vetores no plano e no espaço

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Ensino Superior
Geometria Analítica
1. Vetores no Plano e no Espaço
Amintas Paiva Afonso
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Espaço Vetorial
Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR.
Exemplos de espaços vetoriais: 
 o conjunto dos números reais;
 o conjunto dos números complexos;
 o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio 
de segmentos orientados;
 o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço 
n;
 o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau  n 
Pn();
 o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc. 
 Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever
“coisas” no mundo que têm direção e sentido.
O que coisas são essas?
 o vento;
 o fluxo de H2O de um rio;
 a emissão puntiforme de luz;
 um campo elétrico;
 a velocidade de um trem bala;
 o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não
explica por que os planetas se movem todos num mesmo
sentido), etc.
A palavra “vetor” 
vem do latim e significa 
Aquilo que transporta.
Ex: Mosquito Aedes Aegypt 
Sistema de Coordenadas
Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a
escolha de um sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas
Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada
uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos
perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.
O ponto P(x,y) tem por abscissa
o nº x e por ordenada o nº y. . P(x,y)
x
y
0 x’
y’
Sistema de coordenadas polares
Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O,
chamado polo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado
eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento.
Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor
do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário).
P

O A

Chama-se coordenadas polares de um ponto P
qualquer, aos números  = OP e  = âng. AOP.
O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem 
coordenadas polares  e .
Passagem das coordenas polares para as
coordenadas cartesianas
Sejam (x, y) as coordenadas de um ponto no sistema de
coordenadas cartesianas, e (, ) as coordenadas de um
ponto no sistema de coordenadas polares:
x = . cos 
y = . sen 
P

O A

y
x
Representação gráfica
 A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha
apontando para algum lugar.
Propriedades
 direção;
 sentido;
 magnitude.
Grandezas vetoriais: a aceleração, a 
velocidade e o deslocamento, força, etc.
Grandezas escalares: a massa, o 
tempo e a temperatura, densidade, etc. 
Representação simbólica
 Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e
não de variáveis ou outro ente matemático qualquer,
designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha
sobre a letra.
 Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine,
por exemplo, um vetor no plano:
u

Representação simbólica
 A sua origem e a sua extremidade podem ser 
associadas a pontos no plano xy. 
Assim, o vetor acima pode ser 
representado como o segmento 
orientado e seu comprimento é dado 
por B – A. 
As coordenadas de A são (x1, y1) e as 
coordenadas de B são (x2, y2). 
Logo, o comprimento do vetor AB é 
dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)
y2
y1
x2x1
A
x
y
B
AB
Exemplo
 Seja = (2, 2)
u

y2
y1
x2x1
A
x
y
B (3,4)
(1,2)
Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto 
inicial A(1, 2) e ponto final B(3, 4). 
= B – A = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)
u

u

Operações com vetores
 Considere 2 vetores: e .
u

v

A resultante + é obtida pela chamada 
“Lei do Paralelogramo”.
Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois 
vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas 
extremidades.
u

v

u

v

u

v

Lei do paralelogramo - Adição
v

u

vu


A lei do paralelogramo foi ideia de Aristóteles quando este
estudava a composição de forças, no caso particular, do
retângulo.
u

v

A
Variações - Adição
v

u

vu


u

v

Além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser 
obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem 
do segundo. 
A
u

v

u

v

vu


Variações - Adição
u

v

wvu


v

u

w

w

Além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser 
obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem 
do segundo. 
A
v

u

w

wuv


Somando mais que dois vetores
a

b
ba


c

cba


d

dcba


A
Variações - Subtração
u

v

v

u

A
vu


uv


v

v


v


Multiplicação por um número real.
u

u

2
u

2
0.0

u
0

uu
 Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a 
componente:
 Definição: Sejam e dois vetores no plano. A 
soma dos vetores e é o vetor .
Exemplo:
Sejam e então, 
),( 11 yxu 

),( 22 yxv 

u

v

),( 2121 yyxxvu 

)2,1(u

)4,3( v

)2,4())4(2,31(  vu

1ª coord.
2ª coord.
Vetores
OPERAÇÕES COM PARES ORDENADOS
Exemplo: Interpretação geométrica
Noções sobre Vetores
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
(1, 2) + (3, -4) = (4, -2)
Diferença de vetores
Representamos o vetor + (-1) por .
Esse vetor é a diferença de e .
u

v

vu


u

v

u

v

v


vu


Noções sobre Vetores
Produto de um vetor por um escalar
Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. 
Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, 
por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada 
para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, 
caso contrário, o vetor assume a direção oposta.
w

w

w
w

2
w

3
Noções sobre Vetores
Exemplo
w

)4,2()2,1(2. wa

)6,3()2,1(3. wb

Noções sobre Vetores
Se a = 2, b = -3 e = (1, -2) 
então:
Produto Escalar
O produto escalar dos vetores de dimensão n: 
a = (a1, a2, ..., an) e b = (b1, b2, ..., bn), é definido por: 
a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = 
Exemplo
Calcule o produto escalar de = (1, -2, 3, 4) e = (2, 3, -2, 1).
. = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2) + 4.1 = -6


n
i
iiba
1
u

v

u

v

Noções sobre Vetores
Comprimento ou norma de um vetor
O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é:u
2
1
2
1 yxu 

y1
x
y

u
x10
Além disso, dado um escalar , pertencente a :
uu

..  
Noções sobre Vetores
Desigualdade triangular
A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das
normas de cada um dos vetores:
Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski
Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em
homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz.
Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o
pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo.
vuvu


vuvu

.. 
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores resulta num númeroque mede
a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:
cos... vuvu  
onde  é o ângulo formado por e . 
u

v


u

v

Noções sobre Vetores
Exemplo
Encontre o ângulo entre os vetores = (2, 4) e = (-1, 2).
cos... vuvu  
u

v

. = 2.(-1) + 4.2 = 6
u

v

2042 22 u

52)1( 22 v

Portanto,
6,0
5.20
6
cos 
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º. 
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
cos... vuvu  

u

v

Se e
0. vu

0u

0v

então, cosseno 
0
Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si. 
Noções sobre Vetores
u

v

Noções sobre Vetores
O produto escalar entre dois vetores não 
nulos é zero se, e só se, o cosseno do 
ângulo entre eles é zero e, isto só acontece 
quando os vetores são perpendiculares . 
Exemplo
Os vetores = (2, -4) e = (4, 2) 
são ortogonais, já que:
02).4(4.2. vu


 vuvu 0cos0. 
Ângulo entre dois vetores
Mas, , logo 

u
=>

uu .
cos... uuuu  
0
2
. uuu


Temos então que: 
uu
uuu




2
2
.
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
Distância entre dois pontos
Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do
segmento orientado com ponto inicial P1(x1,y1) e ponto final P2(x2,y2):
   212
2
1221 yyxxPP 
x10
y
x
P1
P2
x2
y1
y2
Noções sobre Vetores
Exemplo 1
Se = (2, -5), então o comprimento de é dado por:
Exemplo 2
A distância entre P(3, 2) e Q(-1, 5), ou o comprimento do segmento
orientado é dado por:
u

u

29254)5(2 22 u

PQ
5253)4()25()31( 2222 PQ
Noções sobre Vetores
Versor ou Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor
não-nulo, então o vetor:
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que .
x
x
u 
 1

x

x

Noções sobre Vetores
Exemplo
Seja x = (-3, 4). Então:
Logo, o vetor
É um vetor unitário, pois:
54)3( 22 x

  




 

5
4
,
5
3
4,3
5
1
.
1
x
x
u 

1
25
169
5
4
5
3
22













 
u

Noções sobre Vetores
Ponto médio de um segmento
O ponto médio do segmento de reta P1(x1, y1) a P2(x2, y2) é dado por:





 

2
,
2
),( 2121
yyxx
yxM
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
M (x,y)
Noções sobre Vetores
Exemplo
Determine o ponto médio M do segmento P1(-2, 3) a P2(4, -2).











 

2
1
,1
2
)2(3
,
2
42
),( yxM
Noções sobre Vetores
Produto vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um
número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor.
Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois
vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:
222
111
cba
cba
kji
vu 

Noções sobre Vetores
u

v

Produto vetorial
A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma:
Exemplo:
Sejam = 2î + j + 2k e = 3î – j – 3k, então:
k
ba
ba
j
ca
ca
i
cb
cb
vu ...
22
11
22
11
22
11


)5,12,1(5121
313
212 

 kji
kji
vu

Noções sobre Vetores
u

v

Produto vetorial
O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma
ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0
Por outro lado,
î x j = k;
j x k = î;
k x î = j.
Noções sobre Vetores
Norma do produto vetorial
Vimos que o produto de dois
vetores resulta num terceiro
vetor ortogonal ao plano que
contém os vetores originais.
O comprimento desse terceiro
vetor, ou seja, sua norma, é
numericamente igual à área
do paralelogramo formado por
esses vetores.
u
v
|u x v| = área do 
paralelogramo
u x v
sen.. vuvu  
Noções sobre Vetores
Norma do produto vetorial
Quando dois vetores forem paralelos no plano, então não há ângulo entre
eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0.
Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular
aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras
palavras: para onde ele aponta?
u

v

v

u

Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador 
da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar 
apontará o sentido do terceiro vetor. 
Noções sobre Vetores
Exemplo 1
Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo
AB = (1, 1, -1) e AD = (2, 1, 4).
Área = || AB x AD ||
AB x AD =
)1,6,5(65)21()24()14(
412
111  kjikji
kji
Noções sobre Vetores
B C
DA
Exemplo 1 - continuação
|| AB x AD || =
Exemplo-2
A medida em radianos do ângulo entre e é .
Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||.
|| x || = || ||.|| ||. sen
= 1 . 7 . sen
= 1 . 7 . 0,5
= 3,5
87,76213625 
u

6

v

u

v

v

u

u

v

u

v

6

Noções sobre Vetores
Produto misto
Considere os vetores , e . O produto misto é o número real
obtido como resultado da seguinte operação:
O volume do paralelepípedo é dado por :
v
u
 w

wvu

.
wvuV

.
Noções sobre Vetores
Exemplo
Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes
vetores:
= (2, 2, 0); = (0, 1, 0) e = (-2, -1, -1)
mas, h=||proj || 
u

v

w

hvuV .


w

wvuV

. )2,0,0(200
010
022  kji
kji
vu

22
200)1,1,2).(2,0,0().(


V
wvu

Noções sobre Vetores