Matrizes: Definição, Ordem e Tipos

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
 
MATRIZES 
 
As matrizes são tabelas utilizadas como instrumento de cálculo em diversas áreas, são 
indicadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. 
 
Exemplo: A tabela abaixo indica o número de venda efetuadas por uma agência de carros. 
 
 Janeiro Fevereiro Março 
Celta 20 18 25 
Corsa 12 10 15 
Gol 15 9 20 
 
Podemos escrever essa tabela no formato de uma matriz, sendo os números na horizontal 
chamados de linhas, os números na vertical de colunas e cada número recebe o nome de 
elemento da matriz e possui determinada posição. 
𝐴 = (
20 18 25
12 10 15
15 9 20
) 
 
 Definição; uma matriz 𝐴𝑚×𝑛 (𝑚 por 𝑛) é uma tabela de números dispostos em 𝑚 
linhas e 𝑛 colunas. Sendo 𝑚 e 𝑛 ∈ ℕ∗. 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
] 
 
 Ordem de uma matriz; é dada primeiramente pelo número de linhas de uma matriz e 
posteriormente pelo número de colunas. Usamos a notação 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 , sendo 
 
o 𝑖 = linha 
o 𝑗 = coluna 
 
o 𝑚 = linha 
o 𝑛 = coluna 
 
Álgebra, Vetores e Geometria Analítica 
 
 1 – Matrizes Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
posição do elemento 
ordem da matriz 
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Exemplos: 
𝐴 = [
1 2 0
3 4 −2
] A matriz 𝐴 é 2 × 3, ou seja, tem 2 linhas e 3 colunas. 
 
𝐵 = [
−√2
 2
−1
 
 4
−9
 3
 7
 18 
 −5
 9
 12
 8
] A matriz 𝐵 é 3 × 4, ou seja, tem 3 linhas e 4 colunas. 
 
 
 
 Representação algébrica; através da lei de formação dos elementos e da ordem, é 
possível escrever uma matriz. 
Exemplo: Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2 em que 𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 𝑗 
 
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2 
3 linhas 2 colunas 
𝐴 = (
𝑎11 
𝑎21 
𝑎31 
𝑎12
𝑎22
𝑎32
) 
 
 
𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 − 𝑗 
𝑎11 = 3 · 1 − 1 = 3 − 1 = 2 
𝑎21 = 3 · 2 − 1 = 6 − 1 = 5 
𝑎31 = 3 · 3 − 1 = 9 − 1 = 8 
𝑎12 = 3 · 1 − 2 = 3 − 2 = 1 
𝑎22 = 3 · 2 − 2 = 6 − 2 = 4 
𝑎32 = 3 · 3 − 2 = 9 − 2 = 7 
 
A = (
2 
5 
8 
1
4
7
) 
 
 
 Diagonal Principal e Diagonal Secundária; em uma matriz que o número de linhas é 
igual ao número de colunas, os elementos 𝑎𝑖𝑗, tais que 𝑖 = 𝑗, pertencem a Diagonal 
Principal e a outra de Secundária. 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
] 
 
 
Diagonal Secundária 
 
Diagonal Principal 
 
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Alguns tipos de matrizes 
 
 
 Matriz Quadrada; se 𝑚 = 𝑛, dizemos que 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 𝑛, ouseja, 
quando o número de linhas é igual ao número de colunas. 
Exemplos: As matrizes 𝐴 e 𝐵 são 2 × 2, ou seja, são quadradas de ordem 𝟐. 
 
𝐴 = [
1 2
3 4
] e 𝐵 = [
−2 1
0 3
] 
 
Na matriz 𝐴, os elementos 1 e 4, formam a diagonal principal de 𝐴 e os elementos 2 e 
3, formam a diagonal secundária de 𝐴. 
 
 
 Matriz Linha; uma matriz que só possui uma linha é chamada matriz linha. 
Exemplo: A matriz 𝐴 é 1 × 3, ou seja, é uma matriz linha. 𝐴 = [1 3 −2] 
 
 Matriz Coluna; uma matriz que só possui uma coluna é chamada matriz coluna. 
Exemplo: A matriz 𝐴 é 3 × 1, ou seja, é uma matriz coluna. 𝐴 = [ 
 1
 4
−3
 ] 
 
 Matriz Triangular; uma matriz quadrada é uma matriz triangular se os elementos acima 
ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. 
Exemplos: 
𝐴 = [
2 0 0
8 3 0
7 9 −5
] e 𝐵 = [
1 5 7 −9
0 3 8 0
0 0 3 −1
0 0 0 4
] 
 
 
 Matriz Nula; tem todos os elementos iguais à zero. 
O símbolo para uma matriz nula de 𝑚 linhas e 𝑛 colunas é 𝑂𝑚×𝑛, e se a matriz for 
quadrada de ordem 𝑛 o símbolo é 𝑂𝑛. 
Exemplos: 𝑂2 = [
0 0
0 0
], 𝑂3 = [
0 0 0
0 0 0
0 0 0
] e 𝑂2𝑥3 = [
0 0 0
0 0 0
] 
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 Matriz Diagonal; uma matriz quadrada é uma matriz diagonal se todos os elementos 
acima e abaixo da diagonal principal são iguais à zero. 
Exemplos: 𝐴 = [
2 0 0
0 3 0
0 0 −5
] e 𝐵 = [
1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
] 
 
 Matrizes Iguais; para que duas ou mais matrizes sejam iguais, elas precisam ter a mesma 
ordem e os elementos correspondentes, ou seja, os que ocupam a mesma posição de 
uma matriz for igual ao da outra matriz. 
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑝×𝑞 são iguais se 𝑚 = 𝑝, 𝑛 = 𝑞 e 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 para 𝑖 = 1, . . . , 𝑚 
e 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. 
 
 
 Matriz Identidade; uma matriz quadrada é uma matriz identidade se todos os 
elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a zero. 
O símbolo para esta matriz é 𝐼𝑛, onde 𝑛 é a ordem da matriz. 
Em uma matriz identidade, temos {
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗
. 
Exemplos: 𝐼2 = [
1 0
0 1
], 𝐼3 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] e 𝐼4 = [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
] 
 
 
 Matriz Oposta; seja a matriz 𝐴, sua matriz oposta é a –𝐴, cujos elementos são o 
simétricos dos elementos correspondentes de 𝐴. 
Exemplo: 𝐴 = [
−2 1
0 3
] logo −𝐴 = [
2 −1
0 −3
] 
 
 
 Matriz Transposta; seja uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛, denomina-se a matriz transposta de 
𝐴; indica-se por 𝐴𝑡 , a matriz 𝑚𝑥𝑛 cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de 𝐴 ou 
seja, apenas permutar ordenadamente as linhas pelas colunas. 
Exemplos: 
𝐴 = [
4 2 1
0 5 8
−3 2 10
] ⇒ 𝐴𝑡 = [
4 0 −3
2 5 2
1 8 10
] e 𝐵 = [
3 12 −1
0 −2 6
] ⇒ 𝐵𝑡 = [
3 0
12 −2
−1 6
] 
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Operações com Matrizes 
 
Para calcular a adição ou subtração de duas ou mais matrizes, obrigatoriamente possuírem a 
mesma ordem e a operação algébrica (adição ou subtração), é realizada entre os termos 
correspondentes. 
 
 Adição: a soma de duas matrizes de mesma ordem 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛 é 
definida como sendo a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚×𝑛 tal que 𝐶 = 𝐴 + 𝐵, obtida somando-se 
os elementos correspondentes de 𝐴 e 𝐵, ou seja, 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗, para 𝑖 = 1, . . . , 𝑚 e 
𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Escrevemos também [𝐴 + 𝐵]𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗. 
 
Exemplo: 
Considere as matrizes: 𝐴 = [
1 2 −3
3 4 0
] e 𝐵 = [
−2 1 5
 0 3 −4
]. Se chamarmos de 𝐶 a 
soma das duas matrizes 𝐴 e 𝐵, então temos: 
𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = [
1 2 −3
3 4 0
] + [
−2 1 5
 0 3 −4
] = [
1 − 2 2 + 1 −3 + 5
3 + 0 4 + 3 0 − 4
] = [
−1 3 2
 3 7 −4
] 
 
 
 
 Subtração: a subtração de duas matrizes de mesma ordem tamanho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 e 
𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚×𝑛 é definida como sendo a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚×𝑛 tal que 𝐶 = 𝐴 − 𝐵 =
𝐴 + (−𝐵), obtida somando-se os elementos correspondentes de 𝐴 com o oposto dos 
elementos correspondentes de 𝐵, ou seja, 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + (−𝑏𝑖𝑗), para 𝑖 = 1, . . . , 𝑚 e 
𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Escrevemos também [𝐴 + 𝐵]𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + (−𝑏𝑖𝑗). 
 
Exemplo: 
Considere as matrizes: 𝐴 = [
1 2 −3
3 4 0
] e 𝐵 = [
−2 1 5
 0 3 −4
]. Se chamarmos de 𝐶 a 
subtração das duas matrizes 𝐴 e 𝐵, então temos: 
𝐶 = 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) = [
1 2 −3
3 4 0
] − [
−2 1 5
 0 3 −4
] = [
1 2 −3
3 4 0
] + [
+2 −1 −5
0 −3 +4
]
= [
1 + 2 2 − 1 −3 − 5
3 + 0 4 − 3 0 + 4
] = [
3 1 −8
3 1 4
] 
 
 
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 Outros exemplos:dadas as matrizes 𝐷 = (
 4
−2
 
 3
 1
) e E= (
1 
5
−2
 7
), 
 
 𝐹 = 𝐷 + 𝐸 = (
 4
−2
 
 3
 1
) + (
1 
5
−2
 7
) = (
 4 + 1
−2 + 5
 
 3 + (−2)
 1 + 7
) = (
 5
3
 
 1
 8
) 
 
𝐺 = 𝐷 − 𝐸 = (
 4
−2
 
 3
 1
) − (
1 
5
−2
 7
) = (
 4 − 1
−2 − 5
 
 3 − (−2)
 1 − 7
) = (
 3
−7
 
 5
 −6
) 
 
 
 
 Multiplicação de uma matriz por um escalar: A multiplicação de uma matriz 𝐴 =
(𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 por um escalar (número) 𝛼 é definida pela matriz 𝑚𝑥𝑛 𝐵𝑚×𝑛 = 𝛼 · 𝐴 obtida 
multiplicando-se cada elemento da matriz 𝐴 pelo escalar 𝛼, ou seja, 𝑏𝑖𝑗 = 𝛼 · 𝑎𝑖𝑗, para 
𝑖 = 1, . . . , 𝑚 e 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Escrevemos também [𝛼 · 𝐴 ]𝑖𝑗 = 𝛼 · 𝑎𝑖𝑗. 
Dizemos que a matriz 𝐵 é um múltiplo escalar da matriz 𝐴. 
 
Exemplo: 
O produto da matriz 𝐴 = [
−2 1
 0 3
 5 −4
] pelo escalar 3 é dado por: 
3 · 𝐴 = [
3 · (−2) 3 · 1
3 · 0 3 · 3
3 · 5 3 · (−4)
] = [
−6 3
 0 9
 15 −12
] 
 
 
 
 Multiplicação de matrizes: A multiplicação de duas matrizes é definida se o número de 
colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, ou seja, dadas 
as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑛×𝑝 o produto destas matrizes é definido como 
sendo a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚×𝑝 tal que 𝐶 = 𝐴 · 𝐵, obtida multiplicando-se 
ordenadamente os elementos da linha 𝑖, da matriz 𝐴, pelos elementos da coluna 𝑗, da 
matriz 𝐵, e somando-se os produtos obtidos. A matriz 𝐶 é do tipo 𝑚𝑥𝑝, ou seja, tem a 
quantidade de linhas da primeira matriz e a quantidade de colunas da segunda matriz. 
Primeiramente verificar se existe a matriz produto e posteriormente calcular. 
 𝐴𝑚×𝑛 · 𝐵𝑛×𝑝 = 𝐶𝑚×𝑝 
 obrigatoriamente iguais 
 ordem da matriz produto 
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 𝐶𝑚×𝑝 → 𝐶𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑨 × 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑩 
 
Exemplos: 
 
1) 𝐴9×1 · 𝐵1×7 = 𝐶9×7 
 
2) 𝐴4×1 · 𝐵2×1 → ∄𝐶 , pois o nº de linhas da matriz 𝐴 é ≠ do nº de colunas da matriz 
𝐵. 
 
3) 𝐴3×2 · 𝐵2×7 = 𝐶3×7 não vale a 
4) 𝐵2×7 · 𝐴3×2 → ∄𝐶 , pois o nº de linhas da matriz 𝐴 é propriedade 
≠ do nº de colunas da matriz 𝐵. comutativa 
 
 
5) Sendo 𝐴 = [
2 
4 
3
1
] e 𝐵 = [
1 
3 
2
4
]. O nº de linhas da matriz 𝐴 é = do nº de colunas da 
matriz 𝐵, portanto, é possível calcular 𝐶 = 𝐴 · 𝐵 e, o nº de linhas da matriz 𝐵 é ≠ 
do nº de colunas da matriz 𝐴, então, também pode ser calculado a matriz 
𝐷 = 𝐵 · 𝐴. 
𝐴2×2 · 𝐵2×2 = 𝐶2×2 , logo 𝐶 = [
𝑐11
𝑐21
𝑐12
𝑐22
] 
𝒄𝟏𝟏 → 1ª linha e 1ª coluna → 2 · 1 + 3 · 3 = 2 + 9 = 11 
𝒄𝟏𝟐 → 1ª linha e 2ª coluna → 2 · 2 + 3 · 4 = 4 + 12 = 16 
𝒄𝟐𝟏 → 2ª linha e 1ª coluna → 4 · 1 + 1 · 3 = 4 + 3 = 7 
𝒄𝟐𝟐 → 2ª linha e 2ª coluna → 4 · 2 + 1 · 4 = 8 + 4 = 12 
 
𝐶 = 𝐴 · 𝐵 = [
2 
4 
3
1
] · [
1 
3 
2
4
] = [
2 · 1 + 3 · 3
4 · 1 + 1 · 3
 2 · 2 + 3 · 4
 4 · 2 + 1 · 4
] = [
2 + 9
4 + 3
 4 + 12
 8 + 4
] = [
11 
7 
16
12
] 
 
𝐷 = 𝐵 · 𝐴 = [
1 
3 
2
4
] · [
2 
4 
3
1
] = [
1 · 2 + 2 · 4
3 · 2 + 4 · 4
 1 · 3 + 2 · 1
 3 · 3 + 4 · 1
] = [
2 + 8
6 + 16
 3 + 2
 9 + 4
] = [
10 
22 
5
13
] 
 
 
Comparando as matrizes 𝐶 e 𝐷, observamos que 𝐴 · 𝐵 ≠ 𝐵 · 𝐴, ou seja, a 
propriedade comutativa para a multiplicação de matrizes não vale. 
 
 
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6) Considere as matrizes 𝐴3𝑥2 = [
3 2
5 0
1 4
] e 𝐵2𝑥2 = [
3 1
6 2
]. Se chamarmos de 
(𝐴 · 𝐵)3𝑥2 o produto das duas matrizes 𝐴 e 𝐵, então temos: 
 
𝐴 · 𝐵 = [
3 2
5 0
1 4
] · [
3 1
6 2
] = [
3 · 3 + 2 · 6 3 · 1 + 2 · 2
5 · 3 + 0 · 6 5 · 1 + 0 · 2
1 · 3 + 4 · 6 1 · 1 + 4 · 2
] = [
9 + 12 3 + 4
15 + 0 5 + 0
3 + 24 1 + 8
] = [
21 7
15 5
27 9
] 
 
 
7) Durante a primeira fase da Copa do Mundo de futebol, realizada no Japão e na 
Coréia do Sul em 2002, o grupo C era formado por quatro países: Brasil, Turquia, 
Costa Rica e China. Observe os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) 
de cada um, registrados em uma tabela e em uma matriz 𝐴, de ordem 4𝑥3. 
 
 Vitórias Empates Derrotas 
Brasil 3 0 0 
Turquia 1 1 1 
Costa Rica 1 1 1 
China 0 0 3 
 
 
 
 
𝐴4𝑥3 = [
3 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 3
] 
 
Pelo regulamento da Copa, cada resultado (vitória, empate e derrota) tem pontuação 
correspondente (3 pontos, 1 ponto e 0 ponto). Veja este fato registrado em uma tabela 
e em uma matriz 𝐵, de ordem 3𝑥1. 
 
Número de Pontos 
Vitória 3 
Empate 1 
Derrota 0 
 
 
 
𝐵3𝑥1 = [
3
1
0
] 
Após o término da primeira fase, a pontuação pode ser registrada numa matriz que é 
representada por 𝐴 · 𝐵 (produto de 𝐴 por 𝐵). Veja como é obtida a matriz da pontuação. 
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 Brasil: 3 · 3 + 0 · 1 + 0 · 0 = 9 
 Turquia: 1 · 3 + 1 · 1 + 1 · 0 = 4 
 Costa Rica: 1 · 3 + 1 · 1 + 1 · 0 = 4 
 China: 0 · 3 + 0 · 1 + 3 · 0 = 0 
𝐴𝐵4𝑥1 = [
9
4
4
0
] 
 
 
 Equações Matriciais; são as equações cujas incógnitas são matrizes. 
Exemplos: 
 
1) Sendo 𝐴 = (
1 −3
1 5
2 0
) e 𝐵 = (
−1 −3
 1 −5
 2 4
), obtenha a matriz 𝑋 tal que 𝑋 + 𝐴 = 𝐵. 
 
𝑋 + 𝐴 = 𝐵 
𝑋 + 𝐴 − 𝐴 = 𝐵 − 𝐴 
𝑋 = 𝐵 − 𝐴 
 
 𝑋 = (
−1 −3
 1 −5
 2 4
) − (
1 −3
1 5
2 0
) = (
−1 −3
 1 −5
 2 4
) + (
−1 +3
−1 −5
−2 0
) = (
−1 − 1 −3 + 3
 1 − 1 −5 − 5
 2 − 2 4 + 0
) 
 𝑋 = (
−2 0
 0 −10
 0 4
) 
 
 
2) Sendo 𝐴 = ( 
 3
 2
−1
 ) e 𝐵 = ( 
 7
 4
−3
 ), obtenha a matriz 𝑋 tal que 2𝑋 + 𝐴 = 3𝐵. 
 
 
 2𝑋 + 𝐴 = 3𝐵 
2𝑋 + 𝐴 − 𝐴 = 3𝐵 − 𝐴 
2𝑋 = 3𝐵 − 𝐴 
𝑋 =
1
2
(3𝐵 − 𝐴) 
 
3𝐵 = (
3 · 7
3 · 4
3 · (−3)
) = (
21
12
−9
) 
 
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3𝐵 − 𝐴 = (
21
12
−9
) − (
3
2
−1
) = (
21
12
−9
) + (
−3
−2
+1
) = (
21 − 3
12 − 2
−9 + 1
) = (
18
10
−8
) 
 
𝑋 =
1
2
(3𝐵 − 𝐴) =
(
 
 
 
1
2
· 18
1
2
· 10
 
1
2
· (−8))
 
 
 
=
(
 
 
 
 
18
2
10
2
−8
 2
 
)
 
 
 
 
 
 𝑋 = (
 9
 5
−4
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Sejam 𝐴 = [
2
4
0
 
 3
−1
 2
] e 𝐵 = [
−2
 7
 8
 0
 −1
 5
]. Determine (𝐴 + 𝐵)𝑡 . 
 
 
2) Dadas as matrizes 𝐴 = [
0
2
 3
 −5
], 𝐵 = [
−2
 0
 4
 −1
] e 𝐶 = [
 4
−6
 2
 0
], calcule: 
a) 𝐴 + 𝐵 
b) 𝐴 + 𝐶 
c) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 
d) 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 
e) 𝐴 + 𝐶𝑡 −𝐵 
f) 𝐴 − 𝐶 + 2𝐵 + 𝐼2 
 
 
3) Dadas a matriz 𝐴 = [
1
2
0
 −1
 3
 1
 0
 4
 −2
] , calcule 𝑋 tal que 𝑋 = 𝐴 + 𝐴𝑡. 
 
 
4) Dadas as matrizes 𝐴 = [
 2
−3
 −1
 5
], 𝐵 = [
0
2
 −1
 5
] e 𝐶 = [
3
 6 
0
1
 ], calcule: 
a) 𝐴 − 𝐵 − 𝐼2 b) 𝐴 + 𝐵
𝑡 − 𝐶 c) 𝐴 − 𝐶 − 4𝐵 
 
 
5) Dadas as matrizes 𝐴 = [
0 
6 
 4 
2
−2
8
], 𝐵 = [
−3
12
 6 
 −6 
9
0
] e 𝐶 = [
0
1
 −1
 −1
 0
 2
], calcule 
2𝐴 − 𝐵 + 3𝐶. 
 
 
6) Dada a matriz 𝐴 = [
 1
−1
 
 2
−4
], determinar:a) 𝐴𝑡 b) −𝐴 
 
 
7) Dadas as matrizes 𝐴 = [
1
𝑎
 2
 3
] e 𝐵 = [
𝑥 
𝑏 
3
3
], determinar 𝑎, 𝑏 e 𝑥 para que 𝐴 = 𝐵𝑡. 
 
 
8) Dadas as matrizes 𝐴 = [
−4
 1
 2
 0
 3
 5
] e 𝐵 = [
 6
−2
 0
 −1
 −3
 4
], calcule: 
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a) 3𝐴 
b) 3𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 
c) 𝑋 − 𝐴 = 𝐵 
d) 𝑋 − 2𝐴 = 𝐵 
 
 
9) Dadas as matrizes 𝐴 = [
1 
2 
2
4
 0
 −1
] 𝐵 = [
4 
2 
1
 4 
 
3
5
], calcule: 
a) 𝐴 + 𝐵 b) 2𝐴 + 3𝐵 c) 3𝐴 − 𝐵 
 
 
10) Dadas as matrizes 𝐴 = [
2
5
 4
 6
] e 𝐵 = [
0 
5
 
3
6
], se possível calcule: 
a) 𝐴 · 𝐵 
b) 𝐵 · 𝐴 
 
11) Calcule 𝑍, sendo que 𝑍 = 𝐴 · 𝐵. Dadas as matrizes 𝐴 = [
2
1
 1
 3
] e 𝐵 = [
4
5
 2
 1
 0
 3
].