Derivada e Aplicações

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Derivada 
A reta tangente. 
Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto. 
Na situação da figura 4, dizemos que a reta r é tangente a circunferência no ponto P. 
Exemplos de retas tangentes (no ponto P) a algumas curvas: 
Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 
Na figura 7, apesar da reta tocar a curva em dois pontos, ela tangencia a curva em P, como na figura 4. 
Estas retas tocam suavemente as curvas nos pontos P indicados. 
Exemplos de retas que não são tangentes (no ponto Q) a algumas curvas: 
Fig. 8 Fig. 9. 
Estas retas não tocam suavemente as curvas nos pontos indicados como no exemplo da 
circunferência (fig. 4). Elas “cortam” , “penetram” as curvas. 
22 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Vamos determinar a equação da reta tangente a uma função (uma curva) num ponto do seu 
domínio. 
Seja y = f ( )x uma curva definida no intervalo (a,b) . Considere ( )ooP x , y , sendo oy = f ( )ox , um 
ponto fixo e (Q x, y) um ponto móvel, ambos sobre o gráfico de f. 
Seja s a reta que passa pelos pontos P e Q. 
Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto P. 
o 
o 
xxx 
yyy 
−=∆ 
−=∆ 
Considerando o triângulo retângulo PTQ, obtemos o coeficiente angular da reta s como 
tg( )β = ∆y = y − yo . ∆x x − xo 
Suponha que o ponto Q mova-se sobre o gráfico de f em direção ao ponto P. Desta forma, a reta 
s se aproximará da reta t. O ângulo β se aproximará do ângulo α, e então, a tg β( ) se aproximará da 
( ) . Usando a notação de limites, é fácil perceber que tg α
lim tg(β) = tg(α) . 
Q→P 
Mas quando Q → P temos que x → xo . Desta forma, o limite acima fica 
lim tg( ) = tg( ) α ⇔ lim y − yo = lim f (x) − f (xo ) = tg αβ ( ) . 
Q→P x→xo x − x x→xo x − xo o 
x
Assim lim f 
( )− f ( ) xo = tg( )α . 
x→xo x − xo 
23 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Definição: Seja y = f ( ) uma curva e P(xo , yo )x um ponto sobre o seu gráfico. O coeficiente 
angular m da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado pelo limite 
f (x)− f (x )
m = lim o , quando este existir. 
x→xo x − xo 
= tg( )m α 
= f ( )yo xo 
Equação da reta tangente 
Podemos agora determinar a equação da reta tangente t, pois já conhecemos o seu coeficiente 
angular e um ponto do seu gráfico P(xo , yo ) . 
A equação da reta tangente t é: 
a) (y − yo ) = m(x − xo ) , se o limite que determina m existir; 
f ( )− f ( o )b) A reta vertical x = xo se lim x x for infinito. x→xo x − xo 
2Exemplo 19. Determine a equação tangente a parábola f (x) = x no ponto de abscissa xo = 1 . 
Solução: Temos que determinar dois termos yo e m. 
y = f ( )⇒ y = ( ) = 1
x f 1 2 = 1 .o o o 
2f ( )x − ( ) xo x − ( ) xf f ( ) f 1 −1 m = lim = lim = lim =L = 2 . 
x→xo x − x x→1 x − 1 x→1 x − 1o 
Logo a equação da reta tangente é (y − 1) = 2(x − 1) ou y = 2x −1 . 
 24 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Equação da reta normal 
Definição: Seja y = f ( ) uma curva e P(xo , yo )
x um ponto sobre o seu gráfico. A reta normal (n) 
ao gráfico de f no ponto P é a reta perpendicular a reta tangente (t). 
x −	 xo• A equação da reta normal é (y − yo ) = −1 (x − xo ), sendo que m = lim f ( ) f ( ) ≠ 0 . m	 x→xo x − xo 
•	 Se m = 0 , então a equação da reta normal é a reta vertical x = xo . 
f ( )x − f ( ) xo
•	 Se lim for infinito, então a reta normal é horizontal e tem equação y = yo . x→xo x − xo 
Atividades (grupo 15). 
Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo nos pontos 
indicados. Esboce os gráficos das funções com as retas. 
3a) f ( )x = x no ponto de abscissa xo = 1 . 
b) f ( )x = x no ponto de abscissa xo = 4 . 
A derivada de uma função num ponto 
f ( )x − f ( ) xoO limite lim é muito importante, por isso receberá uma denominação especial. 
x→xo	 x − xo 
Definição:	 Seja y = f ( ) uma função e xox um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da 
função f no ponto x e denota-se f ' ( ) (lê-se f linha de x ), o limite xo o	 o 
f ' ( )x = lim f (x)− f (xo ) , quando este existir.o x→xo	 x − xo 
Forma alternativa para derivada: 
Se fizermos ∆x = x − xo , obtemos a seguinte forma para f ' (xo ) : 
f ' ( )xo = lim f (xo + ∆x)− f (xo ) . ∆x→0 ∆x 
25 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Outras notações para a derivada da função y = f (x) num ponto x qualquer: 
•	 y' ( )x	 (lê-se: y linha de x); 
•	 Dx f (lê-se: derivada da função f em relação à x); 
dy
• (lê-se: derivada de y em relação à x).
dx 
2Exemplo 20. Dada a função f ( ) = x − x +x 1 , determine f ' (2). Use as duas formas da definição. 
x xo⇒ Usando f ' ( )xo = lim f ( )− f ( ) : x → x x − xo o 
2 2 
2 ( )− ( ) x − x + 1 − 3 x − x − 2 x − 2)(x + 1 ) = 3f ' ( ) = lim f x f 2 = lim = lim = lim ( ) = lim (x + 1 . 
x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 
( ) f (xo + ∆x)− f (xo )⇒ Usando f ' x = lim	 :o ∆x→0 ∆x 
2 ( ) = lim ( + ∆x)− f 2 = lim ( + ∆x 2 − 2 + ∆x)+ 1 − 3 = lim 4 + 4∆ + ∆x = f 2 ( ) 2 ) (	 x − 2 − ∆x − 2f ' 2 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 
2 
= lim 3∆x + ∆x = lim ∆x(3 + ∆x) = lim (3 + ∆x) = 3 + 0 = 3 . 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 
Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua neste ponto. 
Atividades (grupo 16). 
1. Determine a equação da reta tangente à curva y = 5 − x2 , que seja perpendicular à reta y = 3 + x . 
2. Determine a equação da reta normal à curva y = x 3 , que seja paralela à reta 3y + x = 0 . 
Derivadas laterais 
Lembre-se que o limite de uma função num ponto somente existe se os limites laterais 
existem e são iguais. Como a derivada de uma função num ponto é um limite, esta derivada 
somente existirá em condições análogas. 
Definição: Seja y = f ( ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à direita de f emx 
x , denotada por ' ( ) é definida porf+	 xo	 o 
f ( ) = lim f (x)− f (xo ) .' x+	 o 
x→xo + x − xo 
26 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
Definição: Seja y = f ( ) uma função e xo um ponto do seu domínio. A derivada à esquerda de fx 
em xo , denotada por f−' (xo ) é definida por 
f ( ) = lim f (x)− f (xo ) .' x− o
x→xo − x − xo 
Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda) 
existem e são iguais neste ponto. 
Exemplo 21. Considere a função x =f ( ) x + 1 . Mostre que esta função é contínua no ponto 
x = −1 mas não é derivável neste ponto. 
f é contínua neste ponto pois lim f ( )x = lim x + 1 = − 1 + 1 = 0 = 0 = f (− 1). 
x→−1 x→−1 
x + 1, x > −1 
Sabemos que f ( )x = x + 1 = − x − 1, x < −1 . Vamos calcular f ' (− 1) : 0, x = −1 
f+ ' ( ) = lim + f ( )− f (− 1) = lim + x + 1 − 0 = lim + x + 1 = lim + 1− 1 x→−1 x x + 1 x→−1 x + 1 x→−1 x + 1 x→−1 ( ) = 1 . 
− 1 x f − x 0 ( + 1 ( ) .
f ' ( ) = lim f ( )− ( 1) = lim − − 1 − = lim − x ) = lim − 1 = −1− 
x→−1− x + 1 x→−1− x + 1 x→−1− x + 1 x→−1− 
Como as derivadas laterais são distintas concluímos que não existe f ' (− 1) . 
Veja o gráfico da função f ( )x = x + 1 . 
Não existe reta tangente 
ao gráfico desta função no 
ponto x0 = −1. 
Obs.: Quando as derivadas laterais existem e são diferentes num ponto, dizemos que este é um 
ponto anguloso do gráfico da função. Neste caso, não existe reta tangente num ponto anguloso. 
No exemplo acima a função f ( ) x + 1 tem um ponto anguloso em x = −1 .x =
Atividades (grupo 17). Verifique se a função abaixo tem derivada no ponto xo . Este ponto é 
anguloso? Esboce o gráfico da função e constate. 
a) f ( )x = 1 − x
2 , x > 0 
no ponto xo = 0 . b) g( )x = x
2 + x +1, x > 0 
no ponto xo = 0 . e x , x ≤ 0 e x , x ≤ 0  
27 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Regras de derivação 
Vamos apresentar algumas regras que irão facilitar o cálculodas derivadas das funções sem recorrer 
a definição. 
1. Derivada de uma função constante. 
Se f ( ) = c f ' (x) = 0 .x , c é uma constante real, então 
f + ∆ − ( ) ' ( ) = lim (x x) f x = lim c − c = lim 0 = 0 .f x 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 
2. Derivada da função potência. 
n ' n−1Se n é um inteiro positivo e f ( )x = x , então f (x) = nx . 
n nf (x + ∆ )− f x (x + ∆x − xProva: f ' ( ) = lim x ( ) )x = lim 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 
nUsando o Binômio de Newton para expandir (x + ∆x) , obtemos 
n n−1 n−2 n ∆x + n(n − 1) x ( )2 + ...+ nx( ) n−1 + ∆x n  − xx + nx ∆x ∆x ( ) 
f ' ( ) = lim  2! 
x = 
∆x→0 ∆x
∆x nxn−1 +
n(n − 1) xn−2 ( ) ...+ nx( )x n−2 + ∆x n−1 
∆x + ∆ ( ) 2! = lim = 
∆x→0 ∆x
 n−1 n(n − 1) n−2 ( ) ( )n−2 ( )n−1  n−1
= lim nx + x ∆x + ...+ nx ∆x + ∆x  = nx . ∆x→0  2!  
Exemplo 22. Calcule as derivadas das funções abaixo: 
a) ( ) xxf = b) ( ) 2xxf = c) ( ) 5xxf = 
1 1−1a) f ( ) = x ⇒ f ' x = 1x = 1x ( ) . Logo f ' (x) = 1 . 
2 2−1b) f ( ) = x ⇒ f ' x = 2x = 2xx ( ) . Logo f ' (x) = 2x . 
5 5−1 4 4c) f ( ) = x ⇒ f ' x = 5x = 5xx ( ) . Logo f ' (x) = 5x . 
Obs.: Se n for um número inteiro negativo ou racional o resultado contínua válido. 
Atividades (grupo 18). 
−1 21. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f (x) = x é f ' ( )x = −x− . 
2. Mostre, usando a regra e a definição, que a derivada da função f (x) = x é f ' ( ) 1 x = . 
2 x 
28 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
3. Derivada do produto de uma constante por uma função. 
Se f ( ) c ( ) = cfx é uma função derivável e é uma constante real, então a função g x (x) tem 
derivada dada por g' ( ) = cf ' xx ( ) . 
( ) g(x + ∆x)− g x cf (x + ∆x − cf (x) [ x + ∆ )− f( ) ) c f ( x ( ) x ]Prova: g´ x = lim = lim = lim = 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 
( ) c f (x + ∆x)− f x = cf´( ).= ⋅ lim x 
∆x→0 ∆x
3 2 2
Exemplo 23. Se f ( )x = 5x então f ' (x) = 5(3x ) = 15x . 
4. Derivada de uma soma de funções. 
Se f ( ) e ( ) são função deriváveis, então a função h(x) = f (x)x g x + g(x) tem derivada dada por 
h' ( ) = f ' ( )x + g' xx ( ). 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
3 2 2Exemplo 24. Se f ( ) = 4x + 3x − x + 5 então f ' x = 12x +x ( ) 6 x − 1 . 
5. Derivada de um produto de funções. 
Se f ( ) e ( ) são função deriváveis, então a função h x = f (x)⋅ g(x)x g x ( ) tem derivada dada por 
( ) = f ' ( ) ( ) g x + x ⋅ g' x .h' x x ⋅ f ( ) ( )
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
Exemplo 25. 
3 2 3 3 2Se f ( ) = ( − x (2 − x) então f ' x = 3x − ) − x)+ ( − x ( − 1 = −4x + −6 x + 2x − 2x x ) ( ) ( 1 (2 x ) 0 ) . 
6. Derivada de um quociente de funções. 
Se f ( ) e ( ) são função deriváveis, então a função h x f (x) tem derivada dada por x g x ( ) = ( )g x
( ) f ' ( ) ( ) ⋅ g x − f ( ) ( ) ⋅ g' x
h' x = x 2 x .[ ( )]g x 
Pesquise a demonstração deste resultado num livro de cálculo. 
2 − 2 2 Exemplo 26. Se f ( ) 5x 8 então f ' ( ) = (10x)⋅ (2x)− (5x − 8)⋅ (2) = ... = 5x + 8 x = x .
2x 4x2 2x2 
29 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Atividades (grupo 19). 
1. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções abaixo: 
−2 8 4a) f ( ) = x + 3x + 1. b) f x = xx ( ) ( ) (x + 3) . c) f (x) = (3x + x)(6 − x). 
2d) f ( )x = (x − 3) 2x3 . e) f ( )x = 5x − 3 + 3 x . f) f (x) = x1 4 (2 − x) .
2 
g) f ( ) 
x + 
x
1 
−2 + . f ( ) 
x
2
− 
x
2 . ( ) 4 3x = + x 6 h) x = i) f x = x (1 − x2 ). 
2. Determine os valores das constantes a e b na parábola f (x) = ax 2 + b de modo que a reta de 
equação y = 8x + 4 seja tangente a parábola no ponto x = 2 . 
Derivada da função composta (Regra da cadeia) 
3 ( ) . 
Considere agora a função composta gof (x) = g( f (x)) = (2x + 1)3 . Como poderemos obter a derivada 
da função composta gof (x) sem desenvolver o Binômio? A regra que veremos agora estabelece uma 
forma de obter a derivada da função composta em termos das funções elementares f e g. 
Até o momento sabemos derivar a função g(x) = x e também a função f x = 2x + 1 
Regra da cadeia 
g u xSe y = ( ), u = f ( ) e as derivadas dy e du existem, então a função composta 
du dx 
y = gof ( ) = g( f ( )x x ) tem derivada dada por 
dy dy du
 y´ ( ) = ( )⋅ u´ (x)x y´ u (x) = g´ ( f ( ) ⋅ f´( )gof´ x ) x .= ⋅ ou ou
dx du dx 
As três formas acima são equivalentes, mudam apenas as notações. 
Exemplo 27. Calcule a derivada das funções abaixo: 
5 
a) y = (2x + 1)3 b) y = 5x + 3 c) y =  x   1 − 3x  
Para calcular a derivada dessas funções, precisamos identificar as funções elementares y = g(u) e 
f ( ) (cujas derivadas conhecemos) que formam a função composta e aplicar a regra. u = x 
a) y = (2x + 1)3 
y = u 3  u = 2x + 1 
Então y´ ( ) = y´ u ⋅ u´ x ⇒ y´ ( ) = 3u 2 ⋅ 2 = 3 2x + )2 ⋅ 2 = 6 2x + )2x ( ) ( ) x ( 1 ( 1 . 
Logo y´ ( ) = 6 2x + )x ( 1 2 . 
30 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
b) 	y = 5x + 3 
y = u  u = 5x + 3
Então y´ ( ) = y´ u ⋅ u´ x ⇒ y´ ( ) = 1 ⋅ 5 = 5 . Logo y´ ( ) 5 .
x ( ) ( ) x ( ) 	 x = 
2	 u 2 5x + 3 2 5x + 3 
5 
c) 	y =  x   1 − 3x  
y = u 5  x u =  1 − 3x 
x ( ) ( ) u´ y´ = 5u (1)(1 − 3x)− (x)(− 3) =4Então y´ ( ) = y´ u ⋅ x ⇒ ( )x ⋅
 (1 − 3x)2  
 4 ( )( − 3x) ( )( ) − 3  4 = 5	 x  ⋅  1 1 − 2x  = 5x 6 .  1 − 3x   (1 − 3x)  (1 − 3x)
Logo y´ ( ) = (1 − 
5x
3
4
x)6 .x 
Proposição: Se f ( )x	 é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então 
d n n[ f ( ) n−1 ( )[ f ( )x ] = x ] . f´ x
dx 
Prova: Fazendo y = u n , onde u = xf ( ) e aplicando a regra da cadeia, temos 
( ) = y´ ( ) ( ) u ⋅ u´ x ⇒ y´ x = nu n−1 ⋅ f´(x) ⇒ y´ x = n[ f (x) n−1 ⋅ f´y´ x ( ) ( ) ] (x) . 
A proposição continua válida se n for um número racional não nulo. 
Exemplo 28. Calcule a derivada da função y = 4 ⋅ 3 3xx1 −+ . 
Podemos escrever y = 4(1 + x − x3 )1 3 e calcular a derivada usando a proposição acima: 
y´ 	 x 1 1 3 )−( ) = 4 ⋅ ( + x − x 32 ⋅ (1 − 3x2 ) .
3 
Obs: Com a regra da proposição acima poderíamos calcular todos os exercícios do exemplo 27. 
Mas a regra da cadeia é mais completa, ela possibilitará a resolução de outros problemas mais 
complicados... 
31 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
Atividades (grupo 20). Calcule a derivada das funções abaixo: 
a) y = (2 − x3 )6 . b) y = (x4 − 2)−3 . c) y = 2x − 3 . 
(1 − 3x)2 (2x)4 3 1 + 4xd) y = (1 + 5x) . e) y = (1 − x)3	 f) y = x + 1 
Derivada da função inversa 
−1Se uma função f ( ) admite uma função inversa x = fy = x (y), então a função inversa tem 
derivada dada por 
−1 1( )´ ( )y = 
f´( ) , f´(x) ≠ 0f	 . x 
−1	 −1x . Aplicando a regra da cadeia, obtemos que ( ) ( ( ) ( ) = 1Sabemos que 	 f of ( ) = x f ´ f x )⋅ f´ x , daí 
− 1( f )´ ( ) = 
f´
1 
( ) , desde que f´( ) ≠ 0 .y x x 
3	 −1Exemplo 29. Seja y = f (x) = 5x . Calcule a derivada ( f )´ (40) invertendo a função e usando a 
regra da derivada da inversa. 
⇒	 Invertendo a função: 
3 −1 y 3 y  y  
31
−1 1  y − y = f ( )x = 5x ⇒ x = f ( ) = 
5 
=  5  . Assim ( )f ´( )y = 3  5  
32
⋅ 
5
1 
−1 ´ 40 1  40 
− 32 1 1 8 −Logo ( )f ( ) = 
3  5  ⋅ 5 = 15 ( ) 
32 = 
15( )8
1 
32 = 1 .60 
⇒ Usando a regra da derivada da inversa: 
Se 40 e y = f x = 5x3 3 40 3 2y = ( ) , então x = = 8 = 2 . Como f´(x) = 15x , obtemos 
5 
−1	 −1( )f ´( ) =	 1 ( ) ⇒ ( )´ ( ) = f´1 ( )2 = 1512 = 601 .y f´ x f 40 ( )2 
32 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Atividades (grupo 21). 
1. Seja y = f ( ) = 5x − 3 . Calcule a derivada ( f ) (2) usando a regra da derivada da inversa. x −1 ´ 
2 −12. Seja y = f ( ) = x , xx > 0 . Calcule a derivada ( f )´ (3) usando a regra da derivada da inversa.Derivada das funções elementares. 
Vamos agora apresentar as derivadas das funções elementares do cálculo. São elas as funções 
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas. 
1. Derivada da função exponencial. 
x xProposição: Se f ( ) = a , a > 0 e a ≠ 1)x ( , então f´(x) = a ln(a). 
x+∆x x x ∆x ∆x 
Prova: f´( ) = lim a − a = lim a (a − 1) = lim a x ⋅ lim (a − 1) = a x ln ax 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x ( ) . 
x 
Lembre-se que lim (a∆ − 1) = ( )ln a é uma conseqüência importante do limite fundamental 
∆x→0 ∆x 
exponencial (item ii pág. 14). 
x x xCaso particular: Se f ( )x = e , então f´(x) = e ln(e) = e , onde e é o número neperiano. 
Exemplo 30. Determine a deriva da função y = 6e x . 
Usando a regra da cadeia, obtemos: 
 = 6ey u ( ) = y´ ( ) ( ) u ⋅ x = u 1 = 3e x . y´ x u´ 6e ⋅ u = x 2 x x 
Atividades (grupo 22). 
1. Calcule a derivada das funções abaixo: 
+1 2 x 2 5 x+1 
22 x ( ) ( ) d) f ( ) 1 − x
2 
a) f ( )x = . b) f x = e . c) f x = 3x ⋅ e . x = e x . 
2. Calcule a área do triângulo retângulo sombreado na figura abaixo, sabendo-se que n é a reta 
xnormal a f ( )x = e no ponto de abscissa x0 = 1. 
Resp.: 2e3 
33 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
2. Derivada da função logarítmica. 
x ( ) ( f´( ) = 1 ( ) .Proposição: Se f ( ) = loga x , a > 0 e a ≠ 1) , então x x ln a 
Prova: A função logarítmica y = f (x) = loga (x) é a inversa da função exponencial 
x = f −1 ( ) = a yy . Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para determinar 
f´( )x . Assim: 
1( ) ( )1 ( )y a 1 ( ) x ln1 a f´ x = f − ´ = y ln a = ( ) . 
Caso particular: Se f ( ) = ln x , então x 1 ( ) = 
1
x 
.x ( ) f´( ) = 
x ln e 
4 x+1 
Exemplo 31. Determine a deriva da função y = e ( ) .ln x 
Usando a regra da derivada do quociente 
 f 
´ = f´ g − 2 fg´ e a regra da cadeia na função  g  g 
exponencial, obtemos: 
(e4 x+1 ⋅4)[ln( )x ]− (e4 x+1 ) 1  
y´ = 2  x  [ ( )]ln x 
Atividades (grupo 23). 
1. Calcule a derivada das funções abaixo: 
3xa) f ( ) = 4 log2 5x . b) f x = ln(2x c) f (x) = e ⋅ ln( x ). xx ( ) ( ) + 1) . d) f ( ) = ln(− 32xx ) . e 
3. Derivada das funções trigonométricas. 
Proposição: 
a) y = ( ) ⇒ y´ = ( ).sen x cos x 
b) y = ( ) ⇒ y´ = − ( ) .cos x sen x 
c) y = ( ) ⇒ = sec ( )tg x y´ 2 x . 
cot g x y´ = xd) y = ( ) ⇒ −cos ec2 ( ) . 
e) y = ( ) ⇒ y´ = ( ) ( ).sec x sec x tg x 
f) y = ( ) ⇒ y´ = − ( )cos ec x cos ec x cot g(x) . 
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens têm demonstrações análogas e ficam 
como exercício. 
34 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
 
a) y = ( ) . Aplicando a definição... sen x
sen(x + ∆x)− sen(x) sen(x)cos(∆x)+ sen(∆x)cos(x)− sen(x)
y´ = lim = lim = 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 
sen( ) ( ) + ( ) cos ∆x − ] sen ∆x cos(x) sen x [ ( ) ∆x −∆x cos x sen x [ ( ) 1 ( ) ( ) cos 1]= lim = lim + lim = 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 
( )⋅ lim sen( ) + ( )⋅ lim cos( x) = cos x ⋅ 1 + sen( ) ( ) x ⋅ 0 = cos x= cos x ∆x sen x ∆ − 1 ( ) ( ) ( ) . 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 
sen ( )(∆x) cos ∆x − 1Lembre-se que lim = 1 é o limite trigonométrico fundamental e lim = 0 
∆x →0 ∆x ∆x→0 ∆x 
foi resolvido no exemplo 13 (c) da pág. 15. 
c) y = ( )tg x 
( )Como ( ) = ( ) e já sabemos a derivada função sen(x)tg x 
sen x , podemos aplicar a derivada do 
cos x 
quociente: 
2 2( ) ( ) − sen( )x [ sen x ] = cos (x)+ sen (x) 1 = sec2 ( ). cos x cos x − ( )y´ = 2 2 = 2 x( ) cos ( ) cos xcos x x ( ) 
2 2Lembre-se que cos ( )+ sen xx ( ) = 1 é a relação trigonométrica fundamental. 
e) y = ( )sec x 
Como ( ) = 1 ( ) e sabendo-se que a derivada da função cos(x) é ( ), podemos aplicar sec x − sen x cos x 
a derivada do quociente: 
y´ = ( ) ( ) ( ) − sen(x)] = 1 sen x = 1 ⋅ sen(x) = ( ) ( ) 0 cos x − 1 [ ( ) ( ) sec x tg x .2 2cos x ( ) cos x( )x cos ( ) cos x ( ) 
Exemplo 32. Calcule a derivada das funções compostas abaixo: 
tg x5 x3sen 3x ( ) c) y ( x )⋅ e . d) y = ( )− 1 .a) y = ( 2 ). b) y = cos x . = tg ( )sec x 
Soluções: 
a) y = sen(3x2 )
Usando a regra da cadeia, obtemos: 
y = sen2 
( )u ( ) = y´ ( ) ( ) u ⋅ u´ x = cos u ⋅6 x = ( ).  y´ x ( ) 6 x cos 3x2 
u = 3x 
35 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
3b) y = cos ( )x 
Usando a regra da cadeia, obtemos: 
 3y = u ( ) = y´ ( ) ( )u ⋅ u´ x = 3u 2 [ sen x = − ( ) 2 x y´ x	 ⋅ − ( )] 3 sen x cos ( ) . u = cos( )x 
5 xc) y = tg( x )⋅ e
Usando a regra da derivada do produto ( f ⋅ g )´ = f´ g + fg´ e a regra da cadeia, obtemos: 
2  1  5 x ( 5 x ( ) .y´ = sec ( x ) e + tg x )e ⋅ 5  2 x 
tg( )x − 1
d) y = ( )sec x 
Usando a regra da derivada do quociente 

 f 

´ = f´ g − 2 fg´ e a regra da cadeia, obtemos:  g  g 
2[ ( )] [sec( )x ]− [tg( )x − 1] [sec( )x tg(x)sec x	 ]
y´ =	 2 . sec ( )x 
tg(x)+ 1Mostre que esta expressão é igual a y´ = ( ) . Simplifique-a utilizando a relação trigonométrica sec x 
2 21 + tg ( ) = sec ( ) se necessário.x x 
Atividades (grupo 24). 
1. Calcule a derivada das funções abaixo: 
a) f ( ) = 3x ( 2 ) d) f x sen(x)
x + sec x . 	 ( ) = 1 + cot g( )x . 
x ( ) ( ) 	 x  x + 1 b) f ( ) = sen x cos 2x . e) f ( ) = cos ec  .  x − 1  
c) f ( ) = tg(3 x ) f) f x = cos  e x x . ( ) 	  . 
 x 
36 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
4. Derivada das funções trigonométricas inversas 
Proposição: 
1 
a) y = ( ) y´ = arcsen x ⇒ 
− 1 
b) y = ( ) y´ = arccos x ⇒ 
1 
c) y = ( ) ⇒ y´ = 1 + x2 . arctg x 
− 1 
d) y = ( ) ⇒ y´ = 1 + x2 . arc cot g x 
1 x > 1 . 
e) y = ( ) y´ = , arc sec x ⇒ x x2 − 1 
− 1 x > 1 .f) y = ( ) y´ = 
x2 − 1
,arccos ec x ⇒ 
x 
Prova: Vamos provar os itens (a), (c) e (e). Os outros itens têm demonstrações análogas e ficam 
como exercício. 
a) Seja f : [− 1,1]→ [− π 2 , π 2] definida por y = f (x) = arcsen(x) . Esta função tem como inversa 
−1a função x = f ( ) = sen yy ( ) . Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para 
determinar f´( )x . Assim: 
f´( ) = 1 = 1 = 1 1 x = . 
y ( ) y x 2
f −1 ( ) cos y 1 − sen2 ( ) 1 − 
Observe que y ∈[− π 2 ,π 2]. Neste caso o sinal da função cos(y) é positivo. Usando a relação 
2x1 − 
. 
2x1 − 
. 
trigonométrica fundamental cos2 ( )+ sen2 (y) = 1 , obtemos cos y = 1 − sen2 ( ) .y ( ) y 
c) Seja f : ℜ→ (− π 2 ,π 2) definida por y = f (x) = arctg(x) . Esta função tem como inversa a 
−1função x = f ( ) = tg yy ( ) . Podemos então usar o resultado da derivada da função inversa para 
determinar f´( )x . Assim:
x = .
f´( ) = − 11 ( ) = 
1
2 ( ) = 
1
2 ( ) 
1
2f y sec y 1 + tg y 1 + x 
2 2Lembre-se que sec ( ) = 1 + tg yy ( ) . 
 37 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
x 
e) Seja y = ( ). Podemos reescrever esta expressão como y = arccos  1  ,arc sec x	   x > 1 . Usando o  x  
item (b) da proposiçãoe a regra da cadeia, obtemos: 
x−1  − 1  1 1 1 1 y´ = ⋅  2  = = = = = . 
1 −  1 
2  x  
x2 x
2
2 
− 1 x2 x
2 − 1 x2 x
2 − 1 x2 x2 − 1 x2 − 1 
x x 	 x x2 
´ 
Obs.: lembre-se que 	 1  = − 1 .  x  x2 
Exemplo 33. Calcule a derivada das funções abaixo: 
a) y = arcsen(2x − 1). b) y = arctg 11 +
− x
x2
2 
 .   
Solução: 
a) y = arcsen(2x − 1). Usando a regra da cadeia, obtemos: 
y = ( ) x y´ u	 2  arcsen u y´ ( ) = ( ) ( ) ⋅ u´ x = 1 ⋅ ( ) =	 .2 u = 2x − 1 1 − u 2 1 − (2x − 1)2 
 1 − x2 b) y = arctg  . Novamente a regra da cadeia...  1 x  + 2  
y ( ) 	    − 1 2 ) ( 2 ( ) = arctg u	 1 ( 2x)( + x − 1 − x ) 2x  2 1 − x y´ ( )x = y´ ( ) ( ) u ⋅ u´ x =  2  ⋅  2  = 1 + u 2u = 2	    (1 + x )  1 + x 
 
 
 1   − 4x  − 2x
=  2  ⋅  2  simplifiqueesta expressão e mostre que é igual a 4 . 2 2 1 + x1 + 
 1 − x
2 
  (1 + x )   1 + x     
Logo y´ ( ) 
1 
−
+ 
2
x
x
4 .x = 
Atividades (grupo 25). 
Determine a derivada das funções: 
a) y = arccos(x2 − 1). 	b) y = 3x ⋅ arctg(e x ). 
38 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Tabela de derivadas 
Vamos fazer um resumo das derivadas das principais funções vistas até aqui. Nesta 
tabela u é uma função derivável na variável x. São constantes reais c, n e a. 
1 ( ) ( )⇒ y' = ( ) ( ) ( ) y = c ⇒ y' = 0 11 y = sec u sec u tg u .u' 
n n−1( )2 y = x ⇒ y' = nx ( ) y = ( )⇒ y' = − ( ) ( )12 cos ec u cos ec u cot g u .u' 
( ) y = u n ⇒ y' = n.u n−1.u' ( ) y = arc sen( ) u u'3 13 ⇒ y' =
1 − u 2
( ) y = a ⇒ y' = a ( ) 4 u u .ln a .u' 
( )14 y = arc cos( ) u ⇒ y' = − u' 
( ) y = log a ( ) u , u' ( ) 
1 − u 2 
5 ⇒ y' = 
u.ln a 
( ) y = arc tg( ) u ⇒ y' = u' 15 
( ) y = ( ) ( > 0)⇒ y' = u' 1 + u 2 6 ln u , u 
u 
( )16 y = arc cotg( ) u ⇒ y' = − u' ( ) y = ( )⇒ y' = cos u .u' 27 sen u ( ) 1 + u 
u' cos u ( ) 17 y arc sec( ) > 1 ⇒ y' = 
u 
( ) 8 y = ( )⇒ y' = −sen u .u' ( ) = u , u 
u 2 − 1 
2( ) y = ( )⇒ y' = sec u .u'9 tg u ( ) 
u'
( )18 y = arc ( ) cosec u , u > 1 ⇒ y' = − 
u u 2 − 12( ) y = ( )⇒ y' = − cos ec u .u'10 cot g u ( )
Regras operacionais 
Se u e v são funções deriváveis, então: 
1) y = u ± v ⇒ y ′ = u ′ ± v′ 
2) y = u ⋅ v ⇒ y′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ 
3) y =  u  ⇒ y′ = u ′ ⋅ v − 2 u ⋅ v
′ 
 v  v 
39 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Derivadas sucessivas 
Em algumas aplicações precisamos derivar uma função mais de uma vez. Se uma 
função y = f ( ) for derivável, isto é, existe f´ , podemos pensar na derivada de f´( )x (x) x e assim 
sucessivamente. 
Definimos e denotamos as derivadas sucessivas de uma função y = f (x) de acordo com a tabela 
abaixo: 
Como lê-se: Notação: 
1a derivada ou derivada de 1a ordem ( ) dx 
dyouxf´ 
2a derivada ou derivada de 2a ordem ( ) 2 
2 
dx 
yd ouxf´´ 
3a derivada ou derivada de 3a ordem ( ) 3 
3 
dx 
d youxf´´´ 
4a derivada ou derivada de 4a ordem ( ) ( ) 4 
4 
4 
dx 
yd ouxf 
M M 
na derivada ou derivada de na ordem ( ) ( ) n 
n 
n 
dx 
yd ouxf 
Justificativa para as notações: 
• f´´ ( )x = f´ x ] , f´´´ x = [ f´´ x ´[ ( )´ ( ) ( )] , a partir da quarta derivada usamos o cardinal. 
• d 
2
2
y = d  dy  , d 
3 
3
y = d 
 d 2
2
y 

, e assim sucessivamente. 
dx dx  dx  dx dx  dx  
Exemplo 34. 
a) Se f ( ) = x + 2xx 4 − 1 , então: 
3f´( ) = 4x + 2x 
( ) = 12xf´´ x 2
( ) = 24x
f´´´ x 
( ) ( ) 24f 4 x = 
( ) ( ) 0f 5 x = 
... 
( )( ) 0f n x = , para todo n ≥ 5 . 
40 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
2 xb) Se f ( )x = e , então: 
( ) = 2ef´ x 2 x
( ) = 4e
f´´ x 2 x
( ) = 8e
f´´´ x 2 x 
4 2 xf ( ) ( )x = 16e 
... 
( ) ( )f n x = 2n e2 x . 
c) Se f ( ) = sen xx ( ) , então: 
f´( )x ( )= cos x
f´´( ) = ( ) 
x − sen x
f´´´ ( ) = − ( ) 
x cos x
( ) ( )x = ( ) 
f 4 sen x 
... 
 ( ) 1,5,9,...cos x , n =
( ) ( ) 
− sen( )x , n = 2,6 ,10,...
f n x = 
− cos( )x , n = 3,7,11,...
sen( )x , n = 4,8,12,... 
Atividades (grupo 26). 
1. Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
a) y = 3x4 − 2x − 9, n = 4 . 
b) y = ax3 + bx 2 + cx+d, n = 3 . 
1c) y = , n = 3 . 
1 − x 
d) y = sen(− 5x), n = 5 . 
2e) y = ln(1 − x ), n = 3 . 
f π 
99( ) 3x2. Calcule ( ) , sendo f (x) = e + sen(2x). 
41 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Derivada na forma implícita 
y = x 
determinar uma maneira de derivar expressões que não tenham a variável y isolada (explicitada) 
Até agora sabemos derivar funções que são expressas na forma f ( ). Agora iremos 
2 2 2y = , ln y = , etc. Em 
algumas situações é inconveniente ou até mesmo impossível de explicitar a variável y nessas 
expressões. O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma expressão desta 
forma, sem a necessidade de explicitá-la. 
em um dos membros. São exemplos dessas expressões x + 1 xy + ( ) 4 
Uma função na forma y = f ( )x , onde a variável y aparece isolada no primeiro membro é chamada 
de função explícita. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas por equações nas quais a 
variável y não está isolada. Por exemplo 
2y + x2 y + 1 = x 
não está na forma explícita y = f ( ). Mesmo assim, esta equação ainda define y como uma função x 
de x, pois podemos escrevê-la como 
x − 1 y = . 
x2 + 2 
Caso quiséssemos calcular y´ , poderíamos utilizar esta última expressão. 
Uma equação em x e y pode definir mais do que uma função. Por exemplo x2 + y 2 = 1 que 
representa graficamente uma circunferência de centro (0,0) e raio unitário (figura 1). Explicitando a 
variável y encontramos duas funções 
y = ± 
A função y = + 1 − x2 representa a semicircunferência superior (figura 2) e y = − 1 − x2 
representa a semicircunferência inferior (figura 3). 
2x1 − . 
figura 1 figura 2 figura 3 
Caso quiséssemos calcular y´ , poderíamos utilizar uma das expressões y = ± 1 − x2 . Ainda neste 
caso é possível explicitar a variável y, mesmo sabendo que parte do gráfico é suprimido neste 
processo. 
42 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
Às vezes o processo para explicitar a variável y é bastante longo e trabalhoso, como é o caso da 
expressão 
x3 + y 3 − 3xy = 0 
e até mesmo impossível por qualquer método elementar, como neste caso 
sen(xy)− y = 0 . 
O método da derivação implícita permitirá encontrar a derivada y´ sem a necessidade de explicitar 
a função como y = f ( )x . 
Definição: Uma expressão na forma F (x, y) = 0 define implicitamente uma função y = f (x) se o 
gráfico de y = f ( ) coincide com alguma parte do gráfico de F x, y) = 0 .x ( 
Exemplo 35. Exemplos de funções definidas implicitamente: 
a) 2y + x2 y + 1 − x = 0 . 
b) x2 + y 2 − 1 = 0 . 
c) x3 + y 3 − 3xy = 0 . 
d) ( )− y =sen xy 0 . 
Vamos agora mostrar como obter a derivada y´ , nos casos do exemplo 35, sem explicitar y. 
Usaremos a regra da cadeia para derivar os termos da expressão F (x, y) = 0 que envolvem y. 
a) 2y + x2 y + 1 − x = 0 . Esta expressão define y como uma função de x implicitamente, logo: 
d ( + x2 + 1 − ) = d 0 Derivamos ambos os membros em relação a x.2 y y x ( )
dx dx 
d d x2 d ( − 0 Derivada de uma soma de funções. ( )2y + ( ) y + 1 x) = 
dx dx dx 
dy dy d 2( ) .2xy + x2 ( )1 = 0 Observe que usamos a derivada de um produto em dx x y2 + + −dx dx
Apenas mudamos os símbolos: 
dy = y´ ( )x = y´ .
2 y´ +2xy + x2 y´ −1 = 0 dx 
2y´ (x + 2) = 1 − 2xy 
y´ = 1 − 2 2xy . x + 2 
43 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
x − 1Poderíamos obter a derivada y´ derivando diretamente y = . Vejamos:
x2 + 2 
2 2 2 2 2( )(x + 2)− (x − 1 2x x + 2 − 2x + 2x 2 + 2x − x1 )( ) 2 + 2x − x y´ = = = , logo y´ = .(x2 + 2)2 (x2 + 2)2 (x2 + 2)2 (x2 + 2)2 
Você pode estar se perguntando: 
Obtivemos y´ = 2 (
+ 
x2
2
+ 
x − 
2)
x
2 
2 
, mas anteriormente calculamos y´ = 1
x 
− 
2
2
+ 
xy
2 
. Estas expressões são 
distintas? 
Obviamente não, pois se fizermos y = x2 
−
+ 
1 na expressão y´ = 1 − 2 2+ 
xy , vamos obter 
x 2 x 2
2 + 2x − x2
y´ = 2 : 2(x + 2)
1 − 2x x2 − 1  1 − 
 2x
2
2 − 2x 

 

 x2 + 2 − 
2 
2x2 + 2x 

 
2 x + 2   x + 2   x + 2  2 + 2x − x y´ = 
x2 + 2 = x2 + 2 = x2 + 2 = (x2 )2 . + 2 
Atenção: Não é necessário verificar se as derivadas calculadas nas formas explícita e implícita 
coincidem, mesmo porque em alguns casos não é possível mesmo isolar a variávely. 
Caso queiramos calcular o valor da derivada y´ num ponto, por exemplo xo = 2 , basta 
encontrarmos o valor da imagem yo , substituindo xo na expressão 2y + x2 y + 1 − x = 0 . Depois 
calculamos y´ com estes dois valores, pois y´ = 1 − 2 2+ 
xy depende de duas variáveis. Vejamos: 
x 2 
2yo + xo 2 yo + 1 − xo = 0 ⇒ 2yo + 4 yo + 1 − 2 = 0 ⇒ yo = 1 .6 
1 − 2( )2  1  
y´ = 1 − 2xo yo =  6  = 1 . 
x 2 + 2 22 + 2 18 o 
2 + 2x − x2 Observe que encontramos este mesmo valor usando y´ = 2 no ponto xo = 2 : 2(x + 2)
22 + 2( )2 − 2 2 1 y´ = 2 = = .(22 + 2) 36 18 
Mas lembre-se: nem sempre é possível isolar a variável y para calcular y´ . 
44 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
b) x2 + y 2 − 1 = 0 . 
d (x2 + y 2 − ) = d 0 ⇒ 2x + d (y 2 )+ 0 = 0 ⇒ 2x + ´= 0 ⇒ y´ x1 ( ) 2yy = − .
dx dx dx y 
c) x3 + y 3 − 3xy = 0 . 
( ) ( )d (x3 + y 3 − 3xy) = d 0 ⇒ 3x2 + d (y3 )− 3 d xy = 0 ⇒
dx dx dx dx 
2 2 2 23x + 3y y´ − [( ) + xy´ ] 0 ⇒ ( − 3x) = 3y 3x ⇒ y´ ⇒ y´ .3 1 y = y´ 3y − = 
3
3
y
y
2 
−
− 
3
3
x
x
2 
= 
y
y
2 
−
− 
x
x
2 
d) ( )− y =sen xy 0 . 
d ( ( )− y) = d 0 ⇒ d ( )− d y = d ( ) ⇒ cos xy [ 1 y + xy´ − y´ = 0sen xy ( ) sen xy ( ) 0 ( ) ( ) ]
dx dx dx dx dx 
y cos(xy)( )+ ( )− y´ = 0 ⇒ y´ = − ( )− 1⇒ y cos xy xy´ cos xy . x cos xy 
Vejamos alguns exemplos que ocorrem com maior freqüência em derivação implícita: 
d n n−1( ) = ny ⋅ y´y . 
dx 
d [ ( )] = sec2 ytg y ( )⋅ y´ . 
dx 
d y y[ ]= ⋅ y´ .e e 
dx 
d [ ( )] 1 ⋅ .ln y = y´ 
dx y 
d [ ( ) = 1 ⋅ y´ .arctg y ]
dx 1 + y 2 
45 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Atividades (grupo 27). 
1. Determine a derivada y' das curvas dadas implicitamente por: 
2 2 2 3 2 2a) x + y = 4 b) xy + 2y = x − 2 y c) x y + x sen( )y = 0 
d) exy = x + y − 3 e) y 3 − x
x −
+ 
y
y 
= 0 f) tg y = xy − 1( ) 
2. Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos 
pontos indicados. 
2a) ( ) = x + y no ponto P − 1,1) .ln y ( 
b) x3 = y.2 y , no ponto em que a normal é vertical. 
c) 6 x2 + 13y 2 = 19 (elipse), nos pontos onde a normal é paralela à reta 26 x − 12y −7 = 0 . 
3. Seja C a circunferência dada implicitamente por x2 + y 2 = 1 e t a reta tangente à C no ponto de 
abscissa xo = 2 2 , como mostra a figura abaixo. Calcule o valor da área sombreada. 
4. Determine a área do triângulo AOB na figura abaixo sabendo-se que r é a reta tangente a curva C, 
xy 2dada implicitamente por e + 2 cos(x − 1) = 3x , no ponto A(1, 0). 
46 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
 
 
Derivada de uma função na forma paramétrica 
Função na forma paramétrica 
x = x( )t
Sejam  y = y( )t funções de uma mesma variável t, t ∈[a,b]. 
A cada valor de t no intervalo [a,b] corresponde um único par P(x(t), y(t)) no plano cartesiano. Se 
as funções x = x( )t e y = y( )t forem contínuas, quando t variar de a até b, o ponto P descreverá 
uma curva no plano. 
x = x( )t
As equações y = y( )t são chamadas de equações paramétricas da curva e t é chamado de 
parâmetro. 
Se a função x = ( ) admite uma inversa t = t(x) , podemos escrever y = y t x ) , eliminando o x t ( ( ) 
parâmetro t. Neste caso, temos y como uma função de x, isto é, y = y(x) . 
Mesmo quando a função x = x( )t não admite inversa, em alguns casos, podemos obter uma forma 
implícita da curva, eliminando o parâmetro t de forma conveniente. 
x = x( )t
Dizemos que as equações y = y( )t definem a forma paramétrica de uma curva plana. 
Exemplo 36. 
x = t + 1
a) As equações 	 , t ∈ℜ , definem a reta de equação y = 2x − 2 . Para verificar isto basta y = 2t 
isolar o parâmetro t na equação x = t + 1 e substituir em y = 2t . 
x = 1 − t 
b) As equações 	 , t ∈ℜ , definem a parábola de equação y = x 2 − 2x . Para verificar y = t 2 − 1 
isto basta isolar o parâmetro t na equação x = 1 − t e substituir em y = t 2 − 1 . 
2 2c) As equações 
 x = 2 cos(t) , t ∈[0,2π], definem a circunferência de equação x + y = 4 . y = 2 sen( )t 
2 2Pois as equações x = 2 cos( )t e y = 2 sen(t) satisfazem x + y = 4 , para todo t ∈ℜ . 
47 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
2 2 2 2 2 2 2 2x + y = [2 cos( )t ] + [2 sen( )t ] = 4 cos (t) + 4 sen (t) = 4(cos (t) + sen (t))= 4 . 
Observe neste caso que a função x = 2 cos(t) não admite inversa no intervalo t∈[0,2π] e a forma 
encontrada para a curva foi implícita. 
oCaso geral: 
 x = x + a cos( )t , t ∈[0,2π] , a > 0 , definem a circunferência de equação y = yo + a sen( )t 
(x − xo )2 + (y − yo )2 = a 2 . 
Prove! 
d) Forma paramétrica da Elipse: 
x = xo + a cos( )t  , t ∈[0,2π], a ≠ b e ambos positivos, definem a elipse de equação y = yo + b sen( )t 
(x − x
2 
o )2 + (y − 2yo )
2 
= 1 . 
a b 
Pois cos( )t = (x − xo ) , sen( )t = (y − yo ) e cos 2 (t) + sen2 (t ) = 1 . 
a b 
Vamos ver agora como obter a derivada de uma função na forma paramétrica. 
x = x( )t
Seja  y = y( )t a forma paramétrica que define y como uma função de x.  
Suponha que as funções y = y( )t , x = x(t) e a sua inversa t = t(x) sejam deriváveis. 
y t x ) xPodemos então obter a composta y = ( ( ) e aplicar a regra da cadeia para calcular y´ ( ): 
y´ ( )x = ( ) ( )t´ x .y´ t ⋅ 
Vimos no estudo da derivada da função inversa que t´ ( ) 1 . Daí, temos que x = 
x´ ( )t
1 y´ ( )t
x = y´ ty´ ( ) ( ) ⋅ 
x´ ( )t = x´ ( )t . 
y´ ( )t y´ ( )x =
x´ ( )t é a derivada de uma função na forma paramétrica. 
48 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Exemplo 36. 
a) Calcule a derivada y´ ( ) da função y = y(x)x definida na forma paramétrica por 
x = 3t − 5  , t ∈ℜ . y = 1 − 6t 
( ) = y´ ( )t = − 6 = −2 .y´ x 
x´ ( )t 3 
Poderíamos obter este resultado eliminado o parâmetro t, obtendo a função y = ( )y x e calculando 
diretamente y´ ( )x : 
x = 3t − 5 ⇒ t = x + 
3
5 ∴ y = 1 − 6 
 x + 
3
5 

 = −2x − 9 . Daí, y´ (x) = −2 . 
b) Calcule a derivada y´ ( ) da função y = y(x)x definida na forma paramétrica por 
x = 1 − t  , t ∈ℜ . y = t 2 + t 
y´ ( )t 2t + 1 y´ ( )x = 
x´ ( )t = − 1 = −2t − 1 . 
Para obter a derivada em função de x, basta substituir t por 1 − x : 
( ) = −2t −1 ⇒ y´ ( ) 2 1− x)−1 = 2x − 3 ∴ y´ (x) = 2x − 3y´ x x = − (	 . 
Observe que novamente poderíamos obter este resultado eliminado o parâmetro t, obtendo a função 
1 2 ( ( ) ( − 1y = ( − x) + 1 − x) e calculando y´ x = 2 1 − x)( ) + −1 = 2x − 3 . 
x = 1 + 2 cos(t)
c) Determine a equação da reta tangente a elipse y = 2 + 4 sen( )t , t ∈[0,2π] no ponto t =
π 
4 
. 
A equação da reta tangente é y − yo = y´ (x − xo ) . 
 π Cálculo de xo : xo = 1 + 2 cos	  = 1 + 2  4  
Cálculo de y : yo = 2 + 4 sen 

4 
π 

 = 2 + 4 
2
2 = 2 + 2 2 = 2(1 + 2 ).o 
πCálculo de y´ no ponto t = : 
4
y´ ( )t 4 cos( )t  π 
y´ = 
x´ ( )t = − 2 sen( )t = −2 cot g( )t . ∴ y´ = −2 cot g 4  = −2( )1 = −2 .   
Logo, a reta tangente é igual a y − 2(1 + 2 )= −2(x − 1 − 2 ) ou y = −2x + 4(1 + 2 ). 
21 
2 
2 += . 
49 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
Gráfico: 
Atividades (grupo 28). 
1. Calcule a derivada y´ ( )x das funções definidas parametricamente nos pontos indicados. 
x = sen2t π x = cos3 t πa)  , t = . b)  , t = . y = cos 3t 3 y = sen3t 6 
2. Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos 
pontos indicados. 
 2 −1 x = 6t(1 + t )a) x = sen t ,t ∈− π , π , b)  
2 2 −1 
,0 ≤ t ≤ 1 ,y = sen 2t  2 2  y = 6t (1 + t )πno ponto t = . 12no ponto de abscissa .6 
5 
3. Determine o valor da área sombreada na figura abaixo. Sabe-se que r é a reta tangentea elipse 
C : x = 2 cos( )t , t ∈[0, 2π], no ponto t = π . y = sen( )t 3 
Obs.: A área da elipse é dada pela fórmula A = πab , onde a e b são os comprimentos dos semi­
eixos. 
Resp.: ( ) 6338 π− 
50 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Diferencial 
dyAté agora tem sido visto apenas como uma simples notação para a derivada de uma função 
dx 
= f ( ) em relação a variável x, isto é, dy = y´ ( )x = f´ x dyy x ( ) . O que faremos agora é interpretar 
dx dx 
como um quociente entre dois acréscimos (diferenciais). 
Acréscimos e decréscimos 
Se a partir de um determinado valor x somarmos ou subtrairmos um determinado valor ∆x∈ℜ* , 
estaremos fazendo um acréscimo ou decréscimo na variável x. 
Nesta figura temos que ∆x > 0. 
Sem perda de generalidade, podemos supor ∆x > 0 para a nossa análise. 
Seja y = f ( )x uma função derivável e ∆x um acréscimo na variável x. 
Definição: O diferencial de x, denotado por dx, é o valor do acréscimo ∆x , isto é, dx = ∆x . 
Considere t a reta tangente ao gráfico de y = f (x) no ponto x. Seja α o ângulo de inclinação de t. 
Definição: O diferencial de y, denotado por dy, é o acréscimo na ordenada da reta tangente t, 
correspondente ao acréscimo dx em x. 
(x + dx) − f x∆y = f ( )
α ( )De acordo com a figura podemos observar que o quociente dy = tg( ). Mas tg α = f´(x), pois
dx 
esta é a interpretação geométrica da derivada. Logo 
dy dy = f´(x) ⋅ dx= f´( ) ⇒x 
dx 
O acréscimo dy pode ser visto como uma aproximação para ∆y . Esta aproximação é tanto melhor 
quanto menor for o valor de dx. Isto é, 
se dx → 0 , então ∆y − dy → 0 . 
Daí podemos dizer que ∆y ≈ dy se dx for bem pequeno. 
51 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
 
Como ∆y = f (x + dx) − f (x) e dy = f´(x) ⋅ dx , obtemos que 
(x + dx) ≈ f´(x) ⋅ dx + f ( ) .f x( ) x ,f (x + dx) − f x ≈ f´( ) ⋅ dx ou seja, 
Exemplo 37. 
1. Calcule o diferencial dy das funções abaixo: 
a) y = x 2x . b) y = sen x . y = ( ( ) 
3 + ( 2 ) c) ln sec x ) . 
Soluções: 
a) dy = (3x2 + 2)dx . b) dy = 2x cos(x2 )dx . c) dy = ( )tg x dx . 
2. Calcule um valor aproximado para (19,9)2 usando diferenciais. 
Solução: 
2Podemos pensar na função f ( )x = x onde queremos calcular um valor aproximado para f (19,9) . 
Para isto vamos utilizar f (x + dx) ≈ f´( ) ⋅ dx + f (x) , onde podemos fazer x = 20 e dx = −0,1 .x 
f´( )x = 2x . 
Daí, 
f ( ) 
( 0,1)) ≈ f´ 20 ⋅ − )+ f 20 
(x + dx) ≈ f´ x ⋅ dx + f (x) 
f (20 + − ( ) ( 0,1 ( ) 
2f (19,9) ≈ 2 20 ⋅ − )+ 20 = 40 ⋅ (− )+ 400 = − + 400( ) ( 0,1 0,1 4 = 396 . Logo f (19,9) ≈ 396 . 
O valor exato é 396,01. 
Lembre-se: quanto menor o valor de dx, melhor é a aproximação. 
Atividades (grupo 29). 
1. Encontre ∆y e dy para os valores dados nas funções abaixo e compare os resultados (∆y ≅ dy) : 
2x + 1
a) y = 5x 2 − 6 x; ∆x = 0,02; x = 0. b) y = ; ∆x = 0,1; x = −1. 
x − 1 
2. Usando diferencial, calcule um valor aproximado para: a) 12,52 . b) 4,13 . c) 13 . 
 52 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Aplicações da derivada 
A regra de L’Hospital 
0 ∞Esta regra permite calcular certos tipos de limites (cujas indeterminações são do tipo ou )
0 ∞ 
aplicando as regras de derivação. 
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente, num ponto a ∈ I . 
Suponha que g´ ( ) ≠ 0, ∀x ∈ I e xx ≠ a . 
a) Se lim f ( )x = ( ) = 0 e f´(x) = Llim g x lim , então 
x→a x→a x→a g´ ( )x 
f (x) f´(x)lim = lim = L ; 
x→ ( ) x ( )a g x →a g´ x 
x ( ) = ±∞ f´(x)b) Se lim f ( ) = lim g x e lim = L , então 
x→a x→a x→a g´ ( )x 
f (x) f´(x)lim = lim = L . 
a g x →a xx→ ( ) x g´ ( ) 
Exemplo 38. 
Calcule os limites abaixo usando a regra de L’hospital. 
x 4 x xe -1 x + x − 2 c) lim sen(x)− x . e e) lim (x2 + 2x)a) lim . b) lim . x −x d) lim . x→0+ x→0 x x→1 x 2 − 1 x→0 e + e − 2 x→+∞ x2 
Soluções: 
e x-1 0a) lim . (verifique a indeterminação do tipo ) 
x→0 x 0 
e x-1 e x lim = lim = 1 . 
x→0 x x→0 1 
53 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
x4 + x − 2 0b) lim 2 . (verifique a indeterminação do tipo ) x→1 x − 1 0 
x4 + x − 2 4x3 + 1 5lim = lim = . 
x→1 x 2 − 1 x→1 2x 2 
( ) x 0sen x −c) lim x −x . (verifique a indeterminação do tipo ) x→0 e + e − 2 0 
( )− x cos(x)− 1 0lim sen x = lim Observe que ainda há uma indeterminação do tipo . 
→0 e x + e− x − 2 x→0 e x − e−x 0x 
Neste caso podemos continuar aplicando a regra... 
cos( )x − 1 − sen(x) 0 sen(x)− xlim = lim = − = 0 . Logo, lim = 0 . 
x→0 e x − e−x x→0 e x + e−x 2 x→0 e x + e−x − 2 
e x ∞d) lim . (verifique a indeterminação do tipo ) 
x→+∞ x2 ∞
e x e x ∞
lim 2 = lim Observe que ainda há uma indeterminação do tipo . x→+∞ x x→+∞ 2x ∞ 
Neste caso podemos continuar aplicando a regra... 
lim e
x 
= lim e
x 
= +∞ . Logo, lim e
x 
= +∞ . 
x→+∞ 2x x→0 2 x→+∞ x2 
2e) lim + (x + 2x)x . Verifique que a indeterminação agora é do tipo 00 . Neste caso, precisamos x→0 
transformá-la em 0 0 ou ∞ ∞ para poder aplicar a regra de L´Hospital. Vamos usar duas 
propriedades dos logarítimos. São elas: ln(a x ) = x ln(a) e eln(x ) = x . 
2 x+2 
2 2 3 2 
x 
lim (x2 + 2x)x = lim eln(x2 +2 x ) = lim e x ln(x2 +2 x ) = lim e ln(x1 + x2 x ) = lim e x −1 + x22x = lim e − 2xx2 ++ 22 xx = 
x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ 
2 x2 +2 x 0− − = lim e x+2 = lim e 2 = lim e0 = lim 1 = 1. 
x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ 
Podemos aplicar esta mesma técnica para resolvermos indeterminações do tipo ∞0 . 
Atividades (grupo 30). 
Calcule os seguintes limites usando a regra de L’hospital: 
e − 2x sen( ) c) lim sec(x) − tg(x) . d) lim 1+ ( )]2 x .a) lim e x − − x . b) lim πx . x→π 2 + [ sen x x→0x→2x→0 x − sen x 2 − x 
54 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Interpretação cinemática da derivada 
Vamos agora interpretar a derivada do ponto de vista da cinemática, que estuda o movimento dos 
corpos. Veremos que a velocidade e a aceleração de um corpo podem ser determinadas através das 
derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a função horária do 
movimento do corpo. 
Velocidade. Considere um corpo que se move em linha reta e seja s = s(t) a sua função horária, 
isto é, o espaço percorrido em função do tempo. O deslocamento do corpo no intervalo de tempo 
t e t + ∆t é definido por ∆s = s(t + ∆t)− s(t) . 
∆s s(t + ∆t)− s(t)v = =A velocidade média do corpo neste intervalo de tempo é definida por .m ∆t ∆t 
A velocidade média do corpo não dá uma informação precisa sobre a velocidade em cada instante 
do movimento no intervalo de tempo t e t + ∆t . Para obtermos a velocidade instantânea do corpo 
no instante t, precisamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores, 
isto é, fazendo ∆t → 0 . 
A velocidade instantânea do corpo no instante t é definida por 
v( )t = s´ ( )tv( )t = lim v = lim ∆s = lim s(t + ∆t)− s(t) = s´ ( )t . Assim, . 
∆t→0 m ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t 
A velocidade instantânea v( )t é a primeira derivada da função horária s(t) . 
 Aceleração. De forma análoga ao conceito de velocidade vem o de aceleração: 
A aceleração média do corpo no intervalo de tempo t e t + ∆t é definida por 
∆v v(t + ∆t)− v( ) t a = = .m ∆t ∆t 
A aceleração instantânea do corpo no instante t é definida por 
a( )t = v´ ( )t .a( )t = lim a = lim ∆v = lim v(t + ∆t) − v(t) = v´ ( )t . Assim, 
∆t→0 m ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t 
Como v( )t = s´ ( ) t podemos escrever a aceleração instantânea como a segunda derivada dos espaço 
em relação ao tempo. Assim a( )t = s´ ´ (t) . 
Obs.: No M.R.U.V. a função horária é do segundo grau s( )t = so + v0 ( )t + at 
2 
, sendo constantes
2 
so o espaço inicial, vo a velocidade inicial e a a aceleração do movimento. Neste caso, a 
velocidade instantânea é dada por v( )t = s′(t) = vo + ate a aceleração instantânea é dada por 
a( )t = v′( )t = a . 
55 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Exemplo 39. 
a) Suponha que um corpo em movimento retilíneo tenha função horária definida por s( )t = 12t − 2t 2
e no instante t = 0 ele inicia o movimento. Considere o espaço medido em metros e o tempo em
segundos. Determine: 
i) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,3]; 
ii) a velocidade do corpo no instante t = 1 ; 
iii) a aceleração média do corpo no intervalo de tempo [1,3]; 
iv) a aceleração do corpo no instante t = 1 . 
Solução: 
 ( + ∆t) − s t s( )3 − s 1 18 − 10 8∆s s t ( ) ( ) i) vm = = = = = = 4m / s . ∆t ∆t 3 − 1 2 2 
ii) v( )t = s´ ( )t = 12 − 4t ∴ v( ) 1 = 12 − 4 = 8m / s . 
∆v v(t + ∆t)− v( ) t v( )3 − v(1) 0 − 8 2iii) am = = = = = −4m / s . ∆t ∆t 3 − 1 2 
2iv) a( )t = s´ ´ ( )t = −4 ∴ a( ) 3 = −4m / s . 
3 2b) Uma partícula em movimento retilíneo tem a função horária dada por s(t) = 2t − 21t + 60t + 3 . 
Considere o espaço medido em metros e o tempo em segundos. Determine: 
i) Em que instante a partícula pára, isto é, tem velocidade nula? 
ii) Determine a aceleração da partícula no instante t = 4,5s . 
Solução: 
2 2i) v( )t = s´ ( )t = 6t − 42t + 60 ⇒ v( )t = 6(t −7 + 10) = 6(t − 2)(t − 5). 
v( )t = 0 ⇔ 6(t − 2)( t − 5) = 0 ⇔ t = 2s ou t = 5s . Assim a partícula tem velocidade nula 
nos instantes t = 2s e t = 5s . 
2ii) a( )t = s´ ´( ) t = 12t − 42 ∴ a(4,5) = 12(4,5)− 42 = 12m / s . 
56 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Atividades (grupo 31). 
1. Do solo um projétil é disparado verticalmente para cima. Sua altura (em metros) é dada em
função do tempo (em segundos) por h( )t = 160t − 10t 2 . Determine: 
i) As funções velocidade e aceleração do projétil; 
ii) Em que instante t > 0 o projétil pára?
iii) Quantos segundos dura todo o trajeto do projétil? 
iv) Com que velocidade e aceleração o projétil atingirá o solo? 
32. A equação do movimento de uma partícula é s(t) = t + 2 , s em metros e t em segundos. 
Determine: 
i) o instante em que a velocidade é de 1 12 m/s ; 
ii) a distância percorrida até este instante; 
iii) a aceleração da partícula quando t = 2s. 
3. A equação horária do movimento retilíneo de uma partícula é s( )t = 4 (t + 4)5 − t 3 + t 2 . 
15 6 
Considere s em metros e t em segundos. Determine em que instante t > 0 a aceleração da partícula 
é nula. 
57 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Taxa de variação 
Vimos na seção anterior que se s = s( )t é a função horária do movimento retilíneo de um corpo, a 
∆svelocidade média é dada por vm = e a velocidade instantânea é a dada pela derivada∆t 
v( )t = s´ ( )t = lim ∆s = lim s(t + ∆t)− s( ) t . Da mesma forma, a aceleração média é am = ∆v e a ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ∆t 
aceleração instantânea é dada pela derivada a( )t = v´ ( )t = lim ∆v = lim v(t + ∆t)− v( ) t . 
∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t 
As razões vm e am são exemplos de taxas médias de variação num intervalo e as razões 
v( )t = s´ ( )t = lim ∆s e a( )t = v´ ( )t = lim ∆v são exemplos de taxas instantâneas de variação
∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t 
num ponto, ou simplesmente taxas de variação num ponto. 
Definição: De uma forma geral, se y = f (x) é uma função, a razão ∆y é chamada de taxa média ∆x 
de variação da função f no intervalo [x, x + ∆x] e a derivada 
∆y ( ) ( ) = lim = lim f (x + ∆x)− f x é chamada de taxa de variação da função f no ponto x.f´ x 
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 
“Toda taxa de variação pode ser interpretada como uma derivada”. 
Interpretando a derivada desta forma, podemos resolver diversos problemas das ciências que 
envolvem razões instantâneas de variação. 
Exemplo 40. Suponha que um óleo derramado através da ruptura do tanque de um navio se espalhe 
em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2m/h. Com que velocidade a área do 
derramamento está crescendo no instante em que o raio atingir 60m? 
Solução: 
A taxa com que o raio cresce é de 2m/h. Podemos interpretar e denotar esta taxa de variação como 
dr = 2m / h . 
dt 
Queremos calcular a taxa com que a área cresce em relação ao tempo. Podemos denotar esta taxa de 
variação como dA . A área do derramamento é circular, logo A = πr 2 .
dt 
dA drQueremos calcular e temos . A regra da cadeia relaciona estas razões através de 
dt dt 
dA dA dr dA = ⋅ . Assim, = 2πr ⋅ 2 = 4πr . Quando o raio atingir 60m a área do derramamento 
dt dr dt dt 
estará crescendo a uma taxa de 4 ( ) / h = 240 mπ 60 m2 π 2 / h . 
58 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Diretrizes para resolver problemas de taxa de variação 
1. 	Desenhe uma figura para auxiliar a interpretação do problema; 
2. 	Identifique e denote as taxas que são conhecidas e a que será calculada; 
3. 	Ache uma equação que relacione a quantidade, cuja taxa será encontrada, com as quantidades 
cujas taxas são conhecidas; 
4. 	Derive esta equação em relação ao tempo, ou use a regra da cadeia, ou a derivação implícita 
para determinar a taxa desconhecida; 
5. 	Após determinada a taxa desconhecida, calcule-a em um ponto apropriado. 
Exemplo 41. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e 
altura igual a 4m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre 
a taxa na qual o nível da água está elevando quando a água está a 3m de profundidade. 
dV 3 dhDado = 2 m min , devemos encontrar
dt dt 
quando h = 3m. As grandezas V e h estão 
relacionadas pela equação V = 1 πr 2h , que é o
3 
volume do cone. Para obter o volume V como função 
da altura h, podemos eliminar a variável r usando 
semelhança de triângulos: 
r = 2 ⇒ r = h . Assim, V = 1 π h 
2
h = π h3 .
h	 4 2 3  2  12 
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos 
dV dV dh dV π 2 dh dh 4 dV = ⋅ ⇔ = 3h ⋅ ⇔ = ⋅ .
dt dh dt dt 12 dt dt πh2 dt 
dV 3 min e h = 3m, temos Substituindo = 2 m 
dt 
dh 4 8 = ⋅ 2 = ≈ 0,28 m min .
dt π32 9π 
59 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Atividades (grupo 32). 
1) Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que o seu volume aumenta à razão de 8 
cm3/min. Com que velocidade aumenta o raio no instante em que a bola tem 4 cm de diâmetro? 
2) Um automóvel que viaja à razão de 30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel 
está a 120 m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40 m/s atravessa o cruzamento. O 
automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam um ângulo reto uma com a outra. Com que 
velocidade afastam-se o automóvel e o caminhão 2s depois do caminhão passar pelo cruzamento? 
3) Uma escada com 13m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num 
determinado instante a extremidade inferior, que se encontra a 5m da parede, está escorregando, 
afastando-se da parede a uma velocidade de 2 m/s. Com que velocidade o topo da escada está 
deslizando neste momento? 
4) Um balão está a 60 m acima do solo e se eleva verticalmente à razão de 5 m/s. Um automóvel 
passa por baixo do balão viajando à 12 m/s. Com que velocidade varia, um segundo depois, a 
distância entre o balão e o automóvel? 
5) Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de 8 cm3/min. O cone tem 20 cm de 
profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da 
água está subindo à razão de 1 mm/min, com que velocidade a água estará escoando quando esta 
estiver a 16 cm do fundo? 
6) Um lado de retângulo está crescendo a uma taxa de 17 cm/min e o outro lado está decrescendo a 
uma taxa de 5 cm/min. Num certo instante, os comprimentos desses lados são 10 cm e 7 cm, 
respectivamente. A área do retângulo está crescendo ou decrescendo nesse instante? A que 
velocidade? 
7) Dois resistores variáveis R1 e R2 são ligados emparalelo. A resistência total R é calculada 
pela equação 1 R = (1 R1 ) + (1 R2 ). Se R1 e R2 estão aumentando às taxas de 
0,01 ohm s e 0,02 ohm s respectivamente, a que taxa varia R no instante em que 
R1 = 30 ohms e R2 = 90 ohms ? 
8) Um triângulo isósceles tem os lados iguais com 15 cm cada um. Se o ângulo θ entre eles varia à 
razão de π 90 rad por minuto, determine a variação da área do triângulo quando θ= π 6 rad . 
60 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Análise gráfica das funções 
Máximos e mínimos 
Definição: Uma função y = f ( ) tem um ponto de máximo relativo em x = x0 , se existe um x 
intervalo aberto A, contendo x0 , tal que f (x0 ) ≥ f (x), para todo x ∈ A . 
f ( ) é chamado de valor máximo relativo.x0 
Definição: Uma função y = f ( ) tem um ponto de mínimo relativo em x = x1 , se existe um x 
intervalo aberto B, contendo x1 , tal que f (x1 ) ≥ f (x) , para todo x ∈ B . 
f ( )x1 é chamado de valor mínimo relativo. 
4 2Exemplo 42. A função f (x) = x − 4x tem um ponto de máximo relativo em x = 0 e dois pontos 
de mínimos relativos em x = ± 2 . O valor máximo relativo é y = 0 e o valor mínimo relativo é 
y = −4 . 
A proposição seguinte permite encontrar os possíveis pontos de extremos relativos (máximos 
relativos ou mínimos relativos) de uma função. 
61 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Proposição: Seja y = f (x) uma função definida num intervalo aberto I = ( ). Se f tem um a,b 
extremo relativo em k ∈ I e f´ x existe para todo x ∈ I , então f´ k( ) ( ) = 0 . 
Podemos interpretar geometricamente esta proposição da seguinte forma: 
A reta tangente ao gráfico de f no ponto x = k é horizontal, visto que f´(k ) = 0 . 
Definição: Um ponto c ∈D f tal que f´ c = ou f´(c) não existe é chamado de ponto( ) ( ) 0 
crítico de f. 
 Se houverem extremos relativos numa função, estes ocorrem em ponto críticos. 
Exemplo 43. Algumas funções e seus pontos críticos. 
a) b) c) 
3y = x y = x − 1 + 2 y = (x − 1)2 + 1 
Observações: 
• No exemplo a) f´(0) = 0 , mas x = 0 não é um ponto de extremo da função. 
• No exemplo b) não existe f´ 1 , mas x = 1( ) é um ponto de extremo (mínimo relativo) da 
função. 
• No exemplo c) f´(1) = 0 e x = 1 é um ponto de extremo (mínimo relativo) da função. 
62 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Uma função y = f ( )x pode admitir num intervalo (a,b) mais do que um ponto de extremo relativo. 
O maior valor da função num intervalo é chamado de valor máximo absoluto. Analogamente, o 
menor valor é chamado de valor mínimo absoluto. 
xo é o ponto de máximo absoluto de f; 
f (x0 ) é o valor máximo absoluto de f; 
x1 é o ponto de mínimo absoluto de f; 
f (x1 ) é o valor mínimo absoluto de f. 
Algumas funções podem não apresentar extremos relativos num intervalo. Por exemplo 
y = x, x ∈(− 2,2) . 
Funções crescentes e decrescentes 
Definição: Uma função y = f ( )x , definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para 
quaisquer x0 , x1 ∈ I , x0 < x1 , temos que f (x0 ) < f (x1 ) . (ver Fig. 1) 
Definição: Uma função y = f ( )x , definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se para 
quaisquer x0 , x1 ∈ I , x0 < x1 , temos que f (x0 ) > f (x1 ) . (ver Fig. 2) 
Fig. 1 Fig. 2 
Podemos identificar os intervalos onde uma função é crescente ou decrescente através do estudo do 
sinal da derivada da função. Segue a proposição. 
63 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ( ) .a,b
a) Se f´ x > para todo x ∈( ), então f é crescente em [a,b] ;
( ) 0 a,b
b) Se f´ x < para todo x ∈( ), então f é decrescente em [a,b] .
( ) 0 a,b 
Noção geométrica: 
a) Se a função derivada é positiva para todo x ∈(a,b) então, geometricamente, a reta tangente tem 
inclinação positiva para todo x ∈( )a,b . 
f´(x) = tg(α) > 0 ⇒ 0 < α < 90o . 
b) Se a função derivada é negativa para todo x ∈(a,b) então, geometricamente, a reta tangente tem 
inclinação negativa para todo x ∈( )a,b . 
o of´(x) = tg(α) < 0 ⇒ 90 < α < 180 . 
Exemplo 44. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f ( ) = xx 4 − 4x2 . 
Solução: Vamos analisar o sinal da derivada desta função. 
3 2( ) (f´ x = 4x − 8x = 4x x − 2). 
Logo: 
f é crescente para todo x ∈[− 2 , 0] ∪ [ 2 , +∞] , pois a derivada é positiva nestes intervalos. 
f é decrescente para todo x ∈[− ∞, − 2 ] ∪ [0, 2 ] , pois a derivada é negativa nestes 
intervalos. 
Observe o gráfico da função f ( ) = x
x 4 − 4x2 no exemplo 42. 
64 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Critérios para determinar os extremos de uma função 
Teorema: (Critério da primeira derivada para determinação de extremos) 
Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que possui derivada em todo ponto do 
intervalo ( ) , exceto possivelmente num ponto k:a,b 
a) Se f´( ) > 0 f´ xx para todo x < k e ( ) < 0 para todo x > k, então f tem um máximo relativo em k; 
( ) 0 ( ) 0b) Se f´ x < para todo x < k e f´ x > para todo x > k, então f tem um mínimo relativo em k; 
Interpretação geométrica: 
a) A função f é crescente para todo x < k , pois f´(x) > 0 e é decrescente para todo x > k , pois 
f´( ) < 0 . Desta forma, f assume um ponto de máximo relativo em .x x = k 
b) A função f é decrescente para todo x < k , pois f´(x) < 0 e é crescente para todo x > k , pois 
f´( ) > 0 . Desta forma, f assume um ponto de mínimo relativo em .x x = k 
4 2Exemplo 45. Determine os extremos da função f (x) = x − 4x . 
Como vimos no exemplo anterior o sinal de f´(x) é . 
Então, de acordo com a proposição, x = ± 2 são ponto de mínimo relativo e x = 0 é ponto de 
4 2máximo relativo. Observe o gráfico da função f (x) = x − 4x no exemplo 42. 
65 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
O seguinte teorema também é utilizado para determinação de extremos de uma função. Ele é 
aplicado quando a análise do sinal da primeira derivada não é imediata (simples). 
Teorema: (Critério da segunda derivada para determinação de extremos) 
Seja f uma função derivável num intervalo (a,b) e k um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, 
f´( ) = 0k . Então: 
a) f´´( ) < 0
k ⇒ f tem um máximo relativo em k; 
b) f´´( ) > 0
k ⇒ f tem um mínimo relativo em k. 
4 2Exemplo 46. Determine os extremos da função f (x) = x − 4x , usando o teste da segunda 
derivada. 
3 2f´( ) = 4x − 8x = 4x(x − . Os pontos críticos de f são xo = 0 , x1 =x 2) 
f´´( )x = 12x2 − 8 . 
( ) = − < 0 xo é ponto de máximo relativo. f´´ 0 8 , logo = 0
f´´ ( 2 )= 16 > 0 , logo x1 = 2 é ponto de mínimo relativo. 
f´´ (− 2 )= 16 > 0 , logo x2 = − 2 é ponto de mínimo relativo. 
Este resultado está de acordo com o exemplo 45. 
2Exemplo 47. Determine os extremos da função f (x) = ln(x)− x , x > 0 , usando o teste da segunda 
derivada. 
( ) = 1 − 2x .f´ x 
x 
( ) = 0 ⇒ 1 − 2x = 0 ⇒ 1 = 2x ⇒ x = 1 ⇒ x 2 2f´ x 2 = ± . Como x > 0 , temos que x = 
x x 2 2 2 
é o ponto crítico de f. 
 : 
 2  
Vamos agora determinar o sinal de f´´
 2  
f´´( )x = − 
x
1
2 − 2 . Assim f´´ 

 2
2 

 = −4 < 0 e então x = 
2
2 
é ponto de máximo relativo de f. 
2x2 2 −=e . 
( ) ( )Veja o gráfico da função f x = ln x − x2 , x > 0 ao lado. 
66 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Concavidade e ponto de inflexão 
Sabemos que a parábola y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 , tem concavidade voltada para cima quando a > 0 
e concavidade voltada para baixo quando a < 0 . Não existe mudança de concavidade nos gráficos 
destas funções. Situação diferente acontece em y = sen(x) ou y = cos(x) , onde verificamos essas 
mudanças. Os pontos de mudança de concavidade sãochamados de pontos de inflexão. Através da 
derivada (segunda) podemos determinar os intervalos onde uma função tem concavidade voltada 
para cima ou para baixo e os pontos de inflexão. Estes conceitos são úteis no esboço gráfico de uma 
curva. 
Definição: Dizemos que uma função f tem concavidade voltada para cima (C.V.C) num intervalo (a,b) se f´ é crescente neste intervalo. Em outras palavras, se o gráfico da função estiver acima de 
qualquer reta tangente. 
 Figura 1 
Definição: Dizemos que uma função f tem concavidade voltada para baixo (C.V.B) num intervalo (a,b) se f´ é decrescente neste intervalo. Em outras palavras, se o gráfico da função estiver abaixo 
de qualquer reta tangente. 
 Figura 2 
Através do estudo do sinal da segunda derivada podemos determinar os intervalos onde uma função 
tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Vejamos a seguinte proposição. 
67 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Proposição: Seja f uma função contínua e derivável até a segunda ordem no intervalo ( ) :a,b 
a) Se f´´( ) > 0 para todo x ∈ a,b , então f tem concavidade voltada para cima em ( ) ;x ( ) a,b 
b) Se f´´( ) < 0 para todo x ∈ a,b , então f tem concavidade voltada para baixo em ( ) .x ( ) a,b 
Prova: 
a) Como f´´( ) > 0 para todo x ∈ a,b , então f´(x) é crescente em (a,b) . Desta forma, o gráfico x ( )
de f tem o aspecto do gráfico da figura 1 anterior. De forma análoga prova-se o item b. 
Definição: Um ponto P(k , f ( )k ) do gráfico de uma função contínua f é chamado de ponto de 
inflexão (P.I.) se ocorre uma mudança de concavidade na passagem por P. 
Figura 3 Figura 4 
Para verificar a existência de um ponto de inflexão P(k , f (k )) no gráfico de uma função f, basta 
verificar a mudança de sinal da segunda derivada na passagem por k. 
Observe simbolicamente como isto ocorre: 
Na figura 3 temos Na figura 4 temos 
Exemplo 48. 
4 2Determine os intervalos onde a função f (x) = x − 4x tem concavidade voltada para cima, para 
baixo e os pontos de inflexão. 
68 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
( ) 3 − ( ) 2 −Temos que f´ x = 4x 8x e f´´ x = 12x 8 . 
( ) > 0 ⇒ 12x2 − 8 > 0 ⇒ x2 > 8 = 2 ⇒ x >f´´ x
12 3
 3 
2 x
3 
2 −<ou . 
( ) < 0 ⇒ 12x2 − 8 < 0 ⇒ x2 < 8 = 2
f´´ x ⇒ −
12 3
 3 
2 x
3 
2 << . 
Assim, f tem C.V.C. no intervalo (− ∞,− 2 3 )∪ ( 2 3 ,+ ∞) e tem C.V.B. em 
(− 2 3 , 2 3 ). Os pontos de inflexão ocorrem nas abscissa x0 = − 2 2
e x1 = . 3 3
Assíntotas horizontais e verticais 
Em algumas aplicações práticas, encontramos gráficos que se aproximam de uma reta. 
Estas retas são chamadas de assíntotas. 
Vamos tratar mais detalhadamente das assíntotas horizontais e verticais. 
69 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Definição: A reta de equação x = k é uma assíntota vertical do gráfico de uma função y = f (x), 
se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: 
i) lim f ( )x = +∞ ; 
x→k + 
( )ii) lim f x = +∞ ; 
x→k − 
iii) lim f ( )x = −∞ ; 
x→k + 
iv) lim − f ( )x = −∞ . x→k 
Exemplo 49 
a) A reta de equação x = 0 é assíntota vertical da função y = ln(x) , pois lim ln( )x = −∞ . 
x→0+ 
Observe o gráfico da função y = ( )ln x : 
l 1b) A reta de equação x = 1 é assíntota vertical da função y = , pois lim = +∞ .(x − 1)2 x→1 (x − 1)2 
lObserve o gráfico da função y = :(x − 1)2 
70 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Definição: A reta de equação y = k é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função 
f ( ), se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: y = x 
i) lim f ( )x = k ; 
x→+∞ 
ii) lim f ( )x = k . 
x→−∞ 
Exemplo 50 
x2 − 1 x2 − 1a) A reta de equação y = 1 é assíntota horizontal da função y = 2 , pois lim 2 = 1 . 1 + x x→+∞ 1 + x 
ou 
x→−∞ 
x2 − 1Observe o gráfico da função y = : 
1 + x2 
sen(x) sen x( )b) A reta de equação y = 0 é assíntota horizontal da função y = , pois lim = 0 . 
x x→+∞ x 
ou 
x→−∞ 
Graficamente podemos perceber que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude e o gráfico da ( )função y = sen x vai se aproximando da reta y = 0 . 
x 
Percebemos neste exemplo que a assintota horizontal toca o gráfico da função. 
71 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
Esboços de gráficos 
Utilizando todos os resultados da análise gráfica das funções, podemos resumir numa tabela os 
procedimentos para esboçar o gráfico de uma função. 
Passos Procedimento 
1o Encontrar o domínio da função; 
2o Calcular os pontos de interseção da função com os eixos (quando não requer muito cálculo); 
3o Calcular os pontos críticos da função; 
4o Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função; 
5o Encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos da função; 
6o Determinar a concavidade e os pontos de inflexão; 
7o Determinar as assíntotas horizontais e verticais (se existirem); 
8o Esboçar o gráfico. 
Exemplo 51. Esboce o gráfico da função = f ( ) = x .y x 
x2 − 1 
1o passo (Domínio): 
2 2x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 1 ⇒ x ≠ ±1 . Logo D( f ) = ℜ − {− 1, 1}. 
2o passo (Pontos de interseção com os eixos): 
 (faça y = 0) :0 = x ⇒ x = 0. Logo temos o ponto ( )com o eixo x 0,0 . x 2 −1
 (faça x = 0) : y = 0 ⇒ y = 0. O mesmo ponto ( )
com o eixo y 2 0,0 .  0 −1 
3o passo (Pontos críticos): 
1(x − 1)− ( ) − x −f ' x( ) = 2 (x2 − 1) 
x
2 
2x = ... = (x2 − 
2
1)
1
2 . 
f ' ( ) = ⇔ (
− 
x2
x 
− 
2 − 
1) 
1
2 = 0 ⇔ − x2 − 1 = 0 ⇔ x2 = −1 Não existem pontos críticos,x 0 . 
pois não existe x ∈ℜ tal que x2 = −1 . 
72 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
4o passo (Intervalos de crescimento e decrescimento): 
f ' ( ) − x2 − 12 . Estudando o sinal da derivada... x = 2(x − 1)
A função é decrescente ∀x∈ℜ−{− 1, 1}. 
5o passo (Pontos de máximos e mínimos relativos): 
Como o sinal de f ' ( )x não muda (é sempre negativo), então não existem extremos relativos para f. 
6o passo (Concavidade e pontos de inflexão): 
2 2 2 2 2 ( ) = (− 2x)(x − 1) − (− x − 1)( )2 (x − 1)(2x) = ... = (2x)(x + 3) .f ' ' x (x2 − 1)4 (x2 − 1)3 
Estudando o sinal da segunda derivada... 
f tem C.V.C. ∀x ∈(− 1, 0) ( ∪ 1, + ∞) . 
f tem C.V.B. x , 1) (∀ ∈(− ∞ − ∪ 0, 1) . 
Como x = −1 e x = 1 não fazem parte do domínio da função f , então o único ponto de inflexão é 
x = 0 pois f ' ' muda de sinal quando passa por ele. 
73 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
7o passo (Assíntotas horizontais e verticais): 
 x x 1 1  lim 2	 = lim = + = + = +∞. 1+ − 1 1+ ( + 1)( − 1) ( )( ) 0x→ x x→ x x 2 0	 A reta x = 1 é assíntota. x x 1 1  lim − 2 = lim − = − = − = −∞.
x→1 x − 1 x→1 (x + 1)(x − 1) ( )2 ( )0 0
Vertical:	   x x − 1 1 lim − 1 = lim ( + 1)( − 1) = ( )( = = +∞. x→−1+ x2 x→−1+ x x 0+ − 2) 0+ A reta x = −1 é assíntota. x	 x − 1 1 lim − 2 = lim − = − = − = −∞.
x→−1 x − 1 x→−1 (x + )(x − 1 ( )(
	 1 ) 0 − 2) 0 
 x	 1 
x→+∞	 x→+∞
Horizontal: 
 lim x 2 − 1 = (L´Hospital) = lim 2x = 0. A reta y = 0 é assíntota. 
 lim x = (L´Hospital) = lim 1 = 0.x→−∞	 x→−∞ x 2 − 1	 2x 
8o passo (Esboço do gráfico): 
Reunindo todos o elementos calculados, podemos agora traçar o gráfico: 
74 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Atividades (grupo 33) 
Pontos críticos. 
1. Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem. 
xa) f x( ) = 3x + 2 . 	 d) f x( ) = e − x . 
2f x 	 ( )b) ( ) = x − 3x + 8 . e) f x = x (x2 − 4) . 
( ) 3	 ( ) .c) f x = − x3 . 	 f) f x = 4x3 −12x2 
Crescimento e decrescimento. 
2. Determinar os intervalos nos quais as funções a seguir são crescentes ou decrescentes. 
f x 1	 ( ) −xa) ( ) = 2x − . 	 e) f x = x.e . 
b) ( ) = 3x2 +6 x + f) ( ) x . f x 7 . 1f x = + 
xc) ( ) = x + − 4x 2 f x = 2 cos x + sen 2x , x [0 2 ]f x 3 2x2 + . 	 g) ( ) ( ) ( ) ∈ , π . 
−x	 2d) ( ) = e . h) f (x) = xf x (x − 1) . 
Pontos de extremos relativos. 
3. Encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos das seguintes funções, se existirem. 
a) ( ) = x3 + x +1 . 	 d) f x 5 5 − 5x3 .f x 3 2	 ( ) = x 2
b) ( ) = 8x − 4	 e) f (x) = ( − ) ( + ) .f x 2 x3 . 	 x 1 x 1 
3 2 xc) f ( )x = (x 3) + (x 2 − 6 x + 5 . 	f) ( ) = xe .)	 f x 
4. 	Encontre os pontos de máximos e mínimos relativos da função 
f ( )x = 2sen( )x + cos( )2x , x∈[0,2π], usando o critério da segunda derivada. 
75 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Concavidade e ponto de inflexão. 
5. Determinar os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima (C.V.C.) e 
concavidade voltada para baixo (C.V.B.). Determine também os pontos de inflexão (P.I.). 
f x 3 2 2 + + f x 2a) ( ) = x − x x 1 . d) ( ) = (x2 −1) . 
b) ( ) = 3x − 4x +6 . ( ) x −1 .f x 4 3 e) f x = 5 
c) ( ) = 2x6 −6 x4 . f) f x = xex .f x ( ) 
Assíntotas. 
6. Determine as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo, se existirem. 
a) ( ) = x3 − x + 2 . 
d) ( ) = − x
2f x 3 2 
f x . 
x2 x 2− − 
f x 
2x2
2 . ( ) sen(x)
b) ( ) = e) f x = .9 − x x
( )
x
x 
+
− 
9
2 
f) f x 
ln(x)
c) f x = . ( ) = 
Esboço gráfico. 
7. Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as 
assíntotas horizontais e verticais, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e 
mínimos relativos, os intervalos onde o gráfico tem concavidade para cima e onde o gráfico tem 
concavidade para baixo, os pontos de inflexão e o esboço gráfico. 
Obs: Para confirmar a sua resposta, construa os gráficos utilizando um software matemático. 
a) f x = + x − 3x − 2x . d) f x =( ) 10 12 2 3 ( ) e− x 2 . 
b) f ( ) ( x = x + 1) ( x − 1) . e) f x( ) = x.ln(x) . 
c) ( ) = −x4 +6 x2 − 3 . f) f (x) xf x = e x . 
x3 
. 
76 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Problemas de otimização 
Agora apresentaremos os problemas de otimização. Nestes problemas buscamos 
soluções que são ótimas, do ponto de vista matemático. Por exemplo: uma empresa deseja produzir 
potes cilíndricos de 300ml para armazenar certo tipo de produto. Sabe-se que estes potes devem ter 
área total mínima para reduzir o custo de impressão dos rótulos. De todos os cilindros de volume 
igual a 300ml, qual possui menor área total (raio da base e altura)? Devemos então buscar uma 
solução que minimize a área total do cilindro, reduzindo assim o custo de impressão dos rótulos nos 
potes. Variados problemas práticos, semelhantes a esse, em diversos ramos do conhecimento, são 
resolvidos com o auxílio das derivadas. 
Iniciaremos resolvendo este problema. 
Exemplo 52. De todos os cilindros de volume igual a 300ml, qual possui menor área total (raio da 
base e altura)? 
Abrindo o cilindro nós temos 
Sabe-se que o volume do cilindro é V = πr 2h e a área total é A = 2πr 2 + 2πrh . 
Queremos determinar os valores do raio (r) da base e a altura (h) de um cilindro de 300 ml de 
volume (V) que possua mínima área total (A). 
Já sabemos determinar o ponto de mínimo de uma função através dos dois critérios vistos, mas a 
função área possui duas variáveis r e h. Poderemos resolver este problema isolando uma das 
variáveis em V = πr 2 h (com V = 300 ) e substituí-la em A = 2πr 2 + 2πrh . 
2 300300 = πr h ⇒ h = . πr 2 
Temos então que A = 2πr 2 + 2πr 300 = 2πr 2 + 600 . Conseguimos então tornar a função área como πr 2 r 
função de uma única variável. Vamos determinar o ponto crítico desta função: 
600A´ = 4πr − 2 . Resolvendo agora a equação A´ = 0 : r 
4πr − 600 = 0 ⇒ 4πr = 600 ⇒ r 3 = 600 ⇒ r = 3 600 ≈ 3,6cm . 
r 2 r 2 4π 4π 
 600  600Como A´ ´
 
3
4π  
> 0 (verifique!), temos que r = 3
4π é ponto de mínimo da função A (pelo 2
o 
600 300critério para determinação de extremos). Substituindo r = 3 em h = , obtemos h ≈ 7,2cm .
4π πr 2 
77 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
Diretrizes para resolução de problemas de otimização 
1. Leia cuidadosamente o problema. Esboce uma figura para auxiliar a sua interpretação; 
2. Identifique e denomine com variáveis as quantidades informadas no problema; 
3. Determine algumas relações (ou fórmulas) entre as variáveis; 
4. Determine qual variável deve ser otimizada (maximizada ou minimizada) . Expresse esta variável 
como função de uma das outras variáveis; 
5. Determine o ponto crítico da função obtida o item anterior; 
6. Determine o(s) extremo(s) com o auxílio dos critérios da 1a e 2a derivadas. 
Exemplo 53. Determine as dimensões (base e altura) do retângulo de área máxima que pode ser 
inscrito em um semicírculo de raio constante a, como mostra a figura. 
Podemos dizer que este retângulo tem base igual a b e altura igual a h. 
a é o raio do semicírculo. 
Queremos maximizar a área do retângulo A = bh , sabendo-se que as variáveis b e h obedecem o 
teorema de Pitágoras  b 
2 
+ h2 = a 2 . Podemos então tornar a função área como função de uma  2  
única variável (b), pois h = a 2 − 
 b
2 
2 = 4a
2
2 
− b2 : 
A = b ⋅ 4a
2 − b2 = 1 ⋅ b 4a 2 − b2 . Lembre-se que a é uma constante! 
2 2 
Resolvendo a equação A´ (b) = 0 , obtemos: 
 1  2 2 b − 2b 4a 2 − b2 b2 A´ =   4a − b + ⋅ = − .  2  2 2 4a 2 − b2 2 2 4a 2 − b2 
4a 2 − b2 b2 2 2 2 2 2A´ = 0 ⇔ = ⇔ 4a − b = b ⇔ 2b = 4a ⇔ 
2 2 4a 2 − b2 
78 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
2aba2b 2 =⇔=⇔ . 
4a 2 − b2 a 2Substituindo b = a 2 em h = , obtemos h = .
2 2 
Verifique que realmente b = a 2 é o ponto de máximo da função área A = 1 ⋅b 4a 2 − b2 usando
2 
o critério da segunda deriva A´ ´ (b = a 2 )< 0 . 
Atividades (grupo 34) 
1) De todos os retângulos de comprimento fixo L, qual possui maior área? Determine a base e a 
altura de tal retângulo. 
2) Uma reta variável passando por P(1 2, ) corta o eixo Ox em A a,( 0) e o eixo Oy em B b(0, ) . 
Determine o triângulo OAB de área mínima, para a e b positivos. 
3) Dentre os retângulos com base no eixo Ox e vértices superiores sobre a parábola 
y = 12 − x 2 , determine o de área máxima (base e altura). 
4) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de 
( ) 3 2produção é dado por C x = 2x + 6 x + 18 x + 6 e a receita obtida na venda é dada por 
( )R x = 60x −12x2 , determinar o número ótimo de unidades que maximiza o lucro L. 
Obs.: Lucro = Receita - Custo, isto é, L x = R x −C x .( ) ( ) ( ) 
5) Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado igual a 60 cm, deseja-se construir uma caixa 
sem tampa, cortando seus cantos em quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte 
restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa 
seja o maior possível. 
79 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
6) A potência P de uma bateria de um automóvel é dada por P =VI − I 2 R , sendo I a corrente para 
uma voltagem V e resistência interna da bateria R. São constantes V e R. Que corrente corresponde 
à potência máxima? 
7) O departamento de trânsito de uma cidade, depois de uma pesquisa, constatou que num dia 
normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente 
V t( ) = 2t 3 − 27t 2 +108t − 35 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o 
meio dia. A que horas do intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais 
lentamente, e com que velocidade? 
8) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa dada H em torno de um de seus catetos, 
gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo (raio da base e altura). 
9) Um gerador