Exame UNIPOSRIO - Física 2014-2

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EXAME UNIFICADO DAS PO´S-GRADUAC¸O˜ES EM FI´SICA DO RIO DE JANEIRO
EDITAL 2014-2
Segundo Semestre de 2014 - 06 de maio de 2014
AS 6 QUESTO˜ES SA˜O OBRIGATO´RIAS.
A PROVA TEM DURAC¸A˜O MA´XIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
Problema 1: Uma seringa de sec¸a˜o reta A = 1, 0 cm2 colocada na horizontal tem seu eˆmbolo empur-
rado com uma forc¸a de intensidade F . A a´rea do tubo de escape da seringa e´ de a = 1, 0 mm2. Um
l´ıquido imcompress´ıvel escapa da seringa para a atmosfera com uma velocidade de mo´dulo v = 10, 0
m/s. Consiere o fluxo laminar. Dados: densidade do l´ıquido ρ = 1, 0× 103 kg/m3, pressa˜o atmosfe´rica
patm = 1, 0× 105 Pa. Desconsidere atritos.
http://en.wikipedia.org/wiki/Syringe 
Figura 1: Problema 1.
a) Calcule a velocidade do eˆmbolo vE.
b) Calcule a intensidade da forc¸a F e a pressa˜o manome´trica pM dentro da seringa.
Problema 2: Um pequeno disco de massa m desliza sem atrito sobre uma mesa horizontal, girando
em torno do centro O da mesa. O disco esta´ ligado a um fio ideal, que passa por um orif´ıcio no centro
da mesa e suspende na sua outra extremidade um bloco de massa M , inicialmente em repouso. O disco
realiza um movimento circular uniforme de raio R conforme indicado na figura abaixo. A partir de um
certo instante, uma forc¸a externa varia´vel puxa o bloco de massa M para baixo. A forc¸a externa, enta˜o,
se estabiliza e observa-se que o disco passa a girar em torno do centro da mesa, em um movimento
circular uniforme de raio R/2. Considere g a acelerac¸a˜o da gravidade.
1
Figura 2: Problema 2.
a) Qual a velocidade angular do disco no movimento circular inicial de raio R?
b) Qual a nova velocidade angular quando o movimento circular passa a ter raio R/2?
c) Qual o trabalho realizado pela forc¸a externa que puxou o fio para que haja a mudanc¸a de movimento
circular de raio R para R/2?
Problema 3: Um fio reto e longo transporta uma corrente i e esta´ no mesmo plano de uma espira
quadrada de lado a. A espira esta´ inicialmente a uma distaˆncia r0 do fio e se move perpendicularmente
a ele com velocidade constante ~v, como mostra a Figura 3.
Figura 3: Problema 3.
A espira tem resisteˆncia R. Determine:
a) O fluxo magne´tico atrave´s da espira na posic¸a˜o indicada na figura.
b) A f.e.m. induzida em func¸a˜o do tempo.
c) A intensidade e o sentido da corrente induzida na espira em func¸a˜o do tempo.
Problema 4: O efeito Compton consiste em um espalhamento relativ´ıstico onde um fo´ton de ener-
gia E0 e momento ~p0 incide contra um ele´tron livre inicialmente em repouso. Dado que o aˆngulo de
espalhamento do fo´ton em relac¸a˜o a sua trajeto´ria incidente e´ θ, determine:
2
a) As leis de conservac¸a˜o para a energia e momento na colisa˜o.
b) A energia do ele´tron apo´s a colisa˜o em termos das energias do fo´ton antes e apo´s o espalhamento.
c) A diferenc¸a de frequeˆncia do fo´ton apo´s e antes do espalhamento em termos da massa do ele´tron e o
aˆngulo de espalhamento.
Problema 5: Para estados puros, o operador densidade e´ definido como: ρ = |ψ〉 〈ψ|, sendo |ψ〉 o
ket que define o estado quaˆntico de um sistema. Para um sistema de 2 n´ıveis |e0〉 e |e1〉, a matriz
densidade tem dimensa˜o 2× 2, ou seja: ρ =
[
ρ11 ρ12
ρ21 ρ22
]
. Sabendo que: σx =
[
0 1
1 0
]
, σy =
[
0 −i
i 0
]
e σz =
[
1 0
0 −1
]
:
a) Mostre que para um estado puro tr (ρ) = 1 e o valor me´dio de um observa´vel qualquer, A, e´ dado
por: 〈A〉 = tr (ρA). (tr = trac¸o)
b) Mostre que ρ12 = ρ
∗
21 e determine a matriz densidade para o estado |ψ〉 = (|e0〉+ i |e1〉) /
√
2, descrito
na base formada pelos pro´prios vetores |e0〉 e |e1〉.
c) Ainda para um sistema de 2 n´ıveis, mas para outro estado em que 〈σx〉 = 1/
√
2, 〈σy〉 = 1/
√
2,
〈σz〉 = 0, determine os elementos da matriz densidade.
Problema 6: Considere o problema unidimensional de uma part´ıcula de massa m, sem spin, confinada
em uma regia˜o de comprimento L. As paredes de confinamento sa˜o intranspon´ıveis de forma que o
potencial nas extremidades desta regia˜o de confinamento deve ser tomado como um potencial infinito.
a) Encontre a func¸a˜o de onda que descreve esta part´ıcula. Na˜o e´ necessa´rio normalizar.
b) Generalize o item (a) de forma a descrever uma part´ıcula confinada em uma caixa cu´bica de aresta L
cujas faces tambe´m sa˜o intranspon´ıveis e encontre a func¸a˜o de onda tri-dimensional desta part´ıcula.
Na˜o e´ necessa´rio normalizar.
c) Encontre as auto-energias da part´ıcula na caixa cu´bica e calcule a degeneresceˆncia do primeiro estado
excitado.
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EXAME UNIFICADO DAS PO´S-GRADUAC¸O˜ES EM FI´SICA DO RIO DE JANEIRO
EDITAL 2014-2
Second Semester 2014 - May 6th, 2014
YOU MUST SOLVE ALL 6 PROBLEMS.
YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM.
Problem 1: The plunger of a syringe, laid out horizontally, with internal horizontal cross section
A = 1, 0 cm2 is pushed in with a force of intensity F . An incompressible liquid escapes to the atmosphere
through a hole with a cross section a = 1, 0 mm2, with speed v = 10, 0 m/s. Consider the flow to be
laminar. Data: liquid density ρ = 1, 0× 103 kg/m3, atmospheric pressure patm = 1, 0× 105 Pa. Neglect
any friction process.
http://en.wikipedia.org/wiki/Syringe 
Figure 1: Problem 1.
a) Calculate the plunger velocity vE.
b) Obtain the force intensity F and the manometric pression pM inside the syringe.
Problem 2: A small disk of mass m slides without friction on a horizontal table, in uniform circular
motion of radius R around the center O. The disk is connected to an ideal string that passes through
a small hole at O and holds a block of mass M , initially at rest, as shown in the figure. A variable
external force starts pulling the block downwards. At some point the external force stabilizes a new
uniform circular motion with radius R/2. Use g for gravity acceleration.
a) What is the disk’s angular velocity for the circular motion of radius R?
1
Figure 2: Problem 2.
b) What is the disk’s angular velocity for the circular motion of radius R/2?
c) How much work has been done by the external force to change the circular motion from radius R to
R/2?
Problem 3: A straight and infinite wire carries a constant current i. A square loop of side a is located
in the same plane of the wire, at an initial distance r0. The loop is moving away from the wire with
constant velocity ~v, as indicated in the figure 3.
Figure 3: Problem 3.
Let R be the resistance of the loop. Determine the following:
a) The magnetic flux through the loop at its initial position.
b) The electromotive force (emf) induced on the loop as a function of time.
c) The intensity and direction of the induced current on the loop as a function of time.
Problem 4: The Compton effect consists of a relativistic scattering in which a photon of energy E0
and momentum ~p0 collides with an electron initially at rest. Let the photon scattering angle relative to
the incident trajectory be θ. Determine:
a) The collision conservation laws for energy and momentum.
2
b) The energy of the electron after the collision in terms of the energy of the photon before and after
the scattering.
c) The frequency change of the photon after and before the scattering in terms of the electron mass and
the scattering angle.
Problem 5: Pure quantum states can be described by its density operator ρ = |ψ〉 〈ψ|, where |ψ〉
is the ket that defines the state of a system. In the case of a two level system, i.e. |e0〉 and |e1〉, the
density matrix has dimension 2 × 2 so that we can write ρ =
[
ρ11 ρ12
ρ21 ρ22
]
. Given that σx =
[
0 1
1 0
]
,
σy =
[
0 −i
i 0
]
and σz =
[
1 0
0 −1
]
:
a) Show that tr (ρ) = 1 and the mean value of an arbitrary observable A is given by 〈A〉 = tr (ρA). (tr
= trace)
b) Show that ρ12 = ρ
∗
21 and determine the density matrix for
the state |ψ〉 = (|e0〉+ i |e1〉) /
√
2 written
in the vector base expanded by |e0〉 and |e1〉.
c) Determine the components of the matrix density for a two level system in the case where 〈σx〉 = 1/
√
2,
〈σy〉 = 1/
√
2, 〈σz〉 = 0.
Problem 6: Let a spinless particle of mass m be confined in an onedimensional region of size L.
Consider the confinement walls to be impenetrable so that it can be modeled as infinite potential walls.
a) Find the wave-function of the particle. (Normalization is unnecessary).
b) Generalize item (a) to describe a particle confined in a cubic box of edge L which also has impenetrable
walls. (Normalization is unnecessary).
c) Find the energy eigenvalues of the particle in the cubic box and calculate the degeneracy of the first
excited state.
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