TOMO BASICO 2014 ENGENHARIA CONTEUDOS BASICOS VOLUME CONSOLIDADO

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Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
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ENGENHARIA 
 
 
CONTEÚDOS BÁSICOS 
 
 
MATERIAL INSTRUCIONAL 
(VOLUME ÚNICO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2013 
 
 
 
 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
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COORDENADORA E ORGANIZADORA 
 
Christiane Mazur Lauricella 
Doutora em Engenharia Metalúrgica e de Materiais, Mestre em Tecnologia Nuclear, 
Engenheira Química e Licenciada em Matemática, com Aperfeiçoamento em 
Estatística. É professora titular da Universidade Paulista. 
 
AUTORES 
 
Arduino Francesco Lauricella 
Mestre em Engenharia Mecânica e Bacharel em Física. É professor adjunto da 
Universidade Paulista e do Centro Universitário da Fundação Educacional Inaciana. 
 
Cecília Maria Villas Boas de Almeida 
Doutora em Ciências (Físico-Química), Mestre em Ciências (Físico-Química) e 
Engenheira Química. É professora titular da Universidade Paulista. 
 
Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro 
Doutora em Astronomia e Bacharel em Física. É professora titular da Universidade 
Paulista. 
 
José Carlos Morilla 
Mestre em Engenharia de Produção, Especialista em Engenharia Metalúrgica e Física 
e Engenheiro Mecânico, com MBA em Gestão Empresarial. É professor adjunto da 
Universidade Paulista e da Universidade Santa Cecília. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
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Questão 1 (QUÍMICA E CIÊNCIAS DO AMBIENTE) 
Questão 1.1 
O gás ozônio (O3) e os clorofluorcarbonos (CFCs) são exemplos da dificuldade de se 
classificar uma substância como poluente, pois podem trazer benefícios ou prejuízos 
à sociedade e aos seres vivos. O ozônio, nas camadas mais baixas da atmosfera, é 
tóxico, mas, na estratosfera, absorve radiação ultravioleta (UV) proveniente do Sol, 
evitando os efeitos nocivos do excesso dessa radiação nos seres vivos. Os CFCs 
apresentam baixa toxicidade e são inertes na baixa atmosfera. Entretanto, quando 
atingem a estratosfera, são decompostos pela radiação UV, liberando átomos e 
compostos que destroem moléculas de ozônio, sendo, portanto, considerados os 
principais responsáveis pela destruição do ozônio na estratosfera. 
De acordo com as ideias do texto acima, 
A. os CFCs são nocivos ao seres vivos, pois impedem a incidência da radiação 
ultravioleta na superfície terrestre. 
B. a camada de ozônio é responsável pela maior incidência da radiação ultravioleta 
na superfície terrestre. 
C. o ozônio e os CFCs são os principais responsáveis pelas mudanças climáticas 
observadas nos últimos anos. 
D. a camada de ozônio na estratosfera tem sido recuperada devido às interações 
da radiação ultravioleta com os CFCs. 
E. a camada de ozônio protege os seres vivos do excesso de radiação ultravioleta e 
pode ser destruída pela ação dos CFCs na estratosfera. 
 
1. Introdução teórica 
 
Clorofluorcarbonos: seus efeitos na camada de ozônio 
 
Os clorofluorcarbonos (CFCs) foram largamente utilizados como propelentes 
em extintores, em aerossóis e em refrigeração. Ultimamente, seu uso vem 
diminuindo devido ao dano que eles causam quando atingem a alta atmosfera. 
Na região da alta atmosfera, também chamada de estratosfera, há gás 
ozônio (O3). Esse gás é responsável pelo bloqueio de parte significativa da radiação 
ultravioleta (UV) proveniente do sol. 
 
1Questão 11 – Enade 2005. 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
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A radiação UV é classificada de acordo com o dano provocado ao ser 
humano. Há a radiação UVA, com comprimento de onda entre 400 e 320 nm 
(1nm=10-9m), a radiação UVB, entre 320 e 280 nm e a UVC, entre 280 e 100 nm. 
As mais nocivas (os tipos UVB e UVC) e uma fração significativa da menos nociva (o 
tipo UVA) são bloqueadas na camada de ozônio. 
A presença de CFCs na alta atmosfera produz a quebra do ozônio (O3) em 
oxigênio molecular (O2), sendo que o O2 não bloqueia a radiação UV. A radiação 
UV, que antes seria bloqueada pelo ozônio, chega à superfície, provocando efeitos 
nocivos aos seres vivos, como, por exemplo, o câncer de pele. A reação química da 
quebra de ozônio em oxigênio pelos CFCs é a seguinte: 
 
 
 
O cloro ( ) presente nos CFCs reage com o ozônio ( ), produzindo 
monóxido de cloro ( ) e oxigênio ( ). O monóxido de cloro ( ), por sua vez, 
reage com ozônio ( ), produzindo mais cloro ( ) e oxigênio ( ). O cloro 
produzido na última etapa realimenta o processo. 
A presença de CFCs na alta atmosfera diminui a espessura da camada de 
ozônio, produzindo um buraco nessa camada sobre a região da Antártida, conforme 
ilustrado na figura 1. 
 
 
Figura 1. Mapeamento do ozônio sobre o polo sul tomado pelo satélite ―Total Ozone Mapping Spectrometer‖, da NASA. O 
globo terrestre está representado com o polo sul para cima e os continentes em branco/cinza. Sobre o globo está 
representada a espessura da camada de ozônio. A região de menor presença de ozônio pode ser vista sobre o polo sul. Fonte: 
NASA (com adaptações). Disponível em <http://www.nasa.gov/audience/forstudents/k-4/home/ F_Ozone_Friend_and_Foe_K-
4.html>. Acesso em 04 out. 2010. 
 
 
 
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2. Indicações bibliográficas 
 
 OKUNO, E.; VILELA, M. A. C. Radiação ultravioleta: características e efeitos. 
Temas atuais de física/SBF. São Paulo: Livraria da Física, 2005. 
 Peso da poluição. Disponível em <http://www.agencia.fapesp.br/mate-
ria/11125/especiais/peso-da-poluicao.htm>. Acesso em 24 set. 2010. 
 ROCHA, J. C.; ROSA, A. H.; CARDOSO, A. A. Introdução à química ambiental. 
Porto Alegre: Bookman, 2004. 
 RUSSELL, J. B. Química geral. 2. ed. São Paulo: Makron, 2004. v. 1 e 2. 
 
3. Análise das alternativas 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Os CFCs não têm a propriedade de impedir a incidência da 
radiação UV na superfície terrestre. De acordo com o próprio texto, ―os CFCs 
apresentam baixa toxicidade e são inertes na baixa atmosfera‖. 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A camada de ozônio na alta atmosfera é responsável pela absorção 
de radiação ultravioleta proveniente do sol, fazendo com que quantidade menor 
dessa radiação chegue à superfície terrestre. 
 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Os CFCs são apenas um dos responsáveis pelas mudanças 
climáticas observadas nos últimos anos. Existem outros fatores envolvidos, como o 
aumento das emissões de carbono. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A interação da radiação ultravioleta com os CFCs libera compostos 
que causam a transformação de ozônio em oxigênio, ou seja, contribui para a 
degradação da camada de ozônio e não para sua recuperação. 
 
 
 
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E – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. O ozônio presente na camada de ozônio na alta atmosfera absorve 
radiação ultravioleta, impedindo que boa parte dela chegue à superfície. Logo, a 
interação dos CFCs com a radiação ultravioleta na estratosfera é ligada à destruição 
da camada de ozônio. 
 
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Questão 2 (QUÍMICA E CIÊNCIAS DO AMBIENTE) 
Questão 2.2 
 
De acordo com a fala do personagem na charge acima, 
A. meio ambiente e produção industrial são fatores igualmente relevantes na 
discussão sobre ética e desenvolvimento. 
B. a defesa da ética sobrepõe-se ao poder industrial, representado, na discussão, 
por Joana. 
C. os estragos na camada deozônio têm retardado a implementação de 
tecnologias voltadas para o desenvolvimento sustentável. 
D. a camada de ozônio ameaça a indústria dos CFCs porque o gás O3 reage com o 
cloro prejudicando a formação dos CFCs. 
E. o discurso em defesa da ética na utilização de tecnologias estimula o avanço 
industrial. 
 
1. Introdução teórica 
 
A destruição da camada de ozônio como um problema ético 
 
Os clorofluorcarbonos (CFCs) foram largamente utilizados como propelentes 
em extintores, em aerossóis e em refrigeração. Com a descoberta de falhas na 
camada de ozônio (O3), vinculou-se a presença de CFCs na alta atmosfera à 
 
2Questão 12 – Enade 2005. 
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diminuição da concentração desse gás. Os CFCs, se próximos à superfície, não são 
nocivos. Quando liberados na baixa atmosfera, dirigem-se para as camadas mais 
altas da atmosfera, onde passam a ser nocivos ao meio ambiente. Na alta 
atmosfera, os CFCs reagem com o ozônio formando oxigênio molecular (O2), 
conforme a sequência de reações químicas mostrada abaixo. 
 
 
 
Com isso, temos uma diminuição, na alta atmosfera, do ozônio, responsável 
pelo bloqueio da radiação ultravioleta (UV) vinda do Sol. Dessa forma, parte da 
radiação UV deixa de ser bloqueada, chegando à superfície terrestre. Essa radiação 
é nociva aos seres vivos, podendo causar uma série de prejuízos, como, por 
exemplo, o câncer de pele. 
Temos de considerar que a produção de CFCs está vinculada a indústrias, 
que, por sua vez, são geradoras de emprego. Não se pode apenas proibir a 
produção de CFCs sob o risco de grande prejuízo econômico às pessoas ligadas 
direta ou indiretamente à sua produção. Hoje em dia, buscam-se alternativas para 
substituir os CFCs: vemos nos rótulos de produtos aerossóis a indicação de que não 
são nocivos à camada de ozônio. Desde 1988, é proibida a fabricação, no Brasil, de 
produtos cosméticos, de higiene e perfumes com CFCs. Desde 1999, não 
produzimos mais aparelhos de ar-condicionado com CFCs e, desde 2001, não 
produzimos mais refrigeradores que utilizem esse tipo de substância. 
Para avaliar a questão sobre os danos dos CFCs ao meio ambiente e o 
prejuízo econômico que seria causado pela retirada repentina dos CFCs e derivados 
do mercado, buscamos respaldo na nossa compreensão sobre ética. Ética pode ser 
entendida como o estudo dos comportamentos orientados para produzir uma vida 
melhor, tanto individualmente como em sociedade. É considerado ético aquilo que é 
‗bom‘ em determinada situação, aquilo que conduz a um ‗bem viver‘, embora ética 
não possa ser confundida com moral. 
Moral é o conjunto de normas, valores e costumes de uma sociedade. 
Segundo Sanchez Vasquez (2007), ética vem do grego ―ethos‖, significando modo 
de ser ou caráter, enquanto moral vem do grego ―mos‖, significando costumes, 
normas ou regras adquiridas por hábito. 
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Nem sempre o que é ético para um setor da sociedade é ético para outro. 
Uma decisão favorável para uma empresa que utiliza CFCs nem sempre é favorável 
ao meio ambiente, e o contrário também é verdadeiro. A proibição repentina do uso 
de CFCs causaria prejuízo econômico a essas empresas, gerando, certamente, 
desemprego no setor. Vemos que são duas questões que devem ser ponderadas, 
tanto a ambiental quanto a econômica. Para evitar priorizar um lado em detrimento 
do outro, a substituição dos CFCs tem sido gradual. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 CORTINA, A.; MARTÍNEZ, E. Ética. São Paulo: Loyola, 2005. Disponível em 
<www.books.google.com.br>. Acesso em 13 set. 2010. 
 O Brasil e o protocolo de Montreal. Disponível em 
<http://www.protocolodemontreal.org.br>. Acesso em 16 ago. 2010. 
 OKUNO, E.; VILELA, M. A. C. Radiação ultravioleta: características e efeitos. 
Temas atuais de física / SBF. São Paulo: Livraria da Física, 2005. 
 ROCHA, J. C.; ROSA, A. H.; CARDOSO, A. A. Introdução à química ambiental. 
Porto Alegre: Bookman, 2004. 
 SANCHEZ VAZQUEZ, A. Ética. 29. ed. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 
2007. 
 VALLS, A. O que é ética. 5. ed. São Paulo: Brasiliense, 2008. 
 
3. Análise das alternativas 
 
A – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Na figura do enunciado, é dito que o efeito dos CFCs sobre o meio 
ambiente é negativo, mas o seu impacto sobre as indústrias que utilizam CFCs 
também pode ser negativo, já que a população passaria a evitar seus produtos, 
afetando diretamente o lucro dessas empresas. Com a demanda por substitutos do 
CFCs que não sejam nocivos ao meio ambiente, as indústrias de CFCs terão que se 
adaptar à nova realidade para continuar no mercado. 
 
 
 
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B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Na figura apresentada, o poder industrial não é representado por 
Joana. 
 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Quando notado o estrago na camada de ozônio produzido pelos 
CFCs e o efeito nocivo provocado pela maior incidência de radiação ultravioleta na 
superfície, procurou-se substituir os CFCs por gases não nocivos à camada de 
ozônio. Hoje em dia, a maioria dos aerossóis indica, no rótulo, ser inofensivo para a 
camada de ozônio. Portanto, os estragos na camada de ozônio têm estimulado a 
implementação de novas tecnologias para o desenvolvimento sustentável. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Os CFCs, quando na alta atmosfera, reagem com a radiação UV, 
formando cloro, que se combina com o ozônio, produzindo oxigênio molecular. Isso 
provoca uma depleção do ozônio na alta atmosfera, diminuindo sua eficiência no 
bloqueio dos raios ultravioleta. Além disso, os CFCs não se formam na alta 
atmosfera, são produzidos industrialmente. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Nem sempre a defesa da ética na utilização de tecnologias estimula 
o avanço industrial. O que é ético, tido como correto, não é necessariamente o 
melhor para o progresso industrial. A figura não faz qualquer referência sobre 
avanço industrial. 
 
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Questão 3 (INFORMÁTICA) 
Questão 3.3 
O supercomputador T-Rex (Tiranossauro Rex) e o software Harpia são as mais 
novas armas da Receita Federal do Brasil para combater a sonegação fiscal. Esse 
hardware, que realiza 2.860 milhões de instruções por segundo, é capaz de cruzar 
informações, com rapidez e precisão, de um número de contribuintes equivalente 
ao de contribuintes do Brasil, dos EUA e da Alemanha juntos. O novo software vai 
permitir que, a partir de técnicas de inteligência artificial, sejam identificadas 
operações de risco para o fisco. A novidade do sistema é a capacidade que ele terá 
de aprender com o comportamento dos contribuintes e, com isso, detectar 
irregularidades. 
Folha de S. Paulo, p. B1, 16/10/2005 (com adaptações). 
Considerando o texto acima, assinale a opção correta, relativa à informática. 
A. A capacidade do T-Rex é equivalente à de 2.860 computadores pessoais de 1 GB 
de memória RAM, desde que suas capacidades possam ser adicionadas. 
B. Para ―cruzar informações, com rapidez e precisão‖, o T-Rex poderá usar a 
Internet, que constitui meio inviolável de transmissão de informação entre 
bancos de dados. 
C. É possível que a capacidade de ―aprender com o comportamento dos 
contribuintes‖, mencionada no texto, seja decorrente do uso de redes neurais 
como ferramenta de inteligência artificial. 
D. Embora os computadores sejam indispensáveis a diversos ramos da engenharia,o estágio atual do desenvolvimento de sistemas operacionais restringe o uso de 
redes de computadores a grandes empresas. 
E. O sistema de informação descrito no texto deve ter sido desenvolvido em Linux 
ou Unix, que constituem linguagens de programação avançadas usadas na 
implementação de sistemas de informação complexos. 
 
 
 
 
 
 
 
3Questão 13 – Enade 2005. 
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1. Introdução teórica 
 
Computadores: unidades de informação, hardware e software, redes e 
redes neurais 
 
A unidade básica de informação é chamada de bit. O bit pode assumir dois 
valores, 0 ou 1. Quando combinamos 8 bits temos um byte. Usamos as 
denominações kilobyte (Kb) para designar 210 bytes, megabyte (MB) para 220 bytes, 
gigabyte (GB) para 230 bytes e terabyte (TB) para 240 bytes. Anos atrás, eram 
comuns os computadores com megabytes de memória. Atualmente, os 
computadores com gigabytes de memória são os mais usuais. 
O computador pode ser dividido em dois conjuntos distintos, o hardware e o 
software. O hardware é a máquina física, o conjunto de processador, de memórias 
e de placas que forma o computador. Softwares são os programas instalados no 
computador para permitir a interação entre o usuário e o hardware. 
A interação entre o hardware e o software é feita primeiramente pelo sistema 
operacional, responsável pelo gerenciamento dos recursos do sistema, tais como 
processamento e memória. O sistema operacional serve de interface entre o 
computador e o usuário. Existem diversos tipos de sistemas operacionais, como 
Windows, Linux/Unix e MacOS. Os sistemas Linux possuem código aberto, ou seja, 
qualquer pessoa pode acessar o código do sistema operacional e modificá-lo, o que 
originou grande variedade de distribuições. Já Windows e MacOS são sistemas 
operacionais de código fechado. 
Há alguns anos, a instalação e a configuração de sistemas UNIX e LINUX 
eram tarefas elaboradas, em que conhecimentos de detalhes sobre sistemas 
operacionais eram essenciais. Hoje em dia, o LINUX possui recursos que facilitam a 
utilização por usuários sem conhecimentos profundos sobre esse sistema 
operacional, tornando mais amigável sua instalação e utilização. Um exemplo é a 
distribuição Ubuntu, que pode ser executada diretamente de um CD, sem a 
necessidade de instalação do sistema operacional na máquina. 
Um conjunto de computadores pode ser ligado em rede, permitindo o 
compartilhamento de arquivos entre eles e a operação remota. Para tanto, é 
necessário que os computadores estejam ligados por meios de cabos de dados, 
conectados a uma rede sem fio ou via internet. Os sistemas operacionais atuais 
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tornam simples a configuração dessa rede, de forma que um usuário seja capaz de 
configurar sua própria rede. 
A internet é a rede pública mundial formada pela interligação de várias redes 
de computadores, na qual informações e arquivos são compartilhados. Na internet, 
a transmissão de dados não é inviolável, podendo ser interceptada. Para evitar que 
isso ocorra, são utilizadas técnicas de criptografia para melhorar a segurança na 
transmissão de informações. A transmissão de dados entre dois bancos de dados, 
por exemplo, pode ser feita por outra rede que não a internet, como uma rede 
privada. 
Um exemplo de uso de computadores para a resolução de problemas são as 
redes neurais, baseadas na estrutura e no funcionamento do cérebro humano, 
fundamentadas na interação entre os neurônios. Assim como o cérebro, as redes 
neurais têm capacidade de aprendizagem, bastando fornecer uma entrada 
juntamente com a saída esperada. As redes neurais são eficientes no 
reconhecimento de padrões em bancos de dados, como, por exemplo, declarações 
de imposto de renda. As redes neurais são ferramentas aplicadas a diversas áreas 
do conhecimento tais como medicina, física ou economia. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 FRIEDMAN, D. P.; WAND, M.; HAYNES, C. T. Fundamentos de linguagem de 
programação. 2. ed. São Paulo: Berkley, 2001. 
 HAYKIN, S. Redes neurais: princípios e prática. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
 NORTON, P. Introdução à informática. São Paulo: Makron, 1997. 
 
3. Análise das alternativas 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. O T-Rex é capaz de executar 2.860 milhões de instruções por 
segundo. A unidade fundamental de informação é o bit. Reunindo 8 bits, temos um 
byte. Um gigabyte é igual a 230 bytes. A velocidade de processamento do T-Rex, em 
gigabytes por segundo, pode ser calculada conforme segue. 
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Logo, a velocidade de processamento do T-Rex é de 0,33 gigabytes por segundo. É 
importante frisar que a capacidade de processamento de uma máquina está 
vinculada ao processador e não à quantidade de memória da própria máquina. Para 
melhorar a capacidade de processamento dos computadores utilizam-se, hoje em 
dia, máquinas com mais de um processador. 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A internet não é um meio inviolável de transmissão de 
informações, já que elas podem ser interceptadas a qualquer momento. Para 
melhorar a segurança na transmissão de dados, é frequente o uso de criptografia, 
na qual apenas quem tem a chave correta consegue acesso às informações. 
Informações entre bancos de dados podem ser compartilhadas por outras redes que 
não a internet, como redes privadas ou locais. 
 
C – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Redes neurais são sistemas computacionais capazes de reconhecer 
padrões e ―aprender‖ com isto. Dessa forma, a utilização de redes neurais seria 
capaz de detectar qualquer desvio da declaração típica do contribuinte, auxiliando 
na detecção fraudes. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. O estágio atual dos sistemas operacionais (Windows, Linux ou 
Mac) permite ao usuário montar uma rede caseira de maneira acessível. Redes de 
computadores não são privilégios de grandes empresas, pessoas com 
conhecimentos de informática e mais de um computador podem ligá-los em rede. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Linux e Unix são sistemas operacionais e não linguagens de 
programação. Os sistemas operacionais gerenciam os recursos do computador, 
servindo de interface entre a máquina e o usuário, enquanto linguagem de 
programação é um método para passar instruções ao computador. 
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Questão 4 (FÍSICA E MATEMÁTICA) 
Questão 4.4 
 
A figura acima ilustra um corte longitudinal da região mais profunda do reservatório 
da usina hidrelétrica de Itaipu e sua localização no Rio Paraná. 
A partir das informações acima, julgue os itens a seguir. 
I. Considerando-se o sistema xOy inserido na figura, é correto afirmar que a 
função , para e em metros, 
constitui um modelo adequado para o corte longitudinal do fundo do 
reservatório ilustrado. 
II. Sabendo-se que a superfície da lâmina d‘água do reservatório da usina tem área 
igual a 1.350 km2, conclui-se que a capacidade desse reservatório é inferior a 
270 km3. 
III. Considerando-se que o reservatório tenha largura constante e que a força total 
exercida pela água sobre a barragem da usina seja produzida por uma pressão 
hidrostática que cresce linearmente com a profundidade, conclui-se que a 
variação do módulo dessa força total é uma função quadrática do nível do 
reservatório. 
Assinale a opção correta. 
A. Apenas um item está certo. 
B. Apenas os itens I e II estão certos.C. Apenas os itens I e III estão certos. 
D. Apenas os itens II e III estão certos. 
E. Todos os itens estão certos. 
 
4Questão 14 – Enade 2005. 
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1. Introdução teórica 
 
1.1. Funções do segundo grau. Modelagem de dados. 
 
As parábolas correspondem aos gráficos de funções do segundo grau, 
expressas por , sendo que o coeficiente indica a concavidade da 
parábola. Se , a parábola possui concavidade para cima e, se , 
concavidade para baixo. O ponto em que a parábola cruza o eixo y é dado pelo 
coeficiente , conforme indicado na figura 1. 
 
Figura 1. Parábolas com concavidade para cima ( , à esquerda) e para baixo ( , à direita). 
 
Os pontos em que as parábolas cruzam o eixo x são as raízes da função. As 
raízes e de uma equação do segundo grau são dadas por: 
 
O determinante é calculado por e indica se a parábola possui 
uma, duas ou nenhuma raiz real. Se , não existem raízes reais, já que o 
determinante negativo implicaria o cálculo da raiz quadrada de um número 
negativo. Se , existe apenas uma raiz, . Se , a parábola 
possui duas raízes reais e distintas, . 
Uma das aplicações das funções matemáticas é representar dados, tal como 
a profundidade de um reservatório. Quando aproximamos algo por uma função, não 
queremos que a função represente todos os detalhes da quantidade observada, 
mas apenas o seu comportamento geral, conforme a precisão desejada no caso. 
Dessa forma, podemos representar um conjunto de pontos por uma reta, mesmo 
que ela não passe exatamente por todos os pontos, e considerar esse modelo 
satisfatório. 
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Quando temos um conjunto de dados e necessitamos ajustar uma função, 
podemos utilizar um método chamado de regressão, no qual uma função é ajustada 
aos dados sem considerar as incertezas da medida de cada ponto. Se desejarmos 
ajustar uma reta, usamos a regressão linear. Caso necessitemos considerar as 
incertezas de cada um dos pontos, precisamos de um método de ajuste mais 
robusto, como o método dos mínimos quadrados. 
1.2. Pressão 
A pressão P exercida por uma força de intensidade F com direção normal a 
uma superfície de área A é dada por . 
A unidade de pressão, no sistema internacional de unidades (SI), é o pascal 
(Pa), definido como um newton (N) por metro quadrado ( ). Outras unidades de 
pressão são atmosfera (atm), equivalente a Pa, e milímetros de mercúrio 
(mmHg), equivalente a 133,3 Pa. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER J. Fundamentos de Física: Mecânica. 8. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 1. 
 HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Cálculo - funções de uma e de 
várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003. 
 LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. v. 1. 
 VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria de erros. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1996. 
 
3. Análise das afirmativas 
 
Vamos analisar cada uma das afirmativas da questão. 
Afirmativa I. ―Considerando-se o sistema xOy inserido na figura, é correto afirmar 
que a função , para e em metros, 
constitui um modelo adequado para o corte longitudinal do fundo do reservatório 
ilustrado‖. 
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A afirmativa I está incorreta, pois é uma parábola de 
concavidade para baixo , o que implica o fato da função não 
representar adequadamente o fundo do reservatório, que, conforme a figura 1, 
assemelha-se a uma parábola com concavidade para cima. A parábola cruza o eixo 
y em y=55, o que é coerente com o representado na figura. Vamos sobrepor o 
gráfico da função à figura do relevo para melhor visualização (figura 2). 
 
 
Figura 2. Relevo do reservatório e função dada na afirmativa I. 
 
Afirmativa II. ―Sabendo-se que a superfície da lâmina d‘água do reservatório da 
usina tem área igual a 1.350 km2, conclui-se que a capacidade desse reservatório é 
inferior a 270 km3.‖ 
Vamos tomar o caso limite, no qual o fundo da represa é considerado plano, 
fazendo com que a geometria da represa em estudo seja a de um paralelepípedo. 
Sabemos que a profundidade máxima é 200 metros, ou seja, h=0,2 km, e que a 
área da superfície de A=1350 km2. Logo, podemos calcular o volume ( ) total de 
água que caberia na represa, multiplicando a área da superfície pela sua 
profundidade: . Logo, . 
Quando aproximamos a represa pela forma de um paralelepípedo, 
considerando o fundo da represa plano e a profundidade constante e igual à 
profundidade máxima, calculamos o volume máximo, pois desprezamos a existência 
de regiões menos profundas. Logo, a capacidade desse reservatório é claramente 
inferior a 270 km3. Ou seja, a afirmativa II é correta. 
 
Afirmativa III. ―Considerando-se que o reservatório tenha largura constante e 
que a força total exercida pela água sobre a barragem da usina seja produzida por 
uma pressão hidrostática que cresce linearmente com a profundidade, conclui-se 
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19 
 
que a variação do módulo dessa força total é uma função quadrática do nível do 
reservatório.‖ 
Foi dito que a pressão hidrostática ( ) na parede da barragem é função 
linear da profundidade ( ). Logo, sendo C uma constante: 
A pressão P exercida por uma força de intensidade F com direção normal a 
uma superfície de área A é dada por . 
Então, a força exercida é o produto da pressão pela área: 
A área total da barragem, considerando profundidade e largura , é 
. 
Sendo assim, temos que 
Como a largura do reservatório é constante, a força total exercida na 
barragem é proporcional ao quadrado da profundidade (proporcional a h2). Logo, a 
afirmativa III está correta. 
 
Alternativa correta: D. 
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20 
 
Questão 5 (FÍSICA, MATEMÁTICA E ADMINISTRAÇÃO) 
Questão 5.5 
 
A figura acima ilustra um corte longitudinal da região mais profunda do reservatório 
da usina hidrelétrica de Itaipu e sua localização no Rio Paraná. 
A energia anual produzida na usina de Itaipu é da ordem de 90.000 GWh. Considere 
que o custo aproximado para a construção dessa usina tenha sido de 30 bilhões de 
reais e que o capital esteja sendo remunerado à taxa de juros de 10% ao ano. 
Nessas condições, a parcela do custo da energia produzida referente à remuneração 
anual do capital deve ser 
A. inferior a R$ 10 por MWh. 
B. superior a R$ 10 e inferior a R$ 30 por MWh. 
C. superior a R$ 30 e inferior a R$ 50 por MWh. 
D. superior a R$ 50 e inferior a R$ 100 por MWh. 
E. superior a R$ 100 por MWh. 
 
1. Introdução teórica 
 
1.1. Prefixos e ordens de grandeza 
 
Quando tratamos de quantidades muito grandes ou muito pequenas, 
utilizamos notação científica, empregando potências de 10 para representar essas 
quantidades de maneira mais concisa. O sistema internacional de unidades (SI) 
adota uma série de prefixos para representar quantidades, dados na tabela 1. Por 
 
5Questão 15 – Enade 2005. 
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21 
 
exemplo, o prefixo ―giga‖ indica 109, enquanto o prefixo ―mega‖ indica 106. É 
importante notar que esses prefixos têm significados diferentes em informática, na 
qual ―giga‖ representa 230 e ―mega‖ representa 220. Essa diferença se baseia no fato 
do bit, unidadefundamental de informação, apresentar assumir 2 valores, 0 ou 1, 
justificando a base 2. 
 
Tabela 1. Prefixos (SI), fatores e símbolos. 
Fator Nome Símbolo Fator Nome Símbolo 
101 deca da 10-1 deci d 
102 hecto h 10-2 centi c 
103 kilo k 10-3 milli m 
106 mega M 10-6 micro µ 
109 giga G 10-9 nano n 
1012 tera T 10-12 pico p 
1015 peta P 10-15 femto f 
Fonte. Bureau International des Poids et Measures. Disponível em 
<http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/chapter3/prefixes.html>. Acesso em 13 ago. 2010. 
 
1.2. Potência 
 
O conceito de potência aplica-se em diversas áreas da física, como a 
mecânica (cálculo da potência em um movimento, por exemplo) ou o 
eletromagnetismo (cálculo da potência de um circuito, por exemplo). Definimos 
potência ( ) como a razão entre a variação de energia ( ) e um dado intervalo de 
tempo ( ), ou seja: 
 
Se as variáveis E e t estiverem relacionadas por uma função do primeiro 
grau, podemos expressar as derivadas da equação anterior pelo seguinte quociente 
de variações: 
 
A unidade de potência no SI é o watt (W), equivalente ao gasto de energia 
de 1 joule (J) em 1 segundo. Outras unidades de potência são o cavalo-vapor (cv), 
equivalente a 745,7 W, e o horse-power (hp), equivalente a 735,5 W. 
Para medidas de consumo de energia, usamos o watt-hora (Wh), que 
corresponde ao gasto de energia em watts em um período de 1 hora. Sobre essa 
unidade, aplicam-se os prefixos SI apresentados na tabela, de forma que o 
consumo doméstico é medido em quilowatts-hora (kWh). 
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22 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 Bureau international des poids et measures. Disponível em 
<http://www.bipm.org/en/>. Acesso em 13 ago. 2010. 
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER J. Fundamentos de Física: Mecânica. 8. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 1. 
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. v. 1. 
 
3. Análise da questão 
 
O custo total da usina de Itaipu foi de 30 bilhões de reais (30.000.000.000 
reais ou 30.109 reais). Considerando a remuneração de 10% ao ano para esse 
capital, calculamos o valor correspondente a essa remuneração: 
 
Temos, então, remuneração de R$ 3.000.000.000,00. 
Calculamos o custo anual da energia produzida dividindo o valor da 
remuneração pelo total de energia produzida em um ano, 90.000 GWh. Para 
analisarmos as alternativas do problema, necessitamos converter a energia de GWh 
para MWh, lembrando que prefixo giga indica 109 e o prefixo mega indica 106. 
Sendo assim, 1 GWh é equivalente a 103 MWh. Logo: 
 
Calculamos, então, o custo C da energia: 
 
Obtivemos um custo de 33 reais e 30 centavos por MWh produzido em Itaipu. Logo, 
a única alternativa correta é a C, que indica um custo de energia superior a R$ 30 e 
inferior a R$ 50 por MWh. 
 
Alternativa correta: C. 
 
 
 
 
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23 
 
Questão 6 (MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA) 
Questão 6.6 
A taxa de evaporação de água em um reservatório depende da condição climática. 
Em um modelo simplificado, essa taxa, , pode ser descrita por 
– , em que é uma constante, é a velocidade do vento, em 
m/s, e é a umidade relativa do ar, em porcentagem. Nas figuras I e II abaixo, 
são apresentados dados climáticos em determinado reservatório de água, em 12 
semanas de observação. 
 
As informações acima permitem concluir que a taxa de evaporação de água no 
reservatório, nas 12 semanas observadas, foi maior na semana 
A. 1 B. 4 C. 6 D. 9 E. 12 
 
1. Introdução teórica 
 
Histogramas 
 
Os histogramas são representações gráficas que indicam a frequência de um 
evento, ou seja, quantas vezes dado evento ocorreu em determinado intervalo. O 
histograma do enunciado da questão representa a umidade relativa e a velocidade 
média do vento para cada semana considerada. 
Os dados, em um histograma, podem ser indicados como frequência 
absoluta, na qual o número de eventos é representado diretamente, ou como uma 
frequência relativa, dada em porcentagem. Então, nos gráficos da questão estão 
 
6Questão 16 – Enade 2005. 
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24 
 
representadas frequências relativas para a umidade relativa e frequências absolutas 
para a velocidade do vento. 
Como exemplo de representação de dados em um histograma, podemos 
tomar a distribuição de notas dos alunos de uma turma (figura 1). No eixo x, 
representamos as notas e, no eixo y, o número de alunos que tiraram aquela nota. 
Cada barra do histograma corresponde a um dado intervalo de notas. 
 
Figura 1. Histograma: representação da distribuição de notas de uma turma de alunos. 
 
Do histograma da figura 1, vemos que a nota da maioria dos alunos se situou 
entre 6 e 8, e que o intervalo com o menor número de notas foi entre 8 e 10, 
seguido de notas entre 0 e 2. Se quiséssemos representar o histograma usando 
frequências relativas em vez de absolutas (número de alunos), bastaria dividirmos o 
número de alunos em cada intervalo do histograma pelo número total de alunos na 
turma. 
Os histogramas são úteis para analisar o comportamento global de uma 
quantidade medida e localizar rapidamente máximos e mínimos. Outra informação 
que o histograma de frequências relativas fornece diretamente é o quanto falta para 
atingirmos a proporção de 100%, bastando apenas avaliar o quanto falta para suas 
barras atingirem esse índice. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 HELENE, O. A. M.; VANIN, V. R. Tratamento estatístico de dados em Física 
experimental. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1991. 
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25 
 
 VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria de erros. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1996. 
 
3. Análise das alternativas 
 
A expressão que descreve a evaporação fornecida no enunciado é 
. Então, precisamos avaliar a quantidade , o que 
pode ser feito a partir do histograma dado no enunciado. 
Na figura 2, temos, em cinza, a representação da umidade relativa. 
Completamos as barras do histograma, marcando o quanto faltaria para umidade de 
100% em preto, ou seja, a quantidade da equação para evaporação. 
 
Figura 2. Histograma da umidade relativa (cinza) e da sua diferença para 100% (preto). 
 
Verificamos que as maiores diferenças para 100% de umidade relativa 
ocorrem nas semanas 9 e 10. 
Da equação, observamos que a evaporação é proporcional à velocidade do 
vento , ou seja, teremos maior evaporação quando a velocidade do vento for 
maior. Pela figura II do enunciado, podemos concluir que os maiores valores de 
velocidade do vento ocorrem nas semanas 4 e 9. 
Pela equação fornecida, verificamos que a evaporação é proporcional a 
, marcada em preto na figura 2. Então, teremos maior evaporação nas 
semanas 9 e 10. Como na equação há o produto da velocidade pela evaporação, 
precisamos maximizar o produto delas para obtermos evaporação máxima. 
 
 
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26 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Na 1ª semana, há um mínimo na velocidade do vento e um 
máximo de umidade relativa, ou seja, um mínimo na quantidade . Esses 
fatores não produzem maximização da evaporação. A partir dos dados da tabela, 
calculamos a taxa de evaporação para a 1ª semana: 
 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Na 4ª semana, há um máximo de velocidade do vento, mas que 
não é acompanhado por um máximo em , o que não resulta em 
evaporaçãomáxima. A partir dos dados da tabela, calculamos a taxa de evaporação 
para a 4ª semana: 
 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Na 6ª semana, há um mínimo na velocidade do vento, o que não 
resulta em uma evaporação máxima. A partir dos dados da tabela, calculamos a 
taxa de evaporação para a 6ª semana: 
 
 
D – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Na 9ª semana, temos um máximo de velocidade do vento e um 
máximo na quantidade e, portanto, a evaporação , produto dessas 
duas quantidades, é máxima. A partir dos dados da tabela, calculamos a taxa de 
evaporação para a 9ª semana: 
 
E – Alternativa incorreta 
JUSTIFICATIVA. Na 12ª semana, temos um mínimo na velocidade do vento e um 
valor intermediário em , o que não resulta em evaporação máxima. A 
partir dos dados da tabela, calculamos a taxa de evaporação para a décima 
segunda semana: 
 
Observação: a taxa de evaporação é maximizada na nona semana ( ). 
Logo, a alternativa correta é a D. 
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27 
 
Questão 7 (MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA) 
Questão 7.7 
A taxa de evaporação de água em um reservatório depende da condição climática. 
Em um modelo simplificado, essa taxa, , pode ser descrita por 
– , em que é uma constante, é a velocidade do vento, em 
m/s, e é a umidade relativa do ar, em porcentagem. Nas figuras I e II abaixo, 
são apresentados dados climáticos em determinado reservatório de água, em 12 
semanas de observação. 
 
Para estimar a taxa de evaporação de água no reservatório, na 24ª semana, a 
considere que a umidade relativa do ar seja aproximada pelo valor médio dos dados 
da figura I e que a velocidade do vento seja aproximada por uma função periódica, 
com período igual a 6 semanas, obtida a partir dos dados da figura II. Qual das 
opções abaixo melhor estima essa taxa na 24ª semana? 
A. 3α B. 80α C. 210α D. 480α E. 1080α 
 
1. Introdução teórica 
 
1.1. Média de um conjunto de dados 
 
Quando temos um conjunto de dados da grandeza x, podemos calcular a 
média da seguinte forma: . Nessa equação, é o número de dados e 
 representa cada um dos dados para . Ou seja, a média é a soma dos 
dados dividida pelo número de dados. 
 
7Questão 17 – Enade 2005. 
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28 
 
A média é um critério estatístico sensível aos dados. Se tivermos apenas um 
dado muito destoante dos demais, ele tende a deslocar a média para seu sentido. 
Outros critérios estatísticos menos sensíveis a dados destoantes são a mediana e a 
moda. A mediana é o valor central da distribuição de dados, ou seja, se ordenarmos 
 dados , a mediana será o dado se for ímpar, ou a média 
dos dois valores centrais, , se for par. A moda é o valor mais 
frequente da distribuição de dados, ou seja, o de maior ocorrência. 
 
1.2. Funções periódicas 
 
Funções periódicas são funções matemáticas que se repetem após dado 
intervalo de tempo, chamado de período. Exemplos de funções periódicas são as 
funções seno e cosseno, que repetem seu comportamento após um intervalo de 
ou 180° (figura 1). 
 
Figura 1. Gráficos das funções y=sen(x) e y=cos(x). 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Cálculo - funções de uma e de 
várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003. 
 HELENE, O. A. M.; VANIN, V. R. Tratamento estatístico de dados em Física 
experimental. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1991. 
 VUOLO, J. H. Fundamentos da teoria de erros. 2. ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1996. 
 
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 90 180 270 360 450 540 630 720
Ângulo (graus).
seno
coseno
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29 
 
3. Análise das alternativas 
 
Conforme o enunciado da questão, a evaporação E é dada por 
. Necessitamos, então, analisar o quanto falta para atingir a 
umidade relativa de 100% no histograma ou . Isso está mostrado nas 
barras pretas da figura 2. 
 
Figura 2. Histograma da umidade relativa (cinza) e da sua diferença para 100% (preto). 
 
No enunciado, é pedido para considerarmos o valor médio da umidade 
relativa para fazer a projeção da taxa de evaporação da 24a semana. A média é 
calculada a partir dos dados do histograma para as 12 semanas: 
 
É dito para considerarmos a velocidade do vento como periódica, com 
período de 6 semanas. Então, esperamos obter o mesmo valor de velocidade do 
vento a cada 6 semanas. Na décima segunda semana, temos , na sexta 
semana, temos . Esperamos, então, ter um valor de a cada 
6 semanas e, consequentemente, esperamos o mesmo valor na 24a semana 
(transcorridos 4 períodos). 
Da expressão para a evaporação, temos: 
 
A melhor estimativa é dada pela alternativa B, , pois é a que mais se 
aproxima do valor obtido para a taxa de evaporação do reservatório. 
 
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30 
 
Questão 8 (MECÂNICA DOS SÓLIDOS) 
Questão 8.8 
 
No mecanismo ilustrado na figura acima, uma placa metálica gira em torno de um 
eixo devido à aplicação de uma força , que provoca o aparecimento de um torque. 
Com relação a esse mecanismo e sabendo que o momento de inércia de massa é 
definido pela integral , em que é a distância do eixo ao elemento de massa 
, julgue os itens seguintes. 
I. Quanto menor for o valor da distância , maior deverá ser a força necessária 
para vencer o atrito no eixo. 
II. O momento de inércia de massa da placa metálica independe do valor da 
distância . 
III. O tempo necessário para se girar a placa do ponto 1 ao ponto 2 independe do 
torque. 
Assinale a opção correta. 
A. Apenas um item está certo. 
B. Apenas os itens I e II estão certos. 
C. Apenas os itens I e III estão certos. 
D. Apenas os itens II e III estão certos. 
E. Todos os itens estão certos. 
 
1. Introdução teórica 
 
Rotação de corpos rígidos 
 
Um corpo rígido é um corpo no qual todas as suas partículas se movimentam 
como um todo, ou seja, a distância entre as partículas do corpo é sempre 
constante. Vamos considerar a rotação desse corpo em torno de um eixo fixo, 
tomando como variável espacial o ângulo , conforme mostrado na figura 1. 
 
8Questão 18 – Enade 2005. 
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31 
 
 
Figura 1. Rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. 
 
A variação do ângulo com o tempo ( ) é a velocidade angular ( ): 
 
A variação da velocidade angular com o tempo é a aceleração angular ( ): 
 
Assim como no movimento de translação, no caso particular de aceleração 
angular constante, as quantidades acima se relacionam com o tempo pelas 
equações horárias: 
 e 
Quando tratamos do movimento de translação de uma partícula, 
relacionamos a força ( ) aplicada com a aceleração ( ) resultante do movimento 
pela segunda lei de Newton: , sendo a massa da partícula. 
Temos uma expressão equivalente para o caso angular, , sendo o 
torque, , o momento de inércia e , a aceleração angular. 
O momento de inércia pode ser entendido como uma inércia rotacional, 
enquanto a massa pode ser entendida como uma inércia translacional. Ele é 
dependente da forma do objeto, da distância do eixo de rotação em relação ao 
centro de massa e da orientação do corpo em relação ao eixo de rotação. 
O momento de inércia pode ser calculado por , sendo um 
elemento infinitesimal de massa do corpo e a distância até cada elementoinfinitesimal de massa até o eixo de rotação. 
Suponha que uma força seja aplicada em um ponto de uma barra. Essa 
barra pode girar em torno de um eixo fixo, perpendicular ao plano da folha, e que 
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32 
 
passa pela sua extremidade . O torque produzido por essa força é representado 
por 
 
A intensidade do torque vale 
 
 
Na expressão acima, é o braço da força em relação ao ponto 
fixo , conforme indicado na figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Força aplicada sobre uma barra que gira em torno de um eixo. O braço da força é a distância do ponto até a 
reta suporte de . 
 
A figura 3 mostra o caso em que a força tem direção perpendicular ao eixo 
da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Na situação em que a força é perpendicular à barra, e o braço coincide com a distância . 
 
Dessa forma, para um mesmo valor de força, teremos um torque maior se a 
força for aplicada distante do eixo, um torque menor que o anterior se for aplicada 
mais próxima do eixo e um torque nulo se for aplicada sobre o eixo de rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER J. Fundamentos de Física: Mecânica. 8. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 1. 
 KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron, 1999. v. 
1. 
 NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 1 – Mecânica. 4. ed. São Paulo: 
Edgard Blücher, 2002. v. 1. 
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. v. 1. 
 
3. Análise dos itens 
A análise dos itens abaixo será realizada sem considerar o efeito do campo de 
gravidade local e admitindo que a força mantenha-se perpendicular à barra durante 
o seu movimento. 
 
I – Item correto. 
JUSTIFICATIVA. O módulo do torque ( ) é dado por , sendo o módulo da 
força e o braço. Mantendo-se a direção da força, se diminuímos o braço, 
precisamos de maior intensidade de força para obter o mesmo valor de torque, 
como ilustrado na figura 4. Logo, quanto menor for o valor da distância , maior 
deverá ser a intensidade força necessária para vencer o atrito no eixo de rotação. 
 
Figura 4. Esquema ilustrando a dependência do torque com a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação. 
 
A Física desse problema pode ser visualizada de forma mais concreta quando 
pensamos em uma porta entreaberta. Necessitamos de intensidade de força menor 
para abri-la se a aplicarmos mais próxima da lateral da porta oposta ao eixo com as 
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34 
 
dobradiças, próximo à maçaneta, e uma força de intensidade maior se a aplicarmos 
no centro da porta. Qualquer esforço aplicado diretamente sobre as dobradiças é 
inútil para movimentar a porta. 
 
II – Item correto. 
JUSTIFICATIVA. O momento de inércia I da placa é calculado por , 
sendo um elemento infinitesimal de massa do corpo e a distância de cada 
elemento infinitesimal de massa até o eixo de rotação. 
A massa de um corpo sólido, quando uniformemente distribuída, pode ser 
escrita como o produto da sua densidade ρ pelo seu volume V. Ou seja, m=ρ.V 
No caso da placa em estudo, a única grandeza variável no cálculo do 
momento de inércia está na direção perpendicular ao eixo de rotação, conforme a 
figura do enunciado. Então, para essa placa, o momento de inércia é dado por 
 
Na expressão anterior, b é a largura da placa, s é a sua espessura e H é a 
sua altura. 
Admitindo que e como são constantes, em relação a r, 
podemos escrever: 
 
 
 
Como é o volume da placa, é igual à massa (m) deste corpo. 
Com isto, podemos escrever: 
 
Vemos, da equação acima, que o momento de inércia independe do valor da 
distância entre o eixo de rotação e o ponto de aplicação da força. O momento de 
inércia é uma característica intrínseca do corpo, dependendo apenas de seu 
formato, sua orientação em relação ao eixo de rotação e da distância do eixo de 
rotação ao seu centro de massa, não dependendo do ponto de aplicação da força. 
 
 
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35 
 
III – Item incorreto. 
JUSTIFICATIVA. No caso de movimento angular, podemos escrever a seguinte 
equação horária: 
Na equação anterior, a posição inicial é , a velocidade angular inicial é e 
a aceleração angular é . Considerando que o movimento inicia-se a partir do 
repouso, ou seja, , temos: 
Substituindo essa expressão na que relaciona o torque com a aceleração 
angular: 
Pela figura do enunciado, o trajeto entre os pontos 1 e 2 representa um 
deslocamento de 90º, ou seja, rad. Logo, 
 
Da equação anterior, vemos que o tempo gasto no trajeto entre as posições 
1 e 2 depende do torque aplicado na placa, sendo que, quanto maior o torque 
aplicado, menor o tempo necessário para realizar o trajeto. 
 
Pelas considerações detalhadas anteriormente, temos que os itens I e II são 
verdadeiros e que o item III é falso. Logo, a alternativa correta é a B. 
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36 
 
Questão 9 (FÍSICA) 
Questão 9.9 
Diversos sistemas físicos amortecidos encontrados em Engenharia podem ter seu 
comportamento expresso por equações diferenciais ordinárias não-homogêneas de 
segunda ordem. A resolução desse tipo de equação envolve a obtenção da resposta 
 da equação diferencial homogênea associada, que expressa o comportamento 
do sistema livre de excitações externas, e a obtenção de uma solução particular 
 da equação não-homogênea. A soma de e fornece a solução geral 
da equação não-homogênea. A resposta livre permite identificar a frequência das 
oscilações amortecidas e a constante de amortecimento do sistema. 
Considere que a resposta livre de um sistema seja dada pela função 
, cujo gráfico está ilustrado na figura a seguir. 
 
A frequência das oscilações amortecidas do sistema cuja resposta livre está 
apresentada no texto é igual a 
A. 0,1 Hz B. 0,15 Hz rad/s D. 10 rad/s. E. 10 Hz 
 
1. Introdução teórica 
 
1.1. Oscilações livres sem amortecimento 
 
A equação horária que descreve um movimento oscilatório livre, conhecido 
como movimento harmônico simples (MHS), é representada por uma função 
periódica do tipo: . 
Na equação anterior, indica a amplitude do movimento, a fase inicial e 
a frequência angular. O movimento periódico se repete após um intervalo de tempo 
 
9Questão 19 – Enade 2005. 
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37 
 
, chamado de período. O período relaciona-se com a frequência angular por: 
. 
Na equação anterior, é a frequência do movimento oscilatório. A frequência 
do MHS é o inverso do seu período, ou seja, . 
 
1.2. Oscilações amortecidas 
 
O movimento oscilatório com amortecimento pode ser expresso como o 
produto de uma exponencial de expoente negativo (e-kt) pela função oscilatória: 
 
Como movimento resultante desse cenário, temos a função oscilatória 
limitada pela exponencial (figura 1). Nesse caso, a função oscilatória tem como 
envoltória a função exponencial. 
 
Figura 1. Exemplo das oscilações de um oscilador amortecido, no qual a função periódica é modulada por uma envoltória 
exponencial. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER J. Fundamentos de Física: Gravitação, 
Ondas e Termodinâmica. 8. ed. Rio deJaneiro: LTC, 2009. v. 2. 
 KELLER, F. J.; GETTYS, W.; SKOVE, M. Física. São Paulo: Makron, 1999. v. 1. 
 NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 2 – Fluidos, Oscilações e Ondas, 
Calor. 4. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. v. 2. 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
38 
 
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. v. 1. 
 
3. Análise das alternativas 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Pelo gráfico apresentado no enunciado, vemos que 0,1 segundos é 
o período de oscilação da função, já que temos um primeiro pico logo em e 
o seguinte em . O período de oscilação da função é, portanto, 0,1 
segundos, e não sua frequência. Uma frequência de 0,10 Hz implicaria um período 
de 10 segundos, o que não é observado na função, pois . 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Como o período da oscilação é 0,10 s, sua frequência é 10 Hz e 
não 0,15 Hz. 
 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A frequência é o inverso do período de oscilação, ou seja, tem 
unidade ou Hz. A frequência angular é dada pelo produto da frequência por 
radianos, ou seja, tem unidade rad/s. Logo, é uma frequência angular. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Pelo gráfico, temos um período para a função , o que 
implica uma frequência e uma frequência angular dada por: 
. 
 
E – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Pelo gráfico, vemos que o período da função é , o que 
implica uma frequência , ou seja, a frequência da oscilação é 
. 
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39 
 
Questão 10 (FÍSICA E MATEMÁTICA) 
Questão 10.10 
Diversos sistemas físicos amortecidos encontrados em engenharia podem ter seu 
comportamento expresso por meio de equações diferenciais ordinárias não 
homogêneas de segunda ordem. A resolução desse tipo de equação envolve a 
obtenção da resposta da equação diferencial homogênea associada, que 
expressa o comportamento do sistema livre de excitações externas, e a obtenção de 
uma solução particular da equação não homogênea. A soma de e 
fornece a solução geral da equação não homogênea. A resposta livre permite 
identificar a frequência das oscilações amortecidas ( ) e a constante de 
amortecimento ( ) do sistema. Considere que a resposta livre de um sistema seja 
dada pela função , cujo gráfico está ilustrado na figura a 
seguir. 
 
Considere que seja a solução particular da equação diferencial 
que representa o comportamento dinâmico do sistema cuja resposta livre está 
apresentada no texto. Assinale a opção que melhor esboça o gráfico da resposta 
completa do referido sistema, depois de transcorrido um minuto ( ). 
 
10Questão 20 – Enade 2005. 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
40 
 
 
 
1. Introdução teórica 
 
1.1. Oscilações 
 
A questão trata de uma oscilação amortecida, cujo comportamento é 
expresso por uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem. 
Foi dito que a solução do sistema é dada pela soma da solução 
particular com a solução da equação diferencial homogênea 
. Ou seja, 
 
 
A solução particular dada por corresponde a uma função 
periódica de amplitude igual a 5 ( ) e de frequência angular igual a 100 rad/s 
( ), pois . O gráfico da função está 
apresentado na figura 1. 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
41 
 
 
Figura 1. Gráfico da solução particular . 
 
Podemos observar que, independentemente do tempo transcorrido após o 
início do movimento, a amplitude de se mantém ( ). 
A solução da equação diferencial homogênea, dada por 
, corresponde ao produto entre uma função periódica de 
amplitude 5 e uma exponencial decrescente do tipo . O gráfico da função 
está apresentado na figura 2. 
 
Figura 2. Gráfico da equação diferencial homogênea . 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t(s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t(s)
 
 
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42 
 
É possível verificar que, com o passar do tempo, os valores de picos de 
vão diminuindo cada vez mais. Pela figura 2, nota-se que, a partir do instante 1,6 s, 
o valor de é praticamente zero. 
A pergunta solicita que se identifique o gráfico relativo à resposta do sistema 
após 60 s. Depois de 1 min (60s), na soma 
, tem valor praticamente nulo. Logo, decorrido esse 
tempo, temos, aproximadamente , cujo gráfico é o de 
uma função periódica harmônica, como mostrado na figura 1. 
 
1.2. Batimento 
 
Apenas nos instantes iniciais do movimento, quando tem valores não 
nulos, ocorre o fenômeno de batimento, no qual a oscilação resultante é a 
combinação das oscilações presentes. Quando uma oscilação tem frequência 
angular muito maior que a outra, e as duas são combinadas, temos como resultado 
um batimento no qual a função de maior frequência angular vai servir de envoltória, 
modulando a de menor frequência angular. O batimento entre duas frequências 
está ilustrado no gráfico da figura 3. 
 
Figura 3. Batimento produzido pela combinação de oscilações de frequências angulares e . 
 
Na figura 4, mostra-se o batimento que ocorre somente nos instantes iniciais 
do movimento descrito no enunciado da questão. 
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43 
 
 
Figura 4. Batimento ocorrido somente nos instantes iniciais do movimento. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Gravitação, 
Ondas e Termodinâmica. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 2. 
 KELLER, F. J.; GETTYS, W.; SKOVE, M. Física. São Paulo: Makron, 1999. v. 1. 
 NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 2. Fluidos, Oscilações e Ondas, 
Calor. 4. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2002. v. 2. 
 Ponte Tacoma. Disponível em <www.youtube.com/watch?v= dvRHK4yA8rc>. 
Acesso em 23 ago. 2010. 
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. v. 1. 
 
3. Análise das alternativas 
 
A – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Passados 60 s do início do movimento, na soma 
, tem valor praticamente nulo. Logo, decorrido esse 
tempo, temos, aproximadamente , cujo gráfico é o de 
uma função periódica harmônica. 
 
 
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
t(s)
 
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44 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Esse poderia ser o gráfico relativo aos instantes iniciais do 
movimento, quando se observa o fenômeno do batimento, mas não poderia ser o 
gráfico relativo aos instantes superiores a 60 s. 
 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Nesse gráfico, falta o componente oscilatório que vemos no 
enunciado. O gráfico seria representativo apenas da função exponencial que 
multiplica o cosseno na resposta livre do sistema. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. O gráfico mostra aumento da amplitude de oscilação com o tempo. 
Isso apenas seria possível no caso do sistema receber energia externa. No caso em 
estudo, pelo contrário, o sistema está sendo amortecido. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Nesse gráfico, além de não termos o componente oscilatório, 
temos um comportamento crescente da função. Como a oscilação é amortecida 
(oscilação afetada por uma exponencial do tipo ), não esperamosaumento da 
amplitude de oscilação com o tempo, e sim diminuição. 
 
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45 
 
Questão 11 (EXPRESSÃO GRÁFICA) 
Questão 11.11 
Na linguagem da representação gráfica, são utilizados recursos variados, que vão 
dos traços a mão livre às imagens resultantes de modelos tridimensionais (3D) em 
computador. Nas áreas técnicas, a comunicação por imagens se dá, principalmente, 
por meio de desenhos em que se empregam linhas, traçados, técnicas e métodos 
precisos e claramente definidos. É o chamado desenho técnico. 
As figuras abaixo mostram uma perspectiva técnica de um objeto e três de suas 
vistas ortográficas, desenhadas de acordo com a norma brasileira NBR 10067. 
 
Analisando essas figuras, conclui-se que 
A. foi empregado, nas vistas ortográficas, o método de projeção chamado 3o 
diedro, no qual a vista inferior é desenhada abaixo da vista frontal, e a vista 
lateral direita é desenhada à direita da vista frontal. 
B. foi desenhada, além das vistas ortográficas, uma perspectiva isométrica que 
permite uma boa visualização do objeto. 
C. as faces A e B são as faces frontais do objeto, de acordo com o posicionamento 
das vistas. 
 
11Questão 11 – Enade 2008. 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
46 
 
D. a linha tracejada no desenho das vistas indica a existência de uma aresta 
invisível, que não aparece na perspectiva. 
E. a perspectiva e as três vistas apresentadas são insuficientes para se determinar 
que a face oposta à D é vertical. 
 
1. Introdução teórica 
 
Desenho técnico: vistas ortográficas 
 
 No desenho técnico, um objeto pode ser representado de duas maneiras 
distintas: por meio de uma perspectiva isométrica (tridimensional) ou por vistas 
ortográficas (bidimensionais). As vistas ortográficas correspondem à representação 
rebatida em um único plano do objeto tridimensional, na qual a face frontal é a 
principal face do objeto. 
 A norma NBR 10647 estabelece, além de outras considerações, que as vistas 
ortográficas devem ser feitas em relação ao primeiro diedro do objeto ou em 
relação ao terceiro diedro. No caso do primeiro diedro, temos a seguinte posição 
relativa das vistas: vista superior posicionada abaixo, vista lateral esquerda 
posicionada à direita, vista lateral esquerda posicionada à direita, vista inferior 
posicionada acima e vista posterior à esquerda ou à direita, conforme a 
conveniência. No caso do terceiro diedro, temos a vista superior posicionada acima, 
vista lateral esquerda posicionada à esquerda, vista lateral direita posicionada à 
direita, vista inferior posicionada abaixo e vista posterior posicionada à direita ou à 
esquerda, conforme a conveniência. No desenho técnico, devemos representar o 
menor número de vistas para a perfeita visualização da peça. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 Associação Brasileira de Normas Técnicas. Desenho técnico: NBR 10647. São 
Paulo: ABNT, 1995. 
 OLIVEIRA, J. L.; FIORANI, L.; SANTILLI, L.; BONASSI, L. V. Desenho técnico. 
São Paulo: Tetra, 2010. 
 
 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
47 
 
3. Análise das alternativas 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Se o método de projeção chamado 3o diedro fosse empregado, a 
vista inferior seria a desenhada na figura 1, com o tracejado. 
 
Figura 1. Vista inferior – 3º diedro. 
 
B – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. Na figura do enunciado, temos, na parte superior, a perspectiva 
isométrica e, na parte inferior, as vistas ortográficas. As três vistas ortográficas 
apresentadas, frontal, esquerda e superior, junto com a perspectiva do objeto, são 
suficientes para uma boa visualização do objeto. 
 
C – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Pela perspectiva do objeto, vemos que as faces A e B são 
ortogonais, ou seja, temos um ângulo de 90º entre os planos A e B. Logo, essas 
faces não podem ser, ao mesmo tempo, vistas frontais do objeto. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A linha tracejada na vista ortográfica posicionada à esquerda indica 
a aresta entre as faces F e E, perfeitamente visualizada na perspectiva do objeto. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A partir das vistas ortográficas esquerda e superior, podemos 
determinar que a face oposta a D é vertical, conforme indicado na figura 2. 
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48 
 
 
Figura 2. Identificação das faces opostas a D nas projeções ortográficas. 
 
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49 
 
Questão 12 (METODOLOGIA CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA) 
Questão 12.12 
O gerente da divisão de carros da Pontiac, nos Estados Unidos da América, recebeu 
uma curiosa carta de reclamação de um cliente: 
―(...) Eu posso parecer louco, mas o fato é que nós temos uma tradição em nossa 
família, que é a de comer sorvete depois do jantar. Repetimos este hábito todas as 
noites, variando apenas o tipo do sorvete, e eu sou o encarregado de ir comprá-lo. 
Sempre que eu compro sorvete de baunilha, quando volto da loja para casa, o carro 
não funciona. Se compro qualquer outro tipo de sorvete, o carro funciona 
normalmente.‖ 
Apesar das piadas, um engenheiro da empresa foi encarregado de atender à 
reclamação. Repetiu a exata rotina com o reclamante e constatou que, de fato, o 
carro só não funcionava quando se comprava sorvete de baunilha. 
Depois de duas semanas de investigação, o engenheiro descobriu que, quando 
escolhia sorvete de baunilha, o comprador gastava menos tempo, porque esse tipo 
de sorvete estava bem na frente da loja. Examinando o carro, fez nova descoberta: 
como o tempo de compra era muito menor no caso do sorvete de baunilha, os 
vapores na tubulação de alimentação de combustível não se dissipavam, impedindo 
que a nova partida fosse instantânea. A partir desse episódio, a Pontiac mudou o 
sistema de alimentação de combustível, introduzindo alteração em todos os 
modelos a partir da linha 99. 
Disponível em <http://newsworlds.wordpress.com> (com adaptações). 
Suponha que o engenheiro tenha utilizado as seguintes etapas na solução do 
problema: 
I. fazer testes e ensaios para confirmar quais são as variáveis relevantes; 
II. constatar a natureza sistemática do problema; 
III. criar hipóteses sobre possíveis variáveis significativas; 
IV. propor alterações no sistema em estudo. 
Considerando que as etapas I, II e III não estão listadas na ordem em que devem 
ocorrer, qual é o ordenamento correto dessas três etapas? 
A. I, III, II. 
B. II, I, III. 
C. II, III, I. 
 
12Questão 12 – Enade 2008. 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
50 
 
D. III, I, II. 
E. III, II, I. 
 
1. Introdução teórica 
 
Metodologia científica 
 
Segundo MARKONI e LAKATOS (2009), método é o conjunto de atividades 
sistemáticas e racionais que nos levam a um objetivo de forma mais segura e 
econômica. São vários os métodos existentes para solucionar problemas. No 
método indutivo, partimos de fatos observados para se assumirem conclusões sobre 
fatos mais abrangentes. No método dedutivo, toda informação obtida já está nas 
premissas, mesmo que de maneira implícita. Outro método é o hipotético-dedutivo, 
no qual uma teoria é proposta e testes são feitos para verificar se ela deve ser 
rejeitada ou não. No método dialético, as etapas são a tese, a antítese ou oposição 
à tese, e, em seguida, a síntese, que é o resultado final, englobando elementos 
tanto da tese quanto da antítese.Os diversos métodos científicos caracterizam-se 
por uma série de etapas. No método de Galileu, ou indução experimental, as etapas 
são as seguintes (DEMO, 2006): 
 observação do fenômeno; 
 análise dos elementos do fenômeno; 
 levantamento de hipóteses; 
 verificação das hipóteses pela realização de experimentos; 
 generalização dos resultados; 
 confirmação das hipóteses, obtendo leis gerais. 
Vamos ver como o método científico se aplica a um problema cotidiano. 
Como exemplo, vamos tomar o caso de uma sala onde uma lâmpada não acende. 
Primeiro, constatamos que o problema deve ser de natureza elétrica e pode ser 
resolvido. O passo seguinte é avaliar as variáveis relevantes: a lâmpada pode estar 
queimada, o disjuntor desarmado, o sistema pode estar desenergizado. Nessa 
etapa, as variáveis que não são ligadas ao problema devem ser descartadas, por 
exemplo, o fato de a porta do quarto estar aberta ou fechada não deve apresentar 
relação alguma com o problema. Fazemos então testes para verificar quais das 
variáveis levantadas são as causadoras do problema: verificamos se outro cômodo 
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51 
 
da casa está energizado, se a lâmpada funciona quando ligada em outro soquete ou 
se o disjuntor está desarmado. Com essa sequência de considerações, o problema 
pode ser resolvido de maneira mais eficiente. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 CARVALHO, M. C. M. Construindo o saber. 18. ed. Campinas: Papyrus, 2008. 
 DEMO, P. Introdução à metodologia da ciência. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2006. 
 MARCONI, M. A.; LAKATOS, E. M. Fundamentos de metodologia científica. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2009. 
 
3. Análise das alternativas 
 
A – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Não podemos iniciar a resolução do problema pela experimentação 
para confirmar quais variáveis são relevantes se não analisamos, antes, quais 
variáveis são significativas para o problema. 
 
B – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Nessa sequência, o primeiro passo está correto, ou seja, constatar 
a natureza sistemática do problema (etapa II do enunciado). No entanto, em 
seguida é indicado fazer testes para ver quais variáveis são realmente relevantes 
antes mesmo de analisar quais são, de fato, significativas. O procedimento pelo 
método científico seria o oposto. 
 
C – Alternativa correta. 
JUSTIFICATIVA. A primeira etapa do método científico é constatar a natureza 
sistemática do problema. Se isso não for satisfeito, não poderemos partir para as 
etapas seguintes. Essa etapa está representada no enunciado da questão como II. 
A segunda etapa é verificar quais variáveis são relevantes para o problema, e 
descartar as irrelevantes. Essa etapa está representada como III. De posse das 
variáveis relevantes, podemos partir para a experimentação, na qual cada uma das 
variáveis é testada para verificar qual a origem do problema. Essa é a etapa I 
indicada no enunciado. Realizadas as três etapas, podemos fazer as mudanças 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
52 
 
necessárias para solucionar o problema. A sequência correta, seguindo a 
metodologia científica, é, portanto, II, III e I. 
 
D – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. A constatação da natureza sistemática do problema é indicada 
como último procedimento, após a experimentação, enquanto que, pelo método 
científico, essa etapa deve ser a primeira a ser considerada. 
 
E – Alternativa incorreta. 
JUSTIFICATIVA. Novamente a experimentação é indicada como primeira etapa, 
antes mesmo da verificação da natureza sistemática do problema e da análise das 
variáveis significativas, enquanto o método científico indica o oposto. 
 
 
 
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53 
 
Questão 13 (MATEMÁTICA) 
Questão 13.13 
As duas figuras abaixo mostram uma representação da Terra iluminada pelo Sol. As 
duas figuras correspondem ao 1o dia do verão no hemisfério sul. A primeira foi 
obtida às 9h da manhã com relação ao meridiano de Greenwich (GMT – Greenwich 
Mean Time). A segunda imagem foi obtida três horas depois, ou seja, ao meio-dia 
(GMT). As imagens podem ser usadas para se determinar o horário do amanhecer e 
do pôr do sol em qualquer cidade do mundo. Nas figuras, foi introduzido um 
sistema de coordenadas cartesianas, no qual a linha do Equador é representada 
pelo eixo dos x (dado em graus) e o meridiano de Greenwich, pelo eixo dos y 
(também dado em graus), de modo que y=+90 no polo norte e y=−90 no polo sul. 
 
Considere que t seja o tempo, em horas, de modo que t = 0 corresponda ao meio-
dia (GMT). Escolha a opção que descreve um modelo mais preciso do deslocamento 
da curva que separa a área iluminada da região de sombra na Terra, no dia 
representado nas figuras. 
A. y = 75cos(x + 15 t) 
B. y = 75sen(x – 24 t) 
C. y = 75sen(x + 15 t) 
 
13Questão 13 – Enade 2008. 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
54 
 
D. y = 90cos(x + 24 t) 
E. y = 90sen(x – 24 t) 
 
1. Introdução teórica 
 
Iluminação solar. Funções periódicas. 
 
A Terra possui um eixo de rotação inclinado de 23,5o em relação ao plano de 
sua órbita, fazendo com que a iluminação solar sobre a superfície não ocorra de 
maneira igual para todas as latitudes. Para latitudes maiores que 66,5o (90o - 
23,5o), não temos incidência solar alguma durante o auge do inverno e temos dias 
com 24 horas de luz solar durante o auge do verão (figura 1). Esse fenômeno é 
notado em regiões próximas aos polos, como Antártida e regiões ao norte da 
América, Europa e Ásia. O fenômeno de períodos de insolação durante as 24 horas 
do dia é conhecido como "sol da meia noite", no qual o Sol se movimenta pelo céu, 
mesmo próximo do horizonte, mas nunca se põe. 
 
Figura 1. Iluminação sobre o globo terrestre. As latitudes -90o (polo sul), 0o (linha do equador) e 90o (polo norte) são 
indicadas. A latitude a partir da qual a região não recebe iluminação solar no inverno é indicada (90o > > 66,5o). 
 
Se tomarmos a região iluminada pelo Sol em um planisfério, veremos que a 
linha que divide a região iluminada, onde é dia, da região não iluminada, onde é 
noite, é uma função periódica. Funções periódicas são aquelas que se repetem após 
um dado intervalo. Seno e cosseno são funções periódicas de período , ou seja, 
se repetem após esse intervalo. As funções seno e cosseno diferem por uma fase 
de ângulo igual a rad ou 90° (figura 2). 
 Engenharia – Conteúdos Básicos – VOLUME ÚNICO - CQA/UNIP 
55 
 
 
Figura 2. Gráficos das funções e . 
 
As funções seno e cosseno possuem amplitude igual a (figura 2), ou seja, o 
gráfico da função está sempre restrita entre os valores e . 
Podemos variar a amplitude da função multiplicando-a por uma amplitude : 
 
Podemos também incluir uma fase : 
Nesse caso, o termo entre parênteses, ou seja, o argumento da função seno 
é um ângulo que foi acrescido da fase . Se invertermos o sinal para – na 
expressão, calcularemos o seno de diminuído da mesma fase. 
 
2. Indicações bibliográficas 
 
 HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Cálculo - funções de uma e de 
várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003. 
 LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica, 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
 OLIVEIRA FILHO, K. S.; SARAIVA, M. F. O. Insolação solar. Disponível em 
<http://astro.if.ufrgs.br/>. Acesso em 20 ago. 2010. 
 
3. Análise da questão 
 
Pelos dados da questão, concluímos o que segue. 
 A amplitude é um valor menor que 90o. 
 Para x=0°, y é diferente de 0°. 
-1
-0,8