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AP2 ProbEst   Gabarito

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA/ ESTATÍSTICA I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP2) 
2º Semestre de 2017 
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
Gabarito 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS 1 E 2, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
Em certa linha de montagem, quatro máquinas B1, B2, B3 e B4 produzem 30%, 20%, 15% e 35% dos 
produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% dos produtos feitos 
por cada máquina, respectivamente, são defeituosos. Suponha que um produto já acabado seja 
selecionado aleatoriamente. 
1) (1,0 ponto) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito? 
2) (1,0 ponto) Percebendo-se defeito neste produto, qual a probabilidade que ele tenha sido 
produzido por B1? 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
D: o produto apresenta defeito 
N: o produto não apresenta defeito. 
 
Temos então as seguintes probabilidades: 
98,0)|Pr(02,0)|Pr(
97,0)|Pr(03,0)|Pr(
96,0)|Pr(04,0)|Pr(
98,0)|Pr(02,0)|Pr(
35,0)Pr(
15,0)Pr(
20,0)Pr(
30,0)Pr(
44
33
22
11
4
3
2
1








BNBD
BNBD
BNBD
BNBD
B
B
B
B
 
 
1) 
Pede-se 
)Pr(N
. Pelo Teorema da Probabilidade Total, 
 
.9745,0343,01455,0192,0294,098,035,097,015,096,020,098,030,0
)|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( 44332211

 BNBBNBBNBBNBN
Logo: 
.9745,0)Pr( N
 
 
2) 
Aqui usemos o Teorema de Bayes. O que se pede é: 
 
 





)Pr(1
)|Pr()Pr(
)Pr(
)Pr(
)|Pr( 1111
N
BDB
D
DB
DB
 
 
.2353,0
0255,0
006,0
9745,01
02,030,0



 
Logo: 
2353,0)|Pr( 1 DB
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 3 A 6, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
Uma prova é composta de 5 (cinco) questões de múltipla escolha com 5 (cinco) alternativas cada ((a), 
(b), (c), (d) e (e)), sendo apenas uma das alternativas correta. Para que um aluno seja aprovado é 
necessário que ele acerte pelo menos 80% da prova. Se ele acertar 20% da prova ou menos, ele será 
reprovado. Suponha que um aluno faça esta prova de forma aleatória (no chute). 
 
3) (0,5 ponto) Qual a probabilidade de este aluno ser aprovado? 
4) (0,5 ponto) Qual a probabilidade de este aluno ser reprovado? 
5) (0,5 ponto) Qual o número de questões certas esperadas para este aluno? 
6) (0,5 ponto) Qual o desvio padrão do número de questões certas deste aluno? 
 
Solução: 
Temos um problema de distribuição Binomial, onde n=5 e p=0,2 (5 alternativas, sendo uma correta). 
Seja X o número de questões certas. Como n=5, 80% representa 4 questões: 
 
3) 
100032,018,00016,05)8,0()2,0(
5
5
)8,0()2,0(
4
5
)5()4()4Pr( 0514 











 ppX
 
.00672,000032,00064,0 
 
Logo: 
.00672,0)4Pr( X
 
 
4) 
Para que ele acerte 20% ou menos, ele terá que errar pelo menos 4 questões. Isso significa que ele irá 
acertar no máximo 1 questão para ser reprovado. 
4096,02,0532768,011)8,0()2,0(
1
5
)8,0()2,0(
0
5
)1()0()1Pr( 4150 











 ppX
 
.73728,04096,032768,0 
 
Logo: 
.73728,0)1Pr( X
 
 
5) 
 Como é um caso de Distribuição Binomial de Probabilidade, então a média será dada pela esperança: 
.12,05)(  npXE
 
Logo: 
1 questão certa. 
 
6) 
O desvio padrão segue a mesma lógica da média. Inicialmente, calculamos a variância para depois 
calcularmos o desvio padrão. 
 
.8,08,02,05)1()(  pnpXV
 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
.8944,08,0 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Uma moeda honesta é lançada 3 vezes e sua face voltada para cima é verificada. Defina a variável 
aleatória 𝑿 como sendo o número de vezes que a face “cara” cai voltada para cima. Sabendo que a 
probabilidade de sair cara é a mesma de sair coroa, resolva as questões de 7 a 10. 
 
7) (1,0 ponto) Obtenha a distribuição de probabilidades de 𝑋; 
8) (0,5 ponto) Obtenha 𝐸(𝑋); 
9) (0,5 ponto) Obtenha 𝑃(𝑋 ≥ 2); 
10) (1,0 ponto) Obtenha a função de distribuição acumulada de 𝑋. 
 
Solução: 
Sejam os eventos: 
C: sair cara 
K: sair coroa. 
 
7. 
Ao lançar três vezes, existem as seguintes possibilidades para X: 𝑋 = 0, 𝑋 = 1, 𝑋 = 2, 𝑋 = 3. 
É possível listar todas as possibilidades: 
𝑋 = 0: (𝐾, 𝐾,𝐾), 1 possibilidade. 
𝑋 = 1: (𝐶, 𝐾, 𝐾), (𝐾, 𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐾, 𝐶), 3 possibilidades. 
𝑋 = 2: (𝐶, 𝐶, 𝐾), (𝐶, 𝐾, 𝐶), (𝐾, 𝐶, 𝐶), 3 possibilidades. 
𝑋 = 3: (𝐶, 𝐶, 𝐶), 1 possibilidade. 
 
As possibilidades listadas acima listadas são o espaço amostral, com 8 possibilidades. 
 
Assim é possível montar a distribuição de probabilidades: 
𝑋 0 1 2 3 
𝑝(𝑥) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
 
 
8) 
𝐸(𝑋) = (0 ×
1
8
) + (1 ×
3
8
) + (2 ×
3
8
) + (3 ×
1
8
) = 0 +
3
8
+
6
8
+
3
8
=
12
8
=
𝟑
𝟐
. 
 
9) 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑝(2) + 𝑝(3) =
3
8
+
1
8
=
4
8
=
𝟏
𝟐
. 
 
10) 
A função de distribuição acumulada será dada por: 
 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
 
 
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
1
8
, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
4
8
, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2
6
8
, 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 3
1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
USE O CONTEXTO A SEGUIR PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 11 A 13. 
Assuma que movimento do preço do Barril de petróleo (P) oscile uniformemente durante um dia entre 
U$ 45.00 e U$ 50.00: 
 
11) (0,5 pt) Obtenha a função de densidade de probabilidades de P; 
12) (0,5 pt) Qual a probabilidade de o preço do Barril de petróleo ser inferior a 
U$ 48.00? 
13) (0,5 pt) Qual o preço esperado do Barril de petróleo? 
48 45 
1/5 
Solução: 
 
11) 
Temos que 𝑃 ∼ 𝑈[45; 50]. 
𝑓(𝑥) = {
1
𝑏−𝑎
, 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0, 𝑐. 𝑐
 ou seja: 𝑓(𝑥) = {
1
50−45
, 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0, 𝑐. 𝑐 
. Assim: 
 
𝒇(𝒙) = {
𝟏
𝟓
, 𝒔𝒆 𝟒𝟓 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓𝟎
𝟎, 𝒄. 𝒄 
 
12) 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade solicitada é a área deste retângulo. Logo: 
 
𝑃(𝑃 < 48) = 𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = (48 − 45) ×
1
5
= 3 ×
1
5
=
3
5
= 𝟎, 𝟔. 
 
13) 
O preço esperado é a esperança da variável “preço”. 
 
Logo: 
𝐸(𝑋) =
𝑎 + 𝑏
2
=
45 + 50
2
=
95
2
= 𝟒𝟕, 𝟓. 
 
O preço esperado é U$47,50. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
USE O CONTEXTO A SEGUIR PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 14 A 16. 
Em um determinado lote, os pesos X dos potes de margarina de uma determinada marca são 
normalmente distribuídos com média de 498g e desvio padrão de 5g. Um pote deste lote será sorteado 
aleatoriamente pelo Inmetro para aferição. 
 
14) (0,5 pt) Qual a probabilidade de este pote ter mais que 500g? 
15) (0,5 pt) Qual a probabilidade de este pote ter o peso entre 497g e 501g? 
16) (0,5 pt) Determine k tal que 𝑃(𝑋 ≥ 𝑘) = 0,0375. 
 
 
Solução: 
Temos que 𝑋 ∼ 𝑁(498; 25). 
𝜇 = 498; 
𝜎 = 5. 
 
14) 
𝑃(𝑋 > 500) = 𝑃 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
>
500 − 498
5
) = 𝑃 (𝑍 >
2
5
) = 𝑃(𝑍 > 0,4) 
= 0,5 − 𝑡𝑎𝑏(0,4) = 0,5 − 0,1554 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟒𝟔. 
 
15) 
𝑃(497 ≤ 𝑋 ≤ 501) = 𝑃 (
497 − 498
5