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Funções Polinomiais 1º e 2º grau

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Função Polinomial do 1º grau
Prof:Zaqueu Oliveira

Objetivos
Compreender o conceito de função.
Escrever a lei de formação de uma função
Identificar a variável dependente e independente.
Representar uma função por meio de gráficos.
Classificar as funções em crescente ou decrescente.
Determinar o zero de uma função, o ponto de interseção de seu gráfico.
Determinar o ponto de máximo e mínimo.

História
Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano.

A noção de função vai ser um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus".

Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação f(x).
Algumas situações de funções
O valor da fatura de telefone é calculado em função do consumo no mês. F(x)= 30+C

O tempo de uma viagem está em função da velocidade praticada no trajeto.

Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim,a qualquer função de IR em IR dada por uma lei da formação f(x)= ax+b .
E podemos dizer f(x) = y, logo y= ax+b
Onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.
O gráfico dessa função é sempre uma reta.
A função de Primeiro Grau é a função de grau 1.
Exemplos de funções polinomial do 1º grau;

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
3) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico de uma função
Se cada reta interceptar o gráfico em um único ponto, ela será uma função. Mas , se uma reta interceptar em dois ou mais pontos, não é Função.
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Representação gráfica de uma função
O plano cartesiano composto de duas retas (horizontal e vertical) que se cruzam em um único ponto, chamado de origem.
A coordenadas cartesianas, representando-o por um par ordenado na forma (x,y).

Localização dos pontos
A(4;3)
B(1;2)
C(-2;4)
D (-3;-4)
E (3;-3)
F (-4;0)
Construção do Gráfico
O jeito mais fácil de se construir uma função de primeiro grau é criar uma tabela para os valores de x e determinar os valores associados em y.
 y = x + 1
F(x) = x + 1
 x y (x,y)
-1 -1+1=0 (-1,0)
 0 0+1=1 (0,1)
 1 1+1=2 (1,2)
 2 2+1=3 (2,3)
 3 3+1=4 (3,4)

Construção do Gráfico
O modo mais recomendado na construção de uma função é encontrar os interceptos em x e em y.
 y = x + 1
F(x) = x + 1

Para x=0 Para y=0
 y= x+1 y=x+1
 y=0+1 0=x+1
 y=1 x=-1

Estudo da função
Imagine a função afim f(x)= a.x+b e função linear f(x)=ax
Quando (a>0) , teremos uma função crescente
 Gráficos das funções y = x + 2 ; y = x – 3 e y=x;

x
y
0
1
2
3
–3
–2
–1
1
2
3
–3
–2
–1
4
5
–4
–5
–5
–4
4
5
a > 0
y = x – 3
y = x + 2
y = x
Estudo da função
Imagine a função afim f(x)= a.x+b e função linear f(x)=ax
Quando (a<0), teremos uma função decrescente
 Gráficos das funções y=-2x; y = –2x + 4 e y = –2x – 3.
x
y
0
1
2
3
–3
–2
–1
1
2
3
–3
–2
–1
4
5
–4
–5
–5
–4
4
5
y = –2x + 4
y = –2x
a < 0
y = –2x – 3
Quando (a=0), teremos uma função constante
 Gráfico da função f(x)=3

Estudo da função
a = 0
f(x)=3
Zero de uma Função Afim

Encontre o zero da função
f(x)=3x-9, onde f(x)=y=0 ;

3x-9=0
 3x = 9
 3 3
 x = 3
Substituindo o valor no X.
 y=3(3)-9
 y=9-9
 y=0

Intersecção
Em qual ponto as funções y=x+1 e y=-2x+1 se interceptam?
 y= x+1 (I)
 y= -2x+1 (II)
 x+1= -2x+1
 x+2x = 1-1
 3x=0
 x=0/3
 x=0
Substituindo em (I), temos:
y = 0+1
y = 1
Resposta: Nos pontos (0,1)
"A mudança deve acontecer de dentro para fora. Os seus pensamentos determinarão diretamente a forma que você vê o mundo. Pense positivo! Pense que você pode e que você é capaz de coisas maiores." (Dr. Jô Furlan)
Função Polinomial do 2º grau
Prof:Zaqueu Oliveira

Objetivos
Compreender o conceito de função.
Escrever a lei de formação de uma função
Identificar a variável dependente e independente.
Representar uma função por meio de gráficos.
Classificar as funções em completa ou incompleta.
Determinar o zero de uma função, o ponto de interseção de seu gráfico e o vértice da parábola.
Determinar o ponto de máximo e mínimo.

História
Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano.

A noção de função vai ser um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. Foi Leibniz (1646 - 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus".

Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação f(x).
Função do 2° Grau
Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40m de comprimento e 20m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.
Sua área é função de x.
A = (40 + 2x) . (20 + 2x)
A = 800 + 80x + 40x + 4x2
A = f(x) = 4x² + 120x + 800

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau,
qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma
f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

 a é o coeficiente real de x², com a≠0.

b é o coeficiente real de x.

c é um coeficiente real, também chamado termo independente.

Definição
Alguns exemplos de função quadráticas
Função completa:
f(x) = 3x² - 4x + 1,(completa) onde a = 3, b = - 4 e c = 1

Função incompleta:
f(x) = x² -1, (incompleta) onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = - x² + 8x, (incompleta) onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x², (incompleta) onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Toda função quadrática quando a > 0 concavidade voltada para cima.
a) y= x² - x - 6
Quando a < 0 concavidade voltada para baixo.
 b) y= - 3x²

CONCAVIDADE DA PARÁBOLA
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.

A parábola está presente em algumas situações do cotidiano. Quais são elas?
 A antena parabólica

A forma de parábola
Gráfico da função quadrática
Seja a função definida por y = - x²+ 2x - 2
vamos atribuir para x os valores -1, 0, 1, 2 e 3 calcular os valores de y.

Gráfico de uma função quadrática
Todo gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola.
O gráfico de uma função quadrática é composto de três partes fundamentais:
Zeros da função: é ou são pontos em que o gráfico corta o eixo das abscissas (eixo x), ou seja , onde y=0.

02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.

03) Termo independente: ponto que o gráfico corta o eixo das ordenadas (eixo y), Neste ponto x=0.
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática
depende do valor obtido para o radicando ∆=b²-4.a.c, chamado discriminante, a saber:
1)Quando ∆>0, é positivo, há duas raízes reais e distintas;
2)Quando ∆=0, é zero, há duas raízes reais e iguais;
3)Quando ∆<0, é negativo, não há raiz real

Zeros ou raízes
> 0 , tem dois zeros reais e diferentes.
a> 0 a < 0

>0,tem dois zeros reaise iguais
a> 0 a < 0

< 0, não tem zeros reais.
a> 0