ev euclidianos transformações

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ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
1.PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS:
Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma função de V×V em ℝ que a todo par 
de vetores (u, v) ∈ V×V associa um número real, indicado por u• v ou 〈u, v〉.
〈 , 〉: V×V ℝ
(u, v) 〈u, v〉
 PROPRIEDADES:
P1) 〈u+v, w〉 = 〈u, w〉+〈v, w〉
P2) 〈α u, v〉 = α 〈u, v〉
P3) 〈v, u〉 = 〈u, v〉
P4) 〈u, u〉 > 0 se u ≠ 0
 
1.PRODUTO INTERNO CANÔNICO:
O produto interno canônico, é o produto interno usual.
● No ℝ2 está definido por: 〈u, v〉 = x1 x2 + y1 y2 ; u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
● No ℝ3 está definido por: 〈u, v〉 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ; u = (x1, y1 , z1) e v = (x2, y2 , z2)
● No ℝn está definido por: 
〈u, v〉 = ; u = (x1, x2 , … , xn) e v = (y1 , y2 , … , yn)∑
i=1
n
x i y i
● Seja V = ℙ2 espaço de todos os polinômios de grau 2.⇒ Se p = a2 x2 + a1 x + a0 e q = b2 x2 + b1 x + b0 ∈ ℙ2〈p, q〉 = a2 b2 + a1 b1 + a0 b0
 
● Seja V = ℙn ⇒ Se p = a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
 q = b0+ b1 x + b2 x
2 + … + bn x
n 
∈ ℙn
〈p, q〉 = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + … + an bn = ∑
i=1
n
aibi
● Seja V o espaço das funções reais contínuas no intervalo [a, b] ; f, g : [a, b] ℝ
O produto interno é definido por: ∫
a
b
f (x)g(x)dx〈f, g〉 = 
● Seja ℝn+1 = a11a21⋮
an1
⁄ ai1 ∈ ℝ o espaço das matrizes (coluna) n×1 sobre ℝ.
E seja Q=(bij)n×n uma matriz não singular sobre ℝ.
〈 , 〉: ℝn×1×ℝn×1 ℝ
(X, Y) 〈X, Y〉 = Yt Qt Q XA função: define o produto interno.
 
2.ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO:
Todo espaço vetorial real, de dimensão finita e onde está definido o produto interno, é 
um espaço vetorial euclidiano.
2.1 NORMA DE UM VETOR:
Seja v um vetor de um espaço vetorial euclidiano V, chama-se norma ou comprimento 
de v, o número real não negativo, definido por:
‖v‖ = √⟨v ,v ⟩
Se v = (x, y, z) ∈ ℝ3, com o produto interno usual, temos: 
‖v‖ = √⟨v ,v ⟩ = √x2+ y2+z2
2.1.1 Distancia entre dois vetores:
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) vetores do ℝ3. Achamos a distancia entre os 
vetores u e v com o produto interno usual:
‖u−v‖ = ‖(x1−x2 , y1−y2 , z1−z2)‖ = √(x1−x2)2+( y1−y2)2+(z1−z2)2
 
2.1.2 Propriedades da norma:
Seja V um espaço vetorial euclidiano.I) , ∀ v ∈ V e ⇔ v = 0.‖v‖ ⩾ 0 ‖v‖ = 0II) , ∀ v ∈ V e ∀ α ∈ ℝ ‖αv‖ = |α| ‖v‖III) , ∀ u e v ∈ V ‖u⋅v‖ ⩽ ‖u‖ ‖v‖IV) , ∀ u e v ∈ V ‖u+v‖ ⩽ ‖u‖ + ‖v‖
2.2 VETORES ORTOGONAIS:
Seja V um espaço vetorial euclidiano.
Dois vetores, u e v de V, são ortogonais (u⊥v), se, e somente se, 〈u, v〉 = 0
Exemplo 1:
Sejam u = (-3, 2) e v = (2, 3) vetores de V = ℝ2, em relação ao produto interno usual 
determine se u e v são ortogonais.
〈u, v〉 = (-3)(2) + (2)(3) = 0
 
2.2.1 Base Ortogonal:
Seja {v1, v2, … , vn} uma base de V. A base é ortogonal se os seus vetores são 
dois a dois ortogonais.
Assim, se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores não-nulos e dois a dois 
ortogonais, constitui uma base ortogonal.
Exemplo 2:
O conjunto {(1, 2, -3); (3, 0, 1); (1, -5, -3)} é uma base ortogonal do ℝ3.
2.2.2 Base Ortonormal:
Uma base B= {v1, v2, … , vn} de um espaço vetorial euclidiano V é ortonormal se 
B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários.
〈vi, vj〉 = 0 se i ≠ j1 se i = j
 
2.2.3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt:
Seja V um espaço vetorial euclidiano com produto interno e sejam v1, v2, … , vn 
vetores linearmente independentes de V. 
Pode-se construir vetores ortogonais u1, u2, … , un em V, tais que, para cada 
i = 1, 2, …, n o conjunto S = {u1, u2, … , ui} seja uma base ortogonal do 
subespaço gerado por v1, v2, … , vi 
Considerando u1 = v1, determinamos u2, tal que u1 seja ortogonal a u2 (u2⊥u1)
v2
u1
u2
α u1
〈u2 , u1〉 = 0〈v2 – α u1 , u1〉 = 0〈v2 , u1〉 – α 〈u1 , u1〉 = 0
 〈u1 , u1〉 α = 〈v2 , u1〉 
 α =
〈v2 , u1〉 
‖u1‖
2
u2 = v2 – u1 
〈v2 , u1〉 
‖u1‖
2
Então: u2 = v2 – α u1 
 
É assim que S = {u1, u2, … , ui} é uma base ortogonal de V, de 
modo que: 
u1 = v1
u2 = v2 – u1 
〈v2 , u1〉 
‖u1‖
2
u3 = v3 – u1 – u2 
〈v3 , u1〉 
‖u1‖
2
〈v3 , u2〉 
‖u2‖
2
u4 = v4 – u1 – u2 – u3
〈v4 , u1〉 
‖u1‖
2
〈v4 , u2〉 
‖u2‖
2
〈v4 , u3〉 
‖u3‖
2
um+1 = vm+1 − ∑
i=1
m ⟨ vm+1 , ui ⟩
‖ui‖
ui
 
Exercícios: 
1)Aplicar o processo de Gram-Schmidt e obtenha uma base ortogonal para ℝ3 dos 
vetores v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 0, -1) e v3 = (0, 3, 4).
2)Construir, a partir do vetor v = (1, -2, 1), uma base ortogonal do ℝ3 e obter uma base 
ortonormal.
3)Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do subespaço 
S = { (x, y, z) ∈ ℝ3 / x + y – z = 0 } 
 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
1.DEFINIÇÃO:
Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre o corpo �. 
Uma transformação linear é uma correspondência T : V → W onde, para cada vetor 
v ∈ V, é atribuído um vetor T(v) ∈ W , T é uma transformação linear se: a)∀ v1, v2 ∈ V : T(v1+v2) = T(v1) + T(v2)b)∀ α ∈ � , ∀ v ∈ V : T(α v) = α T(v)
Exemplo 1:
Seja T : ℝ2→ℝ2 uma transformação definida por T(a, b) = (a – b, a+2b), prove 
que T é uma transformação linear. 
Sol:
a)Sejam v1 = (a1, b1) e v2 = (a2, b2) ∈ ℝ2 ⇒ v1 + v2 = (a1+a2, b1+b2) 
Então por definição: T(v1+v2) = T(a1+a2, b1+b2) = (a1+a2 – ( b1+b2), a1+a2+ 2(b1+b2))
= (a1– b1+a2 – b2 , a1+2b1 + a2+2b2) = (a1– b1 , a1+2b1) + (a2 – b2 , 2a2+b2) = T(v1) + T(v2)
 
b)Seja α ∈ ℝ e v = (a, b) ∈ ℝ2 ⇒ α v = (α a, α b) 
Por definição: T(α v) = T(α a, α b) = (α a – α b, α a + α 2b) = α (a – b, a + 2b)
= α T(a, b) = α T(v)
Exemplo 2:
Da transformação linear T : ℝ2→ℝ2 definida por T(x, y) = (x, 3y), e considerando 
a circunferência x² + y² = 1 , ache as imagens de alguns pontos da circunferência 
T(1, 0)
T(0, 1)
T(-1,0)
T(0,-1)
= (1, 3(0))
= (0, 3(1))
= (-1, 3(0))
= (0, 3(-1))
= (1, 0)
= (0, 3)
= (-1, 0)
= (0, -3)
T ( 1
√2
, 1
√2
) = T ( 1
√2
, 3
√2
)
T ( 1
√2
, − 1
√2
) = T ( 1
√2
, − 3
√2
)
( 1
√2
, 1
√2
)
( 1
√2
, − 1
√2
)
( 1
√2
, 3
√2
)
( 1
√2
, − 3
√2
)
(0, 1)
(0, -1)
(0, 3)
(0, -3)
T
Espaço de partida Espaço de chegada
Sol:
 
2.TIPOS DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR:
Considerando as só alguns tipos de transformações, pode-se verificas a linearidade 
das mesmas usando os dois requisitos da definição.
1)Transformação identidade: I : V
v I(v) = v
V
a)∀ v1, v2 ∈ V : I (v1+v2) = I (v1) + I (v2) = v1+v2b)∀ α ∈ � , ∀ v ∈ V : I (α v) = α I (v) = α v
é linear
2)Transformação nula: T : V
v T(v) = 0
V
a)∀ v1, v2 ∈ V : T (v1+ v2) = T (v1) + T (v2) = 0 + 0 = 0b)∀ α ∈ � , ∀ v ∈ V : T (α v) = α T (v) = α (0) = 0
é linear
 
Exemplo 3:
Seja o espaço vetorial V = Pn dos polinomios de grau ⩽ n. Determine se a 
aplicação derivada D : Pn→Pn , que leva de f ∈ Pn para f’, isto é D(f) = f’, é linear.
a)∀ f, g ∈ Pn : D (f + g) = D (f) + D (g) = f’ + g’b)∀ α ∈ ℝ , ∀ f ∈ Pn : D (α f) = α D (f) = α f’
Sol:
Pelas regras da derivação sabe-se:
D : Pn→Pn é linear
Exemplo 4:
Determine se a transformação T : Pn→ℝ, definida por 
onde u ∈ Pn e T(u) ∈ ℝ (a, b ∈ ℝ) , é linear.
T (u) = ∫
a
b
udt
a)∀ u, v ∈ Pn : T (u + v) 
b)∀ α ∈ ℝ , ∀ u ∈ Pn : T (α u) 
= ∫
a
b
(u+v )dt = ∫
a
b
udt + ∫
a
b
vdt = T (u) + T(v) 
= ∫
a
b
(αu)dt = α∫
a
b
udt = α T (u) 
T : Pn→ℝ é linear
Sol:
 
3.NÚCLEO DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR:
DEFINIÇÃO:
Seja T : V → W uma transformação linear. 
O núcleo de T é denotado por N(T) e é definido como: N(T) = { v ∈ V / T(v) = 0 } 
Obs:
O vetor nulo pertence a N(T), posto que, T(0) = 0 ⇒ {0} ⊂ N(T)
Exemplo 5:
Ache o núcleo de T : ℝ2→ℝ2 definida por T(a, b) = (a + 2b, – 2a – 4b)
Sol:
Pela definição N(T): v = (a, b) ∈ N(T) / T(v) = 0⇒ T(v) =(a + 2b, – 2a – 4b) = (0, 0) 
a + 2b = 0
– 2a – 4b = 0
 1 2 0
-2 -4 0 L2− 2L1→L2
1 2 0
0 0 0
 a + 2b = 0 ⇒ v = (a, b) = b(– 2, 1) ⇒ N(T) = { (– 2b, b) / b ∈ ℝ }
 
4.IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR:
DEFINIÇÃO:
Seja T : V → W uma transformação linear. 
A imagem de T é denotado por im(T) e é definido como:
 im(T) = { w ∈ W / ∃ v ∈ V ∧ T(v) = w } Obs:
im(T), é a imagem de todo espaço vetorial V e é um subespaço de W.
Exemplo 6:
Ache a imagem de T : ℝ2→ℝ3 definida por T(a, b) = (a + 2b, a – b, a + 3b)
Sol:
Pela definição im(T) = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / ∃ (a, b) ∈ ℝ2 ∧ T(a, b) = (x, y, z)}⇒ T(a, b) = (a + 2b, a – b, a + 3b) = (x, y , z) 
a+2b = x
a – b = y L2− 1L1→L2
a+3b = z
1 2 x
1 -1 y
1 3 z L3− 1L1→L3
1 2 x
0 -3 -x+y
0 1 -x+z
 
1 2 x
0 -3 -x+y
0 1 -x+z
1/3L2→L2
1 2 x
0 1 (x-y)/3
0 1 -x+z L3− 1L2→L3
1 2 x
0 1 (x-y)/3
0 0 (-4x+y+3z)/3
⇒ (-4x+y+3z)/3 = 0⇒ –4x+y+3z = 0 im(T) = {(x, y, z) ∈ ℝ3 / –4x+y+3z = 0}
 
Exercícios: 
1)Seja T : ℝ3→ℝ2 uma transformação linear e B = { v1, v2, v3 } uma base do ℝ3, sendo 
v1 = (0, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, 1, 0). Determine T(5, 3, 2) sabendo que: 
T(v1) = (1, -2) , T(v2) = (3, 1) e T(v3) = (0, 2).
2)Sabendo que T : ℝ2→ℝ3 é uma transformação linear e que: 
T(1, -1) = (3, 2, -2) e T(-1, 2) = (1, -1, 3) , determine T(x, y)
3)Deermine o núcleo e a imagem de T : ℝ3→ℝ3 é uma transformação linear que é 
definida: T(x, y, z) = (x+2y-z, y+2z, x+3y+z).
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