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*
Ensino Superior
Geometria Analítica
Unidade 1.2 – Vetores do Plano Cartesiano
Amintas Paiva Afonso
*
GRANDEZAS VETORIAIS SEMPRE ESTÃO ASSOCIADAS AO:
MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO 
 Grandezas 
Escalares
 Comprimento (mm, m, ...)
Forças físicas: 
Peso, normal,
velocidade, aceleração, ...
 Massa (g, Kg...)
 Grandezas
Vetoriais
*
 Um vetor é uma matriz A que contém uma única coluna ou uma única linha.
A = [ a1 a2 ... an ] ou A = [ a1 a2 ... an ] t
*
*
 Dado um segmento orientado (A, B) o seu vetor correspondente é representado por AB.
 Quando não há o interesse na origem e extremidade do vetor podemos representar o vetor com uma letra minúscula, v.
 1.1 Soma de Ponto com Vetor
*
 1.2 Adição de Vetores
*
Ex: Dados dois vetores AB e AC obtenha AB + AC. 
AD = AB + AC
 II. Quando os dois vetores possuem a mesma origem:
A soma é obtida utilizando a
 REGRA DO PARALELOGRAMO. 
*
Observações Importantes:
I. O vetor resultante sempre “sai” da origem do sistema.
II. Quando os vetores não possuem as origens e as extremidades especificadas por letras, a soma dos vetores pode ser feita por qualquer um dos casos mostrados. 
III. O vetor BA possui sentido oposto ao do vetor AB, pode-se também representar BA = -AB.
*
Se o interesse é aumentar ou diminuir um vetor, multiplicamos tal vetor por um número maior que 1 ou por um número entre 0 e 1, respectivamente.
Obs: Se multiplicarmos o vetor por um número negativo, o sentido do vetor é invertido. 
Ex:
1.3 Multiplicação de um número real por um vetor.
*
Vetores paralelos, colineares 
1.4 Vetores Colineares
Dois ou mais vetores são colineares se tiverem a mesma direção.
Ex: Dados os vetores u, v , com u // v abaixo:
Vetores coincidentes, colineares, “ mesma linha” 
*
1.5 Vetores Coplanares
São vetores presentes no mesmo plano.
Observações
 2 vetores são sempre coplanares
 3 vetores são sempre coplanares no R2
 4 vetores são sempre coplanares no R3
 n (n  Z) vetores são sempre coplanares no Rn - 1
Nº de vetores maior que a dimensão do espaço
Pelo menos um vetor é COMBINAÇÃO LINEAR dos outros vetores.
*
Vamos mostrar dois exemplos com relação a observação anterior:
I) Dados u e v vetores no R2
Combinação linear nada mais é que a soma dos vetores ponderados por coeficientes.
w é combinação linear de u e v
w = u + v 
*
 II) Dados u, v e w vetores no R3
K = a1u + a2v + a3w , k é combinação linear de u, v e w ponderados pelos coeficientes a1, a2, a3. Portanto u, v e w são coplanares.
*
Um vetor v = (x1, y1) é representado no plano (R2) conforme a figura abaixo.
Basta marcar os pontos dados no plano e traçar o vetor v, partindo da origem do sistema. 
1.6 Representação de um Vetor no Plano
*
u + v = (1, 1) + (3, 1) =
Obs: Quando a origem do vetor não é indicada o ponto (0, 0) do plano é utilizado como ponto inicial.
1.6.1 Operações com Vetores no Plano
Ex: Dados vetores u = (1, 1) e v = (3, 1) determine u + v.
A idéia é somar coordenada com coordenada, isto é, “x com x” e “y com y”.
(1 + 3, 1 + 1) = (4, 2) 
*
*
Vetor u = (a, b) 
2u = (2a, 2b), 
½u = (½a, ½b)
Intuitivamente um vetor só depende do outro se esse “outro” existir.
*
	Dados 3 vetores u, v e w dizemos que estes vetores são L.D se u = a1v + a2w, caso não exista a1 e a2 os vetores são L.I.
	Geometricamente vetores colineares (ou paralelos) são linearmente dependentes (L.D.), caso contrário são L.I.
	Algebricamente vetores colineares são múltiplos , ou seja, 
Caso o vetor u = kv dizemos que u e v são L.D, caso contrário são L.I. 
*
*

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