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Retas em ℝ³ Equação vetorial Equações paramétricas Equações simétricas Equações reduzidas Plano - Definição Prof. Carlos Alberto Equação fundamental da reta r 𝜽 y2 y1 x2 x1 A x y P A equação fundamental da reta é dada por: m = tg 𝜃 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = m(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏) 2 𝒎 = 𝒕𝒈𝜽 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 Coeficiente angular da reta Se m = tg 𝜃 e 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 = m(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏) 𝒎 = 𝒕𝒈𝜽 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒐𝒖 𝒎 = 𝒚 − 𝒚𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 𝜽 y2 y1 x2 x1 A x y P Obs: 𝐴𝑃 = 𝑃 − 𝐴 é chamado de vetor diretor da reta. 3 Formulário: Coeficiente angular da reta: 𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) Equação reduzida da reta: 𝒚 = 𝒎. 𝒙 + 𝒃 Correção dos exercícios 1) A(1;1) e B(3;5) 𝑚 = 5 − 1 3 − 1 = 𝟒 𝟐 = 𝟐 𝑦 − 𝑦0 = m.(𝑥 − 𝑥0) 𝑦 − 1 = 2. 𝑥 − 1 𝑦 − 1 = 2𝑥 − 2 𝑦 = 2𝑥 − 2 + 1 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑦 = 2.0 − 1 𝒚 = −𝟏 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 2𝑥 − 1 2𝑥 = 1 𝒙 = 𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟓 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟐 = 𝟔𝟑, 𝟒𝟑° -1 0,5 x y 0 𝜃 = 63,43° 2) C(-1;4) e D(3;6) 𝑚 = 6−4 3− −1 𝑚 = 2 3+1 𝑚 = 1 2 = 0,5 𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝑦 − 4 = 0,5 𝑥 − −1 𝑦 − 4 = 0,5𝑥 + 0,5 𝑦 = 0,5𝑥 + 0,5 + 4 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟒, 𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = 𝟒, 𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 0,5𝑥 + 4,5 0,5𝑥 = −4,5 𝑥 = −4,5 0,5 𝒙 = −𝟗 -9 4,5 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° x y 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟎, 𝟓 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 3) E(-4;-6) e O(0;0) 𝑚 = 0 − −6 0 − −4 𝑚 = 6 4 = 1,5 𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝑦 − −6 = 1,5(𝑥 − −4 ) 𝑦 + 6 = 1,5 𝑥 + 4 𝑦 = −6 + 1,5𝑥 + 6 𝒚 = 𝟏, 𝟓𝒙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑦 = 1,5.0 𝒚 = 𝟎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 1,5𝑥 𝑥 = 0 1,5 𝒙 = 𝟎 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟏, 𝟓 ≅ 𝟓𝟑, 𝟑𝟏° (0;0) 𝟓𝟑, 𝟑𝟏° y x 4) F(-4;-3) e G(-1;-12) 𝑚 = −12 − −3 −1 − −4 = −12 + 3 −1 + 4 = −9 3 = −𝟑 𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝑦 − −3 = −3(𝑥 − −4 ) 𝑦 + 3 = −3(𝑥 + 4) 𝑦 = −3𝑥 − 12 − 3 𝒚 = −𝟑𝒙 − 𝟏𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑦 = −3.0 − 15 𝒚 = −𝟏𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = −3𝑥 − 15 − 3𝑥 = 15 𝑥 = 15 −3 𝒙 = −𝟓 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 −𝟑 ≅ −𝟕𝟏, 𝟓𝟕 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟕𝟏, 𝟓𝟕 = 𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟑° -15 -5 -71,57 𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟑° 0 y x 5) W(−1; −2) e X(−2; 1) 𝑚 = 1− −2 −2− −1 = 1+2 −2+1 = 3 −1 = −𝟑 𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝑦 − −2 = −3 𝑥 − −1 𝑦 + 2 = −3𝑥 − 3 𝑦 = −3𝑥 − 3 − 2 𝒚 = −𝟑𝒙 − 𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = −𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = −3𝑥 − 5 − 3𝑥 = 5 𝑥 = 5 −3 𝑥 = − 5 3 𝒙 ≅ −𝟏, 𝟔𝟔… 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 −𝟑 ≅ −𝟕𝟏, 𝟓𝟕 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟕𝟏, 𝟓𝟕 = 𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟑° -5 -1,66... 𝜽 = 𝟏𝟎𝟖, 𝟒𝟑° 0 y x 6) Y(5;-8) e Z(-7;-2) 𝑚 = −2 − −8 −7 − 5 𝑚 = −2 + 8 −12 𝑚 = 6 −12 = − 𝟏 𝟐 = −𝟎, 𝟓 𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝑦 − −8 = −0,5(𝑥 − 5) 𝑦 + 8 = −0,5𝑥 + 2,5 𝑦 = −0,5𝑥 + 2,5 − 8 𝒚 = −𝟎, 𝟓𝒙 − 𝟓, 𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = −0,5𝑥 − 5,5 0,5𝑥 = −5,5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = −𝟓, 𝟓 𝑥 = −5,5 0,5 𝒙 = −𝟏𝟏 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 −𝟎, 𝟓 = −𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° = 𝟏𝟓𝟑, 𝟒𝟑° -5,5 -11 0 y x 𝜽 = 𝟏𝟓𝟑, 𝟒𝟑° 7) P(3; −2) e Q(-5; −6) 𝑚 = −6 − −2 −5 − 3 𝑚 = −6 + 2 −8 𝑚 = −4 −8 = 𝟎, 𝟓 𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝑦 − −2 = 0,5(𝑥 − 3) 𝑦 + 2 = 0,5𝑥 − 1,5 𝑦 = 0,5𝑥 − 1,5 − 2 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝒙 − 𝟑, 𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = −𝟑, 𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 0,5𝑥 − 3,5 − 0,5𝑥 = −3,5 𝑥 = −3,5 −0,5 𝒙 = 𝟕 0 7 -3,5 x y 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟎, 𝟓 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 𝜽 ≅ 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° 𝜽 8) R(1,5 ; 2,5) e S(4,5 ; 4,0) 𝑚 = 4 − 2,5 4,5 − 1,5 𝑚 = 1,5 3 𝒎 = 𝟎, 𝟓 𝒚 − 𝒚𝟎 = m.(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝑦 − 2,5 = 0,5(𝑥 − 1,5) 𝑦 = 2,5 + 0,5𝑥 − 0,75 𝒚 = 𝟎, 𝟓𝒙 + 𝟏, 𝟕𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝒚 = 𝟏, 𝟕𝟓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 0 = 0,5𝑥 + 1,75 − 0,5𝑥 = 1,75 𝑥 = 1,75 −0,5 𝒙 = −𝟑, 𝟓 𝜽 = 𝒕𝒈−𝟏 𝟎, 𝟓 = 𝟐𝟔, 𝟓𝟕° y 1,75 -3,5 x 0 26,57° Introdução à Geometria Espacial • Conceitos Primitivos: são conceitos adotados sem definição. • Ponto: –Características de um ponto: • Não possui dimensão; • Sua representação geométrica é indicada por letra maiúscula. • Por um ponto passam infinitas retas. P • Reta: É um segmento unidimensional e tem comprimento infinito; • Sua representação geométrica é indicada por letra minúscula; • Em uma reta há infinitos pontos: r Geometria Espacial • Postulados ou Axiomas: São definições que relacionam conceitos primitivos e aceitamos sem demonstração. • Teoremas: Propriedades que podem ser justificadas com base nos postulados. • Postulado 1: Numa reta há infinitos pontos. • Postulado 2: Por dois pontos distintos passam uma única reta. Posições entre duas Retas • Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum. 𝒓 ∩ 𝒔 = 𝑷 P r s Retas paralelas • Paralelas: Duas retas são paralelas quando não têm ponto em comum e são coplanares. • Obs.: coplanares significa que pertencem ao mesmo plano. Posições entre duas Retas • Retas coincidentes: Duas retas são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum. r = s Notação: r // s Posições entre duas Retas • Retas reversas: Duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas. r s Diferença entre retas paralelas e reversas: Paralelas: não tem ponto em comum e são coplanares. Reversas: não tem ponto em comum e não são coplanares. Equação Vetorial da Reta • Seja a reta r aquela que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo 𝑣 , temos que 𝑃 ∈ 𝑟 se e somente se 𝐴𝑃 e 𝑣 forem paralelos. v P i j k A ,AP t v t R ,P A t v t R ,P A t v t R Equação Vetorial da reta • Equação Vetorial: Dados 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑎 , 𝑏, 𝑐 ) , temos que a equação vetorial da reta r: 𝑟: 𝑃 = 𝐴 + 𝑡𝑣 ∀𝑡 ∈ ℝ 𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 , ∀𝑡 ∈ ℝ Equações Paramétricas da Reta r • Da equação vetorial da reta r temos que: • Assim poderemos obter as equações paramétricas da reta r dadas por: 1 1 1: , , , , , , ,r x y z x y z t a b c t R 1 1 1 : , x x ta r y y tb t R z z tc Equação Simétrica • Sendo as equações paramétricas da reta r : – Assim, das equações acima, para 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 obtemos as equações simétricas: 𝑟: 𝑡 = 𝑥 − 𝑥1 𝑎 = 𝑦 − 𝑦1 𝑏 = 𝑧 − 𝑧1 𝑐 1 1 1 : , x x ta r y y tb t R z z tc Exemplo 01: Estabelecer a equação vetorial determinada pelo ponto 𝐴 = (1,−2,1) e pelo vetor 𝑣 = (3,1,4) 𝑷 = 𝟏 − 𝟐, 𝟏 + 𝒕(𝟑, 𝟏, 𝟒) Aplicando a solução acima teremos as equações paramétricas da reta r: 𝒙 = 𝟏 + 𝟑𝒕 𝒚 = −𝟐 + 𝒕 𝒛 = 𝟏 + 𝟒𝒕 ,P A t v t R Exemplo 02: Obtidas asequações vetoriais, obter também as equações simétricas determinada pelo ponto 𝐴 = (1,−2,1) e pelo vetor 𝑣 = (3,1,4) Equação vetorial: 𝑃 = 1,−2,1 + 𝑡(3,1,4) A equações Paramétricas são: 𝒙 = 𝟏 + 𝟑𝒕 𝒚 = −𝟐 + 𝒕 𝒛 = 𝟏 + 𝟒𝒕 As Equações simétricas são: 𝒕 = 𝒙 − 𝟏 𝟑 = 𝒚 + 𝟐 𝟏 = 𝒛 − 𝟏 𝟒 Exemplo 3: Dar as 3 formas a equação da reta que passa em A=(3,-4,10) na direção do vetor a) Equações vetoriais 𝑥 = 3 + 2𝑡 𝑦 = −4 + 4𝑡 𝑧 = 10 − 8𝑡 b) Equações paramétricas: 𝑥 − 3 = 2𝑡 𝑦 + 4 = 4𝑡 𝑧 − 10 = −8𝑡 2 4 8v i j k 1 1 1 : , x x ta r y y tb t R z z tc 1 1 1 : , x x ta r y y tb t R z z tc c) Equações simétricas: 𝑡 = 𝑥 − 3 2 = 𝑦 − 4 4 = 𝑧 − 10 −8 𝑜𝑢 𝑥 − 3 2 = 𝑦 − 4 4 = −𝑧 + 10 8 1 1 1: x x y y z z r a b c Exercícios: Obter as equações vetoriais, paramétricas e simétricas para: a)determinada pelos pontos A(2, 1,3) e B(3,0,–2) b)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) c)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta pontos A(5,–2,3); d)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor 𝑣 = (–2,0,–2); e)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor 𝑣 =(8,3,0); ,P A t v t R 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 Respostas a) Obter as equações vetoriais, paramétricas e simétricas determinada pelos pontos A(2, 1,3) e B(3,0,–2) Equação vetorial: (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟐, 𝟏, 𝟑 + 𝒕(𝟑, 𝟎, −𝟐) 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒕 𝒚 = 𝟏 + 𝟎. 𝒕 𝒚 = 𝟏 𝒛 = 𝟑 − 𝟐𝒕 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒕 = 𝒙 − 𝟐 𝟑 = 𝒛 − 𝟑 −𝟐 = 𝟑 − 𝒛 𝟐 ; 𝒚 = 𝟏 ,P A t v t R 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 Observação importante: Alguns matemáticos colocam a equação vetorial assim: Equação vetorial: 𝑷 = 𝟐, 𝟏, 𝟑 + 𝒕(𝟑, 𝟎, −𝟐) Outros matemáticos colocam a equação vetorial assim: 𝒙 = 𝟐 + 𝟑𝒕 𝒚 = 𝟏 + 𝟎𝒕 𝒚 = 𝟏 𝒛 = 𝟑 − 𝟐𝒕 neste exemplo: • Exemplo: A reta r que passa por A = (1,−1,4) e tem a direção de 𝑣 = (2,3,2) tem equação vetorial de acordo com: • r : (x,y,z) = (1,−1,4) + t(2,3,2) b) possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟏,−𝟐, 𝟑 = 𝒕 𝟐, 𝟎, 𝟏 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒕 𝒚 = −𝟐 + 𝟎𝒕 𝒚 = −𝟐 𝒛 = 𝟑 + 𝒕 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒕 = 𝒙 − 𝟏 𝟐 = 𝒛 − 𝟑 ; 𝒚 = −𝟐; ,P A t v t R 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 c) possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta pelos pontos A(5,–2,3) 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟏, 𝟓, −𝟐 + 𝒕(𝟓,−𝟐, 𝟑) 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒙 = 𝟏 + 𝟓𝒕 𝒚 = 𝟓 − 𝟐𝒕 𝒛 = −𝟐 + 𝟑𝒕 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒕 = 𝒙 − 𝟏 𝟓 = 𝒚 − 𝟓 −𝟐 = 𝟓 − 𝒚 𝟐 = 𝒛 + 𝟐 𝟑 ,P A t v t R 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 d) possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor 𝑣 = (–2,0,–2). 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: (𝒙, 𝒚, 𝒛) = −𝟔, 𝟕, 𝟗 + 𝒕(−𝟐, 𝟎, −𝟐) 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒙 = −𝟔 − 𝟐𝒕 𝒚 = 𝟕 + 𝟎. 𝒕 𝒚 = 𝟕 𝒛 = 𝟗 − 𝟐𝒕 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒕 = 𝒙 + 𝟔 −𝟐 = 𝟔 − 𝒙 𝟐 = 𝒛 − 𝟎 −𝟐 = − 𝒛 𝟐 ; 𝒚 = 𝟕 ,P A t v t R 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 e) possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor 𝑣 =(8,3,0). 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎, 𝟎, 𝟒 + 𝒕(𝟖, 𝟑, 𝟎) 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒙 = 𝟎 + 𝟖𝒕 𝒙 = 𝟖𝒕 𝒚 = 𝟎 + 𝟑𝒕 𝒚 = 𝟑𝒕 𝒛 = 𝟒 + 𝟎. 𝒕 𝒛 = 𝟒 𝑬𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔: 𝒕 = 𝒙 𝟖 = 𝒚 𝟑 ; 𝒛 = 𝟒 ,P A t v t R 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑐 ≠ 0 Equações reduzidas a partir das equações simétricas • Seja a reta r definida pelo ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e pelo vetor diretor 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) as equações simétricas da reta são: 𝑡 = 𝑥 − 𝑥1 𝑎 = 𝑦 − 𝑦1 𝑏 = 𝑧 − 𝑧1 𝑐 • Não tenha dúvidas, vamos obter as equações reduzidas: de y em função de x, e depois z em função de x • Vamos isolar as variáveis y e z e expressá-las em função de x: 𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒃 𝒂 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒛 = 𝒛𝟏 + 𝒄 𝒂 (𝒙 − 𝒙𝟏) • Estas duas últimas equações são chamadas equações reduzidas da reta. (pág. 82 da apostila) Equações reduzidas da reta • Ou seja, podemos expressar y e z em função da variável x, e assim constatamos que y e z podem ser da seguinte forma: y = mx + n e z = px + q • Deste modo, um ponto da reta pode ser encontrado usando P = (x, mx + n, px + q), em que 𝑚 = 𝑏 𝑎 𝑒 𝑛 = 𝑦1 − 𝑏 𝑎 𝑥1 𝑝 = 𝑐 𝑎 𝑒 𝑞 = 𝑧1 − 𝑐 𝑎 𝑥1 Vamos ver na prática... Exemplo: Seja a reta r definida pelo ponto A = (2,−4,−3) e pelo vetor diretor 𝑣 = (1,2,−3) e expressa pelas equações simétricas: Eq. Vetorial: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2,−4,−3 + 𝑡(1,2, −3) Equações paramétricas: 𝑥 = 2 + 𝑡 𝑦 = −4 + 2𝑡 𝑧 = −3 − 3𝑡 Equações simétricas: 𝑥 − 2 1 = 𝑦 + 4 2 = 𝑧 + 3 −3 Vamos igualar x e y e depois x e z e resolve: 𝑥 − 2 1 = 𝑦 + 4 2 𝑒 𝑥 − 2 1 = 𝑧 + 3 −3 𝑥 − 2 1 = 𝑦 + 4 2 𝑒 𝑥 − 2 1 = 𝑧 + 3 −3 Resolvendo x e y temos: 1 × 𝑦 + 4 = 2 × 𝑥 − 2 𝑦 + 4 = 2𝑥 − 4 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟖 Resolvendo x e z temos: 1 × 𝑧 + 3 = −3 × 𝑥 − 2 𝑧 + 3 = −3𝑥 + 6 𝒛 = −𝟑𝒙 + 𝟑 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟖 e 𝒛 = −𝟑𝒙 + 𝟑 • Desta forma, todos os pontos da reta obedecem a 𝑷 = 𝒙, 𝟐𝒙 − 𝟖,−𝟑𝒙 + 𝟑 , ∀𝒙 ∈ ℝ Atenção: Todas estas equações de reta definidas e ilustradas nos exemplos desta aula estão no espaço ( ℝ³). Plano - Definição Equação vetorial do Plano: • Da geometria Euclidiana, que para determinar um plano 𝜋 único precisamos conhecer pelo menos três pontos não colineares do plano. • Com esses três pontos, podemos determinar dois vetores paralelos ao plano 𝜋, que darão a direção do plano 𝜋, no espaço. • Euclides de Alexandria (em grego antigo: Εὐκλείδης Eukleidēs; fl. c. 300 AC), possivelmente grego. • Foi um matemático e escritor, muitas vezes referido "Pai da Geometria". • Além de sua principal obra, Os Elementos, Euclides também escreveu sobre perspectivas, secções cónicas, geometria esférica, teoria dos números em rigor. • A geometria euclidiana é caracterizada pelo espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico. Uma das centenas de papiros escrito por Euclides: • Vamos tomar um dos pontos em questão, por exemplo 𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 , e dois vetores quaisquer, por exemplo 𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝑒 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2), paralelos ao plano 𝜋. • Para que um ponto P( x, y, z ) qualquer, pertença ao plano 𝜋, é preciso que existam dois números reais h e t, tais que: 𝑨𝑷 = 𝒉. 𝒖 + 𝒕. 𝒗 𝒐𝒖 𝑷 = 𝑨 + 𝒉. 𝒖 + 𝒕. 𝒗 𝑣 𝑢 ℎ. 𝑢 𝑡. 𝑣 𝐴 𝑃 𝜋 Equações paramétricas do Plano • Da mesma forma que fizemos com as equações da reta, faremospara o plano: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ. 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + t. (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) • Pela condição de igualdade teremos: 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒉. 𝒂𝟏 + 𝒕. 𝒂𝟐 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒉. 𝒃𝟏 + 𝒕. 𝒃𝟐 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒉. 𝒄𝟏 + 𝒕. 𝒄𝟐 • são as equações paramétricas de um plano qualquer. 𝒄𝒐𝒎 𝒌, 𝒕 ∈ ℝ Aula que vem continuaremos com planos...
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