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13) O movimento periódico 
Um corpo que executa movimento periódico encontra-se sempre em uma posição de equilíbrio 
estável. Quando ele é deslocado dessa posição e libertado, surge uma força ou um torque que o 
faz retornar à sua posição de equilíbrio. Tal força pode ser chamada de força restauradora. 
Uma oscilação ocorre somente quando existe uma força restauradora que obriga o sistema a 
voltar para a sua posição de equilíbrio. 
A amplitude do movimento, A, é o módulo máximo do vetor deslocamento do corpo a partir da 
posição de equilíbrio. É sempre positiva. Para uma mola ideal, a amplitude total é 2A. 
O ciclo é quando, por exemplo, vai de A até –A, retornando para A. 
O período, T, é o tempo correspondente a um ciclo. É sempre positivo. 
A frequência, , é o número de ciclos, por unidade de tempo. É sempre positiva.f 
A frequência angular, , é ω πf.2 
f = 1T 
O tipo mais simples de oscilação ocorre quando a força restauradora é diretamenteF x 
proporcional ao deslocamento x da posição de equilíbrio. Quando isso ocorre, a oscilação 
denomina-se MHS. 
xF x =   − k 
Supondo que não exista atrito, a equação acima, fornece a força resultante sobre o corpo. 
A aceleração de um corpo que executa um MHS é dada por: 
− xax = km 
O sinal negativo indica que a aceleração sempre tem sentido contrário ao do deslocamento. Essa 
aceleração não é constante. 
Um corpo que executa um MHS constitui um oscilador harmônico. 
O MHS é a projeção de um MCU sobre um diâmetro do círculo. O círculo, ao longo do qual a bola 
se move de modo que sua projeção se superpõe à do movimento oscilatório do corpo, 
denomina-se circulo de referencia. 
cosθx = A 
xax =   − ω2 
 ω =√ km 
π  T = 2 √ km 
No MHS, o período e a frequência não dependem da amplitude. 
Quando encontrar um corpo oscilando com um período que dependa da amplitude, a oscilação 
não corresponderá a um MHS. 
cos(ωt )x = A + ϕ 
 denomina-se ângulo de fase. Ela nos informa em que ponto do ciclo o movimento seϕ 
encontrava em t = 0. 
− Asen(ωt )vx = ω + ϕ 
− Acos(ωt )ax = ω2 + ϕ 
No MHS, o deslocamento é uma função senoidal periódica. 
mv kx kA onstanteE = 2
1
x
2 + 2
1 2 = 2
1 2 = c 
 
 
*colocar diagrama de energia 
A força que a mola ideal exerce sobre um corpo é uma força conservativa, e As forças verticais não 
realizam trabalho, de modo que a energia mecânica total é conservada. Suponha também que a 
massa da mola seja desprezível. 
O MHS pode ocorrer em qualquer sistema no qual exista uma força restauradora diretamente 
proporcional ao deslocamento a partir da posição de equilíbrio. 
 
MHS na direção vertical 
K*deltal =mg 
Essencialmente análogo ao MHS horizontal. A única diferença real é que a posição de equilibro 
(ponto x=0) não corresponde mais ao ponto em que a mola não está deformada. 
 
MHS angular 
Uma mola helicoidal exerce um torque restaurador Tz proporcional ao deslocamento angular teta 
a partir da posição de equilíbrio. Escreve-se Tz= -k teta, onde k é uma constante de torção. 
-k teta= I alfa 
 
Omega= raiz (k /I) 
 
Freqüência = 1/2pi raiz (k/I) 
 
É vantajoso que uma roda catarina seja um MHS. Caso não fosse, a freqüência dependeria da 
amplitude, e o relógio poderia adiantar ou atrasar quando a mola se desgastasse. 
 
Pendulo simples 
É um modelo idealizado constituído por um corpo puntiforme suspenso por um fio inextensível de 
massa desprezível. A trajetória é um arco de circunferência de raio L igual ao comprimento do fio. 
A força restauradora F é o componente tangencial da força resultante. 
F teta= -mgsen teta 
 
A força restauradora é fornecida pela gravidade; a tensão T atua meramente para fazer o peso 
puntiforme se deslocar ao longo de um arco. A força restauradora não é proporcional a teta, mas 
sim a sen teta; logo, o movimento não é MHS. 
Contudo, quando o angulo teta é pequeno, sen teta é aproximadamente igual ao angulo teta em 
radianos. 
Assim, com essa aproximação: 
 
F teta = -mgx/L 
 
A força restauradora é então proporcional à coordenada para pequenos deslocamentos, e a 
constante da força é dada por k=mg/L. 
 
Omega = raiz (g/L) 
 
T = 2pi raiz (L/g) 
 
FOTO 
 
A utilidade de um pendulo para medir o tempo depende do fato de o período ser 
aproximadamente independente da amplitude, desde que a amplitude seja pequena. 
 
Pêndulo físico 
É qualquer pendulo real, que usa um corpo com volume finito, em contraste com o modelo 
idealizado do pendulo simples, que usa um corpo cuja massa está concentrada em um único 
ponto. 
 
FOTO 
 
Na posição de equilíbrio, o centro de gravidade está diretamente abaixo do pivô. 
Quando o corpo é deslocado conforme indicado, o peso mg produz um torque restaurador 
 
Tz = -(mg)(d sen teta) 
 
O sinal negativo mostra que o torque restaurador possui sentido anti horário quando o 
deslocamento possui sentido horário, e vice-versa. 
O movimento não é MHS, porque o torque restaurador não é proporcional a teta, mas sim a sen 
teta. Contudo, quando teta é pequeno, pode se fazer a mesma aproximação do pendulo simples. 
Assim, o movimento é aproximadamente harmônico simples. 
 
Tz = -(mgd) teta 
 
Omega = raiz (mgd/I) 
 
T=2pi raiz (I/mgd) 
 
FOTO 
 
Oscilações amortecidas 
 
Os sistemas oscilantes ideais que foram discutidos até o momento não possuíam atrito. Nesses 
sistemas as forças são conservativas, a energia mecânica total é constante e, quando o sistema 
começa a oscilar, ele continua oscilando sem diminuição da amplitude. 
Os sistemas reais sempre possuem alguma força não conservativa, assim, a amplitude das 
oscilações vai diminuindo com o tempo. 
A diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa denomina-se amortecimento e o 
movimento correspondente denomina-se oscilação amortecida. Exemplo: escoamento de um 
fluido viscoso, tal como em um amortecedor ou no caso do atrito entre superfícies lubrificadas 
com óleo. 
Com o amortecimento pequeno: 
 
X= A e^ -(b/2m)t X cos (omega linhat + fi) 
 
Omega linha = raiz ( k/m - b^2/ 4m^2) 
 
A amplitude Ae... nao é constante e diminui por causa do fator decrescente e... . Quanto maior o 
valor de b, mais rapidamente diminuirá a amplitude. 
 
Quando FOTO é satisfeita, ocorre o amortecimento crítico. O sistema não oscila mais, e ao ser 
deslocado e libertado, retorna para a posição de equilíbrio. 
A condição n maior do que 2raiz(km) corresponde ao superamortecimento. Novamente o sistema 
não oscila, porém retorna para sua posição de equilíbrio mais lentamente do que no caso do 
amortecimento crítico. 
Para o caso de superamortecimento: 
FOTO 
 
Para b menor que o valor crítico, há subamortecimento. O sistema oscila com uma amplitude que 
diminui continuamente. 
 
FOTO 
 
Oscilações forçadas e ressonância 
Você pode manter constante a amplitude das oscilações se fornecer a ele um pequeno empurrão 
ao final de cada ciclo. Essa força adicional é chamada de força propulsora. Quando uma força 
propulsora que varia senoidalmente atua sobre um oscilador harmônico amortecido, o 
movimento resultante denomina-se oscilação forçada. A amplitude é dada em função da 
frequência angular omega d da força propulsora, e atinge um pico quando a frequência da força 
propulsora possui um valor próximo da frequência da oscilação natural do sistema. Esse fenômeno 
denomina-se ressonância. 
 
FOTO 
14) Mecânica dos fluidos 
Denomina-se fluido qualquer substância que pode fluir; o termo pode ser usado para um gás ou 
para um líquido. Geralmente, considera-se gás o fluido que pode ser facilmente comprimido e um 
líquido, o fluido que é quase incompreensível, embora existam alguns casos excepcionais. 
A estáticados fluidos se pauta na primeira e na terceira leis de Newton. 
Densidade: massa por unidade de volume. 
ρ = mV 
A densidade relativa de um material ou massa específica relativa é a razão entre a densidade do 
material e a densidade da água a 4ºC, 1000 kg/m³. 
A densidade de alguns materiais varia de um ponto ao outro no interior do material. Um exemplo 
disso é o corpo humano, que inclui gordura (baixa densidade) e ossos (alta densidade). 
Quando um fluido (um gás ou um líquido) está em repouso, ele exerce uma força perpendicular 
sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele, tal como a parede do recipiente ou um 
corpo imerso no fluido. 
Embora o fluido como um todo esteja em repouso, as moléculas que o constituem estão em 
movimento; as forças exercidas pelo fluido são oriundas das colisões moleculares com as 
superfícies vizinhas. 
A pressão do fluido atua sempre ortogonalmente sobre qualquer superfície orientada em 
qualquer direção. A pressão não tem nenhuma direção própria, trata-se de uma grandeza escalar. 
Quando se despreza o peso do fluido, a pressão no interior do fluido é a mesma em todos os 
pontos do seu volume. 
 (pressão em fluido com densidade constante)gh P = P 0 + ρ 
A pressão em qualquer dos dois pontos do fluido é sempre igual em todos os pontos que possuem 
a mesma altura. A forma do recipiente não altera essa pressão. 
Lei de Pascal: A pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem 
nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente. 
A1
F1 = A2
F2 
O excesso da pressão acima da pressão atmosférica denomina-se pressão manométrica, e a 
pressão total denomina-se pressão absoluta. 
O empuxo é um fenômeno familiar: um corpo imerso na água parece possuir um peso menor do 
que no ar. Quando o corpo possui densidade menor do que a do fluido, ele flutua. O corpo 
humano normalmente flutua na água, e um balão cheio de hélio flutua no ar. 
O princípio de Arquimedes afirma: quando um corpo está parcial ou completamente imerso no 
fluido, o fluido exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual ao peso do volume do 
fluido deslocado pelo corpo. 
Essa força de baixo para cima denomina-se força de empuxo sobre o corpo sólido. A linha de ação 
da força de empuxo passa pelo centro de gravidade do fluido deslocado (que não coincide 
necessariamente com o centro de gravidade do corpo). 
Tensão superficial: a superfície do liquido se comporta como uma membrana submetida à tensão. 
As moléculas de um liquido exercem forças de atração mútuas; a força resultante sobre qualquer 
molécula situada no interior do volume do líquido é igual a zero, porém , uma molécula na 
superfície é puxada para dentro do volume. Ou seja, o líquido tende a minimizar a área da 
superfície, da mesma forma que uma membrana. 
A tensão superficial dificulta a penetração da água entre fendas pequenas. A pressão da água P 
necessária pode ser reduzida usando-se água quente com sabão, que possui tensão superficial 
menor. 
Um fluido ideal é um fluido incompreensível (cuja densidade não varia) e sem nenhum atrito 
interno (chamado de viscosidade). 
Pode-se considerar um gás incompreensível quando as diferenças de pressão de uma região para 
outra não forem muito elevadas. 
A trajetória de uma partícula individual durante o escoamento de um fluido denomina-se linha de 
escoamento ou linha de fluxo. Quando a configuração global do escoamento de um fluido não 
varia com o tempo, ele se chama de escoamento estacionário. Nesse tipo de escoamento, todo 
elemento que passa por determinado ponto segue sempre a mesma linha de escoamento. 
 (eq. da continuidade, fluido incompreensível)v vA1 1 = A2 2 
 (eq. da continuidade, fluido compreensível)A v v ρρ1 1 1 = A2 2 2 
 (eq. de Bernoulli)gy ρv gy ρvP 1 + ρ 1 + 2
1 2
1 = P 2 + ρ 2 + 2
1 2
2