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Ensino Superior
Geometria Analítica
4 – Produto Escalar e Produto Vetorial
Amintas Paiva Afonso
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 1. Vetores
 2. Reta
 3. Plano
 4.Distâncias
 5. Cônicas
 6. Superfícies
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Uma base é formada por vetores que são L.I. 
Sejam u e v, vetores. Se u = kv  u, v são L.D  u, v não formam uma base.
Sejam u, v e w, vetores. Se u = av + bw u, v e w são L.D u, v e w não formam uma base. 
As bases usuais, que são chamadas de bases canônicas
E= {(1, 0), (0, 1)}
E={(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)}
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1.9 Módulo de um Vetor
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Propriedades
I) u.v = |u||v|cos 
II) Se u.v = 0  uv 
1.10 Produto Escalar de Vetores
 Geometricamente, utilizamos o produto escalar entre dois vetores quando o interesse é:
Determinar o ângulo  entre esses vetores.
vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é:
u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2
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Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2 com v1 // u e v2  u. 
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O produto vetorial ao contrário do produto escalar resulta em um vetor.
Notação do produto vetorial: u x v.
Ex: Calcule u x v sendo que u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) 
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O vetor u x v é simultaneamente ortogonal a u e v. 
Observações
u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos vetores altera o sentido do vetor resultante.
(u x v).u = 0 e (u x v).v = 0
u x v = 0 se e somente se 
u // v (vetores L.D.).
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Se  é o ângulo entre os vetores u e v então:
|u x v| = |u||v| sen 
O |u x v| é a área de um paralelogramo de lados iguais ao |u| e |v|. 
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Ex: Seja A  r e o ângulo de r com o eixo x, para a determinação da equação da reta usa-se (I). 
Equação fundamental
Equação Geral 
Equação vetorial 
Equação paramétrica
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 Sejam os pontos A(x0, y0) e P(x, y)  r. A equação fundamental da reta é dada por:
Obs: AP = P - A é chamado de vetor diretor da reta
r: y - y0 = m(x - x0)
m = tg ,  é o ângulo entre r e o eixo x.
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