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GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 1 SERÃO ZERADAS AS QUESTÕES SE: (1) o desenvolvimento não estiver integralmente correto; (2) todos os cálculos não estiverem evidenciados e efetuados; (3) a resposta estiver errada; e (4) o desenvolvimento for pelas teclas financeiras e não pelas teclas científicas de uma calculadora. Cada questão vale um ponto. Arredondamento: no mínimo duas casas decimais. FORMULÁRIO S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 1 + i n Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 1 − i n S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) i i A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) i i A = R A = R (1 + i) i i Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 In−1 I0 Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 1ª. Questão (1,0 ponto): O preço à vista de uma máquina de lavar industrial é $ 4.900 e a prazo tem que dar uma entrada no valor de 25% do preço à vista e mais prestações mensais postecipadas durante um ano. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 4% a.m, quanto terá que ser pago mensalmente? (UA9) Preço à vista = $ 4.900 E = (0,25) (4.900) = $ 1.225 i = 4% a.m. R = ? ($/mês) n = 1 x 12 = 12 Solução: Data Focal = Zero Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) Preço a Prazo(DF = 0) = E(DF = 0) + Prestações(DF = 0) GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 2 E(DF = 0) = $ 1.225 Prestações(DF = 0) = A = R [1 − (1,04)−12] = R (a12 4%) 0,04 Preço à Vista = Preço com Desconto = $ 4.900 Equação de Valor (DF = Zero ): 1.225 + R (a12 4%) = 4.900 Ou 1.225 + R [1 − (1,04)−12] = 4.900 0,04 R [1 − (1,04)−12] = 4.900 – 1.225 = 3.675 0,04 R = (3.675) (0,04) 1 − (1,04)−12 Ou R = 3.675 a12 4% R = $ 391,58 Resposta: $ 391,58 2ª. Questão (1,0 ponto): Uma jovem efetuará depósitos bimestrais vencidos de $ 3.700 durante dois anos em um fundo que se destinará ao custeamento de sua festa de noivado. Se a taxa de juros do fundo for 18% a.a. acumulado bimestralmente, quanto ela poderá resgatar no final do prazo? (UA8) R = $ 3.700/bim → n = 2 x 6 = 12 i = (18%) (1/6) = 3% a.b. Saldo = X = ? (final do prazo => após último depósito) Solução: Data Focal = Doze bimestres $ 4.900 0 1 12 DF A n = 12 i = 4% a.m. $ 1.225 Meses R = ? ($/mês) Termos Postecipados GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 3 X = [(1 + i)n − 1] ou X = R (sn i) i X = 3.700 [(1,03)12 − 1] ou X = 3.700 (s12 3%) 0,03 X = $ 52.510,51 Resposta: $ 52.510,51 3ª. Questão (1,0 ponto): Uma imobiliária deseja financiar a venda de um terreno em prestações trimestrais a vencer de $ 1.900 durante três anos e meio. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 2,5% a.t, qual seria o valor do terreno à vista? (UA11) R = $ 1.900/trim. (a vencer => antecipada) n = (3,5) (4) = 14 i = 2,5% a.t. Valor à vista = X =? Solução: Data Focal = Zero R = $ 1.900/trim. 0 1 Prazo = n = 14 i = 2,5%/trim. Anuidade Antecipada 13 14 DF X = ? A Trim. Termos Antecipados R = $ 3.700/bim 0 1 12 S n = 12 i = 3% ab. Bim DF Saldo = X = ? Termos Postecipados GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 4 Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações(DF = 0) = A = 1.900 (a14 2,5%) (1,025) Preço à Vista(DF = 0) = X = ? Equação de Valor: 1.900 (a14 2,5%) (1,025) = X Ou 1.900 [1 − (1,025)− 14] (1,025) = X 0,025 X = $ 22.768,05 Resposta: $ 22.768,05 4ª. Questão (1,0 ponto): Achar a taxa de juros mensal aproximada por interpolação linear, na qual vinte depósitos mensais de $ 1.500 que acumularão $ 52.300 no final do prazo. (UA9) Saldo = $ 52.300 i = ? (a.m.) aproximada R = $ 1.500/mês → n = 20 Solução: Data Focal = Vinte meses ∑ Dep.(DF = 20) − ∑ Ret.(DF = 20) = Saldo(DF = 20) ∑ Dep.(DF = 20) = S = 1.500 [(1 + i)20 −1] = 1.500 s20 i i ∑ Ret.(DF = 20) = 0 Saldo(DF = 20) = $ 52.300 Eq. de Valor: 1.500 [(1 + i)20 −1] = 52.300 i . s20 i = [(1 + i) 20 −1] = 52.300 = 34,87 i 1.500 1o. Chute: i = 3% a.t. R = $ 1.500/mês 0 1 20 DF S n = 20 i = ? Meses Saldo = $ 52.300 GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 5 S20 3% = [(1,03)20 −1] = 26,87 < 34,87 ⇒ aumentar taxa 0,03 2o. Chute: i = 8% a.t. S20 8% = [(1,08)20 −1] = 45,76 0,08 x = . 8% − 3% . 34,87 – 26,87 45,76 – 26,87 x = 2,12% i = 3% + 2,12% ≅ 5,12% a.m. Resposta: ≅ 5,12% Nota: Voltando com a taxa de 5,12% o fator é 33,49, mas como o fator tem que ser 34,87, então esta não é a taxa exata, porém, como pede a taxa aproximada => 5,12% . (Basta uma interpolação linear). Para achar a taxa exata terá que continuar interpolando. A taxa exata é 5,4996%. 5ª. Questão (1,0 ponto): Um investidor depositou inicialmente em uma poupança $ 15.600; depois ele fez depósitos mensais de $ 2.200 do sétimo mês ao trigésimo mês. Calcular o saldo no final do quadragésimo mês para uma taxa de juros de 3% a.m? (UA10 – Termos postecipados ou UA11 Termos antecipados) Inv. Inicial = $ 15.600 i = 3% a.m. R = $ 2.200/mês (7º mês ao 30º mês) → n = 30 – 6 = 24 (Termos Postecipados) Saldo = X = ? (40º mês) 26,87 34,87 45,76 S20 3% i = ? 8% i% (a.m.) 0 x i = 3% + x GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 6 Solução (Termos Postecipados): Data Focal = Quarenta meses ∑ Dep.(DF= 40) − ∑ Ret.(DF = 40) = Saldo(DF = 40) ∑ Dep.(DF= 40) = 15.600 (1,03)(40 – 0) + 2.200 (s24 3%) (1,03)(40 – 30) ∑ Ret.(DF = 40) = 0 Saldo = X = ? Equação de Valor: 15.600 (1,03)40 + 2.200 (s24 3%) (1,03)10 = X X = $ 152.673,64 Resposta: $ 152.673,64 6ª. Questão (1,0 ponto): Uma caminhonete à vista custa $ 65.770, e a prazo tem que fazer pagamentos quadrimestrais de $ 7.430. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 1,5% a.m. capitalizado quadrimestralmente; quantos pagamentos quadrimestrais serão necessários na compra a prazo? (UA 9) Preço à vista = $ 65.770 R = $ 7.430/quad. n = ? i = 1,5% x 4 = 6% a.q. Solução: Data Focal = Zero Preço a Prazo se equivale ao Preçoà Vista Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) Preço à Vista(DF = 0) = $ 65.770 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) Entrada(DF = 0) = 0 Prestações(DF = 0) = A = 7.430 [1 − (1,06)−n] = 7.430 (an 6%) 0,06 0 1 30 DF Prazo = n = 30 – 6 = 24 i = 3% a.m. Meses R = $ 2.200/mês 7 6 Termos Postecipados $ 15.600 Saldo = X = ? 40 S GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 7 Equação de Valor: 65.770 = 7.430 [1 − (1,06)−n]. . 0,06 . (65.770) (0,06) = 1 − (1,06)−n 7.430 (1,06)−n = 1 − 0,53 = 0,47 (Arredondamento no mínimo duas casas decimais) Ln (1,06)−n = Ln (0,47) −n Ln (1,06) = Ln (0,47) n = − Ln (0,47) Ln (1,06) n = 12,96 ≈ 13 Resposta: 13 7ª. Questão (1,0 ponto): Um varejista deve $ 6.300; e $ 29.500; vencíveis respectivamente em quatro bimestres e vinte bimestres. Não desejando pagar nesses prazos de vencimento, deseja reformá-lo de tal modo a fazer trinta e cinco pagamentos bimestrais postecipados iguais. Quanto terá que ser pago bimestralmente se a taxa de juros usada nesta operação for 4,5% a.b? (UA8) $ 6.300 (4º bim.) $ 29.500 (20º bim.) i = 4,5% a.b. R = ? ($/bim) → n = 35 Solução: Data Focal = Trinta e cinco bimestres ∑ Obrig.(DF = 35) = ∑ Pagam.(DF = 35) 6.300 (1,045)(35 – 4) + 29.500 (1,045)(35 –20) = R (s354,5%) (1,045)(35 – 35) Equação de Valor: 6.300 (1,045)31 + 29.500 (1,045)15 = R (s354,5%) 81.748,13 = R (s354,5%) $ 65.770 0 1 n DF Prazo = n = ? i = 6% a.q. Quad. R = $ 7.430/quad. A. GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 8 R = $ 1.003,09 Resposta: $ 1.003,09 6.300 (1,045)(35 – 4) + 29.500 (1,045)(35 – 20) = R (s354,5%) Equação de Valor: 6.300 (1,045)31 + 29.500 (1,045)15 = R (s354,5%) 81.748,13 = R (s354,5%) R = $ 1.003,09 Resposta: $ 1.003,09 8ª. Questão (1,0 ponto): Inicialmente depositou-se em um fundo de investimento $ 327.000 para pagamentos de bolsas de estudo. Se as retiradas forem mensais para os pagamentos das bolsas, e se a primeira retirada for um ano após o depósito inicial, quanto poderá ser retirado mensalmente se a rentabilidade for 5,5% a.m? (UA 10 ou 11) Dep. inicial = $ 327.000 R = ? (1a Ret: 12o mês) i = 5,5% a.m. Nota: Como não diz o número de retiradas e nem quando é a última retirada, então o prazo é infinito (n= ∞), portanto, tratando-se de uma perpetuidade. Solução: Data Focal = Onze meses (Termos Postecipados) ∑ Dep.(DF = 11) − ∑ Ret.(DF = 11) = Saldo(DF = 11) ∑ Dep.(DF = 11) = 327.000 (1,055)11 ∑ Ret.(DF = 11) = A $ 6.300 0 1 DF i = 4,5% a.b. Bim. R = ? ($/bim.) $ 29.500 20 4 Termos Postecipados 35 n = 35 S GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 9 Saldo(DF = 11) = 0 Equação de Valor: .327.000 (1,055)11 = . R . 0,055. R = $ 32.410,63 Resposta: $ 32.410,63 9ª. Questão (1,0 ponto): Hoje foi depositado uma determinada quantia em uma poupança, para depois serem feitas retiradas mensais de $ 2.700 durante dois anos e meio. Se o saldo no final do terceiro ano for $ 13.500 e a taxa de juros de 3,5% a.m, quanto foi depositado? (UA 8) Dep. Inicial = X = ? i = 3,5% a.m. R = $ 2.700/mês → n = (2,5) (12) = 30 Saldo = $ 13.500 → 3o ano = 36o mês Solução: Data Focal = Zero ∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) ∑ Dep.(DF = 0) = X R = $ 2.700/mês 0 1 30 DF A n = 30 i = 3,5% a.m. Meses Saldo = $ 13.500 36 X Termos Postecipados R R = ? ($/mês) 0 1 DF Prazo = n = infinito = ∞ i = 5,5% a.m. Termos Postecipados A ∞ 11 12 $ 327.000 GABARITO AD2 – 2015/I Prof a . Cord a . MARCIA REBELLO DA SILVA 10 ∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) ∑ Dep.(DF = 0) = X = ? ∑ Ret.(DF = 0) = 2.700 (a30 3,5%) Saldo(DF = 0) = 13.500 (1,035)−36 Equação de Valor: X − 2.700 (a30 3,5%) = 13.500 (1,035)−36 Ou Equação de Valor: X − 2.700 [1 − (1,035)−30] = 13.500 (1,035)−36 0,035 X = $ 53.571,26 Resposta: $ 53.571,26 10ª. Questão (1,0 ponto): O preço à vista de uma máquina industrial é $ 136.800; e a prazo tem que dar uma entrada e mais prestações mensais de $ 6.500 durante quatro anos. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 6% a.m. capitalizado semestralmente, quanto terá que dar de entrada? (UA 11) Preço à vista = $ 136.800 is = (6%) (6) = 36% a.s. R = $ 6.500/mês n = (4) (12) = 48 Entrada = X = ? Solução: Data Focal = Zero 1º) Transformar a taxa ao semestre (capitalização semestral) para taxa ao mês (capitalização mensal) porque os termos são mensais. Mudar a capitalização é por taxas equivalentes. Taxas equivalentes: P (1 + is) = P (1 + im)6 ⇒ (1,36 ) = (1 + im)6 (1,36)1/6 − 1 = i ⇒ i = 5,26% a.m. 2º) Determinar a Eq. de valor com os seguintes dados: R = $ 6.500/mês; i = 5,26% a.m.; n = 48 Equação de Valor: DF = Zero X + 6.500 (a48 5,26%) = 136.800 Ou Equação de Valor: DF = Zero X + 6.500 [1 − (1,0526)−48] = 136.800 0,0526 3º) Resolver a equação de valores datados. X = 136.800 − 6.500 (a48 5,26%) X = $ 23.776,67 Resposta: $ 23.776,67
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