Vetores: conceitos e operações

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VETORES 
 
 Segmentos Orientados; 𝐴 e 𝐵 são dois pontos de uma reta 𝑟. Chama-se segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
o conjunto formado por todos os pontos de r que estão entre os pontos 𝐴 e 𝐵. Se 
especificarmos qual desses dois pontos é o primeiro e qual é o último teremos o 
segmento orientado 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, sendo a origem em 𝐴 e a extremidade em 𝐵, esse segmento 
também pode ser chamado de Vetor, o qual é representado por letras minúsculas da 
seguinte forma: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� . 
 
 𝑟 
 𝐴 �⃗� 𝐵 
 
Exemplo: Considere os pontos 𝑂 = (0,0,0) e 𝑃 = (1,5,4) e o vetor 𝑣 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, o cálculo 
do vetor 𝑣 é : 
Exemplos: 
 
 
 Segmentos Equipolentes; dois segmentos orientados não nulos, são equipolentes se, e 
somente se, eles tiverem o mesmo comprimento, sentido e direção, ou seja, os 
seguimentos neste caso, são paralelos ou coincidentes, por definição, todos os 
segmentos orientados nulos também são equipolentes. 
 
 
Álgebra, Vetores e Geometria Analítica 
 
 1 - Vetores Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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CARACTERÍSTICAS DO VETOR 
 
 Módulo, Norma ou Comprimento; é dada pela distância entre os pontos extremos do 
vetor, ou seja da extremidade e da origem. 
 
 
Exemplo: Dado um vetor �⃗� de coordenadas vetor �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), o módulo desse 
vetor é dado por: 
 
 
 
|�⃗� | = √(𝑥1)2 + (𝑦1)2 + (𝑧1)2 
 
 
|�⃗� | = √(0)2 + (4)2 + (0)2 = √0 + 16 + 0 = √16 = 4 
 
 
 
 
 
 
 Direção; é mesma da reta (horizontal, vertical, diagonal e etc) que contém o vetor. 
 
 
 
 
 Sentido; nesse caso de 𝐴 para 𝐵 (esquerda para direita), em outros vetores o sentido 
pode ser da direita para a esquerda, de cima para baixo e etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TIPOS DE VETORES 
 
 Vetor Nulo; não possui sentido e nem direção e seu módulo, ou seja seu comprimento 
é igual a zero. O vetor nulo pode ser representado por 0⃗ ou �⃗� = (0,0) no ℝ2 
e �⃗⃗⃗� = (0,0,0) no ℝ3. 
 
�⃗� = (0,0,0), então |�⃗� | = √02 + 02 + 02 = √0 + 0 + 0 = √0 = 0 
 
 
 Vetor Unitário; módulo é igual a 1, não confundir com o vetor que possui seus 
componentes iguais a 1. 
 
|�⃗� | = √(𝑥1)2 + (𝑦1)2 + (𝑧1)2 = 1 ∴ �⃗� é 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 
 
 
Exemplos: 
1) O vetor 𝑎 = (
√2
2
,
√2
2
), então |𝑎 | = √(
√2
2
)
2
+ (
√2
2
)
2
= √
2
4
+
2
4
= √
4
4
= 1 ∴ 𝑎 é 
unitário. 
2) O vetor �⃗� = (1,1), então |�⃗� | = √12 + 12 = √1 + 1 = √2 ≅ 1,41 ≠ 1, portanto, 
�⃗� não é um vetor unitário. 
 
 
 Vetor Oposto; dado o vetor �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , o vetor oposto de �⃗� , sendo representado por 
−�⃗� = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, o qual possui o mesmo módulo e a mesma direção, mas os sentidos são 
opostos. 
�⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), − �⃗� = (−𝑥1, −𝑦1, −𝑧1) 
 
 
Exemplo: Seja �⃗� = (−4, −1,5), o vetor oposto de �⃗� é −�⃗� = (+4,+1,−5). 
 
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 Vetor Versor; o versor de um vetor �⃗� não nulo, é o vetor unitário que tem a mesma 
direção e o mesmo sentido de �⃗� , dado por: 
 
 
 𝑢0⃗⃗⃗⃗ =
�⃗� 
|�⃗� |
 
 
 
Exemplos: 
 
1) |�⃗� | = 3 ⟹ 𝑢0⃗⃗⃗⃗ =
�⃗⃗� 
3
 
 
 
2) |𝑣 | = 4 ⟹ 𝑣0⃗⃗⃗⃗ =
�⃗� 
4
 
 
 
 
 
3) Seja �⃗⃗� = (1,2, −3) o versor de �⃗⃗� é dado por: 
 
|�⃗⃗� | = √(1)2 + (2)2 + (−3)2 = √1 + 4 + 9 = √14 
 
 
𝑤0⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
�⃗⃗� 
|�⃗⃗� |
=
(1,2,−3)
√14
= (
1
√14
,
2
√14
,
−3
√14
) = (
1
√14
.
√14
√14
,
2
√14
.
√14
√14
,
−3
√14
.
√14
√14
) 
= (
1√14
(√14)
2 ,
2√14
(√14)
2 ,
−3√14
(√14)
2) = (
√14
14
,
2: 2√14
14: 2
,
−3√14
14
) = (
√14
14
,
√14
7
,
−3√14
14
) 
 
 
 
|𝑤0⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 1 
 
 
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OPERAÇÕES COM VETORES 
 
 Multiplicação de um Vetor por um Escalar; seja 𝑎 um escalar e �⃗� um vetor. Se �⃗� =
(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), o produto do vetor �⃗� por 𝑎 ∈ ℝ é representado por: 
 
𝑎 · �⃗� = 𝑎 · (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) = (𝑎 · 𝑥1, 𝑎 · 𝑦1, 𝑎 · 𝑧1) 
 
 
𝒂 > 𝟎, os vetores �⃗� e 𝑎 · 𝑢⃗⃗⃗⃗ tem o mesmo sentido, como por exemplo, 𝑎 = 3 ou 𝑎 = ½. 
 
 
 
 
𝒂 < 𝟎, os vetores �⃗� e 𝑎 · �⃗� têm sentidos opostos. 
 
 
 
Exemplos: 
1) Seja �⃗� = (7,2, −4), o produto de 3 pelo vetor �⃗� é dado por: 
3 · �⃗� = 3 · (7,2, −4) = (3 · 7, 3 · 2 ,3 · (−4)) = (21,6,−12) 
 
2) Seja �⃗� = (7,2, −4), o produto de −3 pelo vetor �⃗� é dado por: 
−3 · �⃗� = −3 · (7,2,−4) = (−3 · 7,−3 · 2, −3 · (−4)) = (−21,−6,+12) 
 
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Propriedades da Multiplicação de um Vetor por um Escalar; nas expressões abaixo, 𝑚 e 
𝑛 são escalares e �⃗� e 𝑣 são vetores quaisquer, temos: 
 
Associativa em relação aos escalares: 𝑚 · (𝑛 · �⃗� ) = 𝑛 · (𝑚 · �⃗� ) = (𝑚 · 𝑛) · �⃗� 
 
Distributiva em relação à adição de escalares: (𝑚 + 𝑛) · �⃗� = 𝑚 · �⃗� + 𝑛 · �⃗� 
 
Distributiva em relação à adição de vetores: 𝑚 · (�⃗� + 𝑣 ) = 𝑚 · �⃗� + 𝑚 · 𝑣 
 
 
 Adição de vetores; dados dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), então a soma 
�⃗� + 𝑣 é dada por: 
 
�⃗� + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 
 
Geometricamente, a soma de 𝑛 vetores (sendo 𝑛 um número inteiro positivo 
qualquer) é feita considerando os vetores de modo que a extremidade de cada vetor 
coincida com a origem do vetor seguinte. O vetor soma é o segmento orientado que 
fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vetor e por extremidade, a 
extremidade do último vetor. 
 
Exemplos: 
 
Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� representados abaixo. 
 
 
Temos: 
 
 
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1) �⃗� + 𝑣 
 
 
2) �⃗� + �⃗⃗� 
 
 
3) 𝑣 + �⃗⃗� 
 
 
 
4) �⃗� + 𝑣 + �⃗⃗� 
 
 
Propriedades da Adição de Vetores; nas expressões abaixo, �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� são vetores 
quaisquer, temos: 
 
Propriedade Comutativa: �⃗� + 𝑣 = 𝑣 + �⃗� 
 
Consequência: Regra do Paralelogramo: A diagonal do paralelogramo construído pela 
soma de �⃗� + 𝑣 e 𝑣 + �⃗� representa a soma �⃗� + 𝑣 , ou seja, a soma de dois vetores pode 
ser feita de modo que as extremidades dos dois vetores coincidam, em seguida, deve-
se traçar paralelas a estes vetores formando um paralelogramo. O vetor soma será o 
segmento orientado que tem por origem, a origem dos vetores, e por extremidade, o 
ponto de intersecção das paralelas que formam o paralelogramo. 
 
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Propriedade Associativa: (�⃗� + 𝑣 ) + �⃗⃗� = �⃗� + (𝑣 + �⃗⃗� ) 
 
Propriedade do Elemento Neutro: �⃗� + 0⃗ = �⃗� 
 
Propriedade do Elemento Oposto: �⃗� + (−�⃗� ) = 0⃗ 
 
Lei do Cancelamento: �⃗� + 𝑣 = �⃗� + �⃗⃗� ⟹ 𝑣 = �⃗⃗� 
 
 
 
 Subtração de Vetores; a subtração de vetores não é definida, portanto, a expressão �⃗� −
𝑣 , deve ser entendida como a adição do vetor �⃗� com o oposto do vetor 𝑣 . Dados dois 
vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), então a diferença �⃗� + (−𝑣 ⃗⃗⃗ ) é dada por: 
 
�⃗� − 𝑣 = �⃗� + (−𝑣 ) = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) + (−𝑥2, −𝑦2, −𝑧2) = (𝑥1 − 𝑥2 , 𝑦1 − 𝑦2, 𝑧1 − 𝑧2) 
 
Geometricamente, para realizar uma subtração de dois vetores devemos representar o 
vetor oposto do segundovetor e executar a adição deste vetor com o primeiro. 
 
Exemplos: 
 
 
Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� representados abaixo. 
 
 
 
 
Temos: 
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1) �⃗� − 𝑣 
 
 
2) �⃗� − �⃗⃗� 
 
3) 𝑣 − �⃗⃗� 
 
 
 
 
4) −�⃗� − 𝑣 − �⃗⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCíCIOS 
 
1) Calcule o módulo dos seguintes vetores: 
a) 𝑎 = (1,0,2) 
b) �⃗� = (−2,1,−1) 
c) 𝑐 = (3,4,0) 
d) 𝑑 = (0,3,2) 
e) 𝑒 = (3, −1,5) 
f) 𝑓 = (7,0,2) 
 
 
2) Dados �⃗� = (1,2,0), 𝑣 = (2,1,−1) e �⃗⃗� = (0,2,3), calcule: 
 
a) 2�⃗� 
b) −𝑣 
c) 4�⃗⃗� 
d) 2�⃗� − 𝑣 + 4�⃗⃗� 
e) 5�⃗� + 2𝑣 
f) �⃗� − 6𝑣 + 3�⃗⃗� 
 
 
3) Dados �⃗� = (1,3,0), 𝑣 = (5,5,2) e �⃗⃗� = (1,3, −2), encontrar: 
 
a) �⃗� + 𝑣 
b) �⃗� − 𝑣 
c) �⃗� + �⃗⃗� 
d) �⃗� − �⃗⃗� 
e) 𝑣 − �⃗⃗� + �⃗� 
f) −2�⃗� − 3𝑣 − �⃗⃗� 
 
 
4) Considerando os vetores abaixo, calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
a) �⃗� + 𝑣 
b) �⃗� − 𝑣 
c) �⃗� + �⃗⃗� 
d) �⃗� − �⃗⃗� 
e) 𝑣 − �⃗⃗� + �⃗� 
f) −�⃗� + 𝑣 − �⃗⃗�