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Geometria Analítica 
Lista 5 
Posições relativas entre reta e plano 
 
 1 
 
1. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de 
intersecção. 
 
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Sendo ⃗ ( ) o vetor diretor da reta e ⃗ ( ) o vetor diretor da reta , 
verificaremos se ⃗ e são L.D. ou L.I.. 
 ⃗ não pode ser escrito como múltiplo escalar de , portanto são L.I., ou seja, não 
paralelos. 
Para encontrar o ponto de intersecção deve-se igualar as coordenadas. 
 (I) 
 (II) 
 (III) 
Isolando de (III) e substituindo em (II): 
 ( ) 
Substituindo em (III): 
 
Substituindo e em (I), para testar a validade dos parâmetros: 
 
Logo, e é a solução do sistema. 
Substituindo na equação da reta s, obtemos o ponto de intersecção ( ). 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor diretor de r é ( ) e ⃗ ( ) o vetor diretor de s. 
Observa-se que ⃗ , então ⃗ e são paralelos e r e s são paralelas. 
 
(c) 
 (I) 
 (II) 
 (III) 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor diretor de r é ( ) e da reta s é ⃗ ( ). Como não é possível 
escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas. 
 
Substituindo na reta s, temos: 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (I) e (II): 
 
 
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Posições relativas entre reta e plano 
 
 2 
 
Foi encontrado um único valor para , então o ponto de intersecção é composto por 
 , e . Portanto, ( ). 
 
(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor diretor de r é ( ) e ⃗ ( ) o vetor diretor de s. Como não é 
possível escrever em função de ⃗ , concluímos que r e s são não-paralelas. 
 
Pela equação da reta r, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
Pela equação da reta s, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a coordenada z: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inserindo os valores encontrados nas equações da reta, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não foi encontrado um valor único para z, portanto, não existe ponto de intersecção 
entre as retas. Como elas são não-paralelas, elas são reversas. 
 
2. A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas 
respectivamente, em ( ) ( ) e ( ) ( ). Sendo 
 ( ), determine A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
r 
s 
M R 
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Posições relativas entre reta e plano 
 
 3 
 
i) Parte 1: para encontrar o ponto B 
 
Igualando as coordenadas de r e s: 
 
 
 
Substituindo na primeira equação: 
 ( ) 
Então: 
 
Então ( ) 
 
ii) Parte 2: para encontrar o ponto A 
 ( ) 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ̅̅ ̅̅ 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) 
 
 
 
Então ⃗⃗⃗⃗ ⃗ .
 
 
 
 
 
 / 
 
Logo: 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ ; igualando-se as coordenadas tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema encontra-se 
Substituindo na equação da reta s obtém-se o ponto M. 
 ( ) 
Como M é ponto médio de ( ) e ( ) temos as seguintes 
relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Das equações acima: , e , portanto ( ). 
 
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Posições relativas entre reta e plano 
 
 4 
 
3. Estude a posição relativa das retas r e s: 
 
(a) ( ) ( ) 
 
 
Inicialmente, escreveremos s na forma paramétrica: 
 
 
Substituindo na segunda equação: 
 
Admitindo que : 
 
 
 
 
Temos as seguintes informações: ( ) ( ) ( ) 
( ). 
Verificaremos se ( ) são L.D.: 
 , logo são L.D. e as retas s e r são paralelas. 
 
 – Substituindo ( ) em s: 
 
 
Igualdades não verificadas, portanto e r e s são paralelas distintas. 
 
(b) 
 
 
 
 
 
Escrevendo r na forma paramétrica: 
Da segunda equação temos , substituindo na primeira: 
 
Admitindo , 
 
 
 
 
Escrevendo s na forma paramétrica: 
Da segunda equação temos , substituindo na primeira: 
 ( ) 
Se então ( ) 
Admitindo , 
 
𝑠 
𝑠 
𝑟 𝑠 
𝑟 
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 5 
 
 
 
 
 
Agora conseguimos extrair as seguintes informações: ( ) ( ) 
( ) ( ). 
 
 não é múltiplo escalar de , portanto ( ) são L.I e r e s não são paralelas. 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ⃗ 
[ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Então r e s são concorrentes. 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Informações: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 
[ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] |
 
 
 
| ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Logo, r e s são reversas. 
 
(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica: 
Da primeira equação obtemos: 
Substituindo na segunda 
 
Substituindo em 
 ( ) 
Admitindo 
 
 
 
 
Informações: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
𝑠 
𝑠 
𝑠 
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Posições relativas entre reta e plano 
 
 6 
 
( ) 
 
 – Substituindo as coordenadas de S na equação de r 
 
 
 
 
 
 
A igualdade se verifica, portanto e r e s são paralelas e coincidentes. 
 
(e) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Informações: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
( ) 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 
[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] |
 
 
 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Logo, r e s são concorrentes. 
 
(f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Informações: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
( ) 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 
[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] |
 
 
 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Logo, r e s são concorrentes.(g) 
 
 
 
 
 
 
 
Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica: 
Da segunda equação obtemos: 
𝑠 
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Substituindo na primeira 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo 
 
 
 
 
 
 em 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
Admitindo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
 .
 
 
 
 
 
 / ( ) 
( ) 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 
[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] |
 
 
 
| 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Logo, r e s são reversas. 
 
(h) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 
[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] |
 
 
 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Logo, r e s são reversas. 
 
 
𝑠 
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Posições relativas entre reta e plano 
 
 8 
 
4. Sejam ( ) ( ) e ( ) ( ). Estude, segundo 
valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação 
geral do plano determinado por elas. 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 * + 
Logo, r e s nunca serão paralelas. 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 
[ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] |
 
 
 
| 
 
Se [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] 
Se [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] 
 
 
 
Logo, se 
 
 
 
e se 
 
 
 
 
 
 
 
Com 
 
 
 temos ( ) ( ). 
 
Seja ( ) um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do 
mesmo é dada por [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ] . 
 
 [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ] |
 
 
 
| 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
5. Mostre que as retas r e s determinam um plano e obtenha a equação geral de . 
 
(a) 
 
 
Informações: 
 ( ) . 
 
 
/ ( ) ( ) ( ) 
 
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( ) 
Então r e s formam um plano. 
 
Seja ( ) um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do 
mesmo é dada por [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ] . 
 
 [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ] |
 
 
 
| 
 ( ) ( ) 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 – Substituindo as coordenadas de S na equação de r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualdade não verificada, portanto e r e s são paralelas e distintas. 
Como são L.D., não podem determinar um plano. Então o plano será 
determinado por ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) 
 
Seja ( ) um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do 
mesmo é dada por [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] . 
 
 [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗] |
 
 
 
| 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
6. Estude a posição relativa da reta r e do plano π e, quando forem transversais, obtenha 
o ponto de intersecção P. 
 
 
(a) 
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 ( ) ( ) 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π 
 
 ⃗ ⃗ 
 
Substituindo as coordenadas de r em π: 
 ( ) 
Substituindo na equação de r, obtemos o ponto de intersecção: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
(b) 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
 
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - |
 
 
 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 – Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica: 
 (I) 
 (II) 
 (III) 
Das equações (II) e (III), e . 
Substituindo em (I): (sentença matemática falsa) 
Logo, e r em π são paralelos e r não está contida em . 
 
(c) 
 
 
 ( 
 
 
 ) ( 
 
 
 ) ( ) 
 
Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica: 
Da primeira equação obtemos: 
𝑟 
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Substituindo na segunda 
 
 
 
 
Substituindo 
 
 
 em 
 
 
 
 
Admitindo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Informações: 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
 ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ( 
 
 
 ) ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
 
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - |
 
 
 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 – Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica: 
 
 
 (I) 
 
 
 
 
 
 
 (II) 
 (III) 
 
Substituindo (I) e (III) em (II): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a igualdade é verificada, então e r e π são paralelos e r está contida em π. 
 
(d) 
 
 
 
 
Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica: 
Da primeira equação obtemos: 
Substituindo na primeira 
 ( ) 
Substituindo em 
 
Admitindo 
𝑟 
𝑟 
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Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π 
 
 ⃗ ⃗ 
 
 
Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π: 
 
A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π. 
 
(e) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
 
 
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - |
 
 
 
| 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
Igualando as coordenadas de r às de π: 
 (I) 
 (II) 
 (III) 
Isolando de (II) e substituindo em (III) obtém-se o sistema 
 
 
Somando as duas equações obtém-se 
 
 
 
Substituindo o parâmetro encontrado na equação da reta r, encontra-se o ponto de 
intersecção P 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
𝑟 
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(f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗ ( ) – Vetor normal ao plano π 
 
 ⃗ ⃗ 
 
 
Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π: 
 ( ) ( ) ( ) 
A igualdadenão é verificada, portanto e r não está contida em π. 
 
7. Calcule m para que r seja paralela a π: ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ). 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
 
Para que r seja paralela ao plano π, os vetores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ devem ser coplanares, ou seja, 
linearmente dependentes. 
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - |
 
 
 
| 
 
8. Sejam ( ) ( ) . Usando em cada caso a 
informação dada, obtenha condições sobre m e n. 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗ ( ) 
 
(a) r e π são paralelos; 
 
Para que r e π sejam paralelos, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja 
 ⃗ 
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 14 
 
e R não deve pertencer ao plano π, ou seja, 
 √ 
Logo, r e π são paralelos se, e somente se, √ 
 
(b) r e π são transversais; 
 
Para que r seja transversal a π, basta que e ⃗ não sejam ortogonais, portanto, 
 
(c) r está contida em π; 
Para que r esteja contida em π, os vetores e ⃗ devem ser ortogonais, ou seja 
 ⃗ 
e R deve pertencer ao plano π, ou seja, 
 √ 
Logo, r está contida em π se, e somente se, √ . 
 
9. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2. 
 
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2. 
Verificaremos se * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + é LD ou LI. A verificação também poderia ser feita no 
conjunto * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ +. 
 
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - |
 
 
 
| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
Então, π1
 e π2 são paralelos. 
 
( ) pertence também à ? – Substituindo as coordenadas na equação de . 
 (I) 
 (II) 
 (III) 
Da equação (I) obtemos . Substituindo em (II) e (III) encontra-se . 
Foram encontrados valores reais que satisfazem as três equações, portanto ( ) e os 
planos π1 e π2 são iguais. 
 
(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de π1 e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ de π2. 
 
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - |
 
 
 
| 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) 
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 15 
 
Então, π1
 e π2 são transversais. 
 
(c) 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal a π2. Observamos 
que um é múltiplo escalar do outro, logo, são paralelos. Então π1 e π2 são também 
paralelos. 
 
Fazendo na equação de π1 obtemos o ponto ( ), pertencente ao 
plano. Substituindo P na equação de π2, encontramos , então P não pertence à π2 e 
π1 e π2 são paralelos e distintos. 
 
(d) ( ) ( ) ( ) 
 
 ⃗ ( ) é o vetor normal a π1 e ( ) e ⃗ ( ) são vetores diretores 
de π2. 
Se o vetor simultaneamente ortogonal a e ⃗ ( ⃗ ) for paralelo à ⃗ , então os planos 
são paralelos. 
 
 ⃗ |
 ⃗ 
 
 
| ( ) 
 
 ⃗ e ⃗ são LI, portanto não são paralelos. Então π1 e π2 são transversais. 
 
10. Calcule m para que os planos ( ) ( ) ( ) 
 sejam paralelos e distintos, nos casos: 
 
 e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD. 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |
 ⃗ 
 
 
| ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) 
Obtemos o sistema 
 (I) 
 (II) 
Isolando de (I) e substituindo em (II),. 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira solução não convém, pois tornaria o vetor ⃗ nulo, que não define plano 
algum. 
Portanto, e são paralelos se 
 
 
. 
 
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 16 
 
(a) 
Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a . 
Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto 
 e não existe tal que e sejam paralelos e distintos. 
 
(b) 
Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a . 
Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto 
 e e são paralelos e distintos quando 
 
 
. 
 
11. Estude a posição relativa dos planos e ( ) 
 ( ) ( ). 
 
 e são paralelos se o vetor ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ e o vetor ⃗ ( ) forem LD. 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |
 ⃗ 
 
 
| ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) 
Obtemos o sistema 
 (I) 
 (II) 
 (III) 
Pela equação (III) encontramos . Substituindo em (I) e (II) encontramos, 
respectivamente, e . Logo, inexiste que atenda simultaneamente às 
três equações. 
Então, os planos e são sempre transversais. 
 
12. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é paralelo ao 
plano de equação . 
 
O plano que queremos a equação é paralelo à , então seu vetor 
normal é ⃗ ( ). Logo, a equação é da forma . Mas, ( ) 
pertence ao plano. Substituindo os pontos na equação. 
 
A equação do plano é . 
 
13. Dados ( ) ( ) ( ) e ( ) 
 ( ) ( ), obtenha uma equação vetorial de . 
 
Para o cálculo da intersecção entre dois planos, devemos igualar suas coordenadas. 
[os parâmetros e da equação de foram substituídos, respectivamente, por e 
para serem diferentes de ] 
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 17 
 
 
 (I) 
 (II) 
 (III) 
 
Da eq. (II): 
Substituindo em (I): 
Substituindo e em (III): ( ) ( ) 
 
Substituindo os parâmetros acima na equação de , temos a reta com a seguinte 
equação paramétrica: 
 
 
 
Na forma vetorial: ( ) ( ) 
 
14. Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano π e 
perpendicular à reta AB. São dados: , ( ), 
( ), ( ) ( ). 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) 
Equação da reta ( ) ( ) 
Vetor normal do plano π: ⃗ ( ) 
 
Q é o ponto de intersecção entre r e s. É da forma ( ). 
P é o ponto de intersecção entre r e AB. É da forma ( ). 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é paralelo à , vetor diretor de r, portanto 
 ( ) ( )
 ( ) 
 
 ⃗ ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
Mas, 
 
 
, então: 
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 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo e em ( ): 
 
Cálculo do vetor diretor: 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) () ( ) 
Cálculo do ponto : 
 ( ) ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
Logo, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
/ ( ). 
 
15. Verifique se os planos e são perpendiculares. 
 
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Sendo ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de e ⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗ os vetores diretores de . 
 e são perpendiculares se * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + for LI, ou seja ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
, ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ - |
 
 
 
| * ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ + 
Os planos e não são perpendiculares. 
 
(b) 
 
Sendo ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao plano e ⃗⃗⃗⃗ ( ) o vetor normal ao 
plano 
 e são perpendiculares se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ou seja, se ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) 
Logo, e são perpendiculares. 
 
 
16. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é perpendicular 
aos planos e . 
 
Queremos a equação do plano , que é perpendicular à e . Logo, ⃗ , vetor normal 
de é simultaneamente ortogonal à ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de , e ⃗⃗⃗⃗ , vetor normal de . 
 
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Posições relativas entre reta e plano 
 
 19 
 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |
 ⃗ 
 
 
| ⃗ ⃗ 
 ⃗ ( ) ( ) 
 
 
Mas, ( ) , então: 
 
 
Logo, . 
 
17. Obtenha as equações da reta perpendicular comum às retas r e s: 
 
(a) 
 
 
Escrevendo ambas as equações na forma paramétrica: 
 
 
 
Para a reta s serão necessárias algumas manipulações. Somando o termo ( ) em 
todas as partes da igualdade, temos: 
 
Encontramos então um sistema de equações planares: 
 (I) 
 (II) 
Subtraindo (II) de (I) 
 
Substituindo em (II) 
 ( ) 
 
 
 
Admitindo , um parâmetro real 
 
 
 
 
 
 
A reta que desejamos encontrar a equação é perpendicular comum à r e s, então 
 , onde é vetor diretor da reta. 
 
 |
 ⃗ 
 
 
| ⃗ ⃗ ( ) 
Incompleta 
𝑟 
𝑠 
Geometria Analítica 
Lista 5 
Posições relativas entre reta e plano 
 
 20 
 
 
(b) 
 ( ) ( ) 
 
Rescrevendo a equação de s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Informações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( 
 
 
 ) ( ) 
 
Cálculo do vetor diretor da reta 
 |
 ⃗ 
 
 
| ⃗ ⃗ ( ) 
A intersecção entre r e s é um ponto pertencente à reta que desejamos equacionar. 
Igualando as coordenadas: 
 
 
 
Resolvendo o sistema encontra-se e . 
Substituindo na equação de r, encontramos o ponto ( ). 
Então 
 ( ) ( ) 
 
18. Dadas as retas ( ) ( ) e ( ) ( ), 
obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a ⃗ 
( ) 
 
A reta t é a intersecção de dois planos, e , sendo que: 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 |
 
 
 
| 
 |
 
 
 
| 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
Geometria Analítica 
Lista 5 
Posições relativas entre reta e plano 
 
 21 
 
A equação da reta t na forma planar é 
 
 
𝑠