área dum “segmento 
hiperbólico”. Pouco tempo depois, Newton descobria a 
série binomial. essa descoberta constituiu um marco na 
história da matemática. (APOSTOL, 1979).
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62
Serie geométrica 
Definição
A série geométrica é uma série da forma
c + cr + cr2 + cr3 + … + crn–1 + … = crn–1
A soma parcial desta série é dada por
Sn = c(1 + r + r2 + r3 + … + rn–1)
1 – rn = (1 – r)(1 + r + r2 + r3 + … + rn–1),
Logo, podemos escrever Sn = se r ≠ 1.
Teorema
A série geométrica é convergente se | r | < 1 e sua soma é 
Se | r | ≥ 1, a série geométrica é dita divergente.
Exemplo 15
Determine se a série infinita é convergente ou divergente.
Seja a série
 = 1 + + + + … + + …, com c = 1 e r = .
Logo, pelo teorema a série é convergente e sua soma é 
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Seqüências Numéricas e Séries
63Unidade 3
Série telescópica
Primeiramente, vamos definir que uma soma telescópica é uma 
soma da forma:
(b1 – b2) + (b2 – b3) + (b3 – b4) + (b4 – b5) + … 
+ (bn–1 – bn) + (bn – bn+1) = b1 – bn+1
ou
an = a1 + (a2 – a1) + (a3 – a2) + (a4 – a3) + (a5 – a4) + … 
 + (an – an–1)
Definição
Série telescópica é o limite da soma telescópica
 (b1 – bn+1) = (b1 – bn+1)
Exemplo 16
Mostre que a série é convergente e calcule a sua soma.
A série = .
Primeiramente, vamos fazer a decomposição em frações parciais
Então, = 
Você sabia que o adjetivo 
“telescópica” é porque 
se faz o limite do “termo 
muito distante” bn+1? 
(ROCHA, 1989).
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64
e assim o Sn = = 1 – 0 = 1.
Logo, a série = 1.
Série harmônica
Chama-se série harmônica à série = 1 + + + + …, 
a série harmônica é divergente. (ANTON, 2007, p. 648).
Observe que:
Como substituímos n por 1, 2, 4, 8, 16, …, podemos escrever 
n = 2k, então, temos , quando k → ∞ mostra que  → ∞ 
e assim {Sn} é divergente, portanto, a série harmônica diverge.
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Seqüências Numéricas e Séries
65Unidade 3
Propriedades
Se an e bn forem séries convergentes e seja c um número real.
i) (an ± bn) = an ± bn;
ii) can = c an.
Teorema
Se a série an é convergente e a série bn é divergente, 
então, a série (an + bn) é divergente.
Demonstração
Vamos supor que a série (an + bn) é convergente.
Aplicando a condição i do teorema anterior 
 [(an + bn) – an] = bn
é convergente, o que é uma contradição. 
Logo, (an + bn) é divergente.
Exemplo 17
Determine a convergência ou divergência da série ( + ).
A série ( ) é uma série geométrica convergente e ( ) 
é a série harmônica divergente, logo, a série dada é divergente.
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66
Seção 3 – Convergência de séries
Nesta seção, desenvolvemos vários critérios e testes que podem 
ser usados para determinar o caráter, ou seja, se uma dada série 
converge ou diverge.
Teorema
Se a série an for convergente, então, an = 0. (STEWART, 
2009, p. 656).
Demonstração
Seja Sn = a1 + a2 + … + an. Então, Sn – Sn–1 = an, , 
por ser an convergente a sequência {Sn} é convergente 
S = Sn e S = Sn–1.
Logo, 0 = S – S = Sn – Sn–1 = (Sn – Sn–1) = an.
Teorema (teste da divergência)
Se an diverge se an não existe ou é diferente de zero.
Demonstração
Vamos supor que an seja convergente. Então, pelo teorema o 
 an = 0, o que contradiz a hipótese. Logo, a série é divergente.
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Seqüências Numéricas e Séries
67Unidade 3
Exemplo 18
Verifique se a série diverge.
Vamos calcular o an
 = 
logo, pelo teste da divergência, a série diverge.
Convergência absoluta
Definição
A série infinita ∑an será denominada absolutamente convergente 
se a série ∑| an | for convergente.
Exemplo 19
Determine se a série (–1)n+1 é absolutamente convergente.
a série geométrica é convergente (r = < 1). Logo, a série dada é 
absolutamente convergente.
Definição
Uma série convergente, mas não absolutamente convergente, é 
denominada condicionalmente convergente.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
68
Teorema
Se a série an é absolutamente convergente, então, ela é 
convergente.
Exemplo 20 
Determine se a série do exemplo 19 é convergente.
Pelo teorema a série é convergente.
Critério da razão
Seja ∑an uma série infinita para a qual todo an ≠ 0. Então,
i) Se = L < 1, a série dada é absolutamente 
convergente.
ii) Se = L > 1 ou se = ∞ a série é 
divergente.
iii) Se = 1, não há como concluir sobre a 
convergência.
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Seqüências Numéricas e Séries
69Unidade 3
Exemplo 21 
Determinar a convergência ou a divergência da seguinte série 
 .
Vamos calcular
A série é absolutamente convergente e pelo teorema ela é 
convergente.
Exemplo 22
Determinar a convergência ou a divergência da seguinte série 
Vamos calcular
Assim, nada podemos afirmar.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
70
Critério da raiz
Seja ∑an uma série infinita para a qual todo an ≠ 0. Então,
i) Se = L < 1, a série dada é absolutamente 
convergente.
ii) Se = L > 1 ou se = +∞ a série é 
divergente.
iii) Se = 1, não há como concluir sobre a 
convergência.
Exemplo 23
Determine se a série converge ou diverge.
Como os termos são todos positivos, vamos omitir o símbolo de 
módulo, então, calculamos:
Logo, a série é absolutamente convergente.
Critério da Integral
Seja f uma função contínua, positiva e decrescente em [1,+∞). 
Então, a série infinita f (n) é convergente se a integral 
imprópria existir. Ela será divergente se a integral 
imprópria for divergente.
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Seqüências Numéricas e Séries
71Unidade 3
Exemplo 24
Mostre que a série converge ou diverge.
Vamos substituir o n por x e teremos f (x) = , é decrescente e 
contínua para x ≥ 1, então, o 
a integral converge, a série converge pelo teste da integral.
Exemplo 25
Mostre se a série converge ou diverge.
Vamos substituir o n por x e teremos f (x) = , é decrescente e 
contínua para, então, o 
a integral diverge, a série diverge pelo teste da integral.
Convergência de p-série
A série 
converge se p > 1 e diverge se 0 < p ≤ 1.
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72
Critério da comparação
Sejam ∑an e ∑bn duas séries com termos positivos.
i) Se a série ∑bn for convergente e an ≤ bn para todo n, 
então, a série ∑an também converge.
ii) Se a série ∑bn for divergente e an ≥ bn para todo n, então, 
a série ∑an também é divergente.
Exemplo 26
Verifique se a série do exemplo 22 converge ou diverge:
Vamos comparar com outra série, ou seja, 
logo, aplicando o teste da comparação é uma série 
harmônica que diverge.
Critério da comparação do limite
Sejam ∑an e ∑bn duas séries com termos positivos. Se = p, 
onde p é um número positivo, então, ambas as séries convergem ou 
divergem.
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Seqüências Numéricas e Séries
73Unidade 3
Exemplo 27
Verifique se a série converge ou diverge.
Vamos tomar a parte do denominador 3n2 e a parte do 
denominador 5 , então, o
dividindo o numerador e o denominador por n5/2, temos
Como é divergente (pela série p com p = < 1) 
a série diverge pelo teste da comparação.
Exemplo 28 
Verifique se a série converge ou diverge.
Vamos tomar a parte do numerador 2n3 e a parte do 
denominador n7 , então,
, 
dividindo o numerador e o denominador por n7 , temos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
74
Como é convergente (pela série p com p = 4 > 1 ),
a série converge pelo teste da comparação.
Série alternada
Definição
Uma série alternada, onde an < 0, para n = 1, 2, 3, …, então, a 
série 
 (–1)n+1an = a1 – a2 + a3 – a4 + …
e a série 
 (–1)nan = – a1 + a2 – a3 + a4 – …
são chamadas séries alternadas.
Exemplo 29
Seja a série (–1)n+1 = 1 – + – + …
Exemplo 30
Seja a série (–1)n = – 1 + – + – …
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Seqüências Numéricas e Séries
75Unidade 3
Critério de Leibniz (critério da série alternada)
Se a série alternada (–1)n+1an = a1 – a2 + a3 – a4 + … e 
 (–1)nan = – a1 + a2 – a3 + a4 – … com an > 0, satisfizer:
i) an+1 ≤ an, e 
ii) an = 0, para todo n inteiro positivo, então, a série é 
convergente.
Exemplo 31
Verifique se a série converge ou diverge.
Primeiro, vamos calcular a condição an+1 ≤ an, ou seja, 
n3 + n + n2 + 1 ≤ n3 + 2n2 + 2n → – n2 – n + 1 ≤ 0, para n ≥ 1.
Agora, vamos calcular
( ( ))
Logo, a série é convergente.
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76
Um pouco da história
Leibniz nasceu em Leipzig, Alemanha. 
Ainda bem jovem, pôde dispor da 
biblioteca montada pelo pai. em contato 
com uma ampla gama de autores 
clássicos, tornou-se um leitor voraz para 
o resto da vida. Aos 15 anos, ingressou na 
Universidade de Leipzig, onde recebeu 
a maior parte de sua educação formal. 
Seu interesse pela matemática surgiu 
pelas inúmeras citações sobre a importância dessa matéria 
nos trabalhos filosóficos. Depois, frequentou a Universidade 
de Altdorf, próxima a Nuremberg, onde se formou doutor 
em Direito. em Paris, trabalhou nessa área para financiar seus 
estudos matemáticos.
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716).
Fonte: Thomas (2002).
Ficaram compreensíveis os exemplos?
Como vimos nos exemplos apresentados, é necessária 
a aplicação de várias ferramentas que determinam a 
convergência ou a divergência de uma série.
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Seqüências Numéricas e Séries
77Unidade 3
Síntese
Você estudou nesta unidade os seguintes conteúdos:
Limite de uma sequência
Dizemos que um número real L é o limite de uma sequência 
{an}, ou que a sequência {an} converge para L, se para todo e > 0, 
existir um número N > o, tal que | an – L | < e para todo inteiro 
n > N; e escrevemos an = L ou an → L quando n → ∞.
Propriedades de sequências
i) (an + bn) = an + bn = a + b
ii) (an – bn) = an – bn = a – b
iii) c .an = c . an = ca
iv) an.bn = an. bn = a .b
v) 
Séries numéricas
Seja an uma série infinita dada e seja {Sn} a sequência de somas 
parciais definindo essa série infinita. Se a sequência {Sn} for 
convergente e Sn = S existir como um número real, então, a 
série an é chamada de convergente, e S é a soma da série infinita 
em questão. Caso contrário, a série é chamada de divergente.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
78
Critérios de convergência
O critério da razão
Seja ∑an uma série infinita para a qual todo an ≠ 0. Então,
i) Se = L < 1, a série dada é absolutamente 
convergente.
ii) Se = L > 1 ou se = ∞ a série é 
divergente.
iii) Se = 1, não há como concluir sobre a 
convergência.
O critério da raiz
Seja ∑an uma série infinita para a qual todo an ≠ 0. Então,
i) Se = L < 1, a série dada é absolutamente 
convergente.
ii) Se = L > 1 ou se = +∞ a série é 
divergente.
iii) Se = 1, não há como concluir sobre a 
convergência.
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Seqüências Numéricas e Séries
79Unidade 3
O critério da integral
Seja f uma função contínua, positiva e decrescente em [1,+∞). 
Então, a série infinita f (n) é convergente se a integral 
imprópria existir. Ela será divergente se a integral 
imprópria for divergente.
O critério da comparação
Sejam ∑an e ∑bn duas séries com termos positivos.
i) Se a série ∑bn for convergente e an ≤ bn para todo n, 
então, a série ∑an também converge.
ii) Se a série ∑bn for divergente e an ≥ bn para todo n, então, 
a série ∑an também é divergente.
O critério de Leibniz
Se a série alternada (–1)n+1an = a1 – a2 + a3 – a4 + … e 
 (–1)nan = – a1 + a2 – a3 + a4 – … com an > 0, satisfizer:
i) an+1 ≤ an, e 
ii) an = 0, para todo n inteiro positivo, então, a série é 
convergente.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
80
Atividades de autoavaliação
1) Usando a definição, mostre que a sequência tem o limite .
2) Determine se a sequência é convergente ou divergente.
3) expressar o decimal 0, 3333… como um número racional.
4) Calcule a soma das seguintes séries:
a) 
b) 
c) 
5) Use frações parciais para encontrar a soma da série abaixo:
6) Determine se as séries seguintes convergem ou divergem pelo critério 
da razão.
a) 
b) 
7) Determine se as séries seguintes convergem ou divergem pelo critério 
da raiz.
a) 
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Seqüências Numéricas e Séries
81Unidade 3
b) 
8) Determine se as séries seguintes convergem ou divergem pelo critério 
da integral.
a) 
b) 
9) Determine se as séries seguintes convergem ou divergem pelo critério 
da comparação.
a) 
b) 
10) Determine se as séries seguintes convergem ou divergem pelo critério 
da comparação do limite.
a) 
b) 
11) Verifique se as séries abaixo atendem às condições do Critério de 
Leibniz e conclua se são convergentes:
a) 
b) 
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Universidade do Sulde Santa Catarina
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Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos sobre o que estudou nesta 
unidade, sugere-se as seguintes leituras:
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte, v.2. Porto Alegre: 
Bookman, 2000, 552 p.
ANTON, H. Cálculo. v. 2, 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007.
APOSTOL, Tom M.. Cálculo. v.1, 2.ed. Barcelona: Reverté 
1979.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo, v. 2 - Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1986, 1995.
LEITHOLD, L. O cálculo: com geometria analítica. v. 2. São 
Paulo: Harbra, 1988.
PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. v. 2, 10. ed. 
Porto: Lopes da Silva Editora, 1992.
ROCHA, Luiz Mauro. Cálculo 2: funções com várias variáveis, 
integrais múltiplas, equações diferenciais ordinárias, séries. 2. ed. 
São Paulo: Atlas, 1989.
SALAS, Saturnino L., Cálculo, v. 2. Rio de Janeiro: LTC, 
2005.
STEWART, James. Cálculo, v. 2. 6 ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2009.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. v. 2. 
São Paulo: Makron Books, 1995. 763 p.
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4
UNIDADe 4
Séries e funções
Objetivos de aprendizagem
 „ Definir uma série de potências.
 „ escrever uma função na forma de uma série de Taylor.
 „ escrever uma função na forma de uma série de Fourier.
Seções de estudo
Seção 1 Série de potências
Seção 2 Série de Taylor
Seção 3 Polinômios de Taylor
Seção 4 Série de Fourier
Seção 5 extensão periódica de uma série de Fourier
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Para início de estudo
Os matemáticos do século XVIII executaram trabalhos 
essencialmente práticos, motivados, principalmente, pela 
mecânica e pela astronomia.
Em 1717, Brook Taylor aplicou o cálculo das diferenças finitas ao 
movimento das cordas vibratórias. Já Colin Maclaurin, em 1731, 
utilizou as demonstrações geométricas para dar maior rigor à 
sua teoria, segundo a qual uma massa líquida girando em torno 
de seu eixo sob influência da gravitação toma a forma de um 
elipsóide de revolução.
Entretanto, Taylor é conhecido pelo processo e por seus teoremas 
aplicados à expansão de uma função em uma série infinita. Colin 
Maclaurin observou um caso especial da expansão das séries 
infinitas estudadas por Taylor. 
Em 1789, Jean Baptiste Joseph Fourier abandonou os estudos 
religiosos para se dedicar às pesquisas em Matemática. Pouco 
tempo mais tarde, em 1798, abandonou o mundo acadêmico e 
seguiu com o exército de Napoleão como conselheiro científico.
Ao retornar, aceitou o pedido de Napoleão para atuar como 
prefeito de Grenoble, onde escreveu seu trabalho mais 
importante. Em Memoire sur la Chaleur, expressou suas ideias 
sobre a transferência de calor e mostrou um novo método de 
análise matemática, conhecido como análise de Fourier, que 
se baseia no fato de que qualquer função pode ser escrita como 
uma série de funções seno e cosseno. Mais tarde, essa análise se 
mostrou útil na resolução de problemas de física ondulatória, na 
determinação de concentração de substâncias químicas poluentes 
e em outros modelos.
Na primeira seção vamos discutir séries de potências, para nas 
seções 2 e 3 tratarmos as séries de Taylor e Maclaurin. Nas duas 
últimas seções, discutiremos um pouco sobre a série de Fourier.
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Seqüências Numéricas e Séries
85Unidade 4
Seção 1 – Série de Potências
Uma série de potências em (x – a) é uma série da forma
c0 + c1(x – a) + c1(x – a)2 + … + cn(x – a)n + … = cn(x – a)n
Se x é um determinado número, a série de potências acima se 
transforma em uma série infinita de termos constantes. Um caso 
especial da série acima é obtido quando a = 0.
Além das séries de potências em (x – a) e x, existem séries da 
forma
 cn[f(x)]n = c0 + c1f(x) + c2[f(x)]2 + … + cn[f(x)]n + …
Sendo f(x) é uma função de x.
Para cada valor de x, em relação ao qual a série de potências 
converge, a série representa o número que é a soma da série. 
Desse modo, pode-se considerar que uma série de potências 
representa uma função f (x)
f (x) = cnxn
Que tem como domínio todos os valores de x para os quais a série 
acima é convergente.
Exemplo 1
Encontre os valores de x para os quais a série de potências 
 
é convergente.
Para a série dada
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Assim, usando o teste da razão
A série de potências é convergente quando
E divergente quando
Quando | x | = , o teste da razão falha.
Neste caso, a série de potências será
1 – + – + … + (–1)n+1 + …,
que é convergente. Quando | x | = – , a série será divergente 
(verifique). Portanto, a série de potências dada é convergente 
quando – < x ≤ .
Exemplo 2
Encontre os valores de x para os quais a série de potências é 
convergente.
Usando o teste da razão
Desse modo, a série de potências é absolutamente convergente 
para todos os valores de x.
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Seqüências Numéricas e Séries
87Unidade 4
Exemplo 3
Encontre os valores de x para os quais a série de potências n!xn 
é convergente.
Usando o teste da razão
,
que diverge para qualquer valor de x, exceto x = 0. Desse modo, a 
série converge apenas para x = 0.
Teorema
Seja cnxn uma série de potências dada. 
Então, uma dessas condições é válida:
i) a série converge somente quando x = 0;
ii) a série é absolutamente convergente para todos os valores 
de x;
iii) existe um número R > 0, tal que a série seja absolutamente 
convergente para todos os valores de x, para os quais 
| x | < R, e seja divergente para todos os valores de x, para 
os quais | x | > R. 
O conjunto de todos os valores de x, para os quais uma dada série 
de potências é convergente, é chamado intervalo de convergência 
da série. O número R da condição (iii) do teorema anterior é 
chamado raio de convergência. Se a condição (i) é válida R = 0. 
Se a condição (ii) é válida R = +∞.
No exemplo 1, o raio de convergência é R = , e o intervalo de 
convergência é (– , ]. Já no exemplo 2, R = +∞, e o intervalo de 
convergência é (–∞,+∞).
Conforme comentado anteriormente, uma série de potências define 
uma função, tendo o intervalo de convergência como seu domínio.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
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Exemplo 4
Determine o intervalo de convergência da série de potências abaixo:
 n(x – 2)n.
Aplicando o teste da razão
A série é absolutamente convergente se |x – 2| < 1, ou seja, se 
1 < x < 3. Quando x = 1 ou x = 3, a série é divergente (verifique). 
Logo, o intervalo de convergência da série é (1, 3).
Seção 2 – Série de Taylor
Considere a função f(x) expressa por meio da série de potências
f (x) = an(x – a)n = a0 + a1(x – a) + a2(x – a)2 + … + an(x – a)n + …
Com um raio de convergência positivo. Fazendo a derivada termo 
a termo da função, encontra-se
f '(x) = a1 + 2a2(x – a) + 3a3(x – a)2 + … + nan(x – a)n–1 + …
f ''(x) = 1.2.a2 + 2.3.a3(x – a) + … + (n – 1).n.an(x – a)n–2 + …
f '''(x) = 1.2.3.a3 + 2.3.4.a4(x – a) + … + (n – 2).(n – 1).n.an(x – a)n–3 + …
Desse modo, a derivada de enésima ordem pode ser escrita da 
forma
f (n)(x) = n!an + uma soma de termos com fator (x – a)
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Seqüências Numéricas e Séries
89Unidade 4
Para x =a, pode-se escrever
f (a) = a0 
f (a) = 1.a1 
f (a) = 1.2.a2 
f (a) = 1.2.3.a3 
 
f (n)(a) = n!an
O enésimo coeficiente desta série será
Logo, se a função f (x) tiver uma representação em série ela será
Pode-se, assim, definir a série de Taylor gerada por f (x) em x = a
Se essa série for gerada em x = 0,