Calculo Diferencial e Integral I Unidade III

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2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Reitor 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
Gestão da Educação a Distância 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
Design Instrucional e Diagramação 
Diógenes Caxin 
Victor Rocha 
 
Coord. do Núcleo Pedagógico 
Prof.ª Ms. Terezinha Nunes Gomes Garcia 
Prof.ª Dr.ª Gleicione Aparecida Dias Bagne de Souza 
 
Revisão Ortográfica / Gramatical 
Erika de Paula Sousa 
 
 
 
 
 
 
4 
Autor 
 
Alessandro Ferreira Alves 
Doutor em Matemática Aplicada pela Faculdade de Engenharia 
Elétrica e Computação (FEEC) da Universidade Estadual de 
Campinas (UNICAMP-SP) no departamento de Telemática. 
Mestre em Matemática Pura pelo Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação (IMECC) da Universidade Estadual de 
Campinas (UNICAMP-SP). Possui Licenciatura Plena em 
Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU-MG). 
Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de 
Minas (UNIS-MG), desde o ano de 2001, como professor em 
diversos Cursos de Graduação, bem como cursos de pós-
graduação, nas Modalidades Presencial (GEP) e a Distância 
(GEaD). Além disso, é Coordenador do Curso de Licenciatura 
Plena em Matemática na Modalidade a Distância desde o 
segundo semestre de 2007, bem como já atuou como 
coordenador dos cursos de pós-graduação do UNIS-MG, tais 
como: MBA em Finanças Corporativas (GEDUP – 2007 e 2008), 
MBA em Gestão Empresarial (GeaD – 2008), Pós-graduação em 
Matemática Empresarial (GEP – 2004, 2005 e 2006) e Lato Sensu 
em Matemática e Ensino (GEDUP – 2002 e 2003). Atualmente, 
atua como professor titular de disciplinas em vários cursos de 
 
 
 
5 
nossa instituição, como, por exemplo, Engenharia Mecânica, 
Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, Física, 
Comércio Exterior, Sistemas de Informação e Ciência da 
Computação, relacionadas à Matemática, Estatística e 
Computação, bem como professor em diversos cursos da 
GEPÓS, (MBA em Finanças Corporativas e Gestão Bancária, 
MBA em Gestão Estratégica e Inteligência em Negócios, MBA 
em Gestão Empresarial, MBA em Logística Empresarial e Lato 
Sensu em Ensino de Matemática e Física). O professor 
Alessandro Ferreira Alves também é membro do CONSELHO 
UNIVERSITÁRIO (CONSUN) do Centro Universitário do Sul de 
Minas Gerais desde o ano de 2008, atuando como representante 
do quadro de coordenadores da instituição. De outra forma, 
atua com projetos de consultoria na área de Finanças, 
Estatística Aplicada a Mercado e Controle Estatístico de 
Processos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALVES, Alessandro Ferreira 
Guia de Estudo – Cálculo Diferencial Integral I – 
Alessandro Ferreira Alves. Varginha: GEaD-
UNIS/MG, 2012. 144p. 
 
1. Introdução ao cálculo diferencial e 
integral, limites e continuidade de funções de 
uma variável real. I. Título. 
 
 
 
 
7 
Sumário 
PRÉ-REQUISITOS 10 
UNIDADE 03 – Aplicações Envolvendo a Derivada 11 
Aspectos Introdutórios: A Derivada como Taxa de Variação 12 
2. Máximos e Mínimos de Funções 46 
4. Funções Crescentes e Decrescentes 68 
5. Critérios de Caracterização de Extremos de Funções 79 
6. Concavidade e Pontos de Inflexão 91 
7. Processo Sistemático para a Análise Geral do 105 
Comportamento de uma Função y = f(x) 105 
8. Problemas Diversos sobre Máximos e Mínimos 117 
9. Regra de L’ Hospital e Mínimos 135 
Resumo da Unidade 141 
Diretrizes para a Próxima Unidade 141 
Referências Bibliográficas 142 
Bibliografia Básica 143 
Bibliografia Complementar 143 
 
 
 
 
8 
META 
Nesta terceira unidade é de nosso interesse apresentar as 
aplicações envolvendo o conceito e interpretação das 
derivadas, já que em diversas áreas do conhecimento 
(matemática, física, engenharia etc.) encontramos diversas 
situações que devem ser resolvidas utilizando a derivada como 
taxa de variação. Além disso, estaremos discutindo uma série de 
resultados e procedimentos a fim de estudarmos o 
comportamento de funções mais complexas através da 
interpretação gráfica. De outra forma, apresentaremos uma 
série de resoluções de aplicações de problemas simulados 
utilizando os conceitos apresentados anteriormente. 
 
 
 
 
 
9 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
unidade, você seja capaz de: 
 
- compreender e aplicar a noção de derivada na resolução de 
problemas simulados nas áreas de matemática e física; 
 
- estar plenamente familiarizado com os principais conceitos e 
resultados envonvendo derivadas e taxas de variação; 
 
- estar plenamente familiarizado com problemas envolvendo 
máximos e mínimos; 
 
- estar plenamente familiarizado com os principais resultados 
para a análise do comportamento de funções mais complexas; 
 
- estar plenamente familiarizado com funções crescentes e 
decrescentes; 
 
 
 
10 
 
- caracterizar pontos de inflexão e extremos de funções; 
 
- compreender, relacionar e aplicar os principias resultados do 
cálculo diferencial de uma variável em situações do dia a dia; 
 
PRÉ-REQUISITOS 
Em verdade, para se ter um bom aproveitamento desta 
unidade, é importante você relembrar os tópicos discutidos nas 
duas primeiras unidades deste guia de estudos. 
 
 
 
 
 
11 
EMENTA 
Limites. Continuidade. Derivadas. Estudo da Variação das 
Funções. Máximos e Mínimos. A Integral Indefinida. A Integral 
Definida. Técnicas de Integração. 
 
UNIDADE 03 – Aplicações Envolvendo a 
Derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
Aspectos Introdutórios: A Derivada como 
Taxa de Variação 
 
 
 
 
13 
Já vimos na unidade 02 que a derivada na Física é de 
fundamental importância, por exemplo, porque a Aceleração 
nada mais é do que a derivada da velocidade com relação ao 
tempo t. Ou ainda, vimos que quando um corpo qualquer se 
move em linha reta de acordo com a equação do movimento s 
= s(t), então a sua velocidade é dada por v = s’(t), ou seja, a 
velocidade representa a variação do deslocamento por unidade 
de variação do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Importante 
 
 A derivada s’(t) pode ser interpretada como a taxa de 
variação da função s(t) por unidade de variação do tempo t. 
 
 A derivada v’(t) pode ser interpretada como a razão da 
variação da velocidade v(t) por unidade de variação t. 
 
 
 
14 
 
Figura 01: A derivada como taxa de variação. 
 
 Desta forma, já podemos perceber que toda derivada 
pode ser encarada como uma taxa de variação. Por exemplo, se 
considerarmos uma função y = f(x) , quando a variável 
independente x varia de x até x + 

x, a correspondente variação 
de y será 

y = f(x + 

x) – f(x). Logo, o quociente, 
 
 
 
 
x
y


 = 
x
xfxxf

 )()(
 
 
 
 
15 
Representa a taxa média de variação de y em relação a x. 
 Por outro lado, a derivada f ’(x), 
 
 
 
 
Representa a taxa instantânea de variação ou simplesmente 
taxa de variação de y em relação a x. 
 
 
 
 
 
 
 Vejamos alguns exemplos que ilustram a 
aplicabilidade envolvendo taxas de variação em diversas 
situações. 
 
f ’(x) = 
0
lim
x x
xfxxf

 )()(
 
Importante! A interpretação da derivada como uma razão de 
variação tem aplicações práticas nas mais diversas áreas do 
conhecimento.16 
Quando estudamos a Geometria de Euclides 
(Geometria Euclidiana), vemos que a área de um 
quadrado é função de seu lado. Desta forma, pede-
se: 
a) Calcular a taxa de variação média da área de um quadrado 
em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 metros. 
 
b) A taxa de variação da área em relação ao lado quando este 
mede 4 metros. 
 
Solução: Vamos considerar A a área do quadrado e l o seu lado. 
Desta forma, podemos escrever que A = l², ou seja, da geometria 
elementar sabemos que a área de um quadrado é o seu lado ao 
quadrado. Desta forma, temos que: 
 
a) A taxa média de variação média de A em relação a l 
 
 
 
17 
quando l varia de 2,5 a 3 metros é dada por: 
 
l
A


 = 
5,23
)5,2()3(

 AA
 = 
5,0
25,69 
= 
5,0
75,2
= 5,5 
 
b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada 
por: 
 
dl
dA
 = 
)( 2l
dl
d
= 2.l 
 
Logo, quando l = 4 metros, temos que: 
dl
dA
 = 2.(4) = 8, 
 
Ou seja, 
 
 
 
18 
 
)4(dl
dA
= 8 
 
Portanto, concluímos que quando l = 4 metros, a taxa 
de variação da área do quadrado será de 8 m² por variação 
de 1 metro no comprimento do lado. 
 
Vimos que a Derivada pode ser interpretada como 
uma inclinação e como uma taxa de variação. 
Desta forma, responda: 
 
a) Se a velocidade de um corpo ao tempo t segundos for 
medida em metros/segundo, quais são as unidades da 
aceleração? 
 
b) O custo C para construir uma casa de área A metros 
quadrados é dado pela função C = f(A). Qual é a 
interpretação prática da função f ’(A)? 
 
 
 
19 
 
c) O custo para extrair T toneladas de minério de uma mina 
de cobre é dado por C = f(T) reais. Qual é o significado de 
falarmos que f ’(2000) = 100? 
 
Solução: 
 
a) As unidades da aceleração, ou, como sabemos 
Aceleração = 
dt
dv
, são 
2)()).(( segundo
metros
segundosegundo
metros

, ou 
ainda, escrevemos metros/seg 2 . 
 
 
b) Temos que f ’(A) = 
dA
dC
, é um custo dividido por uma área, 
logo, é medido em reais por metro quadrado. Podemos 
pensar em dC como custo extra para construir dA metros 
quadrados a mais. Desta forma, 
dA
dC
 é o custo adicional 
por metro quadrado. Ou seja, se for de interesse o 
planejamento de se construir uma casa de mais ou 
 
 
 
20 
menos A metros quadrados de área, f ’(A) é o custo por 
metro quadrado de área extra , envolvida na construção 
de uma casa um pouco maior, chamamos de custo 
marginal. O custo marginal não é necessariamente o 
mesmo que o custo médio por metro quadrado para a 
casa toda, pois, uma vez que decidimos construir uma 
casa grande, o custo para acrescentar uns poucos metros 
quadrados poderia ser relativamente pequeno. 
 
 
c) Temos que f ’(2000) = 
dT
dC
2000T
. Como C é medido em 
reais e T em toneladas 
dT
dC ,
 deve ser medido em reais por 
tonelada. Desta forma, a declaração 
dT
dC
2000T
 = 100 diz 
que quando 2000 toneladas de minério tiverem sido 
extraídas da mina, o custo de extrair a tonelada seguinte é 
aproximadamente R$100,00. Outro modo de falarmos o 
mesmo, é que custa cerca de R$100,00 extrair a tonelada 
 
 
 
21 
número 2000 ou 2001. Note que isto pode ser bem 
diferente do custo para extrair a décima tonelada, que 
provavelmente será mais acessível. 
 
Consideremos a seguinte situação: A Cidade AFA é atingida 
por uma moléstia epidêmica. Os setores da secretaria de saúde 
da cidade AFA calculam que o número de pessoas atingidas 
pela moléstia depois de um tempo t (mensurado em dias a 
partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente 
caracterizado pela expressão: 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
 
 
f(t) = 64.t – 
3
3t 
 
 
 
 
22 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5 0 
dia? 
 
Solução: Neste caso, notemos, inicialmente, que a taxa com 
que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação da 
função f(t) em relação a t. Desta maneira, para um tempo t 
qualquer, essa taxa é caracterizada por: 
 
 
 
Logo: 
 
a) No tempo t = 4, temos que f ’(4) = 64 – (4)² = 64 – 16 = 48. 
Portanto, no tempo t = 4, a moléstia está se alastrando à 
razão de 48 pessoas por dia. 
 
b) No tempo t = 8, temos que f ’(8) = 64 – (8)² = 64 – 64 = 0. 
Portanto, no tempo t = 8, a moléstia está totalmente 
 
f '(t) = 64 – t² 
 
 
 
 
23 
controlada. 
 
c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1 0 dia de 
epidemia, o 5 0 dia corresponde à variação de t de 4 para 
5. O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 
5 0 dia será dado por: 
 
f(5) – f(4) = (64.5 – 
3
53
) – (64.4 – 
3
43
) 
f(5) – f(4) = 320 – 
3
125
 – 256 + 
3
64
 
f(5) – f(4) = 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação Importante sobre o Exemplo! 
No item (a) vimos que no tempo t = 4 (início do 5 0 dia), a 
epidemia se alastra a uma taxa de 48 pessoas por dia. 
No item (c) calculamos que durante o 5 0 dia 43 pessoas 
serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa 
de propagação da moléstia se modificou no decorrer do 
dia. 
 
 
 
24 
Analistas de produção verificaram que na 
montadora AFA, o número de peças produzidas nas 
primeiras t horas diárias de trabalho, é 
caracterizada pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
 
a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 
horas de trabalho? 
 
b) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 7 
horas de trabalho? 
 
c) Quantas peças serão produzidas na 8 a hora de trabalho? 
 
f(t) = 





84),1.(200
40),.(50 2
tparat
tparatt
 
 
 
 
 
25 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
a) A razão de produção após 3 horas de trabalho é dada por 
f ’(3). Notemos que na definição da função f(t) para t < 4 
segue que f ’(t) = 50.(2t + 1), ou seja, f ’(3) = 50.(2.(3) + 1) = 
350. Logo, após 3 horas de trabalho a razão de 
produção é de 350 peças por hora de trabalho. 
 
b) A razão de produção após 7 horas de trabalho é dada por 
f ’(7). Notemos que na definição da função f(t) para t > 4 
segue que f ’(t) = 200, ou seja, f ’(7) = 200. Logo, após 7 
horas de trabalho a razão de produção é de 200 peças 
por hora de trabalho. 
 
c) O número de peças produzidas 8 a hora de trabalho é 
dado por: 
 
f(8) – f(7) = 200.(8 + 1) – 200.(7 + 1) 
f(8) – f(7) = 200 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
Um reservatório de água em uma residência na cidade 
AFA está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água 
no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter iniciado 
é caracterizada pela expressão: 
 
 
 
Observação Importante sobre o Exemplo! 
Neste exemplo, o número de peças produzidas na 8 a hora de 
trabalho coincidiu com a razão de produção após 7 horas de 
trabalho. Tal fato ocorreu porque a razão de produção 
permaneceu constante durante o tempo considerado. 
 
V = 50.(80 – t)2 
 
 
 
 
27 
Pede-se: 
 
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório 
durante as 10 primeiras horas de escoamento. 
 
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 
horas de escoamento. 
 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras 
horas de escoamento. 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
a) A taxa de variação média do volume nas 10 primeiras horas é 
dada por: 
 
dt
dv
= 
10
)080.(50)1080.(50 22 = 
10
)8070.(50 22  = 
10
)150.(50 
= – 7500 
l/hora 
 
 
 
 
28 
b) A taxa de variação do volume de água num tempo qualquer 
é dada por: 
 
dt
dV
= 50.2(80 – t).(– 1) = – 100.(80 – t) 
 
No tempo, t = 8, temos que: 
 
)8(dt
dV
= – 100.(80 – 8) = (– 100).(72) = – 720 l/h 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras 
horas é dada por: 
 
V(0) – V(5) = 50.(80)² – 50.(75)² 
 
V(0) – V(5) = 38 750 litros 
 
 
 
 
 
 
29 
O período de tempo L, em horas de permanência de uma 
droga no sistema de uma pessoa é uma função da quantidade 
administrada, q, em MG. Desta forma, L = f(q). 
 
a) Interprete a afirmação f(10) = 6. Dê unidades para os 
números 10 e 6. 
 
b) Interprete a afirmação f ’ (10) = 0,5 em termos de dose e 
duração. 
 
Solução: 
 
a) Sabemos que f(q) = L. Na afirmação f(10) = 6, temos que q 
= 10 e L = 6, assim as unidades são 10 mg e 6 horas. A 
afirmação f(10) = 6 nos diz que uma dose de 10 mg dura 6 
horas. 
 
 
 
 
30 
b) A afirmação f ’(10) = 0,5 nos diz que, a uma dose de 10 
mg, a taxa de variação da duração é de 0,5 hora por MG. 
Em outras palavras, se aumentarmos a dose por 1 mg, a 
droga permanecerá no corpo aproximadamente por 30 
minutos mais. 
 
 O número de novas assinaturas de um jornal, y, em 
um mês é função da quantia, x, em reais, gasta em 
propaganda nesse mês. Desta maneira, y = f(x). 
 
a) Interprete as afirmações f(250) = 180 e f ’(250) = 2. 
 
b) Utilize as afirmações dadas na letra (a) para avaliar f(251) 
e f(260). Qual avaliação é mais confiável? 
 
Solução: 
 
 
a) A afirmação f(250) = 180 nos diz que y = 180 quando x = 250. 
Isto significa que se R$250,00 forem gastos por mês em 
 
 
 
31 
propaganda, resultarão 180 novas assinaturas num mês. 
Como a derivada é 
dx
dy
, a afirmação f ’(250) = 2 nos diz que 
dx
dy
 = 2 quando x = 250. 
 
 
b) A afirmação f(250) = 180 diz que, quando são gastos 
R$250,00 em propaganda há 180 novas assinaturas. A 
afirmação f ’(250) = 2 diz que o número de novas assinaturas 
aumenta a uma taxa de 2 assinaturas por real adicional 
gasto em propaganda. Se um real a mais for gasto em 
propaganda (e então x = 251), esperamos 2 novas 
assinaturas além das 180, portanto f(251) 

 180 + 2 = 182. 
Analogamente, se 10 reais a mais forem gastos em 
propaganda (e assim x = 260), esperaremos cerca de 10.(2) = 
20 novas assinaturas e f(260) 

 180 + 10.(2) = 200. Note que 
para avaliar f(260) temos que assumir que a taxa de 2 novas 
assinaturas para cada real adicional continua para todo o 
percurso de x = 250 a x = 260. Isto significa que a estimativa 
para f(251) é mais confiável. 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
Um quadrado de lado l está se expandindo 
segundo a equação l = 2 + t², onde a variável t 
representa o tempo. Determinar a taxa de variação 
da área desse quadrado no tempo t = 2. 
Solução: Vamos considerar A como sendo a área do quadrado. 
Logo, podemos escrever que: 
Área = (lado)² = l² 
 
Notando que de acordo com o enunciado l = (2 + t²). Desta 
maneira, sabemos que a taxa de variação da área em relação 
Informação Importante! Em muitas situações práticas a 
quantidade em estudo é caracterizada por uma função 
composta, ou seja, através da composição de funções. 
Nestas situações, para determinarmos a taxa de variação do 
contexto, devemos utilizar a Regra da Cadeia apresentada 
na unidade 02. 
 
 
 
33 
ao tempo, num tempo t qualquer, é caracterizada por 
dt
dA
. De 
acordo com os aspectos teóricos apresentados na unidade 02 
do guia de estudos, vimos o resultado envolvendo o cálculo da 
derivada de funções compostas, como apresentado mais uma 
vez abaixo. 
 
Teorema 02 (A Regra da Cadeia): Sejam f e g funções 
deriváveis e h a função composta definida por h(x) = (f

g)(x) = 
f(g(x)). Se u = g(x) é derivável no ponto x e se y = f(u) é derivável 
no ponto u = g(x), então a função composta h é derivável no 
ponto x e a sua derivada é dada por: 
 
 
 
 
 
h'(x) = (f

g)’(x) = [f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) 
 
 
 
34 
 
 
 
Desta forma, aplicando a Regra da Cadeia no exemplo em 
questão, vem que: 
 
dt
dA
 = 
dl
dA
.
dt
dl
= (2.l).(2.t) = 4.l.t = 4.(2 + t²).t 
 
No tempo t = 2, temos que: 
 
)2(dt
dA
= 4.(2 + 2²).(2) = 48 unid. área / unid. tempo 
 
Importante! O Teorema 02 nos diz que a derivada de uma função 
composta é igual a derivada da função de fora aplicada na função 
de dentro, vezes a derivada da função de fora. 
 
 
 
35 
O raio de uma circunferência cresce a razão de 21 
cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento 
da circunferência em relação ao tempo? 
 
Solução: Consideremos: 
 
r = raio da circunferência 
t = tempo 
l = comprimento da circunferência. 
 
Da Geometria, sabemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
l = 2.π.r 
 
 
 
 
36 
De acordo com o enunciado do problema (por hipótese), a taxa 
de crescimento de r em relação a t é dada por 
dt
dr
= 21 cm/s. 
Sendo assim, para encontrarmos a taxa de crescimento de l em 
relação a t, ou seja, para encontrarmos 
dt
dl
, devemos utilizar 
mais uma vez a Regra da Cadeia. Neste caso, temos que: 
 
dt
dl
 = 
dr
dl
.
dt
dr
= (2.π).
dt
dr
 = (2.π).(21) = 42.π cm/s 
 
 
Um ponto P(x,y) se move ao longo do gráfico da 
função y = 
x
1
. Se a abscissa varia à razão de 4 
unidades por segundo, qual é a taxa de variação da 
ordenada quando a abscissa é x = 
10
1
? 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
dt
dy
 = 
dx
dy
.
dt
dx
 
 
 
 
 
37 
Desta maneira, como x varia à razão de 4 unidades/segundo, 
dt
dx
= 4. Como y = 
x
1
, vem que 
dx
dy
= 
2
1
x

. 
 
Então, vem que: 
 
dt
dy
 = 
dx
dy
.
dt
dx
 
dt
dy
 = (
2
1
x

).(4) = 
2
4
x

 
Quando x = 
10
1
, obtemos: 
 
dt
dy
 = 
2)
10
1
(
4
 = – 4.(100) = – 400 
 
Portanto, concluímos que quando a abscissa do ponto P é x = 
10
1
 e está crescendo a uma taxa de 4 unidades/segundo, a 
ordenada decresce a uma razão de 400 unid./s. A Figura 02 
abaixo nos mostra a disposição geométrica do exemplo. 
 
 
 
38 
 
Figura 02: A interpretação da situação do exemplo. 
 
Acumula-se areia em um monte com forma de um 
cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o 
volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3 /h, a 
que razão aumenta a área da base quando a altura 
do monte é de 4 metros? 
 
Solução: Consideremos a Figura 03 abaixo, que nos mostra a 
disposição geométrica do cone em questão. 
 
 
 
39 
 
Figura 03: O cone do exemplo. 
 
Onde: 
 
V = volume de areia 
h = altura do monte 
r = raio da base 
A = área da base. 
Da Geometria Espacial, sabemos que: 
 
h 
r 
 
 
 
40 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
Por hipótese, temos que 
dt
dV
 = 10 m³/h e h = r. Substituindo h = r 
na expressão do volume, vem que: 
 
 
 
 
(I) A = π.r² 
 
 
(II) V = 
3
1
π.r².h 
 
 
(III) V = 
3
1
π.r³ 
 
 
 
 
41 
 
Queremos encontrar a taxa de variação 
dt
dA
 quando r = 4 metros. 
Derivando (I) com relação a t, vem que: 
 
dt
dA
 = 
dr
dA
.
dt
dr
 
 
dt
dA
 = (2πr). 
dt
dr
 
 
Notemos que necessitamos encontrar 
dt
dr
. Derivandoa 
expressão (III) em relação a t, vem que: 
dt
dV
 = 
dr
dV
.
dt
dr
 
 
dt
dA
 = (πr²). 
dt
dr
 
 
Como 
dt
dV
 = 10 m³/h, temos que: 
 
 
 
42 
dt
dr
 = 
2.
1
r
.(10) = 
2.
10
r
 
Portanto, 
 
dt
dA
 = (2πr). 
2.
10
r
= 
r
20
 
 
Quando r = h = 4 metros, 
dt
dA
 = 
4
20
 = 5. Logo, quando a altura do 
monte é de 4 metros, a área da base cresce a uma taxa de 5 
m²/h. 
 
Seja V centímetros cúbicos o volume de um cubo 
tendo uma aresta de a centímetros. Pede-se para 
encontrar a taxa de variação média do volume com 
relação a a quando este varia de: 
 
 
a) 3,00 a 3,20 
 
 
 
 
43 
b) 3,00 a 3,10 
 
c) 3,00 a 3,01 
 
d) Qual é a taxa de variação instantânea do volume em 
relação a a quando a = 3? 
 
 
Solução: Neste caso, temos que como o volume de um cubo é 
dado por 
 
 
 
 
Consideremos a função f definida por: 
 
 
 
 
V = a 3 
 
 
f(a) = a3 
 
 
 
 
44 
Desta forma, a taxa de variação média de V em relação a 
a quando este varia de a
1
 até a
1
+

a é dado por: 
 
 
 
 
 
Logo, temos que: 
 
a) a
1
 = 3, a
1
+

a = 3,2, i.e., 

a = 0,2, segue que: 
2,0
)3()2,3( ff 
 
= 
2,0
)3()2,3( 33 
 = 28,8 
 
b) a
1
 = 3, a
1
+

a = 3,10, i.e., 

a = 0,1, segue que: 
1,0
)3()1,3( ff 
 
= 
1,0
)3()1,3( 33 
 = 27,9 
 
c) a
1
 = 3, a
1
+

a = 3,01, i.e., 

a = 0,01, segue que: 
1,0
)3()01,3( ff 
 = 
01,0
)3()01,3( 33 
 = 27,1 
 
a
afaaf

 )()( 11
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 
d) A taxa de variação instantânea de V em relação a a em 3 
é f ’ (3), ou seja, f(a) = 3.a 2 e, portanto, f ’(3) = 27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No item (a) percebemos que, quando o comprimento da aresta 
do cubo varia de 3,00 a 3,20 cm, a variação do volume é de 5,77 
cm 3 e a taxa de variação média do volume é 28,8 cm 3 por 
centímetro de variação no comprimento da aresta. As 
interpretações para os itens (b) e (c) são análogas. 
 
Assim, quando o comprimento da aresta do cubo é 3 cm, a taxa de 
variação instantânea do volume é 27 cm 3 por centímetro de 
variação no comprimento da aresta. 
 
 
 
 
46 
2. Máximos e Mínimos de Funções 
 
 
 
 
47 
Nesta seção estaremos interessados no estudo envolvendo 
pontos de máximo e de mínimo de funções y = f(x). Para 
iniciarmos tal estudo, consideremos inicialmente o gráfico de 
uma função y = f(x) apresentado na Figura 04 abaixo, onde 
assinalamos alguns pontos no eixo das abscissas que serão 
objeto de estudo nesta Unidade. 
 
 
Figura 04: O gráfico de uma função y = f(x). 
 
 
 
 
 
 
48 
 Em verdade, os pontos assinalados anteriormente no 
gráfico da função apresentado na Figura 04 acima, são 
denominados de pontos extremos da função y = f(x). Os 
correspondentes valores de f(x
1
) e f(x
3
) são chamados 
máximos relativos e f(x
2
) e f(x
4
) são chamados mínimos 
relativos. Sendo assim, como o nosso ambiente de trabalho na 
unidade terá como alicerce tais pontos, vamos definir de 
maneira formal cada um deles como segue. 
 
 
Definição (Máximo Relativo ou Máximo Local): Uma função y 
= f(x) tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo 
aberto I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x

I

D(f), onde 
D(f) representa o domínio da função f(x). 
 
 
Definição (Mínimo Relativo ou Mínimo Local): Uma função y = 
f(x) tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto 
I, contendo c, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x

I

D(f), onde D(f) 
representa o domínio da função f(x). 
 
 
 
49 
Figura 05: Valores extremos de uma função. 
 
Vejamos o gráfico da função f(x) = 1 – x² mostrado 
na Figura 06, abaixo. Podemos notar que o ponto x 
= 0 é um ponto de máximo relativo da função f(x) 
= 1 – x², sendo que o máximo relativo de f é dado 
por f(0) = 1. 
 
 
 
50 
 
Figura 06: O gráfico da função y = 1 – x². 
 
 
 
 
 
 
51 
Vejamos o gráfico da função f(x) = |x| mostrado na 
Figura 07 abaixo. Podemos notar que o ponto x = 0 
é um ponto de mínimo local da função f(x) = |x|, 
sendo que o mínimo local de f é dado por f(0) = 0. 
 
 
 
Figura 07: O gráfico da função y = 1 – x². 
 
 
 
52 
O ponto x = 
2

 é um ponto de máximo local de f(x) = senx 
como podemos visualizar na Figura 08 abaixo. Sendo 
que o máximo local de f é dado por f(
2

) = sen(
2

) = 1. 
 
 
Figura 08: O gráfico da função y = senx. 
 
π/2 
 
 1 
 
 
 
53 
A função f(x) = 3x 4 – 12x² tem um máximo relativo 
em c
1
 = 0, pois existe o intervalo aberto (– 2, 2), tal 
que f(0) ≥ f(x0 para todo x

(– 2, 2). Além disso, em 
em c
2
= – 
2
 e c
3
= 
2
, a função dada tem mínimos 
relativos, pois f(– 
2
) ≤ f(x) para todo x

(– 2, 0) e f(
2
) ≤ f(x) para todo x

(0, 2). A Figura 09 abaixo nos 
mostra esta disposição geométrica. 
 
 
 
Figura 09: O gráfico da função f(x) = 3x4 – 12x² . 
 
 
 
54 
Na Figura 10 abaixo apresentamos o gráfico da 
função polinomial (polinômio de grau 4) f(x) = x 4 – 
4x 3 – 13x 2 + 28x + 60. Vamos analisar a existência 
de pontos extremos da função f(x). 
 
 
 
Figura 10: O gráfico da função f(x) = x4 – 4x3 – 13x2 + 28x + 60. 
 
 
Salientamos que o gráfico de uma função é uma 
ferramenta muito relevante para caracterizarmos pontos 
 
 
 
55 
extremos da função. Todavia, podemos ficar diante da situação 
de poder apresentar somente uma estimativa para os valores de 
máximo e de mínimo da função em questão. Por exemplo, ao 
observarmos o gráfico apresentado na Figura 10 acima, é 
coerente afirmarmos que estamos diante de dois pontos de 
mínimos relativos situados em x = – 2 e x 

4,2 e um ponto de 
máximo em x = 0,8. 
Mais adiante, vocês estudarão alguns métodos de cálculo 
numérico que possam melhorar a aproximação destes valores, 
especificamente falando na disciplina de Cálculo Numérico. A 
proposição seguinte nos permite encontrar com precisão os 
possíveis pontos extremos de uma função y = f(x). 
 
Proposição 01: Suponhamos que f(x) existe para todos os 
valores de x

(a, b) e que f tem um extremo relativo em c, onde 
a < c < b. Se a derivada f ’(c) existe, então f ’(c) = 0. 
 
 
 
 
56 
 
 
 
 
 
 
Da proposição, podemos concluir que, quando f ’(c) 
existe, a condição f ’(c) = 0 é necessária para a existência de 
um extremo relativo em c. Esta condição não é suficiente, isto 
é, se f ’(c) = 0, a função pde ter ou não um ponto extremo 
relativo no ponto c. 
Na Figura 11, abaixo, apresentamos algumas 
interpretações acerca da existência ou não de pontos extremos 
de y = f(x) em x = c. 
 
 
 
A Proposição 01 pode ser interpretada geometricamente 
como segue. Se f(x) tem um extremo relativo em c e se f ’(c) 
existe, então o gráfico de y = f(x) tem uma reta tangente 
horizontal no ponto x = c. 
 
 
 
57 
 
Figura 11: Existência ou não de pontos extremos de y = f(x). 
 
Definição (Ponto Crítico): O ponto c

D(f) tal que f ’(c) = 0 ou f 
’(c) não existe é denominado de ponto crítico de f. 
 
De outra forma, um fato importante que devemos 
ressaltar, é que é interessante verificarmos que uma função 
definida num dado intervalo I pode admitir diversos pontos 
extremos relativos. O maior valor da função num intervaloé 
denominado máximo absoluto da função nesse intervalo. 
Similarmente, o menor valor é denominado mínimo absoluto. 
 
 
 
58 
 
Figura 12: Pontos extremos absolutos. 
 
A função do primeiro grau f(x) = 3x tem um mínimo 
absoluto igual a 3 no intervalo I = [1, 3). Não existe 
um máximo absoluto em I = [1, 3). 
 
A função f(x) = – x² + 2 possui um máximo absoluto 
igual a 2 no intervalo I = (– 3, 2). Além disso, 
podemos dizer que – 7 é um mínimo absoluto em I 
= (– 3, 2). 
 
• Máximo Absoluto 
É o menor valor da função no 
intervalo considerado. 
• Mínimo Absoluto 
 
 
 
59 
Proposição 02: Seja f: [a, b] 

 uma função contínua definida 
em um intervalo fechado I = [a, b]. Então, f assume máximo e 
mínimo absotuto em I = [a, b]. 
 
 Quando o intervalo I em questão não for especificado, 
devemos utilizar as definições que seguem. 
 
Definição (Máximo Absoluto): Dizemos que f(c) é o máximo 
absoluto da função f(x), se c

D(f) e f(c) ≥ f(x) para todo os 
valores de x no domínio da função f(x). 
 
Definição (Mínimo Absoluto): Dizemos que f(c) é o mínimo 
absoluto da função f(x), se c

D(f) e f(c) ≤ f(x) para todos os 
valores de x no domínio da função f(x). 
 
A função f(x) = x² + 6x – 3 possui um mínimo 
absoluto igual a – 12 em c = – 3, já que f(– 3) = – 12 
≤ f(x) para todos os valores de x

 D(f). A Figura 13 
nos mostra a disposição geométrica do exemplo. 
 
 
 
60 
 
Figura 13: A interpretação do exemplo. 
 
A função f(x) = – x² + 6x – 3 possui um máximo 
absoluto igual a 6 em c = 3, já que f(3) = 6 ≥ f(x) 
para todos os valores de x

 D(f). A Figura 14 nos 
mostra a disposição geométrica do exemplo. 
 
 
 
 
61 
 
Figura 14: A interpretação do exemplo. 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
 
 
63 
 Aqui estaremos apresentando dois dos resultados 
mais importantes do Cálculo Diferencial e Integral de uma 
variável, que são o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor 
Médio. Para detalhes com relação às demonstrações dos 
mesmos, você pode encontrar em qualquer uma das 
referências colocadas no final desta unidade. 
 
 
Figura 15: Dois importantes resultados do Cálculo Diferencial e Integral. 
 
 
 
Resultados Fundamentais do 
Cálculo Diferencial 
Teorema 
de Rolle 
Teorema 
do Valor 
Médio 
 
 
 
64 
Teorema de Rolle: Seja f uma função definida e contínua em [a, 
b] e derivável em (a, b). Se f(a) = f(b) = 0. Então, existe pelo 
menos um ponto c entre a e b tal que f ’(c) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nas Figuras 16 e 17, abaixo, mostramos a disposição 
geométrica de funções em que o Teorema de Rolle é válido. 
 
 
 
Salientamos que, com as mesmas 
hipóteses, o Teorema de Rolle pode ser 
estendido para funções tais que f(a) = 
f(b) ≠ 0. 
 
 
 
 
65 
 
Figura 16: Funções que o Teorema de Rolle é válido. 
 
 
 
 
Figura 17: Funções que o Teorema de Rolle é válido. 
 
 
 
66 
Teorema do Valor Médio: Seja f uma função definida e contínua 
em [a, b] e derivável em (a, b). Então, existe um número c no 
intervalo (a, b) de tal forma que f ’(c) =
ab
afbf

 )()(
. 
 
 
Figura 18: Interpretação geométrica do Teorema do Valor Médio. 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometricamente falando, o Teorema do Valor Médio 
estabelece que, se a função y = f(x) é contínua em [a, b] e 
derivável em (a, b), então, existe pelo menos um ponto c 
entre a e b onde a tangente à curva é paralela à corda 
que une os pontos P(a, f(a)) e Q(b, f(b)), como mostrado 
na Figura 16 acima. 
 
 
 
 
68 
4. Funções Crescentes e Decrescentes 
 
 
 
 
69 
 Aqui, estaremos interessados em discutir o 
crescimento e decrescimento de funções em determinados 
intervalos, ou seja, discutiremos sobre funções crescentes e 
funções decrescentes. 
 
Figura 19: Funções Monótonas. 
 
 
Funções Monótonas 
Decrescentes 
Crescentes 
 
 
 
70 
Definição (Função Crescente): Dizemos que uma função f, 
definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se, para 
quaisquer x
1
, x
2

I, x
1
 < x
2
, temos que f(x
1
) ≤ f(x
2
). 
 
Figura 20: Exemplo de uma função crescente. 
 
 
 
Definição (Função Decrescente): Dizemos que uma função f, 
definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se para 
quaisquer x
1
, x
2

I, x
1
 < x
2
, temos que f(x
1
) ≥ f(x
2
). 
 
 
 
71 
 
Figura 21: Exemplo de uma função decrescente. 
 
 
Definição (Função Monótona): Se uma função f é crescente ou 
decrescente num intervalo I, dizemos que f é monótona neste 
intervalo. 
 
 
 
 
Se analisarmos geometricamente o sinal da derivada de 
função f(x), podemos determinar os intervalos onde a função 
derivável f(x) é crescente ou decrescente. Para tal, basta 
analisarmos o resultado abaixo. 
 
 
 
 
72 
Proposição 03: Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável 
no intervalo (a, b). Desta forma, temos que: 
 
i) Se f ’(x) > 0 para todo x

(a, b) então f é crescente em 
[a, b]. 
 
ii) Se f ’(x) < 0 para todo x

(a, b) então f é decrescente 
em [a, b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos determinar os intervalos nos quais a função 
f(x) = x³ + 1 é crescente ou decrescente. 
 
Solução: Vamos derivar inicialmente a função f(x), ou seja, 
vamos encontrar a derivada f ’(x) e analisar quais os números x 
Observação importante referente à Proposição 03! Devemos 
salientar que a hipótese de continuidade de f no intervalo 
fechado [a, b] na Proposição 03, acima, é de fundamental 
importância. Para verificarmos tal fato, por exemplo, 
consideremos a função: 
f: [0, 1]

 
f(x) = 





1,1
10,1
xpara
xparax 
 
Temos que f ’(x) = 1 > 0 para todo x

(0, 1) e, no entanto, temos 
que f não é crescente no intervalo [0, 1]. Além disso, podemos 
perceber que a Proposição 03 não pode ser aplicada porque f(x) 
não é contínua no ponto x = 1. 
 
 
 
74 
tais que f ’(x) > 0 e quais os números x tais que f ’(x) < 0. Temos 
que: 
f ’(x) = 3.x² 
Como 3.x² é maior que zero para todo x ≠ 0, concluímos que a 
função f(x) = x³ + 1 é sempre crescente. A Figura 22, abaixo, nos 
mostra a disposição geométrica deste exemplo. 
 
 
Figura 22: A disposição geométrica do exemplo. 
 
 
 
 
75 
 Vamos determinar os intervalos nos quais a função 
f(x) = x² – x + 5 é crescente ou decrescente. 
 
Solução: Vamos derivar inicialmente a função f(x), ou seja, 
vamos encontrar a derivada f ’(x) e analisar quais os números x 
tais que f ’(x) > 0 e quais os números x tais que f ’(x) < 0. Temos 
que: 
f ’(x) = 2x – 1 
Então, para 2x – 1 > 0 ou x > ½ temos que f(x) é crescente. Para 
2x – 1 < 0, ou seja, x < ½ a função f(x) é decrescente. A Figura 
23, abaixo, nos mostra a disposição geométrica deste exemplo. 
 
 
 
76 
 
Figura 23: A disposição geométrica do exemplo. 
 
 
 Vamos determinar os intervalos para os quais a 
função definida por dupla sentença f(x) = 





1,1
1,42 2
xsex
xsex
 é crescente ou decrescente. 
 
 
 
 
77 
Solução: Inicialmente, vamos averiguar o gráfico da função f(x) 
na Figura 24, abaixo. 
 
Figura 24: A disposição geométrica do exemplo. 
 
Desta forma, podemos perceber que: 
 
 Para x < 1: Neste caso,observemos que f ’(x) = 4x. Desta 
maneira, temos que 4x > 0 para x

(0, 1), ou seja, a 
função é crescente no intervalo (0, 1). E 4x < 0 para x

( 
 
 
 
78 
– ∞ , 0), ou seja, a função é decrescente no intervalo ( – ∞ 
, 0). 
 
 Para x > 1: Neste caso, temos que f ’(x) = – 1 . Desta 
maneira, concluímos que f ’(x) < 0 para todo x

(1, + ∞), 
ou seja, a função é decrescente no intervalo (1, + ∞). 
 
 
 
 
 
Portanto, podemos concluir que f é crescente no intervalo [0, 
1] e decrescente em ( – ∞ , 0]

 [1, + ∞). 
 
 
 
 
79 
5. Critérios de Caracterização de 
Extremos de Funções 
 
 
 
 
 
80 
 Nesta seção, estaremos interessados em apresentar 
e aplicar na resolução de problemas simulados teoremas que 
estabelecem critérios para que possamos determinar os 
extremos de uma função y = f(x). 
 
Teorema (Critério da Derivada Primeira para Determinação 
de Extremos de uma função): Seja f uma função contínua num 
intervalo fechado [a, b] que possui derivada em todo o ponto do 
intervalo aberto (a, b), exceto possivelmente num ponto c. 
 
i) Se f ’(x) > 0 para todo x < c e f ’(x) < 0 para todo x > c, 
então f tem um máximo relativo em c. 
 
ii) Se f ’(x) < 0 para todo x < c e f ’(x) > 0 para todo x > c, 
então f tem um mínimo relativo em c. 
 
 
 A Figura 25, abaixo, nos mostra geometricamente 
algumas situações envolvendo o Teorema acima, ou seja, 
envolvendo o Critério da Derivada Primeira para 
Determinação de Extremos. 
 
 
 
81 
 
 
 
Figura 25: Algumas possibilidades do teorema. 
 
Vamos determinar os intervalos de crescimento, 
decrescimento e os máximos e mínimos relativos 
da função f(x) = x³ – 7x + 6. 
 
Solução: Temos que: 
f '(x) = 3.x² – 7 
Para todo x, fazendo f’(x) = 0, vem que: 
f '(x) = 3.x² – 7 = 0 
3.x² – 7 = 0 
 
 
 
82 
3.x² = 7 
x = 
3
7

 
Portanto, concluímos que os pontos críticos da função f são 
3
7

e 
3
7

 . 
Desta forma, temos que: 
 
 Para x < 
3
7

, temos que f ’(x) é positiva, ou seja, f ’(x) > 
0. Aplicando a Proposição 03, concluímos que f(x) é 
crescente em (– ∞, 
3
7

). 
 Para 
3
7

< x < 
3
7

, f ’(x) é negativa, ou seja, f ’(x) < 0. 
Então f(x) é decrescente em (
3
7

,
3
7

). 
 Para x > 
3
7

 temos que f ’(x) é positiva, ou seja, f ’(x) > 0. 
Então f(x) é crescente em (
3
7

, + ∞). 
 
 
 
 
83 
Portanto, pelo Teorema (Critério da Derivada Primeira para 
Determinação de Extremos), concluímos que f tem um 
máximo relativo em 
3
7

 e f tem um mínimo relativo em 
3
7

. 
A Figura 26, abaixo, nos mostra a disposição geométrica do 
exemplo. 
 
 
Figura 26: A disposição geométrica do exemplo. 
 
 
 
 
84 
 
 Vamos determinar os intervalos de crescimento, 
decrescimento e os máximos e mínimos relativos 
da função f(x) = 








5,
)7.(2
1
5,3)2( 2
xse
x
xsex . 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
Para x < 5, temos que f ’(x) = 2.(x – 2) e se x > 5, temos que f ’(x) 
= 
2
1
. Além disso, f
'

(5) = 
2
1
 e f
'

 (5) = 6. Logo, concluímos que f 
’(5) não existe e então 5 é um ponto crítico de f. 
 
O ponto x = 2 também é um ponto crítico , pois f ’(2) = 0. 
 
Se x < 2, f ’(x) é negativa, ou seja, f ’(x) < 0. Então, pela 
Proposição 03, f(x) é decrescente em ( – ∞, 2]. 
 
Se 2 < x < 5, f ’(x) é positiva, ou seja, f ’(x) > 0. Então, f(x) é 
crescente em [2, 5]). 
 
 
 
85 
 
Para x > 5, f ’(x) é positiva, ou seja, f ’(x) > 0. Então f(x) é 
crescente em [5, + ∞). 
 
Desta forma, pelo Teorema (Critério da Derivada Primeira para 
Determinação de Extremos), concluímos que f tem um 
mínimo relativo em x = 2. 
A Figura 27, abaixo, nos mostra a disposição geométrica do 
exemplo. 
 
 
Figura 27: A disposição geométrica do exemplo. 
 
 
 
 
86 
 Teorema (Critério da Derivada Segunda para Determinação 
de Extremos de uma função): Sejam f uma função derivável no 
intervalo aberto (a, b) e c um ponto crítico de f nesse intervalo, 
isto é, f ’(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f ’’ em (a, 
b), temos: 
 
i) Se f ’’(c) < 0, então f tem um valor máximo relativo 
em c. 
 
ii) Se f ’’(c) > 0, então f tem um valor mínimo relativo em 
c. 
 
 
 
Vamos determinar os máximos e os mínimos 
relativos da função f(x) = 18x + 3x² – 4x³ utilizando o 
critério da derivada segunda. 
 
Solução: Temos que: 
f '(x) = 18 + 6x – 12.x² 
 
 
 
87 
e 
f '’(x) = 6 – 24.x 
Fazendo f ’(x) = 0, vem que: 
18 + 6x – 12.x² = 0 
Resolvendo esta equação do segundo grau encontramos os 
pontos críticos da função f, que são: 
2
3
 e – 1. 
Como f ’’(
2
3
) = – 30 < 0, f tem um valor máximo relativo em 
2
3
. 
Como f ’’(– 1) = 30 > 0, f tem um valor mínimo relativo em – 1. 
 
 
 Vamos determinar os máximos e os mínimos 
relativos da função f(x) = x.(x – 1)² utilizando o 
critério da derivada segunda. 
 
Solução: Temos que: 
f '(x) = x.2.(x – 1) + (x – 1)².(1) = 3.x² – 4x + 1 
e 
 
 
 
88 
f '’(x) = 6x – 4 
Fazendo f ’(x) = 0, vem que: 
3.x² – 4x + 1= 0 
Resolvendo esta equação do segundo grau encontramos os 
pontos críticos da função f, que são: 1 e 
3
1
. 
Como f ’’(1) = 2 > 0, f tem um valor mínimo relativo em 1. 
Como f ’’(
3
1
) = – 2 < 0, f tem um valor máximo relativo em 
3
1
. 
 
Vamos determinar os máximos e os mínimos 
relativos da função f(x) = 6x – 3x² + 
2
1
x³ utilizando o 
critério da derivada segunda. 
 
Solução: Temos que: 
f '(x) = 6 – 6x + 
2
3
x² 
e 
f '’(x) = 3x – 6 
 
 
 
89 
Fazendo f ’(x) = 0, vem que: 
6 – 6x + 
2
3
x² = 0 
Resolvendo esta equação do segundo grau encontramos os 
pontos críticos da função f, que neste caso é apenas o valor x = 
2. 
Como f ’’(2) = 0, nada podemos afirmar com auxílio do 
Teorema (Critério da Derivada Segunda para Determinação 
de Extremos de uma função). 
 
 
 
 
Observação importante referente ao exemplo! Usando o 
critério da derivada primeira ou a visualização do gráfico da 
função f(x) = 6x – 3x² + 
2
1
x³ na Figura 28, abaixo, podemos 
concluir que a função dada é sempre crescente. Portanto, não 
existem máximos nem mínimos relativos. Em verdade, com a 
teoria que será apresentada a seguir, iremos constatar que (2, 
4) é um ponto de inflexão. 
 
 
 
 
90 
 
Figura 28: A disposição geométrica do exemplo. 
 
 
 
 
91 
6. Concavidade e Pontos de Inflexão 
 
 
 
 
 
92 
Já ouvimos a palavra concavidade quando estudamos uma 
função do segundo grau, onde caracterizamos que a parábola 
tem concavidade para cima ou a parábola tem concavidade 
para baixo. Salientamos que o conceito de concavidade é 
muito útil quando desejamos esboçar o gráfico de uma função y 
= f(x). Para introduzirmos o conceito de concavidade, 
inicialmente, vamos olhar para a Figura 29, abaixo. 
 
 
Figura 29: Introduzindo o conceito de concavidade para cima. 
 
 
 
 
93 
Na Figura 29 (a) podemos notar que dado um ponto 
qualquer c entre a e b, em pontos próximos de c o gráfico de f 
está acima da reta tangente à curva no ponto P(c, f(c)). Dizemos 
que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo 
(a, b). 
Como f’(x) representa a inclinação da reta tangente à 
curva, observamos na Figura 29 (b) que podemos descreveressa mesma situação afirmando que no intervalo (a, b) a 
derivada f’(x) é crescente. Em termos geométricos, isso quer 
dizer que a reta tangente gira no sentido anti-horário à 
medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a 
direita. 
Similarmente, a Figura 30 (a), abaixo, descreve uma 
função que tem concavidade voltada para baixo no intervalo 
(a, b). Na Figura 30 (b) vemos que a tangente gira no sentido 
horário quando nos deslocamos sobre a curva da esquerda 
para a direita. A derivada f’(x) é decrescente no intervalo (a, b). 
 
 
 
94 
 
Figura 30: Introduzindo o conceito de concavidade para baixo. 
 
Sendo assim, temos as seguintes definições acerca da 
concavidade de uma função y = f(x): 
 
Definição (Função Côncava para Cima): Uma função f é dita 
côncava para cima no intervalo (a, b), se f’(x) é crescente 
neste intervalo. 
 
 
 
 
95 
Definição (Função Côncava para Baixo): Uma função f é dita 
côncava para baixo no intervalo (a, b), se f’(x) é decrescente 
neste intervalo. 
 
 
 
 
 
 
Proposição 04: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e 
derivável até 2 a ordem no intervalo (a, b). Desta forma, temos 
que: 
i) Se f ’’(x) > 0 para todo x

(a, b) então f é côncava 
para cima em (a, b). 
 
Importante! Reconhecer os intervalos onde uma curva 
tem concavidade voltada para cima ou para baixo, 
auxilia muito no traçado de seu gráfico. Isto será feito a 
partir do momento que analisarmos o sinal da derivada 
f’’(x). 
 
 
 
96 
ii) Se f ’’(x) < 0 para todo x

(a, b) então f é côncava 
para baixo em (a, b). 
 
Salientamos que podem existir pontos no gráfico de uma 
função y = f(x) em que a concavidade muda de sentido. Esses 
pontos são chamados pontos de inflexão. A definição formal de 
tais pontos é apresentada abaixo. 
 
Definição (Ponto de Inflexão): Um ponto P(c, f(c)) do gráfico de 
uma função y = f(x) é denominado ponto de inflexão, se existe 
um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das seguintes 
situações ocorra: 
i) f é côncava para cima em (a, c) e côncava para 
baixo em (c, b). 
ii) f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para 
cima em (c, b). 
 
 
 
97 
Na Figura 31 abaixo, os pontos de abscissa c
1
, c
2
, c
3
 e c
4
 são 
pontos de inflexão. Devemos ressaltar que c
2
e c
3
são pontos 
de extremos de f(x) e que f(x) não é derivável nestes pontos . 
Nos pontos c
1
 e c
4
, existem as derivadas f’(c
1
) e f’(c
4
). Nos 
correspondentes (c
1
, f(c
1
)) e (c
4
, f(c
4
)), a reta tangente corta o 
gráfico de f(x). 
 
Figura 31: Interpretação geométrica dos pontos de inflexão. 
 
Vamos determinar os pontos de inflexão e 
reconhecer os intervalos onde a função f(x) = (x – 
 
 
 
98 
1)³ tem concavidade voltada para cima ou para 
baixo. 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '(x) = 3.(x – 1)² 
e 
f ’’(x) = 6.(x – 1) 
 
Fazendo f’’(x) > 0, temos que: 
6.(x – 1) > 0 
x – 1 > 0 
x > 1 
Portanto, concluímos que no intervalo (1, +∞), f’’(x) > 0. 
Similarmente, no intervalo (–∞, 1), f’’(x) < 0. Pela Proposição 04 f 
é côncava para baixo no intervalo (–∞, 1) e no intervalo (1, +∞) 
 
 
 
99 
é côncava para cima. A representação do gráfico da função f(x) 
= (x – 1)³ é mostrada na Figura 32, abaixo. 
 
Figura 32: O gráfico da função f(x) = (x – 1)³. 
 
 
 
 
 
100 
 Vamos determinar os pontos de inflexão e 
reconhecer os intervalos onde a função f(x) = x 4 – 
x² tem concavidade voltada para cima ou para 
baixo. 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '(x) = 4.x³ – 2x 
e 
f ’’(x) = 12x² – 2 
 
Fazendo f’’(x) > 0, temos que: 
12x² – 2 > 0 
x² > 
6
1 .
 
Desta forma, 
x > 
6
6 ou x < 
6
6
.
 
 
 
 
101 
 
Portanto, f tem concavidade para cima nos intervalos: 
 
(–∞,
6
6 ) e (
6
6 , ∞). 
 
No intervalo (
6
6 ,
6
6 ), f’’(x) < 0. Logo, neste intervalo f é 
côncava para baixo. 
Nos pontos c
1
 = 
6
6 e c
2
= 
6
6 a concavidade muda de 
sentido. Desta maneira, nestes pontos o gráfico de f tem pontos 
de inflexão. 
 
 
 
 
102 
 
Figura 33: O gráfico da função f(x) = x4 – x² . 
 
 
Vamos determinar os pontos de inflexão e 
reconhecer os intervalos onde a função f(x) = 






1,)1(1
1,
2
2
xparax
xparax tem concavidade voltada para 
cima ou para baixo. 
 
 
 
 
103 
Solução: Para x < 1, f’(x) = 2x e f’’(x) = 2. Para x > 1, f’(x) = – 2.(x – 
1) e f’’(x) = – 2. Logo, para x

(–∞, 1), f’’(x) > 0 e, portanto, f é 
côncava para cima neste intervalo. No intervalo (1, + ∞), f’’(x) < 0, 
desta forma neste intervalo f é côncava para baixo. Além disso, 
notemos que no ponto c = 1 a concavidade muda de sentido e, 
assim, o gráfico de f apresenta um ponto de inflexão em c = 1. O 
gráfico da função f(x) = 






1,)1(1
1,
2
2
xparax
xparax é mostrado na 
Figura 34, abaixo. 
 
 
 
 
 
104 
Figura 34: O gráfico da função f(x) = 






1,)1(1
1,
2
2
xparax
xparax . 
 
 
 
 
 
105 
7. Processo Sistemático para a Análise 
Geral do 
Comportamento de uma Função y = f(x) 
 
 
 
106 
Já vimos que a partir do momento que trabalhamos com 
funções mais complexas, a visualização do gráfico das mesmas 
se torna uma tarefa árdua. Sendo assim, utilizando os diversos 
conceitos e resultados discutidos na unidade, podemos formar 
um conjunto de informações que permitam realizar a análise do 
comportamento de funções y = f(x). Ressaltamos que o uso da 
representação algébrica em sintonia com a representação 
geométrica vai nos propiciar uma discussão relevante sobre as 
várias propriedades e características das funções. Esse aparato 
teórico tratado aqui é muito importante no contexto da 
resolução de problemas envolvendo máximos e mínimos. 
O Quadro 01, abaixo, apresenta um resumo que poderá 
ser utilizado como um algoritmo para analisarmos o 
comportamento de uma função a partir de sua representação 
algébrica. Salientamos que, neste caso, a nossa análise pode 
culminar com um esboço do gráfico destacando as 
propriedades e características da função. 
 
 
 
 
107 
Quadro 01: Quadro-resumo para a análise do comportamento 
de y = f(x). 
Etapa Procedimento Definições e 
Teoremas Utilizados 
1 a 
 
Encontrar D (f) 
2 a Calcular os pontos de 
intersecção com os eixos. 
(Quando não requerer 
muito cálculo). 
 
 
3 a 
 
Encontrar os pontos 
críticos. 
Seção 02 
4 a 
 
Determinar os intervalos de 
crescimento e 
decrescimento de f(x). 
Proposição 03 
5 a Encontrar os máximos e 
mínimos relativos. 
Teorema (Critério da 
Derivada Primeira) 
ou Teorema (Critério 
da Derivada 
Segunda) 
 
6 a 
 
Determinar a concavidade 
e os pontos de inflexão de f. 
Proposição 04 
7 a 
 
Encontrar as assíntotas 
horizontais e verticais, se 
Definições de 
Assíntotas 
 
 
 
108 
existirem. Horizontais e 
Verticais (Unidade 
01 do guia) 
 
8 a 
 
Esboçar o gráfico. 
 
 
 
Esboçar o gráfico da função f(x) = 3x 4 – 8x³ + 6x² + 
2. 
 
Solução: Vamos seguir a sequência descrita no Quadro 01 
anterior. 
 
 
1 a Etapa: D(f) = 

. 
 
 
 
 
 
109 
2 a Etapa: Interseção com o eixo dos y. 
 
f(0) = 2 
 
3 a Etapa: f’(x) = 12.x³ + 24.x² + 12x.Resolvendo 12.x³ + 24.x² + 12x = 0 , encontramos x
1
 = 0 e x
2
= 1, 
que são os pontos críticos. 
 
4 a Etapa: Fazendo f’(x) > 0, obtemos que 12.x³ + 24.x² + 12x > 0 
quando x > 0. Portanto, f(x) é crescente para x ≥ 0. Fazendo 
f’(x) < 0, obtemos 12.x³ + 24.x² + 12x < 0 quando x < 0. Portanto, f 
é decrescente para x ≤ 0. 
 
 
5 a Etapa: Temos f’’(x) = 36.x² – 48x + 12. 
 
 
 
 
110 
Como f’’(0) = 12 > 0, temos que o ponto 0 é um ponto de 
mínimo e f(0) = 2 é um mínimo relativo de f. 
Como f’’(1) = 0, nada podemos concluir. 
 
 
6 a Etapa: Fazendo f’’(1) > 0, observamos que 36.x² – 48x + 12 > 0 
quando x

( –∞,
3
1
)

( 1, +∞). Então, f é côncava para cima em ( 
–∞,
3
1
)

( 1, +∞). Fazendo f’’(x) < 0, temos que 36.x² – 48x + 12 < 0 
quando x

(
3
1
, 1). Então f é côncava para baixo em (
3
1
, 1). Os 
pontos de abscissa 
3
1
 e 1 são pontos de inflexão. 
 
 
7 a Etapa: Não existem assíntotas. 
 
 
8 a Etapa: O gráfico da função f(x) = 3x 4 – 8x³ + 6x² + 2 é 
apresentado na Figura 35, abaixo. 
 
 
 
111 
 
 
Figura 35: O gráfico da função f(x) = 3x4 – 8x³ + 6x² + 2. 
 
 
 Esboçar o gráfico da função f(x) =
3
2
x
x . 
 
 
 
112 
 
Solução: Inicialmente, notemos que o domínio de f é dado por 
D(f) = 

 – {3}. Além disso, temos que: 
f '(x) = 
2)3(
)6.(


x
xx
 
E 
f ’’(x) 
4)3(
5418


x
x
 
Fazendo f’(x) = 0, temos que: 
2)3(
)6.(


x
xx
 = 0 
 
E, então, x = 0 e x = 6 são os pontos críticos. 
 
Vemos que f’(x) > 0 quando x

( –∞, 0)

(6, +∞). Assim, 
concluímos que a função f é crescente em ( –∞, 0)

(6, +∞). 
Fazendo f’(x) < 0, vemos que f é decrescente em [0, 6]. 
 
 
 
 
113 
Como f’’(0) < 0, temos que 0 é ponto de máximo relativo e, como 
f’’(6) > 0, temos que 6 é ponto de mínimo relativo. 
Ainda f(0) = 0 é máximo relativo de f e f(6) = 12 é o mínimo 
relativo de f. 
Fazendo, 
f’’(x) = 
4)3(
5418


x
x
> 0, 
 
obtemos que f é côncava para cima em (3, +∞). 
E, fazendo 
f’’(x) = 
4)3(
5418


x
x
< 0, 
 
obtemos que f é côncava para baixo em (–∞, 3). 
Determinando os limites: 
3
lim
2
3  x
x
x
=
0
9
 = + ∞ 
e 
 
 
 
114 
3
lim
2
3  x
x
x
=
0
9
 = – ∞ 
 
Encontramos que x = 3 é assíntota vertical (verificar a definição 
de assíntota vertical na Unidade 01 do guia de estudos). Não 
existe assíntota horizontal. A Figura 36, abaixo, nos mostra o 
gráfico da função f(x) = 
3
2
x
x
. 
 
 
Figura 36: O gráfico da função f(x) = 
3
2
x
x . 
 
 
 
115 
 
 
 Esboçar o gráfico da função f(x) = (x + 1) 31 . 
 
Solução: Inicialmente, notemos que o domínio de f é dado por 
D(f) = 

. Além disso, temos que f(x) corta o eixo dos y no ponto 
y = 1, já que f(0) = 1. Corta o eixo dos x em – 1, já que resolvendo 
(x + 1) 31 = 0, obtemos x = – 1. 
Fazendo, 
 
f '(x) = 
3
1
(x + 1) 32 = 0 
 
concluímos que não existe x que satisfaça f’(x) = 0. Como f’(– 1) 
não existe, o único ponto crítico de f é x = – 1. 
Como f’(x) é sempre positiva, concluímos que a função é 
sempre crescente. Não existem máximos nem mínimos. 
Como 
 
 
 
116 
f’’(x) = 
9
2
(x + 1) 35 , 
 
concluímos que, para x < – 1, f’’(x) > 0 e, portanto, f é côncava 
para cima em (–∞,– 1). Quando x > – 1, f’’(x) < 0 e, portanto, f é 
côncava para baixo no intervalo (–1, + ∞). 
O ponto de abscissa x = – 1 é um ponto de inflexão. Não 
existem assíntotas. A Figura 37, abaixo, nos mostra a 
disposição geométrica da função em questão. 
 
 
Figura 37: O gráfico da função f(x) = (x + 1)31 . 
 
 
 
117 
8. Problemas Diversos sobre Máximos e 
Mínimos 
 
 
 
 
118 
Aqui, estaremos interessados em apresentar alguns 
problemas práticos envolvendo os tópicos discutidos 
anteriormente, especificamente falando sobre problemas de 
maximização e minimização. Salientamos, inicialmente, que o 
primeiro passo para resolvermos estes problemas é escrever de 
forma precisa qual a função que deverá ser analisada. Esta 
função poderá ser escrita em função de uma ou mais variáveis. 
A partir do momento em que definimos a função a ser estudada, 
devemos identificar um intervalo apropriado e então proceder 
com a aplicação dos resultados e teoremas discutidos nesta 
Unidade. 
 
 (Aplicação na Área da Matemática) 
Determinar dois números positivos cuja soma é igual a 4 e tal 
que a soma do cubo do menor número com o quadrado do 
número maior seja a menor possível, ou seja, seja mínima. 
 
 
 
 
 
119 
Solução: Indiquemos por x o número menor (0 ≤ x ≤ 2); assim o 
maior será 4 – x. Seja 
 
S(x) = x 3 + (4 – x) 2 , 0 ≤ x ≤ 2. 
 
Devemos determinar x que torna mínimo o valor de S. Temos 
que: 
 
S’ (x) = 3.x 2 + 2.x – 8. 
 
Daí: 
3.x 2 + 2.x – 8 = 0 










2
3
4
x
ou
x
 
 
 
 
 
 
120 
 
 - + 
 S’ 
 
 0 4/3 2 
 
 
 
 S’ 
 
 0 4/3 2 
 
 
Desta forma, x = 
3
4
 torna mínimo o valor de S. Ou seja, 
concluímos que e os números procurados são 
3
4
 e 
3
8
. 
 
 Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, 
com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material 
for de R$12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de 
R$8,00 por metro linear nos dois extremos, encontre o campo 
de maior área possível que possa ser cercado com R$3600,00 
de material. 
 
 
 
 
121 
 
Solução: Seja x o comprimento de cada extremo do campo, y 
metros o comprimento do lado paralelo ao rio e A m 2 a área do 
campo. Logo, 
 
(I) A = x.y 
 
 Rio 
 
 
 
 x metros x metros 
 
 
 
 y metros 
 
Figura 38: A disposição geométrica da aplicação. 
 
 
Como o custo do material em cada extremo é de R$8,00 por metro linear e 
o comprimento de cada extremo é de x metros, o custo total da cerca para 
cada extremo será de (R$8,00).x. Analogamente, o custo total da cerca 
para o terceiro lado é de (R$12,00).y. Então: 
 
(II) 8.x + 8.x + 12.y = 3600 
 
 
 
 
122 
Para expressarmos A em termos de uma variável, resolvemos a igualdade 
acima para y em termos de x e substituímos esse valor na igualdade para a 
área A, obtendo A como função de x, ou seja, 
 
(III) A = x.(300 – 
3
4
.x) 
 
De (II), se y = 0, x = 225 e se x = 0, y = 300. Como ambos, x e y, devem ser 
não-negativos, o valor de x que irá tornar A um máximo absoluto está no 
intervalo fechado [0, 225]. Como A é contínua no intervalo fechado [0, 
225], segue que A traz um valor máximo absoluto nesse intervalo. De (III), 
 
A(x) = 300.x – 
3
4
x2 
 
A’ (x) = 300 – 
3
8
x 
 
Como A’(x) existe para todo x, os números críticos de A são encontrados ao 
equacionarmosA’(x) = 0, o que resulta em x = 112
2
1
. O único número 
crítico de A é 112
2
1
 que está no intervalo fechado [0, 225]. Desta forma, o 
valor máximo absoluto de A deve ocorrer em 0, 112
2
1
 ou 225. Como A(0) = 
0 e A(225) = 0, enquanto que A(112
2
1
) = 16875, o valor máximo absoluto 
de A em [0, 225] é 16875, ocorrendo quando x = 112
2
1
 e y = 150. Assim 
sendo, a maior área possível que poderá ser cercada com R$3600,00 de 
 
 
 
123 
material será de 16875 m 2 , e isto acontece quando o lado paralelo ao rio 
tiver 150 metros e os extremos tiverem, cada um, 112
2
1
 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Consideremos x o número de lugares e P(x) o lucro 
diário. P(x) é encontrado ao multiplicarmos por x o lucro por 
lugar. Quando 40 ≤ x ≤ 80, o lucro por lugar será de R$16,00; 
assim, P(x) = 16.x. Se, contudo, x > 80, então o lucro por lugar 
será de 16 – 0,08.(x – 80), dando assim, P(x) = x.[16 – 0,08.(x – 80)] 
= 22,40.x – 0,08.x 2 . Logo: 
 
Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 
80 lugares, o lucro bruto diário será de R$16,00 por lugar. Se, 
contudo, o número de assentos for acima de 80 lugares, o 
lucro bruto diário por lugar decrescerá de R$0,08 vezes o 
número de lugares acima de 80. Qual deverá se o número de 
assentos para que o lucro bruto diário seja máximo? 
 
 
 
 
124 
P(x) = 





28080,.08,0.40,22
8040,.16
2 xsexx
xsex 
 
O limitante superior de 280 para x foi obtido notando que 22,40.x 
– 0,08.x 2 = 0 quando x = 280 e quando x > 280, 22,40.x – 0,08.x 2 é 
negativo. Mesmo que x, por definição, seja um inteiro, para ter 
uma função contínua, vamos supor que x possa assumir todos 
os valores reais no intervalo [40, 280]. Existe continuidade em 80, 
pois: 
 
P(80) = 1280 
e 
)(lim
80
xP
x 
= 
x
x
.16lim
80
 = 1280 
 
)(lim
80
xP
x 
=
).08,0.40,22(lim 2
80
xx
x


 = 1280 
 
 
 
125 
 
Desta maneira, P é contínua no intervalo fechado [40, 280], e, 
sendo assim, temos um valor máximo absoluto de P nesse 
intervalo. 
Quando 40 < x < 80, P’(x) = 16; quando 80 < x < 280, P’(x) = 22,40 – 
0,16.x. P’(80) não existe, pois P

’ (80) = 16 e P

’ (80) = 9,60. 
Equacionando P’(x) = 0, segue que 
22,40 – 0,16.x = 0 
 
x = 140 
 
Os números críticos de P são, então, 80 e 140. Vamos calcular 
P(x) nos pontos extremos do intervalo [40,280] e nos números 
críticos. 
 
 
 
 
126 
P(40) = 640 P980) = 1280 P(140) = 1568 P(280) = 
0 
 
O valor máximo absoluto de P é, portanto, de 1568, ocorrendo 
quando x = 140. A capacidade de assentos deve ser de 140 
lugares, o que dá um lucro bruto diário de R$1568,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 

: é o fluxo de ar na traquéia 
Na área da Biologia, encontramos a expressão: 
 

 = V.A 
 
 
 
127 
 
V: velocidade do ar 
 
A: área do círculo formado ao seccionarmos a traqueia 
 
 
A Figura 39, abaixo, nos mostra a disposição desta situação. 
 
 
 
Figura 39: A disposição geométrica da aplicação. 
 
 
Sendo assim, quando tossimos, o raio diminui, afetando a 
velocidade do ar na traqueia. Sendo r
0
 o raio normal da 
 
 
 
128 
traqueia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traqueia 
durante a tosse é dada por: 
 
 
 
 
onde a é uma constante positiva. Desta forma, pede-se: 
 
a) Calcular o raio r em que é maior a velocidade do ar. 
 
b) Calcular o valor de r com o qual teremos o maior fluxo 
possível. 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
a) O raio r da traqueia contraída não pode ser maior que o raio 
normal r
0
, nem menor que zero, ou seja, devemos ter 0 ≤ r ≤ r
0
. Na letra (a), vamos encontrar o máximo absoluto da 
 
V(r) = a.r².(r
0
 – r) 
 
 
 
129 
função V(r) no intervalo 0 ≤ r ≤ r
0
, ou seja, no intervalo I = [0, r
0
]. Temos que: 
 
V(r) = a.r².( r
0
 – r) 
 
V’(r) = 2.a.r
0
.r – 3.a.r² 
 
Fazendo V’(r) = 0, ou seja, 
 
V’(r) = 2.a.r
0
.r – 3.a.r² = 0 
 
Obtemos os pontos críticos da função V(r), ou seja, neste caso, 
os pontos críticos da função são: 
 
r
1
= 
3
2
 e r
2
= 0 
 
Além disso, podemos averiguar que: 
 
 
 
130 
 
V’’(r) = 2.a.r
0
 – 6.a.r 
 
Como V’’(
3
2
r
0
) é menor do que zero, i.e., V’’(
3
2
r
0
) < 0, 
concluímos que r
1
= 
3
2
 é um valor máximo relativo. Para r

[0, r
0
], temos que o máximo absoluto é V(
3
2
r
0
) = 
3
0 ).(27
.4
r
a
. Desta 
maneira, afirmamos que a velocidade do ar na traqueia é 
maior quando o raio r dela é dois terços do raio r
0
 da traqueia 
não contraída. 
 
 
b) Podemos escrever a função 

 = V.A, em função do raio r da 
traqueia como segue: 

(r) = a.r².(r
0
 – r).π.r² 
 
Queremos encontrar o máximo absoluto da função 

(r) em 0 
≤ r ≤ r
0
. Temos que: 

’(r) = 4.a.π.r
0
.r³ – 5.a..π.r4 
 
 
 
131 
 
Fazendo 

’(r) = 0, vem que: 
 

’(r) = 4.a.π.r
0
.r³ = 0 
 
Desta forma, segue que: 
 
r
1
= 0 e r
2
= 
5
4
. r
0
 
 
São pontos críticos da função 

(r). Além disso, temos que: 
 

’’(r) = 12.a.π.r
0
.r² – 20.a.π.r³ 
 
 Logo, 

’’(r) = 12.a.π.r
0
.r² – 20.a.π.r³ = 0 e 

’’(
5
4
. r
0
) = 
3
0 ).(..25
64
ra

. Desta maneira, concluímos que em 
5
4
. r
0
 temos um 
ponto de máximo relativo. O ponto r
1
= 0 é um ponto de mínimo 
(Aplicação na Área da Matemática e da Física) 
 
 
 
132 
relativo, pois a função 

(r) decresce no intervalo ( – ∞ , 0) e 
cresce no intervalo [0,
5
4
. r
0
]. O máximo absoluto no intervalo [0, r
0
] será 

(
5
4
. r
0
), que é igual a 
5
0 ).(...125,3
256
ra
. 
 
Solução: Inicialmente, vamos olhar para a Figura 40, abaixo, que 
nos mostra a disposição geométrica da aplicação. 
 
 
Figura 40: A disposição geométrica da aplicação. 
 
 
 
 
 
133 
A partir da Figura 40, acima, podemos descrever a função que 
caracteriza o custo da obra pela expressão: 
f(x) = (2000 – x).312 + 
22 )500(x
.(640) 
 
Nosso objetivo aqui será o de calcular o mínimo absoluto dessa 
função considerando o intervalo 0 ≤ x ≤ 2000. Temos que: 
 
f '(x) = – 312 + 
22 )500(
.640
x
x
 
 
Logo, resolvendo a equação f’(x) = 0, vem que: 
 
– 312 + 
22 )500(
.640
x
x
 = 0 
 
 
 
 
134 
Obtemos que x

279,17 metros é um ponto crítico. Além disso, 
temos que: 
 
f ’’(x) = 
2
3
22
2
))500((
640.)500(
x
 
 
Como f’’(279,17) > 0, temos que x = 279,17 é um ponto de 
mínimo relativo. O que nos falta agora é saber se este mínimo é 
absoluto no intervalo 0 ≤ x ≤ 2000. Como o único ponto crítico 
de f no intervalo aberto (0, 2000) é x  279,17, este ponto é 
mínimo absoluto neste intervalo. Como f(0) > f(279,17), 
concluímos que a obra poderá ser realizada com o menor 
custo possível se a canalização de água alcançar o outro 
lado do rio 279,17 metros abaixo da central de 
abastecimento. 
 
 
 
 
135 
9. Regra de L’ Hospital e Mínimos 
 
 
 
 
136 
 Aqui, estaremos interessados em apresentar um 
método geral para fugirmos de indeterminações do tipo 
0
0
 ou 


. Esse método é dadopelas conhecidas regras de L’Hospital. 
 
Figura 41: A interpretação das regras de L’Hospital. 
 
Proposição 05 (Fórmula de Cauchy): Suponhamos que f(x) e 
g(x) sejam duas funções contínuas no intervalo fechado [a, b], 
deriváveis em (a, b) e se g’(x) ≠ 0 para todo x

(a, b), então, 
existe um número z

(a, b), tal que: 
 
Método geral para 
fugirmos de 
indeterminações 
 
 
 
137 
 
 
 
 
Proposição 06 (Regras de L’ Hospital): Sejam f(x) e g(x) 
funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, 
em um ponto z

I. Suponhamos que g(x) ≠ 0 para todo x ≠ a em 
I. 
 
i) Se 
)(lim xf
ax
= 
)(lim xg
ax
= 0 e 
)('
)('
lim
xg
xf
ax
= L, então 
)(
)(
lim
xg
xf
ax 
= 
)('
)('
lim
xg
xf
ax
 = L. 
 
ii) Se 
)(lim xf
ax
= 
)(lim xg
ax
= ∞ e 
)('
)('
lim
xg
xf
ax
= L, então 
)(
)(
lim
xg
xf
ax 
= 
)('
)('
lim
xg
xf
ax
 = L. 
 
 
)('
)('
)()(
)()(
zg
zf
agbg
afbf


 
 
 
 
138 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a aplicabilidade das 
regras de L’Hospital. 
 
 Utilizando a regra de L’ Hospital, vamos determinar 
1
2
lim
0  xx e
x
. 
 
Solução: Observemos que x

0, o quociente 
1
2
xe
x
 toma a 
forma indeterminada 
0
0
. Aplicando a regra de L’ Hospital, vem 
que: 
 
1
2
lim
0  xx e
x
= 
xx e
2
lim
0
= 
0
2
e
= 2 
 
 Utilizando a regra de L’ Hospital, vamos determinar 
23
6
lim
2
2
0 

 xx
xx
x
. 
 
 
 
 
139 
Solução: Observemos que x

0, o quociente 
23
6
2
2


xx
xx
 toma a 
forma indeterminada 
0
0
. Aplicando a regra de L’ Hospital, vem 
que: 
 
23
6
lim
2
2
0 

 xx
xx
x
= 
32
12
lim
0 

 x
x
x
= 
3)0(2
1)0(2


= 5 
 
 
 Utilizando a regra de L’ Hospital, vamos determinar 
2
lim
0 

 xxx ee
xsenx
. 
 
Solução: Observemos que x

0, o quociente 
2

xx ee
xsenx
 toma a 
forma indeterminada 
0
0
. Aplicando a regra de L’ Hospital, vem 
que: 
 
2
lim
0 

 xxx ee
xsenx
= 
xxx ee
x
 
1cos
lim
0
 
 
 
 
140 
 
Como o último limite acima toma a forma indeterminada 
0
0
, 
podemos aplicar novamente a regra de L’ Hospital. Temos que: 
 
xxx ee
x
 
1cos
lim
0
= 
xxx ee
senx
 

0
lim
=
2
0
= 0 
 
Logo, 
2
lim
0 

 xxx ee
xsenx 
= 0. 
 
 Utilizando a regra de L’ Hospital, vamos determinar 
xx
e x
x 4
1
lim
3 


. 
 
Solução: Observemos que quando x

+ ∞, o quociente 
xx
ex
4
1
3 
 
toma a forma indeterminada 


. Aplicando a regra de L’ 
Hospital sucessivas vezes, obtemos: 
 
 
 
 
141 
xx
e x
x 4
1
lim
3 


= 
43
lim
2  x
e x
x
= 
x
e x
x 6
lim

= 
6
lim
x
x
e

= = + ∞ 
 
Resumo da Unidade 
Nesta terceira unidade trabalhamos com diversas 
aplicações nos mais variados campos do conhecimento 
envolvendo a Derivada de uma função y = f(x). Além disso, 
apresentamos uma série de outras definições e resultados 
importantes que relacionam o contexto de aplicabilidade das 
derivadas, por exemplo, como taxa de variação e a sua 
relevância para a interpretação do comportamento de funções 
através de uma análise algébrica e gráfica. Salientamos ainda 
que a unidade 03 possui uma série de exemplos e resolvidos 
envolvendo os tópicos discutidos anteriormente. 
Diretrizes para a Próxima Unidade 
A partir do momento que discutimos a parte das 
aplicações envolvendo a Derivada, na próxima unidade 
 
 
 
142 
estaremos interessados em apresentar o processo inverso da 
diferenciação, que é o processo de antidiferenciação ou teoria 
envolvendo as Integrais Indefinidas e Definidas. 
 
Referências Bibliográficas 
Para maiores informações com relação ao assunto 
tratado nesta unidade, cada um de vocês pode se pautar nos 
livros descritos abaixo. 
 
 
 
 
 
143 
Bibliografia Básica 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5ª Ed. 
Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. 
Volume 1. São Paulo: Harbra, 1994. 
THOMAS, George B. Cálculo. Volume 1. São Paulo: Addison 
Wesley, 2003. 
 
Bibliografia Complementar 
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. 6ª Ed. Volume 1. São 
Paulo: Bookman, 2000. 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 1. SP: 
Makron Books, 2006. 
EDWARDS, Jr. C. H.; PENNEY, D. E. Cálculo com Geometria 
Analítica. Volume 1. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1997. 
FLEMIMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, 
Limite, Derivação, Integração . 5ª Ed. Revista e Ampliada. SP: 
Pearson Makron Books, 1992. 
SIMMONS, G. L. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. 
São Paulo: McGraw-Hill, 1987.