Determinantes

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
 
DETERMINANTES 
 
Toda matriz quadrada tem, associada a ela, um número chamado de determinante da matriz, 
obtido por meio de operações que envolvem todos os elementos da matriz. 
Não existe determinante de matriz que não seja quadrada. 
 
 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 1 
 
Seja a matriz 𝐴 quadrada de ordem 1, indicada por 𝐴 = [𝑎11]. Por definição, o determinante de 
𝐴 é igual ao número 𝑎11. 
Neste caso, indicamos o determinante de 𝐴 por 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as matrizes 𝐴 = [4] e 𝐵 = [−2], escrevemos que o determinante de 𝐴 é 𝑑𝑒𝑡𝐴 =
4 e o determinante de 𝐵 é 𝑑𝑒𝑡𝐵 = −2. Temos que: 
𝑑𝑒𝑡𝐴 + 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 4 + (−2) = 4 − 2 = 2 
 
 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 2 
 
Seja a matriz 𝐴 quadrada de ordem 2, calculamos o determinante desta matriz fazendo o 
produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
Dada a matriz 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
], de ordem 2, indicamos seu determinante por: 
 
det 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11. 𝑎22 − 𝑎12. 𝑎21 
 
 
Álgebra, Vetores e Geometria Analítica 
 
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Exemplo: 
 
O determinante da matriz 𝐴 = [
6 3
2 −4
] é: 
 
det 𝐴 = |
6 3
2 −4
| = 6. (−4) − 3.2 = −24 − 6 = −30 
 
 
 
 
Determinante de matriz quadrada de ordem 3: (Regra de Sarrus) 
 
Considerando a matriz 𝐴 de ordem 3: 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
Defini-se o determinante da matriz de ordem 3 ao número: 
 
det 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
| = 
= 𝑎11. 𝑎22. 𝑎33 + 𝑎12. 𝑎23. 𝑎31 + 𝑎13. 𝑎32. 𝑎21 − 𝑎13. 𝑎22. 𝑎31 − 𝑎12. 𝑎21. 𝑎33 − 𝑎11. 𝑎32. 𝑎23 
 
 
Podemos obter esses seis produtos de uma forma prática, conhecida como Regra de Sarrus, 
fazendo-se o seguinte: 
 repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações 
nas diagonais. 
 
 
 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 
 
 
 
 
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 os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal. 
 os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam o sinal. 
 o determinante é a soma dos valores assim obtidos. 
 
Exemplo: 
O determinante da matriz 𝐴 = [
 3 1 5
 2 0 −2
−1 4 −3
] é: 
 
det 𝐴 = |
 3 1 5
 2 0 −2
−1 4 −3
|
 3 1
 2 0
−1 4
 
 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 3 · 0 · (−3) + 1 · (−2) · (−1) + 5 · 2 · 4 − 5 · 0 · (−1) − 3 · (−2) · 4 − 1 · 2 · (−3) 
 
det 𝐴 = 0 + 2 + 40 − 0 + 24 + 6 = 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule os determinantes utilizando a Regra de Sarrus: 
 
a) |
1 2 1
2 2 0
1 3 3
| b) |
2 2 −2
4 6 0
2 8 2
| c) |
1 1 −1
2 3 0
1 4 1
| 
 
 
 
2) Calcule o determinante da matriz de ordem 2, sendo 𝐴 = |
2 2 −2
4 6 0
2 8 2
|. 
 
 
3) Calcule os determinantes de ordem 2 dados abaixo: 
 
a) |
6 2
4 3
| 
 
b) |
−5 −8
−2 −4
| 
 
c) |
−3 −8
1 2
| 
 
d) |
7 −3
3 2
| 
 
e) |
6 10
3 5
| 
 
f) |
−1 3
 2 −2
| 
 
 
4) Calcule os determinantes de ordem três utilizando a Regra de Sarrus: 
 
a) |
3 2 −1
5 0 4
2 −3 1
| 
 
b) |
2 1 −2
3 −1 0
4 1 −3
| 
 
c) |
2 2 0
1 7 −4
4 −3 1
| 
 
d) |
 1 −1 1
−1 1 1
 1 1 −1
| 
 
e) |
1 0 3
0 1 3
3 3 1
| 
 
f) |
3 5 −1
0 4 2
0 0 −2
| 
 
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g) |
100 0 0
0 20 0
0 0 −30
| 
 
h) |
1 3 1
2 2 1
3 1 3
| 
 
i) |
1 2 0
1 4 4
1 8 0
| 
 
j) |
3 0 8
0 7 7
4 9 0
| 
 
k) |
0 0 5
8 10 3
0 7 4
| 
 
l) |
2 1 −2
3 −1 0
4 1 −3
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REPOSTAS 
 
 
 
1) 
a) −2 b) −32 c) −4 
 
 
 
2) 29 
 
 
 
 
3) 
a) 0 
 
b) 4 
 
c) 2 
 
d) 23 
 
e) 0 
 
f) −4 
 
 
 
4) 
a) 57 
 
b) 1 
 
c) −44 
 
d) −4 
 
e) −17 
 
f) −24 
 
g) −60000 
 
h) −8 
 
i) −24 
 
j) −413 
 
k) 280 
 
l) −13