aplicações de derivadas

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Ensino Superior
Cálculo 1
Aplicações de Derivadas
Amintas Paiva Afonso
https://www.youtube.com/watch?v=I_QQTHgddYc
Aplicações de Derivadas
O Cálculo é usado em todos os ramos das ciências
sempre que um problema possa ser modelado
matematicamente e uma solução ótima é desejada.
 Física e Química;
 Ciência da computação;
 Estatística;
 Engenharia;
 Economia;
 Medicina;
 ...
Aplicações
A Física faz uso intensivo do Cálculo.
 Todos os conceitos na Mecânica Clássica são
interrelacionados pelo Cálculo.
 A massa de um objeto de densidade conhecida;
 O momento de inércia dos objetos;
 A energia total de um objeto dentro de um sistema
fechado;
 Todos podem ser encontrados usando o Cálculo.
Derivadas - Aplicações
 Nos sub-campos da eletricidade e magnetismo, o
Cálculo pode ser usado para encontrar o fluxo
total de campos eletromagnéticos.
 Um exemplo mais histórico do uso do Cálculo na
Física é a segunda lei de Newton que usa a
expressão "taxa de variação" que se refere à
derivada: A taxa de variação do momento de um
corpo é igual à força resultante que age sobre o
corpo e na mesma direção.
Derivadas - Aplicações
 A Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell e a
Teoria da Relatividade Geral de Einstein também
são expressas na linguagem do Cálculo diferencial.
 Até a expressão comum da segunda lei de Newton
como Força = Massa × Aceleração envolve o
Cálculo Diferencial porque a aceleração pode ser
expressada como a derivada da velocidade.
Derivadas - Aplicações
 A Química também usa o Cálculo para determinar
as variações na velocidade das reações e no
decaimento radioativo.
 Na Medicina, o Cálculo pode ser usado para
encontrar o ângulo ótimo na ramificação dos
vasos sanguíneos para maximizar a circulação.
 Na Economia o Cálculo permite a determinação do
lucro máximo fornecendo uma fórmula para
calcular facilmente tanto o custo marginal quanto a
renda marginal.
Derivadas - Aplicações
 O Cálculo pode ser usado em conjunto com outras
disciplinas matemáticas:
 Na Álgebra Linear para encontrar a reta que melhor
representa um conjunto de pontos em um domínio.
 Na Geometria Analítica, o estudo dos gráficos de
funções, o cálculo é usado para encontrar pontos
máximos e mínimos, a inclinação, concavidade e
pontos de inflexão.
Derivadas - Aplicações
 O Cálculo pode ser usado para encontrar soluções
aproximadas de equações, em métodos como o
método de Newton, iteração de ponto fixo e
aproximação linear.
Exemplo: naves espaciais usam uma variação do
método de Euler para aproximar trajetórias curvas
em ambientes de gravidade zero.
Derivadas - Conceito
Exemplo 1:
A que taxa de variação cresce a área de um círculo
em relação ao seu raio, quando o raio é igual a 2?
TAXA DE VARIAÇÃO
Sabemos que a área de um círculo é função do seu
raio através da fórmula
A(r) = πr2
A’(r) = 2πr
A’(2) = 4π
Logo,
4π é o valor da taxa de crescimento da
área em relação ao raio, quando este é
igual a 2.
Exemplo 2:
A que taxa cresce o volume de uma bola de neve
esférica, sabendo-se que o raio cresce à razão de 5 cm/s,
no instante em que ele mede 10 cm?
TAXA DE VARIAÇÃO
dr/dt = 5 cm/s
Sabemos que o volume da esfera de raio r é
V(r) = (4/3)πr3
V’(t) = dV(r)/dt = 4πr2 . dr/dt 
V’(10) = 20π102 = 2000π cm3/s
= 4πr2.5 = 20πr2
Exemplo 3:
Uma escada de 3m de comprimento está apoiada em
uma parede vertical.
Sabendo-se que a extremidade inferior afasta-se do muro
à razão de 1 m/s, com que rapidez desce a extremidade
superior, quando a inferior dista do muro 2m?
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
x + ∆x
x
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TEOREMA DO VALOR MÉDIO
TEOREMA DO VALOR MÉDIO
TEOREMA DO VALOR MÉDIO
TEOREMA DO VALOR MÉDIO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
TAXA DE VARIAÇÃO
y(t) = 3m
5m
x(t) = 4m
y’(t) = -2m/s
x’(t) = ? m/s
TAXA DE VARIAÇÃO