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ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS 1.PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS: Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma função de V×V em ℝ que a todo par de vetores (u, v) ∈ V×V associa um número real, indicado por u• v ou 〈u, v〉. 〈 , 〉: V×V ℝ (u, v) 〈u, v〉 PROPRIEDADES: P1) 〈u+v, w〉 = 〈u, w〉+〈v, w〉 P2) 〈α u, v〉 = α 〈u, v〉 P3) 〈v, u〉 = 〈u, v〉 P4) 〈u, u〉 > 0 se u ≠ 0 1.PRODUTO INTERNO CANÔNICO: O produto interno canônico, é o produto interno usual. ● No ℝ2 está definido por: 〈u, v〉 = x1 x2 + y1 y2 ; u = (x1, y1) e v = (x2, y2) ● No ℝ3 está definido por: 〈u, v〉 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ; u = (x1, y1 , z1) e v = (x2, y2 , z2) ● No ℝn está definido por: 〈u, v〉 = ; u = (x1, x2 , … , xn) e v = (y1 , y2 , … , yn)∑ i=1 n x i y i ● Seja V = ℙ2 espaço de todos os polinômios de grau 2.⇒ Se p = a2 x2 + a1 x + a0 e q = b2 x2 + b1 x + b0 ∈ ℙ2〈p, q〉 = a2 b2 + a1 b1 + a0 b0 ● Seja V = ℙn ⇒ Se p = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn q = b0+ b1 x + b2 x 2 + … + bn x n ∈ ℙn 〈p, q〉 = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + … + an bn = ∑ i=1 n aibi ● Seja V o espaço das funções reais contínuas no intervalo [a, b] ; f, g : [a, b] ℝ O produto interno é definido por: ∫ a b f (x)g(x)dx〈f, g〉 = ● Seja ℝn+1 = a11a21⋮ an1 ⁄ ai1 ∈ ℝ o espaço das matrizes (coluna) n×1 sobre ℝ. E seja Q=(bij)n×n uma matriz não singular sobre ℝ. 〈 , 〉: ℝn×1×ℝn×1 ℝ (X, Y) 〈X, Y〉 = Yt Qt Q XA função: define o produto interno. 2.ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO: Todo espaço vetorial real, de dimensão finita e onde está definido o produto interno, é um espaço vetorial euclidiano. 2.1 NORMA DE UM VETOR: Seja v um vetor de um espaço vetorial euclidiano V, chama-se norma ou comprimento de v, o número real não negativo, definido por: ‖v‖ = √⟨v ,v ⟩ Se v = (x, y, z) ∈ ℝ3, com o produto interno usual, temos: ‖v‖ = √⟨v ,v ⟩ = √x2+ y2+z2 2.1.1 Distancia entre dois vetores: Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) vetores do ℝ3. Achamos a distancia entre os vetores u e v com o produto interno usual: ‖u−v‖ = ‖(x1−x2 , y1−y2 , z1−z2)‖ = √(x1−x2)2+( y1−y2)2+(z1−z2)2 2.1.2 Propriedades da norma: Seja V um espaço vetorial euclidiano.I) , ∀ v ∈ V e ⇔ v = 0.‖v‖ ⩾ 0 ‖v‖ = 0II) , ∀ v ∈ V e ∀ α ∈ ℝ ‖αv‖ = |α| ‖v‖III) , ∀ u e v ∈ V ‖u⋅v‖ ⩽ ‖u‖ ‖v‖IV) , ∀ u e v ∈ V ‖u+v‖ ⩽ ‖u‖ + ‖v‖ 2.2 VETORES ORTOGONAIS: Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dois vetores, u e v de V, são ortogonais (u⊥v), se, e somente se, 〈u, v〉 = 0 Exemplo 1: Sejam u = (-3, 2) e v = (2, 3) vetores de V = ℝ2, em relação ao produto interno usual determine se u e v são ortogonais. 〈u, v〉 = (-3)(2) + (2)(3) = 0 2.2.1 Base Ortogonal: Seja {v1, v2, … , vn} uma base de V. A base é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais. Assim, se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores não-nulos e dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal. Exemplo 2: O conjunto {(1, 2, -3); (3, 0, 1); (1, -5, -3)} é uma base ortogonal do ℝ3. 2.2.2 Base Ortonormal: Uma base B= {v1, v2, … , vn} de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários. 〈vi, vj〉 = 0 se i ≠ j1 se i = j 2.2.3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt: Seja V um espaço vetorial euclidiano com produto interno e sejam v1, v2, … , vn vetores linearmente independentes de V. Pode-se construir vetores ortogonais u1, u2, … , un em V, tais que, para cada i = 1, 2, …, n o conjunto S = {u1, u2, … , ui} seja uma base ortogonal do subespaço gerado por v1, v2, … , vi Considerando u1 = v1, determinamos u2, tal que u1 seja ortogonal a u2 (u2⊥u1) v2 u1 u2 α u1 〈u2 , u1〉 = 0〈v2 – α u1 , u1〉 = 0〈v2 , u1〉 – α 〈u1 , u1〉 = 0 〈u1 , u1〉 α = 〈v2 , u1〉 α = 〈v2 , u1〉 ‖u1‖ 2 u2 = v2 – u1 〈v2 , u1〉 ‖u1‖ 2 Então: u2 = v2 – α u1 É assim que S = {u1, u2, … , ui} é uma base ortogonal de V, de modo que: u1 = v1 u2 = v2 – u1 〈v2 , u1〉 ‖u1‖ 2 u3 = v3 – u1 – u2 〈v3 , u1〉 ‖u1‖ 2 〈v3 , u2〉 ‖u2‖ 2 u4 = v4 – u1 – u2 – u3 〈v4 , u1〉 ‖u1‖ 2 〈v4 , u2〉 ‖u2‖ 2 〈v4 , u3〉 ‖u3‖ 2 um+1 = vm+1 − ∑ i=1 m ⟨ vm+1 , ui ⟩ ‖ui‖ ui Exercícios: 1)Aplicar o processo de Gram-Schmidt e obtenha uma base ortogonal para ℝ3 dos vetores v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 0, -1) e v3 = (0, 3, 4). 2)Construir, a partir do vetor v = (1, -2, 1), uma base ortogonal do ℝ3 e obter uma base ortonormal. 3)Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do subespaço S = { (x, y, z) ∈ ℝ3 / x + y – z = 0 } TRANSFORMAÇÕES LINEARES 1.DEFINIÇÃO: Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre o corpo �. Uma transformação linear é uma correspondência T : V → W onde, para cada vetor v ∈ V, é atribuído um vetor T(v) ∈ W , T é uma transformação linear se: a)∀ v1, v2 ∈ V : T(v1+v2) = T(v1) + T(v2)b)∀ α ∈ � , ∀ v ∈ V : T(α v) = α T(v) Exemplo 1: Seja T : ℝ2→ℝ2 uma transformação definida por T(a, b) = (a – b, a+2b), prove que T é uma transformação linear. Sol: a)Sejam v1 = (a1, b1) e v2 = (a2, b2) ∈ ℝ2 ⇒ v1 + v2 = (a1+a2, b1+b2) Então por definição: T(v1+v2) = T(a1+a2, b1+b2) = (a1+a2 – ( b1+b2), a1+a2+ 2(b1+b2)) = (a1– b1+a2 – b2 , a1+2b1 + a2+2b2) = (a1– b1 , a1+2b1) + (a2 – b2 , 2a2+b2) = T(v1) + T(v2) b)Seja α ∈ ℝ e v = (a, b) ∈ ℝ2 ⇒ α v = (α a, α b) Por definição: T(α v) = T(α a, α b) = (α a – α b, α a + α 2b) = α (a – b, a + 2b) = α T(a, b) = α T(v) Exemplo 2: Da transformação linear T : ℝ2→ℝ2 definida por T(x, y) = (x, 3y), e considerando a circunferência x² + y² = 1 , ache as imagens de alguns pontos da circunferência T(1, 0) T(0, 1) T(-1,0) T(0,-1) = (1, 3(0)) = (0, 3(1)) = (-1, 3(0)) = (0, 3(-1)) = (1, 0) = (0, 3) = (-1, 0) = (0, -3) T ( 1 √2 , 1 √2 ) = T ( 1 √2 , 3 √2 ) T ( 1 √2 , − 1 √2 ) = T ( 1 √2 , − 3 √2 ) ( 1 √2 , 1 √2 ) ( 1 √2 , − 1 √2 ) ( 1 √2 , 3 √2 ) ( 1 √2 , − 3 √2 ) (0, 1) (0, -1) (0, 3) (0, -3) T Espaço de partida Espaço de chegada Sol: 2.TIPOS DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR: Considerando as só alguns tipos de transformações, pode-se verificas a linearidade das mesmas usando os dois requisitos da definição. 1)Transformação identidade: I : V v I(v) = v V a)∀ v1, v2 ∈ V : I (v1+v2) = I (v1) + I (v2) = v1+v2b)∀ α ∈ � , ∀ v ∈ V : I (α v) = α I (v) = α v é linear 2)Transformação nula: T : V v T(v) = 0 V a)∀ v1, v2 ∈ V : T (v1+ v2) = T (v1) + T (v2) = 0 + 0 = 0b)∀ α ∈ � , ∀ v ∈ V : T (α v) = α T (v) = α (0) = 0 é linear Exemplo 3: Seja o espaço vetorial V = Pn dos polinomios de grau ⩽ n. Determine se a aplicação derivada D : Pn→Pn , que leva de f ∈ Pn para f’, isto é D(f) = f’, é linear. a)∀ f, g ∈ Pn : D (f + g) = D (f) + D (g) = f’ + g’b)∀ α ∈ ℝ , ∀ f ∈ Pn : D (α f) = α D (f) = α f’ Sol: Pelas regras da derivação sabe-se: D : Pn→Pn é linear Exemplo 4: Determine se a transformação T : Pn→ℝ, definida por onde u ∈ Pn e T(u) ∈ ℝ (a, b ∈ ℝ) , é linear. T (u) = ∫ a b udt a)∀ u, v ∈ Pn : T (u + v) b)∀ α ∈ ℝ , ∀ u ∈ Pn : T (α u) = ∫ a b (u+v )dt = ∫ a b udt + ∫ a b vdt = T (u) + T(v) = ∫ a b (αu)dt = α∫ a b udt = α T (u) T : Pn→ℝ é linear Sol: 3.NÚCLEO DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR: DEFINIÇÃO: Seja T : V → W uma transformação linear. O núcleo de T é denotado por N(T) e é definido como: N(T) = { v ∈ V / T(v) = 0 } Obs: O vetor nulo pertence a N(T), posto que, T(0) = 0 ⇒ {0} ⊂ N(T) Exemplo 5: Ache o núcleo de T : ℝ2→ℝ2 definida por T(a, b) = (a + 2b, – 2a – 4b) Sol: Pela definição N(T): v = (a, b) ∈ N(T) / T(v) = 0⇒ T(v) =(a + 2b, – 2a – 4b) = (0, 0) a + 2b = 0 – 2a – 4b = 0 1 2 0 -2 -4 0 L2− 2L1→L2 1 2 0 0 0 0 a + 2b = 0 ⇒ v = (a, b) = b(– 2, 1) ⇒ N(T) = { (– 2b, b) / b ∈ ℝ } 4.IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR: DEFINIÇÃO: Seja T : V → W uma transformação linear. A imagem de T é denotado por im(T) e é definido como: im(T) = { w ∈ W / ∃ v ∈ V ∧ T(v) = w } Obs: im(T), é a imagem de todo espaço vetorial V e é um subespaço de W. Exemplo 6: Ache a imagem de T : ℝ2→ℝ3 definida por T(a, b) = (a + 2b, a – b, a + 3b) Sol: Pela definição im(T) = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / ∃ (a, b) ∈ ℝ2 ∧ T(a, b) = (x, y, z)}⇒ T(a, b) = (a + 2b, a – b, a + 3b) = (x, y , z) a+2b = x a – b = y L2− 1L1→L2 a+3b = z 1 2 x 1 -1 y 1 3 z L3− 1L1→L3 1 2 x 0 -3 -x+y 0 1 -x+z 1 2 x 0 -3 -x+y 0 1 -x+z 1/3L2→L2 1 2 x 0 1 (x-y)/3 0 1 -x+z L3− 1L2→L3 1 2 x 0 1 (x-y)/3 0 0 (-4x+y+3z)/3 ⇒ (-4x+y+3z)/3 = 0⇒ –4x+y+3z = 0 im(T) = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / –4x+y+3z = 0} Exercícios: 1)Seja T : ℝ3→ℝ2 uma transformação linear e B = { v1, v2, v3 } uma base do ℝ3, sendo v1 = (0, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, 1, 0). Determine T(5, 3, 2) sabendo que: T(v1) = (1, -2) , T(v2) = (3, 1) e T(v3) = (0, 2). 2)Sabendo que T : ℝ2→ℝ3 é uma transformação linear e que: T(1, -1) = (3, 2, -2) e T(-1, 2) = (1, -1, 3) , determine T(x, y) 3)Deermine o núcleo e a imagem de T : ℝ3→ℝ3 é uma transformação linear que é definida: T(x, y, z) = (x+2y-z, y+2z, x+3y+z). Diapositiva 1 Diapositiva 2 Diapositiva 3 Diapositiva 4 Diapositiva 5 Diapositiva 6 Diapositiva 7 Diapositiva 8 Diapositiva 9 Diapositiva 10 Diapositiva 11 Diapositiva 12 Diapositiva 13 Diapositiva 14 Diapositiva 15 Diapositiva 16 Diapositiva 17
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