Exercícios Taxas Equivalentes e Juros Compostos

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Matemática Comercial e Financeira
4ª Lista de Exercícios – Taxas Equivalentes e Juros Compostos
1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. Resposta: 26,82% ao ano
2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. Resposta: 4% ao mês
3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia. Resposta: 78,58% ao ano
4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 39,46% em dois anos. Resposta: 4,25% ao trimestre
5) Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte seqüência de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% e 6,5%.
 Resposta: 11,18% ao período
6) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou as seguintes taxas de CDIs: 
 Fev = 2,11%; Mar = 2,18%; Abr = 1,69; Mai = 1,63%; Jun = 1,60% e Jul = 1,69% para o ano de 2009. Pergunta-se:
a) Qual a taxa média do período? Resposta: 1,82% ao mês
	b) Qual a taxa acumulada no período? Resposta: 11,41% ao período
7) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 125.519,92, por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 148.020,26. Qual a taxa média desta aplicação? Resp: 5,65% am
8) O senhor “Dúvida” pretende investir R$ 16.500.000,00 em uma aplicação no “Banco dos Atleticanos S/A” que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e correspondentes a 21 dias úteis. Suponha que o “Banco dos Cruzeirenses S/A” pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias úteis. Você foi contratado como Gerente Financeiro(a) e encontra-se em período de experiência. Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o aplicador?
 Resposta: o dos Cruzeirenses, com a taxa de 4,65% am, contra 4,47% am dos Atleticanos
9) Se o preço de um produto de dezembro de 2008 foi de R$ 1.580,00 e em janeiro de 2009 foi de R$ 1780,00, o índice de preço correspondente foi de: Resposta: 12,66% ao período
10) Suponha que no mês-base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 33,50 e nos 3 meses subseqüentes seja de R$ 42,85, R$ 65,00 e R$ 72,25, respectivamente. Obter a inflação acumulada. Resposta: 115,67% ao período
11) Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 11% ao ano, e no mesmo período a inflação foi de 9% ao ano. Qual a taxa real de juros? Resposta: 1,83% aa
12) Calcular a taxa mensal de juros pelo regime de capitalização simples para uma taxa de 60% ao ano e para o regime de juros composto por uma taxa de 79,59% ao ano. Resposta: 5% am
13) Uma indústria deseja ampliar a capacidade produtiva de sua fábrica. Foi calculado que a taxa de retorno deste investimento é de 15% ao ano. Sabe-se que esta fábrica possui uma rentabilidade real de seus projetos de 5% ao ano. Qual será a rentabilidade real desse projeto se a taxa de inflação do período for de 12,5% ao ano? Considerando a política de rentabilidade da empresa, este projeto deve ser aceito?
	Resposta: 2,22% aa. O projeto não deve ser aceito
14) Calcule a taxa acumulada e a média das taxas de 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%.
	Resposta: iac = 8,56% ap; imédia = 1,66% ao mês
15) Qual a melhor taxa para aplicação: 0,1% ao dia ou 40% ao ano? 	 Resposta: 0,1% ad
Taxas Equivalentes no Regime de Capitalização Composta
São aquelas taxas que aplicadas ao mesmo capital P, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante S.
Se necessário, revise Juros Compostos.
Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . 
O montante S ao final do período de 1 ano será igual a S = P(1 + i a ) 
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . 
O montante S’ ao final do período de 12 meses será igual a S’ = P(1 + im)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter S = S’.
Portanto, P(1 + i a ) = P(1 + im)12 
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal conhecida.
Exemplo:
Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a.m.?
Ora, lembrando que 1% = 1/100 = 0,01 , vem:
1 + ia = (1 + 0,01)12 ou 1 + ia = 1,0112 = 1,1268 ( para obter 1,0112  use uma calculadora; a do Windows, serve).
Portanto, ia = 1,1268 – 1 = 0,1268 = 12,68%
Observe portanto, que no regime de juros compostos, a taxa de juros de 1% a.m. equivale à taxa anual de 12,68% a.a. e não 12% a.a., como poderia parecer para os mais desavisados.
Podemos generalizar a conclusão vista no parágrafo anterior, conforme mostrado a seguir. 
Seja:
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária
As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]
1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + is = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]
todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital, produzem montantes iguais.
Não é necessário memorizar todas as fórmulas. 
Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos por exemplo escrever:
1 + ia = (1 + iq)3 [porque 1 ano = 3 quadrimestres]. Perceberam?
Exercícios resolvidos e propostos
1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?
Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + is)2
Como 5% = 0,05  vem: 1 + ia = 1,052 \ ia = 0,1025 = 10,25%
2 - Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?
Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + im)12
Como 20% = 20/100 = 0,20, vem:
1 + 0,20 = (1 + im)12
1,20 = (1 + im)12
Dividindo ambos os expoentes por 12, fica: 1,201/12 = 1 + im
Usando uma calculadora científica – a do Windows também serve – obteremos o valor de im = 0,0153 = 1,53% a.m. 
3 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? Resposta: 6,17% a.a.
4 - Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre? Resposta: 2% a.m.
5 - Uma taxa diária de 1%, equivale a que taxa mensal? Resposta: 34,78%