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Algebra Linear

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1.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 1: Vetores
Informações sobre o curso
Bibliografia
Introdução a Álgebra Linear com Aplicações
6ª edição
Editora: LTC
Autor: Bernard Kolman
1.2
1.1 - Vetores
Grandezas Físicas Escalares
Massa
Pressão
Velocidade
Força
Grandezas Físicas Vetoriais
1.3
Deslocamento
1.1 - Vetores
1.4
Todos os segmentos orientados que têm a mesma
direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento
são representantes de um mesmo vetor.
A C
DB
1.1 - Vetores
1.5
1.1 - Vetores
1.6
Vetor Nulo
1.1 - Vetores
1.7
Vetor Unitário
Vetor Simétrico (ou oposto)
v
-v
1.1 - Vetores
1.8
Vetores Colineares
v
u
A
B
C
D
u
A
B vC
D
1.1 - Vetores
1.9
eq=
\LARGE
\[
 E\,=\,M\,C^2
\]
Vetores Coplanares
u
B
A
C Dv
1.2 - Operações com vetores
1.10
1.2.1 - Adição de vetores
u
B
A
v
C
D
1.2 - Operações com vetores
1.11
1.2.1 - Adição de vetores
b)
a)
1.2 - Operações com vetores
1.12
1.2.1 - Adição de vetores
u
B=C
A
v
D
u+v
1.2 - Operações com vetores
1.13
1.2.1 - Adição de vetores
Regra do Paralelogramo
Uma forma prática de calcular a soma entre
dois vetores é construindo um paralelogramo.
u
B
Voltarv
C
D Adição
A
A=C v
u u + v
1.2 - Operações com vetores
1.14
1.2.1 - Adição de vetores
Propriedades da Adição
Associativa: 1)
Voltar
v
u
w
u + v
v
u
Adição
u + v
w
y=
x=
name=uv_w
(u+v)+w
v
u
w
v
w v + w
v + w
u
u+(v+w)
1.2 - Operações com vetores
1.15
1.2.1 - Adição de vetores
Propriedades da Adição
Comutativa:2)
4)
3)
1.2 - Operações com vetores
1.16
1.2.1 - Adição de vetores
Observação
v
u
DB
A
u+v
v+u u
v
D B
A
u
-v
u
-v
u-v
1.2 - Operações com vetores
1.17
1.2.2 - Multiplicação de um número real
 por um vetor
b)
c)
a)
1.2 - Operações com vetores
1.18
1.2.2 - Multiplicação de um número real
 por um vetor
1.2 - Operações com vetores
1.19
1.2.2 - Multiplicação de um número real por um
 vetor
a)
c)
d)
b) (propriedade distributiva)
1.20
1.3 - Vetores no 
A
B
P
1.3 - Vetores no 
1.21
Vetores representados por segmentos de retas
orientados com origem na origem do sistema
1.3 - Vetores no 
1.22
Vetores representados por segmentos de retas
orientados com origem na origem do sistema
1.4 - Igualdade e Operações
1.23
Igualdade 
Exemplos:
1)
2)
1.4 - Igualdade e Operações
1.24
Operações 
b)
a)
1.4 - Igualdade e Operações
1.25
Operações 
1.26
1.5 - Vetor definido por dois pontos
1.27
1.5 - Vetor definido por dois pontos
1.28
1.6 - Produto Escalar
Definição
1.29
1.6 - Produto Escalar
Módulo de um vetor
1.30
1.6 - Produto Escalar
Vetor unitário
1)
Observação
1.31
1.6 - Produto Escalar
2)
1.32
1.6 - Produto Escalar
Propriedades do Produto Escalar
II)
III)
IV)
I)
1.33
1.6 - Produto Escalar
Observação
Das propriedades (I) - (IV) obtemos que:
 
De fato:
Mostre que, de forma análoga:
1)
1.34
1.7 - Ângulo de dois vetores
1.35
1.7 - Ângulo de dois vetores
Cálculo do Ângulo de dois Vetores
1.36
1.7 - Ângulo de dois vetores
Cálculo do Ângulo de dois Vetores
1.37
1.7 - Ângulo de dois vetores
Cálculo do Ângulo de dois Vetores
1
2
1 2
1.38
1.7 - Ângulo de dois vetores
Cálculo do Ângulo de dois Vetores
1.39
1.7 - Ângulo de dois vetores
1.40
1.7 - Ângulo de dois vetores
1.41
1.8 - Paralelismo e Ortogonalidade
de Dois Vetores
a)
3
3
1.42
1.8 - Paralelismo e Ortogonalidade
de Dois Vetores
u
v
6
2
-3
-4
1.43
1.8 - Paralelismo e Ortogonalidade
de Dois Vetores
b)
1.44
1.8 - Paralelismo e Ortogonalidade
de Dois Vetores
1.45
1.9 - Vetores no 
1.9 - Vetores no 
1.46
Propriedades:
1)
2)
1.9 - Vetores no 
1.47
Propriedades:
3)
4)
5)
1.9 - Vetores no 
1.48
Propriedades:
7)
a)
b)
6)
1.49
1.10 - Vetores no 
1.10 - Vetores no 
1.50
 .b)
 .c)
 .d)
 .e)
a)
1.51
Exercícios
Faça os seguintes exercícios da seção 3.1, páginas
115/116 do livro texto.
(a), (c) e (e)1)
(a) e (b)2)
3)
(a), (b) e (c)5)
(a), (b) e (c)7)
(a) e (c)12)
(a) e (d)10)
14)
(a) e (b)19)
(b) e (c)21)
(a), (b) e (c)24)
Exercícios Teóricos
T.1, T.3, T.5 e T.8.
2.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 2: Espaços Vetoriais
2.1 - Espaços Vetoriais
2.2
I)
a)
b)
2.1 - Espaços Vetoriais
2.3
c)
d)
2.1 - Espaços Vetoriais
2.4
II)
a)
b)
c)
d)
2.1 - Espaços Vetoriais
2.5
1) Os elementos do espaço vetorial V são
chamados vetores.
2)
Observação:
2.1 - Espaços Vetoriais
2.6
Exemplos de Espaços Vetoriais
b)
a)
I) Propriedades da Adição
2.1 - Espaços Vetoriais
2.7
2.1 - Espaços Vetoriais
2.8
d)
I) Propriedades da Adição
c)
2.1 - Espaços Vetoriais
2.9
b)
a)
II) Propriedades da Multiplicação por um escalar
2.1 - Espaços Vetoriais
2.10
II) Propriedades da Multiplicação por um escalar
d)
c)
2.1 - Espaços Vetoriais
2.11
2.1 - Espaços Vetoriais
2.12
2.1 - Espaços Vetoriais
2.13
2.1 - Espaços Vetoriais
2.14
2.1 - Espaços Vetoriais
2.15
2.1 - Espaços Vetoriais
2.16
2.1 - Espaços Vetoriais
2.17
2.1 - Espaços Vetoriais
2.18
2.1 - Espaços Vetoriais
2.19
2.1 - Espaços Vetoriais
2.20
b)
2.21
2.2 - Propriedades dos Espaços Vetoriais
1)
3)
8)
4)
6)
7)
9)
2)
5)
2.22
Exercícios
Fazer os exercícios das páginas 167 e 168 do livro
texto.
2.23
2.3 - Subespaços Vetoriais
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto
não-vazio de V.
S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço
vetorial em relação à adição e à multiplicação por
escalar definidas em V.
Teorema: Um subconjunto S não vazio, de um
espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se
estiverem satisfeitas as condições.
2.24
2.3 - Subespaços Vetoriais
Demonstração:
I)
II)
(II)
2.25
2.3 - Subespaços Vetoriais
Observação:
2)
2.26
2.3 - Subespaços Vetoriais
Exemplo 1:
1)
2.27
2.3 - Subespaços Vetoriais
Geometricamente:
x
y
2
1
3)
2.28
2.3 - Subespaços Vetoriais
2.29
2.3 - Subespaços Vetoriais
2)
Exemplo 2:
2.30
2.3 - Subespaços Vetoriais
1)
2)
2.31
2.3 - Subespaços Vetoriais
3)
2.32
2.3 - Subespaços Vetoriais
Exemplo 3:
2.33
2.3 - Subespaços Vetoriais
1)
2.34
2.3 - Subespaços Vetoriais
2)
3)
2.35
2.4 - Combinação Linear
2.36
2.4 - Combinação Linear
Exemplo 1:
2.37
2.4 - Combinação Linear
2.38
2.4 - Combinação Linear
Geometricamente:
2.39
2.4 - Combinação Linear
Exemplo 2:
2.40
2.4 - Combinação Linear
2.41
2.5.1 - Soma de dois Subespaços Vetoriais
2.42
2.5.1 - Soma de dois Subespaços Vetoriais
2.432.5.1 - Soma de dois Subespaços Vetoriais
2.44
2.5.1 - Soma de dois Subespaços Vetoriais
Exemplo:
2.45
2.5.2 - Soma direta de dois
Subespaços Vetoriais
Exemplo:
2.46
2.5.3 - Interseção de dois
Subespaços Vetoriais
Exemplo:
Exemplo:
2.47
2.5.3 - Interseção de dois
Subespaços Vetoriais
Exemplo:
2.48
2.6 - Subespaços Gerados
2.49
2.6 - Subespaços Gerados
2.50
2.6 - Subespaços Gerados
i)
ii)
iii)
2.51
2.6 - Subespaços Gerados
x
y
Exemplos:
1)
2.52
2.6 - Subespaços Gerados
3)
2)
2.53
2.6 - Subespaços Gerados
y
z
x
2.54
2.6 - Subespaços Gerados
4)
2.55
2.6 - Subespaços Gerados
2.56
2.6 - Subespaços Gerados
x
z
y
2.57
2.6 - Subespaços Gerados
5)
2.58
2.6 - Subespaços Gerados
Exercícios
Fazer os exercícios propostos no livro texto, nas
folhas 174 e 175.
2.59
3.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 3: Espaços Vetoriais 2
3.2
1
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.3
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.4
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.5
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.6
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.7
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.8
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.9
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.10
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.11
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.12
2.7 - Dependência e
Independência Linear
3.13
2.7 - Dependência e
Independência Linear
4)
3.14
2.7 - Dependência e
Independência Linear
1)
2)
3)
5)
Exercícios
3.15
2.8 - Base e dimensão
3.16
a)
b)
2.8.1 - Base de um espaço vetorial V
2.8 - Base e dimensão
3.17
a)
b)
2.8 - Base e dimensão
3.18
2.8 - Base e dimensão
3.19
b)
a)
1)
2)
3)
2.8 - Base e dimensão
3.20
2.8 - Base e dimensão
3.21
b)
a)
2.8 - Base e dimensão
3.22
b)
a)
2.8 - Base e dimensão
3.23
2.8 - Base e dimensão
3.24
2.8 - Base e dimensão
3.25
1
2.8 - Base e dimensão
3.26
2
3
12
2.8 - Base e dimensão
3.27
2.8 - Base e dimensão
3.28
2.8 - Base e dimensão
3.29
1)
2)
3)
2.8 - Base e dimensão
3.30
2.8.2 - Dimensão de um espaço vetorial V
1)
2)
3)
4)
5)
2.8 - Base e dimensão
3.31
a)
b)
c)
d)
2.8 - Base e dimensão
3.32
2.8 - Base e dimensão
3.33
2.8 - Base e dimensão
3.34
2.8 - Base e dimensão
3.35
1
2
Exercícios
3.36
4.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 4: Espaços Vetoriais 3
4.2
2.9 - Bases Ortonormais em 
2.9.1 - Conjunto Ortogonal de Vetores 
4.3
2.9 - Bases Ortonormais em 
4.4
2.9 - Bases Ortonormais em 
1
1
4.5
2.9 - Bases Ortonormais em 
2.9.2 - Base Ortogonal
4.6
2.9 - Bases Ortonormais em 
2.9.3 - Base Ortonormal
4.7
2.9 - Bases Ortonormais em 
1)
2)
4.8
2.9 - Bases Ortonormais em 
4.9
2.9 - Bases Ortonormais em 
4.10
2.9 - Bases Ortonormais em 
2.9.4 - Processo de Ortogonalização de
 Gram-Schmidt
1
4.11
2.9 - Bases Ortonormais em 
2
3
2
4.12
2.9 - Bases Ortonormais em 
4.13
2.9 - Bases Ortonormais em 
4
4.14
2.9 - Bases Ortonormais em 
5
4.15
2.9 - Bases Ortonormais em 
5
4.16
2.9 - Bases Ortonormais em 
5
4.17
2.9 - Bases Ortonormais em 
1)
4.18
2.9 - Bases Ortonormais em 
2)
y
1
4.19
2.9 - Bases Ortonormais em 
x
1
Voltar
1)2)
Animar
4.20
2.9 - Bases Ortonormais em 
1)
4.21
2.9 - Bases Ortonormais em 
2)
4.22
2.9 - Bases Ortonormais em 
3)
4.23
2.9 - Bases Ortonormais em 
4.24
2.10 - Complementos Ortogonais
4.25
2.10 - Complementos Ortogonais
4.26
2.10 - Complementos Ortogonais
4.27
2.10 - Complementos Ortogonais
b)
a)
4.28
2.10 - Complementos Ortogonais
a)
b)
4.29
2.10 - Complementos Ortogonais
4.30
2.10 - Complementos Ortogonais
4.31
2.11 - Projeção Ortogonal
4.32
2.11 - Projeção Ortogonal
4.33
2.11 - Projeção Ortogonal
4.34
2.11 - Projeção Ortogonal
3.35
2.11 - Projeção Ortogonal
4.36
2.11 - Projeção Ortogonal
4.37
Exercícios
5.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 5: Sistemas Lineares
3.1 - Definições
52
1
1
3.1 - Definições
5.3
3.1 - Definições
5.4
2
3.1 - Definições
5.5
2
3.1 - Definições
5.6
3.2 - Método de Eliminação
5.7
3.2 - Método de Eliminação
5.8
Operações Elementares
5.9
1
2
1 2
3
4
4
3
3.2 - Método de Eliminação
3.2 - Método de Eliminação
5.10
1
1
2
3
1
2
3
3.2 - Método de Eliminação
5.11
4 5
4
5
6
7
8
9
9
3.2 - Método de Eliminação
7
8
5.12
3.2 - Método de Eliminação
5.13
1
2
1 2
3
4
4
3.2 - Método de Eliminação
5.14
4
1
2
3
4
1 2
3.2 - Método de Eliminação
3
5.15
3.3- Tipos de Soluções de um 
Sistema Linear
5.16
3.3- Tipos de Soluções de um 
Sistema Linear
5.17
1
3.3- Tipos de Soluções de um 
Sistema Linear
5.18
1
3.3- Tipos de Soluções de um 
Sistema Linear
5.19
1)
3.3- Tipos de Soluções de um 
Sistema Linear
5.20
2)
3.3- Tipos de Soluções de um 
Sistema Linear
5.21
3)
5.22
3.4 - Sistemas Lineares com
1 2
31
1
2
3
5.23
3.4 - Sistemas Lineares com
4
5
6
5 6
5.24
3.4 - Sistemas Lineares com
3.4 - Sistemas Lineares com
5.25
1
2
3
1 2
31
4
5
6
3.4 - Sistemas Lineares com
5.26
5 6
3.4 - Sistemas Lineares com
5.27
3.4 - Sistemas Lineares com
5.28
1
2
3
4
1 2
3.4 - Sistemas Lineares com
5.29
3.4 - Sistemas Lineares com
5.30
3.4 - Sistemas Lineares com
5.31
3.4 - Sistemas Lineares com
5.32
3.4 - Sistemas Lineares com
5.33
1
2
3.4 - Sistemas Lineares com
5.34
1 2
3
4
3.4 - Sistemas Lineares com
5.35
3
4
3.4 - Sistemas Lineares com
5.36
3
4
5.37
Exercícios
6.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 6: Matriz
4.1 - Sistemas Equivalentes
6.2
4.1 - Sistemas Equivalentes
6.3
1)
2)
3)
4.1 - Sistemas Equivalentes
6.4
1)
4.1 - Sistemas Equivalentes
6.5
2) 1)
1
2
2
1
2
4.1 - Sistemas Equivalentes
6.6
4.1 - Sistemas Equivalentes
6.7
3)
4.1 - Sistemas Equivalentes
6.8
2)
4.1 - Sistemas Equivalentes
6.9
4.2 - Matrizes
6.10
4.2 - Matrizes
6.11
4.2 - Matrizes
6.12
4.2 - Matrizes
6.13
Voltar
linha 3coluna 2
Animar
linha 1coluna 3linha 3coluna 3linha 2linha 1coluna 2coluna1linha 1
Os elementos c11 , c22 , c33 em C 
formam a diagonal principal.
coluna1
4.2 - Matrizes
6.14
4.2 - Matrizes
6.15
4.2 - Matrizes
6.16
4.2 - Matrizes
6.17
4.3 - Adição de Matrizes
6.184.3 - Adição de Matrizes
6.19
6.20
4.4 - Multiplicação por 
um escalar
6.21
4.4 - Multiplicação por 
um escalar
6.22
4.4 - Multiplicação por 
um escalar
6.23
4.5 - Matriz Transposta
6.24
4.5 - Matriz Transposta
VoltarAnimar
6.25
Exercícios
6.26
4.6 - Produto Escalar
4.6 - Produto Escalar
6.27
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.28
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.29
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.30
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.31
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.32
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.33
i)
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.34
ii)
i)
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.35
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.36
ii)
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.37
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.38
i)
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.39
ii)
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.40
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.41
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.42
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.43
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.44
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.45
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.46
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.47
4.7 - Multiplicação de Matrizes
6.48
6.49
4.8 - Produto de Matrizes por
Vetores
6.50
4.8 - Produto de Matrizes por
Vetores
6.51
4.8 - Produto de Matrizes por
Vetores
6.52
4.8 - Produto de Matrizes por
Vetores
6.53
4.8 - Produto de Matrizes por
Vetores
6.54
4.8 - Produto de Matrizes por
Vetores
6.55
4.9 - Sistemas Lineares
6.56
4.9 - Sistemas Lineares
6.57
4.9 - Sistemas Lineares
6.58
4.9 - Sistemas Lineares
6.59
4.9 - Sistemas Lineares
6.60
4.9 - Sistemas Lineares
6.61
4.9 - Sistemas Lineares
6.62
4.9 - Sistemas Lineares
6.63
Exercícios
7.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 7: Propriedades das 
Operações com Matrizes
1)
2)
3)
4)
7.2
5.1 - Soma de Matrizes
5.1 - Soma de Matrizes
7.3
1)
2)
5.1 - Soma de Matrizes
7.4
4)
3)
5.2 - Multiplicação de Matrizes
7.5
1)
2)
3)
5.2 - Multiplicação de Matrizes
7.6
1
2
1)
1 2
5.2 - Multiplicação de Matrizes
7.7
2)
5.2 - Multiplicação de Matrizes
7.8
3)
5.2 - Multiplicação de Matrizes
7.9
5.2 - Multiplicação de Matrizes
7.10
5.3 - Matriz Identidade
7.11
A
A
5.3 - Matriz Identidade
7.12
7.13
5.4 - Propriedades da
Potenciação
7.14
5.4 - Propriedades da
Potenciação
5.4 - Propriedades da
Potenciação
7.15
1)
2)
3)
5.4 - Propriedades da
Potenciação
7.16
1)
5.4 - Propriedades da
Potenciação
7.17
2)
5.4 - Propriedades da
Potenciação
7.18
1)
2)
5.4 - Propriedades da
Potenciação
7.19
7.20
5.5 - Propriedades da
Multiplicação por Escalar
4)
3)
2)
1)
5.5 - Propriedades da
Multiplicação por Escalar
7.21
2)
1)
4)
3)
5.5 - Propriedades da
Multiplicação por Escalar
7.22
7.23
5.6 - Propriedades da Transposta 
1)
2)
3)
4)
5.6 - Propriedades da Transposta 
7.24
1)
5.6 - Propriedades da Transposta 
7.25
2)
5.6 - Propriedades da Transposta 
3)
7.26
5.6 - Propriedades da Transposta 
7.27
4)
5.6 - Propriedades da Transposta 
7.28
5.7 - Matriz Simétrica 
7.29
5.7 - Matriz Simétrica 
7.30
7.31
Exercícios
8.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 8: Soluções de Sistemas
 de Equações Lineares
8.2
6.1 - Forma Escada reduzida por
linhas
6.1 - Forma Escada reduzida por
linhas
8.3
6.1 - Forma Escada reduzida por
linhas
8.4
2)
1)
6.1 - Forma Escada reduzida por
linhas
8.5
3)
4)
6.1 - Forma Escada reduzida por
linhas
8.6
VoltarPasso a passo
6.1 - Forma Escada reduzida por
linhas
8.7
VoltarPasso a passo
6.1 - Forma Escada reduzida por
linhas
8.8
6.1 - Forma Escada reduzida por
linhas
8.9
VoltarPasso a passo
Exercícios
8.10
8.11
6.2 - Resolvendo Sistemas
 Lineares
8.12
6.3 - Método de Redução 
de Gauss-Jordan
6.3 - Método de Redução 
de Gauss-Jordan
8.13
6.3 - Método de Redução 
de Gauss-Jordan
8.14
VoltarPasso a passo
6.3 - Método de Redução 
de Gauss-Jordan
8.15
6.3 - Método de Redução 
de Gauss-Jordan
8.16
6.3 - Método de Redução 
de Gauss-Jordan
8.17
VoltarPasso a passo
6.3 - Método de Redução 
de Gauss-Jordan
8.18
Exercícios
8.19
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.20
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.21
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.22
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.23
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.24
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.25
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.26
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.27
6.4 - Sistemas Lineares
Homogêneos
8.28
Exercícios
8.29
9.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 9: Matriz Inversa
9.2
7.1 - Definição
9.3
7.1 - Definição
9.4
7.1 - Definição
9.5
7.1 - Definição
9.6
7.1 - Definição
9.7
7.1 - Definição
9.8
7.1 - Definição
1)
9.9
7.2 - Propriedades da Inversa
9.10
7.2 - Propriedades da Inversa
2)
9.11
7.2 - Propriedades da Inversa
3)
9.12
7.2 - Propriedades da Inversa
9.13
7.2 - Propriedades da Inversa
9.14
7.2 - Propriedades da Inversa
1
9.15
7.2 - Propriedades da Inversa
1
9.16
7.2 - Propriedades da Inversa
9.17
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
9.18
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
9.19
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
9.20
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
1
1
9.21
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
9.22
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
9.23
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
2)
1)
9.24
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
VoltarPasso a passo
1
2
3
1
1
2
3
2
3
2 22 3 33 3
3
3
2
1
2
1
2 1 1
9.25
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
9.26
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
VoltarPasso a passo
1
1
3
2
3
2
2 21
2
3
2 3 3
S
9.27
7.3 - Método Prático para 
Determinar a Matriz Inversa
1)
9.28
7.4 - Sistemas Lineares Inversos
9.29
7.4 - Sistemas Lineares Inversos
2)
9.30
7.4 - Sistemas Lineares Inversos
9.31
7.4 - Sistemas Lineares Inversos
Exercícios
9.32
10.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 10: Determinantes
10.2
8.1 - Definições
10.3
8.1 - Definições
10.4
8.1 - Definições
10.5
8.1 - Definições
10.6
8.1 - Definições
10.7
8.1 - Definições
10.8
8.1 - Definições
10.9
8.1 - Definições
10.10
8.1 - Definições
10.11
8.1 - Definições
10.12
8.1 - Definições
10.13
8.1 - Definições
10.14
8.1 - Definições
10.15
8.1 - Definições
VoltarPasso a passo
10.16
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.178.2 - Propriedades de
Determinantes
10.18
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.19
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.20
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.21
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.22
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.23
8.2 - Propriedades de
Determinantes
1)
10.24
8.2 - Propriedades de
Determinantes
2)
10.25
8.2 - Propriedades de
Determinantes
3)
10.26
8.2 - Propriedades de
Determinantes
4)
10.27
8.2 - Propriedades de
Determinantes
5)
6)
10.28
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.29
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.30
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.31
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.32
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.33
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.34
8.2 - Propriedades de
Determinantes
10.35
8.2 - Propriedades de
Determinantes
Exercícios
10.36
11.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 11: Expansão de Cofatores
11.2
9.1 - Definições
11.3
9.1 - Definições
11.4
9.1 - Definições
11.5
9.1 - Definições
11.5
9.1 - Definições
11.7
9.1 - Definições
11.8
9.2 - Redução de Ordem
VoltarPasso a passo
11.9
9.3 - Cálculo do Determinante
introduzindo zeros
11.10
9.3 - Cálculo do Determinante
introduzindo zeros
11.11
9.3 - Cálculo do Determinante
introduzindo zeros
Exercícios
11.12
12.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 12: A Inversa de uma Matriz
 e a Regra de Cramer
12.2
10.1 - Definições
12.3
10.1 - Definições
12.4
10.1 - Definições
12.5
10.1 - Definições
12.6
10.1 - Definições
12.7
10.1 - Definições
12.8
10.1 - Definições
12.9
10.1 - Definições
12.10
10.1 - Definições
12.11
10.1 - Definições
12.12
10.1 - Definições
12.13
10.1 - Definições
12.14
10.1 - Definições
12.15
10.1 - Definições
12.16
10.1 - Definições
1)
2)
3)
4)
5)
12.17
10.2 - Regra de Cramer
12.18
10.2 - Regra de Cramer
12.19
10.2 - Regra de Cramer
12.20
10.2 - Regra de Cramer
12.21
10.2 - Regra de Cramer
12.22
10.2 - Regra de Cramer
12.23
10.2 - Regra de Cramer
12.24
10.2 - Regra de Cramer
12.25
10.2 - Regra de Cramer
12.26
10.2 - Regra de CramerExercícios
13.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 13: Método de Eliminação de Gauss
13.2
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.3
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.4
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.5
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.6
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.7
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.8
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.9
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.10
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.11
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.12
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.13
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.14
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.15
11.1 - Método de Eliminação de Gauss
13.16
13.17
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.18
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.19
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.20
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.21
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.22
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.23
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.24
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.25
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.26
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.27
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.28
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.29
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.30
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.31
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.32
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.33
11.2 - Método de eliminação de 
Gauss com pivoteamento
13.34
13.35
11.3 - Algoritmo do Método Eliminação
de Gauss com Pivoteamento
13.36
11.3 - Algoritmo do Método Eliminação
de Gauss com Pivoteamento
13.37
11.3 - Algoritmo Retrosubstituição
13.38
Exercícios
14.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 14: Transformações Lineares
14.2
12.1 - Definições
14.3
12.1 - Definições
14.4
12.1 - Definições
14.5
12.1 - Definições
i)
ii)
14.6
12.1 - Definições
i)
14.7
12.1 - Definições
ii)
14.8
12.1 - Definições
ii)
i)
14.9
12.1 - Definições
i)
14.10
12.1 - Definições
14.11
12.1 - Definições
14.12
12.1 - Definições
14.13
12.1 - Definições
i)
ii)
14.14
12.1 - Definições
i)
ii)
14.15
12.1 - Definições
i)
ii)
14.16
12.1 - Definições
ii)
i)
14.17
12.1 - Definições
14.18
12.1 - Definições
i)
ii)
14.19
12.1 - Definições
i)
ii)
14.20
12.1 - Definições
ii)
i)
14.21
12.1 - Definições
14.22
12.1 - Definições
14.23
12.1 - Definições
14.24
12.1 - Definições
14.25
12.1 - Definições
14.26
12.1 - Definições
14.27
12.1 - Definições
14.28
Exercícios
14.29
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
14.30
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
14.31
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
14.32
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
14.33
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
14.34
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
a)
1)
b)
14.35
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
14.36
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
2)
a)
b)
12.2 - Núcleo de uma Transformação
Linear
14.37
14.38
12.3 - Imagem
Im(T)
.0
N(T)
14.39
12.3 - Imagem
14.40
12.3 - Imagem
14.41
12.3 - Imagem
14.42
12.3 - Imagem
14.43
12.4 - Propriedade da Imagem
1)
14.44
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
14.45
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
14.46
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
14.47
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
14.48
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
a)
14.49
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
14.50
b)
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
14.51
12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem
14.52
14.53
Exercícios
15.1
Álgebra Linear
Mauro Rincon
Márcia Fampa
Aula 15: Autovalores e Autovetores
15.2
13.1 - Definições
15.3
13.1 - Definições
a)
b)
c)
d)
15.4
13.1 - Definições
15.5
13.1 - Definições
15.6
13.1 - Definições
15.7
13.1 - Definições
15.8
13.1 - Definições
15.9
13.1 - Definições
15.10
13.1 - Definições
15.11
13.1 - Definições
15.12
13.1 - Definições15.13
13.1 - Definições
15.14
13.1 - Definições
15.15
13.1 - Definições
15.16
13.1 - Definições
15.17
13.1 - Definições
I)
15.18
13.1 - Definições
15.19
13.1 - Definições
15.20
13.1 - Definições
II)
15.21
13.1 - Definições
15.22
13.1 - Definições
I)
15.23
13.1 - Definições
15.24
13.2 - Propriedades
15.25
13.2 - Propriedades
15.26
13.2 - Propriedades
15.27
13.2 - Propriedades
15.28
Exercícios
LISTA DE EXERCI´CIOS BA´SICOS DE ALGEBRA LINEAR
Professor: Mauro Rincon
1. Considere o conjunto B = {v1, v2, v3}, onde v1 = (1, 2, 3),
v2 = (−5, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1).
(a) Calcule o mo´dulo (comprimento) de cada vetor de B.
(b) Calcule a distaˆncia d(v1, v2) = |v1 − v2|
(c) Verifique quais vetores de B, dois a dois, sa˜o ortogonais ou
paralelos.
(d) Calcule o aˆngulo, dois a dois, formado pelos vetores de B.
(e) Verifique se o conjunto B e´ uma base do IR3.
(f) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base
B, uma base ortogonal do IR3.
(g) Determine a partir de B uma base ortonormal do IR3.
(h) Seja Bˆ o conjunto formado pelos vetores v1 e v2 de B substituindo-
se o vetor v3 pelo vetor vˆ3 = (7, 3, 5). Verifique se o conjunto Bˆ e´
LI ou LD.
(i) Mostre que vˆ3 = (7, 3, 5) e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1
e v2 de B.
(j) Determine o espac¸o gerado pelos vetores v1 e v2 de B.
2. Seja S = {(x, y) ∈ IR2/x + 3y = 0}. Verifique se S e´ uma subespac¸o
vetorial do IR2, relativamente a`s operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o por escalar e em caso afirmativo determine uma base para
S.
3. Considere a matriz formada pelos vetores colunas:
A = [v1, v2, v3] =

2 −1 3
1 1 0
4 3 1
1 0 1

(a) Calcule o mo´dulo (comprimento) de cada vetor da matriz A.
(b) A partir dos vetores vi ∈ A, determine uma matriz U cujos vetores
colunas ui, i = 1, 2, 3 sa˜o unita´rios.
1
(c) Calcule a distaˆncia d(v1, v2) = |v1 − v2|
(d) Verifique se existem vetores de A, dois a dois, que sa˜o ortogonais
ou paralelos.
(e) Calcule o aˆngulo formado pelos vetores {v2, v3} de A.
(f) Mostre que o conjunto de vetores {v1, v2, v3} sa˜o linearmente
dependentes (LD).
(g) Seja V = IR4. Mostre que S e´ um subespac¸o vetorial de V gerado
pelo conjunto de vetores {v1, v2, v3} se e somente se
S =
{
(x, y, z, w) ∈ IR4; z = (x+ 10y)/3 ∧ w = (x+ y)/3
}
e determine uma base B para S.
(h) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base
B, uma base ortogonal de S.
(i) Determine a partir de B uma base ortonormal de S.
4. Determinar os subespac¸os de P2 (espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau
≤ 2) gerados pelos seguintes vetores:
{
2 + 2x, 3 + x− x2, 2x+ x2
}
e verifique se os vetores sa˜o LI ou LD.
5. Prove que se u e v sa˜o vetores LI enta˜o u+v e u-v tambe´m o sa˜o.
6. Seja V = M3×2 um espac¸o vetorial das matrizes reais e S ⊂ V um
subconjunto definido por:
S =

 a −a−b b
c −c
 , onde a, b, c ∈ IR
 .
Mostre que S e´ um subespac¸o vetorial de V .
7. Considere o seguinte sistema linear:
2x1 + 4x2 + 6x3 = −6
3x1 − 2x2 − 4x3 = −38
x1 + 2x2 + 3x3 = −3
2
(a) Resolva-o, se poss´ıvel, me´todo de Gauss-Jordan.
(b) O que podemos afirmar se substituirmos somente a terceira com-
ponente do vetor dos termos independentes b = (−6,−38,−3)
pelo vetor b̂ = (−6,−38, 1).
8. Considere o sistema linear;
2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 1
x1 − 6x2 − x3 − 2x4 = 2
−x1 + 2x2 + x3 = −2
2x1 + 5x2 + 3x3 + x4 = 1
(a) Resolva-o, se poss´ıvel, me´todo de Gauss-Jordan.
(b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes, usando a ex-
pansa˜o de Cofatores(Fo´rmula de Laplace).
9. Considere o sistema linear anterior, excluindo-se a segunda linha e a
quarta coluna, ou seja,
2x1 + x2 + 3x3 = 1
−x1 + 2x2 + x3 = −2
2x1 + 5x2 + 3x3 = 1
(a) Determine a matriz inversa de matriz dos coeficientes, usando-a
para resolver o sistema linear.
(b) Resolva o sistema linear pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss com
pivoteamento.
10. : Seja a aplicac¸a˜o T : IR2 → IR3
(x, y)→ (x+ ky, x+ k, y)
Verifique em que caso(s) T e´ linear, justificando a resposta:
a) k = x; b) k = 1; c) k = 0
11. Considere o operador linear T : IR3 → IR3
(x, y, z)→ (x− 3y, x− z, z − x)
3
(a) Determine o nu´cleo, uma base para esse subespac¸o e sua dimensa˜o.
T e´ injetora? Justificar
b.(1.0) Determine a imagem, uma base para esse subespac¸o e sua di-
mensa˜o. T e´ sobrejetora? Justificar
12. : Calcule os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes
matrizes:
A =
[
1 3
−1 5
]
, B =
 3 −1 −30 2 −3
0 0 −1

4
Primeira lista de exerc´ıcios de A´lgebra Linear Computacional
Prof. Mauro Rincon
1. Seja P = I − 2wwt a matriz de Householder, tal que wtw = 1. Mostre
que P e´ sime´trica, ortogonal e ale´m disso P 2 = I (ou seja P e´ uma
projec¸a˜o ortogonal)
2. Seja a matriz A de ordemm×n. Se rank(A) = m enta˜o AtA e´ singular.
Se rank(A) = n enta˜o AtA e´ na˜o singular. Ps: Use a decomposic¸a˜o de
valor singular (SVD)
3. Se A de ordem m × n, tem colunas linearmente dependentes, mostre
que AtA e´ singular.
4. Prove as afirmac¸o˜es abaixo se sa˜o verdadeiras ou deˆ um contra- exemplo
se for falso:
(a) O produto de duas matrizes sime´trica e´ sime´trica.
(b) A inversa de uma matriz sime´trica na˜o singular e´ uma matriz
sime´trica na˜o singular.
(c) Se A e B sa˜o matrizes semelhantes de ordem n x n enta˜o os auto-
valores e os autovetores sa˜o preservados.
(d) O produto de duas matrizes triangular inferior e´ uma matriz tri-
angular inferior.
(e) Uma matriz quadrada A triangular inferior ou superior e´ singular
se pelo menos um elemento da diagonal e´ zero.
(f) Se A tem duas colunas iguais enta˜o existe pelo menos um valor
singular σ(A) = 0.
(g) Seja P = Pn.Pn1 · · ·P2.P1, onde Pi i = 1, 2 · · ·n sa˜o matrizes
ortogonais e sime´tricas. Enta˜o P e´ ortogonal e sime´trica e sua
inversa P−1 e´ ortogonal e sime´trica.
5. Seja A uma matriz de ordem m × n. Mostre que Img(At) e Nul(A)
sa˜o espac¸os vetoriais e ale´m disso sa˜o ortogonais.
6. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define-se a parte sime´trica de
A por, As =
1
2
(A+At) e a parte anti-sime´trica de por Ans =
1
2
(A−At).
Provar que
(a) A = (As + Ans)
(b) xtAx = xtAsx
7. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Mostre que A definida pos-
itiva (xtAx ≥ 0, ∀x) se e somente se
‖x‖2A = xtAx ∀x ∈ IRn,
e´ uma norma em IRn. Ps: Mostre que a norma e´ gerada pelo produto
interno:< x, y >= xtAy. Note que se A = I temos o produto interno
usual do IRn.
8. Se Q e´ uma matriz ortogonal, mostre que ‖Qx‖2 = ‖x‖2, ‖QA‖F =
‖A‖F e ‖QA‖2 = ‖A‖2. Deˆ um contra-exemplo para mostrar que a
transformac¸a˜o ortogonal na˜o e´ preservada nas normas ‖A‖1 e ‖A‖∞.
9. Mostre que ‖A‖2 = σ1 e ‖A‖2F = tr(AtA) = (σ21 + σ22 + · · ·+ σ2r), onde
σ sa˜o os valores singulares da matriz A, m × n, e r = min{m,n} e
tr(AtA) e´ o trac¸o da matriz. PS: Use o SVD
10. Mostre a equivaleˆncia da normas
(a) ‖x‖∞ ≤ ‖x‖1 ≤ n‖x‖∞ ∀x ∈ IRn
(b) ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ √n‖x‖2 ∀x ∈ IRn
(c) ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤ √n‖x‖∞ ∀x ∈ IRn
(d) 1√
n
‖A‖∞ ≤ ‖A‖2 ≤ √m‖A‖∞ ∀A ∈ IRm×n
(e) ‖A‖2 ≤ ‖A‖F ≤ √n‖A‖2 ∀A ∈ IRm×n
11. Seja x e y vetores do IRn e definimos a func¸a˜o ψ(α) = ‖x − αy‖2.
Mostre que α = xty/yty e´ o ponto de mı´nimo de ψ.
12. Seja A uma matriz sime´trica com autovalores λi, correspondentes aos
autovetores ortonormais vi. Mostre que a matriz B = A− λ1v1vt1 tem
autovalores 0, λ2, λ3, · · ·λn com os correspondentes autovetores v1, v2, v3, · · · vn.
13. Seja A uma matriz quadrada real de ordem n. Enta˜o
(a) A e At tem os mesmos autovalores
(b) A e´ na˜o singular se e somente se todos os autovalores sa˜o diferentes
de zero.(c) Se A e´ sime´trica enta˜o todos os autovalores sa˜o reais
(d) A e´ definida positiva se e somente se todos os autovalores sa˜o
positivos.
(e) Se A e´ sime´trica e definida positiva com autovalores λ. Enta˜o
0 < λ ≤ ‖A‖
(f) Os valores singulares diferentes de zero da matriz A sa˜o a raiz
quadrada dos autovalores na˜o nulos da matriz AtA.
(g) Se A e´ sime´trica enta˜o os valores singulares de A sa˜o os valores
absolutos dos autovalores da matriz A.
14. (Forma diagonal para matriz sime´trica): Seja A uma matriz sime´trica
de ordem n, com autovalores λ1, λ2, · · ·λn. Enta˜o existe uma matriz
ortogonal Q tal que QtAQ = D, onde D = diag(λ1, λ2, · · ·λn)
Ps: Use a decomposic¸a˜o de valor singular (SVD)
15. Seja Q uma matriz m× n com colunas ortonormais.
(a) Mostre que a colunas de Q sa˜o Linearmente independentes.
(b) Se m = n, enta˜o as colunas de Q formam uma base ortonormal do
IRn. Usando esta propriedade, mostre que Qt e´ tambe´m ortogonal
Segunda lista de exerc´ıcios de A´lgebra Linear Computacional
Prof. Mauro Rincon
1. Calcule o nu´mero de operac¸o˜es de (multiplicac¸a˜o/divisa˜o) e (adic¸a˜o/subtrac¸a˜o)
para decompor uma matriz A pelo me´todo de decomposic¸a˜o LU .
2. Considere o me´todo iterativo: Xk+1 = HXk + d k = 0, 1 · · ·
Mostre que:
(a) ρ(H) < 1 enta˜o a sequeˆncia {Xk} e´ convergente, para qualquer
aproximac¸a˜o inicial X0.
(b) ρ(H) > 1 enta˜o existe pelo menos uma sequeˆncia {Xk} tal que
‖Xk‖ → ∞, se k →∞.
PS: Fac¸a a demonstrac¸a˜o somente para matrizes com n-vetores LI.
3. Mostre que se uma matriz quadrada A e´ estritamente diagonal domi-
nante enta˜o o Me´todo Iterativo de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel geram
uma sequeˆncia {Xk} convergente, para qualquer aproximac¸a˜o inicial
X0.
4. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz o Crite´rio de Sassenfeld
enta˜o o Me´todo Iterativo de Gauss-Seidel gera uma sequeˆncia {Xk}
convergente, para qualquer aproximac¸a˜o inicial X0.
5. (Teorema de Choleski): Considere a decomposic¸a˜o de uma matriz na
forma A = LLt, onde L e´ uma matriz triangular inferior e na˜o singular
(lii 6= 0). Mostre que a decomposica˜o e´ va´lida se e somente se A e´
sime´trica e definida positiva.
6. Prove que os elementos da sequeˆncia rk = b−Axk, obtida pelo me´todo
do gradiente sa˜o ortogonais dois a dois.
7. Do me´todo dos gradientes conjugados, sabe-se que as direc¸o˜es sa˜o A-
conjugados, isto e´, (Pj, APi) = 0, ∀i 6= j. Mostre que os vetores Pi sa˜o
LI.
8. Considere o sistema linear Ax=b, onde
A =
 2 1 01 3 0
0 0 2
 e b = (1, 0,−1)t
(a) Resolva o sistema pelo me´todo dos gradientes conjugados, usando
como precisa˜o ε ≤ 1× 10−3
(b) Resolva o sistema pelo me´todo dos gradientes , usando como pre-
cisa˜o ε ≤ 1× 10−3
(c) Resolva o sistema pelo me´todo do Cholesky
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