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1.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 1: Vetores Informações sobre o curso Bibliografia Introdução a Álgebra Linear com Aplicações 6ª edição Editora: LTC Autor: Bernard Kolman 1.2 1.1 - Vetores Grandezas Físicas Escalares Massa Pressão Velocidade Força Grandezas Físicas Vetoriais 1.3 Deslocamento 1.1 - Vetores 1.4 Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor. A C DB 1.1 - Vetores 1.5 1.1 - Vetores 1.6 Vetor Nulo 1.1 - Vetores 1.7 Vetor Unitário Vetor Simétrico (ou oposto) v -v 1.1 - Vetores 1.8 Vetores Colineares v u A B C D u A B vC D 1.1 - Vetores 1.9 eq= \LARGE \[ E\,=\,M\,C^2 \] Vetores Coplanares u B A C Dv 1.2 - Operações com vetores 1.10 1.2.1 - Adição de vetores u B A v C D 1.2 - Operações com vetores 1.11 1.2.1 - Adição de vetores b) a) 1.2 - Operações com vetores 1.12 1.2.1 - Adição de vetores u B=C A v D u+v 1.2 - Operações com vetores 1.13 1.2.1 - Adição de vetores Regra do Paralelogramo Uma forma prática de calcular a soma entre dois vetores é construindo um paralelogramo. u B Voltarv C D Adição A A=C v u u + v 1.2 - Operações com vetores 1.14 1.2.1 - Adição de vetores Propriedades da Adição Associativa: 1) Voltar v u w u + v v u Adição u + v w y= x= name=uv_w (u+v)+w v u w v w v + w v + w u u+(v+w) 1.2 - Operações com vetores 1.15 1.2.1 - Adição de vetores Propriedades da Adição Comutativa:2) 4) 3) 1.2 - Operações com vetores 1.16 1.2.1 - Adição de vetores Observação v u DB A u+v v+u u v D B A u -v u -v u-v 1.2 - Operações com vetores 1.17 1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor b) c) a) 1.2 - Operações com vetores 1.18 1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor 1.2 - Operações com vetores 1.19 1.2.2 - Multiplicação de um número real por um vetor a) c) d) b) (propriedade distributiva) 1.20 1.3 - Vetores no A B P 1.3 - Vetores no 1.21 Vetores representados por segmentos de retas orientados com origem na origem do sistema 1.3 - Vetores no 1.22 Vetores representados por segmentos de retas orientados com origem na origem do sistema 1.4 - Igualdade e Operações 1.23 Igualdade Exemplos: 1) 2) 1.4 - Igualdade e Operações 1.24 Operações b) a) 1.4 - Igualdade e Operações 1.25 Operações 1.26 1.5 - Vetor definido por dois pontos 1.27 1.5 - Vetor definido por dois pontos 1.28 1.6 - Produto Escalar Definição 1.29 1.6 - Produto Escalar Módulo de um vetor 1.30 1.6 - Produto Escalar Vetor unitário 1) Observação 1.31 1.6 - Produto Escalar 2) 1.32 1.6 - Produto Escalar Propriedades do Produto Escalar II) III) IV) I) 1.33 1.6 - Produto Escalar Observação Das propriedades (I) - (IV) obtemos que: De fato: Mostre que, de forma análoga: 1) 1.34 1.7 - Ângulo de dois vetores 1.35 1.7 - Ângulo de dois vetores Cálculo do Ângulo de dois Vetores 1.36 1.7 - Ângulo de dois vetores Cálculo do Ângulo de dois Vetores 1.37 1.7 - Ângulo de dois vetores Cálculo do Ângulo de dois Vetores 1 2 1 2 1.38 1.7 - Ângulo de dois vetores Cálculo do Ângulo de dois Vetores 1.39 1.7 - Ângulo de dois vetores 1.40 1.7 - Ângulo de dois vetores 1.41 1.8 - Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores a) 3 3 1.42 1.8 - Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores u v 6 2 -3 -4 1.43 1.8 - Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores b) 1.44 1.8 - Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores 1.45 1.9 - Vetores no 1.9 - Vetores no 1.46 Propriedades: 1) 2) 1.9 - Vetores no 1.47 Propriedades: 3) 4) 5) 1.9 - Vetores no 1.48 Propriedades: 7) a) b) 6) 1.49 1.10 - Vetores no 1.10 - Vetores no 1.50 .b) .c) .d) .e) a) 1.51 Exercícios Faça os seguintes exercícios da seção 3.1, páginas 115/116 do livro texto. (a), (c) e (e)1) (a) e (b)2) 3) (a), (b) e (c)5) (a), (b) e (c)7) (a) e (c)12) (a) e (d)10) 14) (a) e (b)19) (b) e (c)21) (a), (b) e (c)24) Exercícios Teóricos T.1, T.3, T.5 e T.8. 2.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 2: Espaços Vetoriais 2.1 - Espaços Vetoriais 2.2 I) a) b) 2.1 - Espaços Vetoriais 2.3 c) d) 2.1 - Espaços Vetoriais 2.4 II) a) b) c) d) 2.1 - Espaços Vetoriais 2.5 1) Os elementos do espaço vetorial V são chamados vetores. 2) Observação: 2.1 - Espaços Vetoriais 2.6 Exemplos de Espaços Vetoriais b) a) I) Propriedades da Adição 2.1 - Espaços Vetoriais 2.7 2.1 - Espaços Vetoriais 2.8 d) I) Propriedades da Adição c) 2.1 - Espaços Vetoriais 2.9 b) a) II) Propriedades da Multiplicação por um escalar 2.1 - Espaços Vetoriais 2.10 II) Propriedades da Multiplicação por um escalar d) c) 2.1 - Espaços Vetoriais 2.11 2.1 - Espaços Vetoriais 2.12 2.1 - Espaços Vetoriais 2.13 2.1 - Espaços Vetoriais 2.14 2.1 - Espaços Vetoriais 2.15 2.1 - Espaços Vetoriais 2.16 2.1 - Espaços Vetoriais 2.17 2.1 - Espaços Vetoriais 2.18 2.1 - Espaços Vetoriais 2.19 2.1 - Espaços Vetoriais 2.20 b) 2.21 2.2 - Propriedades dos Espaços Vetoriais 1) 3) 8) 4) 6) 7) 9) 2) 5) 2.22 Exercícios Fazer os exercícios das páginas 167 e 168 do livro texto. 2.23 2.3 - Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V. Teorema: Um subconjunto S não vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições. 2.24 2.3 - Subespaços Vetoriais Demonstração: I) II) (II) 2.25 2.3 - Subespaços Vetoriais Observação: 2) 2.26 2.3 - Subespaços Vetoriais Exemplo 1: 1) 2.27 2.3 - Subespaços Vetoriais Geometricamente: x y 2 1 3) 2.28 2.3 - Subespaços Vetoriais 2.29 2.3 - Subespaços Vetoriais 2) Exemplo 2: 2.30 2.3 - Subespaços Vetoriais 1) 2) 2.31 2.3 - Subespaços Vetoriais 3) 2.32 2.3 - Subespaços Vetoriais Exemplo 3: 2.33 2.3 - Subespaços Vetoriais 1) 2.34 2.3 - Subespaços Vetoriais 2) 3) 2.35 2.4 - Combinação Linear 2.36 2.4 - Combinação Linear Exemplo 1: 2.37 2.4 - Combinação Linear 2.38 2.4 - Combinação Linear Geometricamente: 2.39 2.4 - Combinação Linear Exemplo 2: 2.40 2.4 - Combinação Linear 2.41 2.5.1 - Soma de dois Subespaços Vetoriais 2.42 2.5.1 - Soma de dois Subespaços Vetoriais 2.432.5.1 - Soma de dois Subespaços Vetoriais 2.44 2.5.1 - Soma de dois Subespaços Vetoriais Exemplo: 2.45 2.5.2 - Soma direta de dois Subespaços Vetoriais Exemplo: 2.46 2.5.3 - Interseção de dois Subespaços Vetoriais Exemplo: Exemplo: 2.47 2.5.3 - Interseção de dois Subespaços Vetoriais Exemplo: 2.48 2.6 - Subespaços Gerados 2.49 2.6 - Subespaços Gerados 2.50 2.6 - Subespaços Gerados i) ii) iii) 2.51 2.6 - Subespaços Gerados x y Exemplos: 1) 2.52 2.6 - Subespaços Gerados 3) 2) 2.53 2.6 - Subespaços Gerados y z x 2.54 2.6 - Subespaços Gerados 4) 2.55 2.6 - Subespaços Gerados 2.56 2.6 - Subespaços Gerados x z y 2.57 2.6 - Subespaços Gerados 5) 2.58 2.6 - Subespaços Gerados Exercícios Fazer os exercícios propostos no livro texto, nas folhas 174 e 175. 2.59 3.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 3: Espaços Vetoriais 2 3.2 1 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.3 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.4 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.5 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.6 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.7 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.8 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.9 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.10 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.11 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.12 2.7 - Dependência e Independência Linear 3.13 2.7 - Dependência e Independência Linear 4) 3.14 2.7 - Dependência e Independência Linear 1) 2) 3) 5) Exercícios 3.15 2.8 - Base e dimensão 3.16 a) b) 2.8.1 - Base de um espaço vetorial V 2.8 - Base e dimensão 3.17 a) b) 2.8 - Base e dimensão 3.18 2.8 - Base e dimensão 3.19 b) a) 1) 2) 3) 2.8 - Base e dimensão 3.20 2.8 - Base e dimensão 3.21 b) a) 2.8 - Base e dimensão 3.22 b) a) 2.8 - Base e dimensão 3.23 2.8 - Base e dimensão 3.24 2.8 - Base e dimensão 3.25 1 2.8 - Base e dimensão 3.26 2 3 12 2.8 - Base e dimensão 3.27 2.8 - Base e dimensão 3.28 2.8 - Base e dimensão 3.29 1) 2) 3) 2.8 - Base e dimensão 3.30 2.8.2 - Dimensão de um espaço vetorial V 1) 2) 3) 4) 5) 2.8 - Base e dimensão 3.31 a) b) c) d) 2.8 - Base e dimensão 3.32 2.8 - Base e dimensão 3.33 2.8 - Base e dimensão 3.34 2.8 - Base e dimensão 3.35 1 2 Exercícios 3.36 4.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 4: Espaços Vetoriais 3 4.2 2.9 - Bases Ortonormais em 2.9.1 - Conjunto Ortogonal de Vetores 4.3 2.9 - Bases Ortonormais em 4.4 2.9 - Bases Ortonormais em 1 1 4.5 2.9 - Bases Ortonormais em 2.9.2 - Base Ortogonal 4.6 2.9 - Bases Ortonormais em 2.9.3 - Base Ortonormal 4.7 2.9 - Bases Ortonormais em 1) 2) 4.8 2.9 - Bases Ortonormais em 4.9 2.9 - Bases Ortonormais em 4.10 2.9 - Bases Ortonormais em 2.9.4 - Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt 1 4.11 2.9 - Bases Ortonormais em 2 3 2 4.12 2.9 - Bases Ortonormais em 4.13 2.9 - Bases Ortonormais em 4 4.14 2.9 - Bases Ortonormais em 5 4.15 2.9 - Bases Ortonormais em 5 4.16 2.9 - Bases Ortonormais em 5 4.17 2.9 - Bases Ortonormais em 1) 4.18 2.9 - Bases Ortonormais em 2) y 1 4.19 2.9 - Bases Ortonormais em x 1 Voltar 1)2) Animar 4.20 2.9 - Bases Ortonormais em 1) 4.21 2.9 - Bases Ortonormais em 2) 4.22 2.9 - Bases Ortonormais em 3) 4.23 2.9 - Bases Ortonormais em 4.24 2.10 - Complementos Ortogonais 4.25 2.10 - Complementos Ortogonais 4.26 2.10 - Complementos Ortogonais 4.27 2.10 - Complementos Ortogonais b) a) 4.28 2.10 - Complementos Ortogonais a) b) 4.29 2.10 - Complementos Ortogonais 4.30 2.10 - Complementos Ortogonais 4.31 2.11 - Projeção Ortogonal 4.32 2.11 - Projeção Ortogonal 4.33 2.11 - Projeção Ortogonal 4.34 2.11 - Projeção Ortogonal 3.35 2.11 - Projeção Ortogonal 4.36 2.11 - Projeção Ortogonal 4.37 Exercícios 5.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 5: Sistemas Lineares 3.1 - Definições 52 1 1 3.1 - Definições 5.3 3.1 - Definições 5.4 2 3.1 - Definições 5.5 2 3.1 - Definições 5.6 3.2 - Método de Eliminação 5.7 3.2 - Método de Eliminação 5.8 Operações Elementares 5.9 1 2 1 2 3 4 4 3 3.2 - Método de Eliminação 3.2 - Método de Eliminação 5.10 1 1 2 3 1 2 3 3.2 - Método de Eliminação 5.11 4 5 4 5 6 7 8 9 9 3.2 - Método de Eliminação 7 8 5.12 3.2 - Método de Eliminação 5.13 1 2 1 2 3 4 4 3.2 - Método de Eliminação 5.14 4 1 2 3 4 1 2 3.2 - Método de Eliminação 3 5.15 3.3- Tipos de Soluções de um Sistema Linear 5.16 3.3- Tipos de Soluções de um Sistema Linear 5.17 1 3.3- Tipos de Soluções de um Sistema Linear 5.18 1 3.3- Tipos de Soluções de um Sistema Linear 5.19 1) 3.3- Tipos de Soluções de um Sistema Linear 5.20 2) 3.3- Tipos de Soluções de um Sistema Linear 5.21 3) 5.22 3.4 - Sistemas Lineares com 1 2 31 1 2 3 5.23 3.4 - Sistemas Lineares com 4 5 6 5 6 5.24 3.4 - Sistemas Lineares com 3.4 - Sistemas Lineares com 5.25 1 2 3 1 2 31 4 5 6 3.4 - Sistemas Lineares com 5.26 5 6 3.4 - Sistemas Lineares com 5.27 3.4 - Sistemas Lineares com 5.28 1 2 3 4 1 2 3.4 - Sistemas Lineares com 5.29 3.4 - Sistemas Lineares com 5.30 3.4 - Sistemas Lineares com 5.31 3.4 - Sistemas Lineares com 5.32 3.4 - Sistemas Lineares com 5.33 1 2 3.4 - Sistemas Lineares com 5.34 1 2 3 4 3.4 - Sistemas Lineares com 5.35 3 4 3.4 - Sistemas Lineares com 5.36 3 4 5.37 Exercícios 6.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 6: Matriz 4.1 - Sistemas Equivalentes 6.2 4.1 - Sistemas Equivalentes 6.3 1) 2) 3) 4.1 - Sistemas Equivalentes 6.4 1) 4.1 - Sistemas Equivalentes 6.5 2) 1) 1 2 2 1 2 4.1 - Sistemas Equivalentes 6.6 4.1 - Sistemas Equivalentes 6.7 3) 4.1 - Sistemas Equivalentes 6.8 2) 4.1 - Sistemas Equivalentes 6.9 4.2 - Matrizes 6.10 4.2 - Matrizes 6.11 4.2 - Matrizes 6.12 4.2 - Matrizes 6.13 Voltar linha 3coluna 2 Animar linha 1coluna 3linha 3coluna 3linha 2linha 1coluna 2coluna1linha 1 Os elementos c11 , c22 , c33 em C formam a diagonal principal. coluna1 4.2 - Matrizes 6.14 4.2 - Matrizes 6.15 4.2 - Matrizes 6.16 4.2 - Matrizes 6.17 4.3 - Adição de Matrizes 6.184.3 - Adição de Matrizes 6.19 6.20 4.4 - Multiplicação por um escalar 6.21 4.4 - Multiplicação por um escalar 6.22 4.4 - Multiplicação por um escalar 6.23 4.5 - Matriz Transposta 6.24 4.5 - Matriz Transposta VoltarAnimar 6.25 Exercícios 6.26 4.6 - Produto Escalar 4.6 - Produto Escalar 6.27 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.28 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.29 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.30 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.31 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.32 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.33 i) 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.34 ii) i) 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.35 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.36 ii) 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.37 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.38 i) 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.39 ii) 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.40 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.41 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.42 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.43 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.44 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.45 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.46 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.47 4.7 - Multiplicação de Matrizes 6.48 6.49 4.8 - Produto de Matrizes por Vetores 6.50 4.8 - Produto de Matrizes por Vetores 6.51 4.8 - Produto de Matrizes por Vetores 6.52 4.8 - Produto de Matrizes por Vetores 6.53 4.8 - Produto de Matrizes por Vetores 6.54 4.8 - Produto de Matrizes por Vetores 6.55 4.9 - Sistemas Lineares 6.56 4.9 - Sistemas Lineares 6.57 4.9 - Sistemas Lineares 6.58 4.9 - Sistemas Lineares 6.59 4.9 - Sistemas Lineares 6.60 4.9 - Sistemas Lineares 6.61 4.9 - Sistemas Lineares 6.62 4.9 - Sistemas Lineares 6.63 Exercícios 7.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 7: Propriedades das Operações com Matrizes 1) 2) 3) 4) 7.2 5.1 - Soma de Matrizes 5.1 - Soma de Matrizes 7.3 1) 2) 5.1 - Soma de Matrizes 7.4 4) 3) 5.2 - Multiplicação de Matrizes 7.5 1) 2) 3) 5.2 - Multiplicação de Matrizes 7.6 1 2 1) 1 2 5.2 - Multiplicação de Matrizes 7.7 2) 5.2 - Multiplicação de Matrizes 7.8 3) 5.2 - Multiplicação de Matrizes 7.9 5.2 - Multiplicação de Matrizes 7.10 5.3 - Matriz Identidade 7.11 A A 5.3 - Matriz Identidade 7.12 7.13 5.4 - Propriedades da Potenciação 7.14 5.4 - Propriedades da Potenciação 5.4 - Propriedades da Potenciação 7.15 1) 2) 3) 5.4 - Propriedades da Potenciação 7.16 1) 5.4 - Propriedades da Potenciação 7.17 2) 5.4 - Propriedades da Potenciação 7.18 1) 2) 5.4 - Propriedades da Potenciação 7.19 7.20 5.5 - Propriedades da Multiplicação por Escalar 4) 3) 2) 1) 5.5 - Propriedades da Multiplicação por Escalar 7.21 2) 1) 4) 3) 5.5 - Propriedades da Multiplicação por Escalar 7.22 7.23 5.6 - Propriedades da Transposta 1) 2) 3) 4) 5.6 - Propriedades da Transposta 7.24 1) 5.6 - Propriedades da Transposta 7.25 2) 5.6 - Propriedades da Transposta 3) 7.26 5.6 - Propriedades da Transposta 7.27 4) 5.6 - Propriedades da Transposta 7.28 5.7 - Matriz Simétrica 7.29 5.7 - Matriz Simétrica 7.30 7.31 Exercícios 8.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 8: Soluções de Sistemas de Equações Lineares 8.2 6.1 - Forma Escada reduzida por linhas 6.1 - Forma Escada reduzida por linhas 8.3 6.1 - Forma Escada reduzida por linhas 8.4 2) 1) 6.1 - Forma Escada reduzida por linhas 8.5 3) 4) 6.1 - Forma Escada reduzida por linhas 8.6 VoltarPasso a passo 6.1 - Forma Escada reduzida por linhas 8.7 VoltarPasso a passo 6.1 - Forma Escada reduzida por linhas 8.8 6.1 - Forma Escada reduzida por linhas 8.9 VoltarPasso a passo Exercícios 8.10 8.11 6.2 - Resolvendo Sistemas Lineares 8.12 6.3 - Método de Redução de Gauss-Jordan 6.3 - Método de Redução de Gauss-Jordan 8.13 6.3 - Método de Redução de Gauss-Jordan 8.14 VoltarPasso a passo 6.3 - Método de Redução de Gauss-Jordan 8.15 6.3 - Método de Redução de Gauss-Jordan 8.16 6.3 - Método de Redução de Gauss-Jordan 8.17 VoltarPasso a passo 6.3 - Método de Redução de Gauss-Jordan 8.18 Exercícios 8.19 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.20 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.21 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.22 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.23 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.24 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.25 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.26 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.27 6.4 - Sistemas Lineares Homogêneos 8.28 Exercícios 8.29 9.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 9: Matriz Inversa 9.2 7.1 - Definição 9.3 7.1 - Definição 9.4 7.1 - Definição 9.5 7.1 - Definição 9.6 7.1 - Definição 9.7 7.1 - Definição 9.8 7.1 - Definição 1) 9.9 7.2 - Propriedades da Inversa 9.10 7.2 - Propriedades da Inversa 2) 9.11 7.2 - Propriedades da Inversa 3) 9.12 7.2 - Propriedades da Inversa 9.13 7.2 - Propriedades da Inversa 9.14 7.2 - Propriedades da Inversa 1 9.15 7.2 - Propriedades da Inversa 1 9.16 7.2 - Propriedades da Inversa 9.17 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 9.18 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 9.19 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 9.20 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 1 1 9.21 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 9.22 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 9.23 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 2) 1) 9.24 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa VoltarPasso a passo 1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 22 3 33 3 3 3 2 1 2 1 2 1 1 9.25 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 9.26 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa VoltarPasso a passo 1 1 3 2 3 2 2 21 2 3 2 3 3 S 9.27 7.3 - Método Prático para Determinar a Matriz Inversa 1) 9.28 7.4 - Sistemas Lineares Inversos 9.29 7.4 - Sistemas Lineares Inversos 2) 9.30 7.4 - Sistemas Lineares Inversos 9.31 7.4 - Sistemas Lineares Inversos Exercícios 9.32 10.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 10: Determinantes 10.2 8.1 - Definições 10.3 8.1 - Definições 10.4 8.1 - Definições 10.5 8.1 - Definições 10.6 8.1 - Definições 10.7 8.1 - Definições 10.8 8.1 - Definições 10.9 8.1 - Definições 10.10 8.1 - Definições 10.11 8.1 - Definições 10.12 8.1 - Definições 10.13 8.1 - Definições 10.14 8.1 - Definições 10.15 8.1 - Definições VoltarPasso a passo 10.16 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.178.2 - Propriedades de Determinantes 10.18 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.19 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.20 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.21 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.22 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.23 8.2 - Propriedades de Determinantes 1) 10.24 8.2 - Propriedades de Determinantes 2) 10.25 8.2 - Propriedades de Determinantes 3) 10.26 8.2 - Propriedades de Determinantes 4) 10.27 8.2 - Propriedades de Determinantes 5) 6) 10.28 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.29 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.30 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.31 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.32 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.33 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.34 8.2 - Propriedades de Determinantes 10.35 8.2 - Propriedades de Determinantes Exercícios 10.36 11.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 11: Expansão de Cofatores 11.2 9.1 - Definições 11.3 9.1 - Definições 11.4 9.1 - Definições 11.5 9.1 - Definições 11.5 9.1 - Definições 11.7 9.1 - Definições 11.8 9.2 - Redução de Ordem VoltarPasso a passo 11.9 9.3 - Cálculo do Determinante introduzindo zeros 11.10 9.3 - Cálculo do Determinante introduzindo zeros 11.11 9.3 - Cálculo do Determinante introduzindo zeros Exercícios 11.12 12.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 12: A Inversa de uma Matriz e a Regra de Cramer 12.2 10.1 - Definições 12.3 10.1 - Definições 12.4 10.1 - Definições 12.5 10.1 - Definições 12.6 10.1 - Definições 12.7 10.1 - Definições 12.8 10.1 - Definições 12.9 10.1 - Definições 12.10 10.1 - Definições 12.11 10.1 - Definições 12.12 10.1 - Definições 12.13 10.1 - Definições 12.14 10.1 - Definições 12.15 10.1 - Definições 12.16 10.1 - Definições 1) 2) 3) 4) 5) 12.17 10.2 - Regra de Cramer 12.18 10.2 - Regra de Cramer 12.19 10.2 - Regra de Cramer 12.20 10.2 - Regra de Cramer 12.21 10.2 - Regra de Cramer 12.22 10.2 - Regra de Cramer 12.23 10.2 - Regra de Cramer 12.24 10.2 - Regra de Cramer 12.25 10.2 - Regra de Cramer 12.26 10.2 - Regra de CramerExercícios 13.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 13: Método de Eliminação de Gauss 13.2 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.3 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.4 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.5 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.6 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.7 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.8 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.9 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.10 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.11 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.12 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.13 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.14 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.15 11.1 - Método de Eliminação de Gauss 13.16 13.17 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.18 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.19 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.20 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.21 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.22 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.23 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.24 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.25 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.26 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.27 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.28 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.29 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.30 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.31 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.32 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.33 11.2 - Método de eliminação de Gauss com pivoteamento 13.34 13.35 11.3 - Algoritmo do Método Eliminação de Gauss com Pivoteamento 13.36 11.3 - Algoritmo do Método Eliminação de Gauss com Pivoteamento 13.37 11.3 - Algoritmo Retrosubstituição 13.38 Exercícios 14.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 14: Transformações Lineares 14.2 12.1 - Definições 14.3 12.1 - Definições 14.4 12.1 - Definições 14.5 12.1 - Definições i) ii) 14.6 12.1 - Definições i) 14.7 12.1 - Definições ii) 14.8 12.1 - Definições ii) i) 14.9 12.1 - Definições i) 14.10 12.1 - Definições 14.11 12.1 - Definições 14.12 12.1 - Definições 14.13 12.1 - Definições i) ii) 14.14 12.1 - Definições i) ii) 14.15 12.1 - Definições i) ii) 14.16 12.1 - Definições ii) i) 14.17 12.1 - Definições 14.18 12.1 - Definições i) ii) 14.19 12.1 - Definições i) ii) 14.20 12.1 - Definições ii) i) 14.21 12.1 - Definições 14.22 12.1 - Definições 14.23 12.1 - Definições 14.24 12.1 - Definições 14.25 12.1 - Definições 14.26 12.1 - Definições 14.27 12.1 - Definições 14.28 Exercícios 14.29 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear 14.30 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear 14.31 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear 14.32 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear 14.33 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear 14.34 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear a) 1) b) 14.35 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear 14.36 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear 2) a) b) 12.2 - Núcleo de uma Transformação Linear 14.37 14.38 12.3 - Imagem Im(T) .0 N(T) 14.39 12.3 - Imagem 14.40 12.3 - Imagem 14.41 12.3 - Imagem 14.42 12.3 - Imagem 14.43 12.4 - Propriedade da Imagem 1) 14.44 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem 14.45 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem 14.46 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem 14.47 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem 14.48 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem a) 14.49 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem 14.50 b) 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem 14.51 12.5 - Teorema do Núcleo e da Imagem 14.52 14.53 Exercícios 15.1 Álgebra Linear Mauro Rincon Márcia Fampa Aula 15: Autovalores e Autovetores 15.2 13.1 - Definições 15.3 13.1 - Definições a) b) c) d) 15.4 13.1 - Definições 15.5 13.1 - Definições 15.6 13.1 - Definições 15.7 13.1 - Definições 15.8 13.1 - Definições 15.9 13.1 - Definições 15.10 13.1 - Definições 15.11 13.1 - Definições 15.12 13.1 - Definições15.13 13.1 - Definições 15.14 13.1 - Definições 15.15 13.1 - Definições 15.16 13.1 - Definições 15.17 13.1 - Definições I) 15.18 13.1 - Definições 15.19 13.1 - Definições 15.20 13.1 - Definições II) 15.21 13.1 - Definições 15.22 13.1 - Definições I) 15.23 13.1 - Definições 15.24 13.2 - Propriedades 15.25 13.2 - Propriedades 15.26 13.2 - Propriedades 15.27 13.2 - Propriedades 15.28 Exercícios LISTA DE EXERCI´CIOS BA´SICOS DE ALGEBRA LINEAR Professor: Mauro Rincon 1. Considere o conjunto B = {v1, v2, v3}, onde v1 = (1, 2, 3), v2 = (−5, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1). (a) Calcule o mo´dulo (comprimento) de cada vetor de B. (b) Calcule a distaˆncia d(v1, v2) = |v1 − v2| (c) Verifique quais vetores de B, dois a dois, sa˜o ortogonais ou paralelos. (d) Calcule o aˆngulo, dois a dois, formado pelos vetores de B. (e) Verifique se o conjunto B e´ uma base do IR3. (f) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base B, uma base ortogonal do IR3. (g) Determine a partir de B uma base ortonormal do IR3. (h) Seja Bˆ o conjunto formado pelos vetores v1 e v2 de B substituindo- se o vetor v3 pelo vetor vˆ3 = (7, 3, 5). Verifique se o conjunto Bˆ e´ LI ou LD. (i) Mostre que vˆ3 = (7, 3, 5) e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1 e v2 de B. (j) Determine o espac¸o gerado pelos vetores v1 e v2 de B. 2. Seja S = {(x, y) ∈ IR2/x + 3y = 0}. Verifique se S e´ uma subespac¸o vetorial do IR2, relativamente a`s operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multi- plicac¸a˜o por escalar e em caso afirmativo determine uma base para S. 3. Considere a matriz formada pelos vetores colunas: A = [v1, v2, v3] = 2 −1 3 1 1 0 4 3 1 1 0 1 (a) Calcule o mo´dulo (comprimento) de cada vetor da matriz A. (b) A partir dos vetores vi ∈ A, determine uma matriz U cujos vetores colunas ui, i = 1, 2, 3 sa˜o unita´rios. 1 (c) Calcule a distaˆncia d(v1, v2) = |v1 − v2| (d) Verifique se existem vetores de A, dois a dois, que sa˜o ortogonais ou paralelos. (e) Calcule o aˆngulo formado pelos vetores {v2, v3} de A. (f) Mostre que o conjunto de vetores {v1, v2, v3} sa˜o linearmente dependentes (LD). (g) Seja V = IR4. Mostre que S e´ um subespac¸o vetorial de V gerado pelo conjunto de vetores {v1, v2, v3} se e somente se S = { (x, y, z, w) ∈ IR4; z = (x+ 10y)/3 ∧ w = (x+ y)/3 } e determine uma base B para S. (h) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine a partir da base B, uma base ortogonal de S. (i) Determine a partir de B uma base ortonormal de S. 4. Determinar os subespac¸os de P2 (espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ≤ 2) gerados pelos seguintes vetores: { 2 + 2x, 3 + x− x2, 2x+ x2 } e verifique se os vetores sa˜o LI ou LD. 5. Prove que se u e v sa˜o vetores LI enta˜o u+v e u-v tambe´m o sa˜o. 6. Seja V = M3×2 um espac¸o vetorial das matrizes reais e S ⊂ V um subconjunto definido por: S = a −a−b b c −c , onde a, b, c ∈ IR . Mostre que S e´ um subespac¸o vetorial de V . 7. Considere o seguinte sistema linear: 2x1 + 4x2 + 6x3 = −6 3x1 − 2x2 − 4x3 = −38 x1 + 2x2 + 3x3 = −3 2 (a) Resolva-o, se poss´ıvel, me´todo de Gauss-Jordan. (b) O que podemos afirmar se substituirmos somente a terceira com- ponente do vetor dos termos independentes b = (−6,−38,−3) pelo vetor b̂ = (−6,−38, 1). 8. Considere o sistema linear; 2x1 + x2 + 3x3 − x4 = 1 x1 − 6x2 − x3 − 2x4 = 2 −x1 + 2x2 + x3 = −2 2x1 + 5x2 + 3x3 + x4 = 1 (a) Resolva-o, se poss´ıvel, me´todo de Gauss-Jordan. (b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes, usando a ex- pansa˜o de Cofatores(Fo´rmula de Laplace). 9. Considere o sistema linear anterior, excluindo-se a segunda linha e a quarta coluna, ou seja, 2x1 + x2 + 3x3 = 1 −x1 + 2x2 + x3 = −2 2x1 + 5x2 + 3x3 = 1 (a) Determine a matriz inversa de matriz dos coeficientes, usando-a para resolver o sistema linear. (b) Resolva o sistema linear pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss com pivoteamento. 10. : Seja a aplicac¸a˜o T : IR2 → IR3 (x, y)→ (x+ ky, x+ k, y) Verifique em que caso(s) T e´ linear, justificando a resposta: a) k = x; b) k = 1; c) k = 0 11. Considere o operador linear T : IR3 → IR3 (x, y, z)→ (x− 3y, x− z, z − x) 3 (a) Determine o nu´cleo, uma base para esse subespac¸o e sua dimensa˜o. T e´ injetora? Justificar b.(1.0) Determine a imagem, uma base para esse subespac¸o e sua di- mensa˜o. T e´ sobrejetora? Justificar 12. : Calcule os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes: A = [ 1 3 −1 5 ] , B = 3 −1 −30 2 −3 0 0 −1 4 Primeira lista de exerc´ıcios de A´lgebra Linear Computacional Prof. Mauro Rincon 1. Seja P = I − 2wwt a matriz de Householder, tal que wtw = 1. Mostre que P e´ sime´trica, ortogonal e ale´m disso P 2 = I (ou seja P e´ uma projec¸a˜o ortogonal) 2. Seja a matriz A de ordemm×n. Se rank(A) = m enta˜o AtA e´ singular. Se rank(A) = n enta˜o AtA e´ na˜o singular. Ps: Use a decomposic¸a˜o de valor singular (SVD) 3. Se A de ordem m × n, tem colunas linearmente dependentes, mostre que AtA e´ singular. 4. Prove as afirmac¸o˜es abaixo se sa˜o verdadeiras ou deˆ um contra- exemplo se for falso: (a) O produto de duas matrizes sime´trica e´ sime´trica. (b) A inversa de uma matriz sime´trica na˜o singular e´ uma matriz sime´trica na˜o singular. (c) Se A e B sa˜o matrizes semelhantes de ordem n x n enta˜o os auto- valores e os autovetores sa˜o preservados. (d) O produto de duas matrizes triangular inferior e´ uma matriz tri- angular inferior. (e) Uma matriz quadrada A triangular inferior ou superior e´ singular se pelo menos um elemento da diagonal e´ zero. (f) Se A tem duas colunas iguais enta˜o existe pelo menos um valor singular σ(A) = 0. (g) Seja P = Pn.Pn1 · · ·P2.P1, onde Pi i = 1, 2 · · ·n sa˜o matrizes ortogonais e sime´tricas. Enta˜o P e´ ortogonal e sime´trica e sua inversa P−1 e´ ortogonal e sime´trica. 5. Seja A uma matriz de ordem m × n. Mostre que Img(At) e Nul(A) sa˜o espac¸os vetoriais e ale´m disso sa˜o ortogonais. 6. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Define-se a parte sime´trica de A por, As = 1 2 (A+At) e a parte anti-sime´trica de por Ans = 1 2 (A−At). Provar que (a) A = (As + Ans) (b) xtAx = xtAsx 7. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Mostre que A definida pos- itiva (xtAx ≥ 0, ∀x) se e somente se ‖x‖2A = xtAx ∀x ∈ IRn, e´ uma norma em IRn. Ps: Mostre que a norma e´ gerada pelo produto interno:< x, y >= xtAy. Note que se A = I temos o produto interno usual do IRn. 8. Se Q e´ uma matriz ortogonal, mostre que ‖Qx‖2 = ‖x‖2, ‖QA‖F = ‖A‖F e ‖QA‖2 = ‖A‖2. Deˆ um contra-exemplo para mostrar que a transformac¸a˜o ortogonal na˜o e´ preservada nas normas ‖A‖1 e ‖A‖∞. 9. Mostre que ‖A‖2 = σ1 e ‖A‖2F = tr(AtA) = (σ21 + σ22 + · · ·+ σ2r), onde σ sa˜o os valores singulares da matriz A, m × n, e r = min{m,n} e tr(AtA) e´ o trac¸o da matriz. PS: Use o SVD 10. Mostre a equivaleˆncia da normas (a) ‖x‖∞ ≤ ‖x‖1 ≤ n‖x‖∞ ∀x ∈ IRn (b) ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ √n‖x‖2 ∀x ∈ IRn (c) ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤ √n‖x‖∞ ∀x ∈ IRn (d) 1√ n ‖A‖∞ ≤ ‖A‖2 ≤ √m‖A‖∞ ∀A ∈ IRm×n (e) ‖A‖2 ≤ ‖A‖F ≤ √n‖A‖2 ∀A ∈ IRm×n 11. Seja x e y vetores do IRn e definimos a func¸a˜o ψ(α) = ‖x − αy‖2. Mostre que α = xty/yty e´ o ponto de mı´nimo de ψ. 12. Seja A uma matriz sime´trica com autovalores λi, correspondentes aos autovetores ortonormais vi. Mostre que a matriz B = A− λ1v1vt1 tem autovalores 0, λ2, λ3, · · ·λn com os correspondentes autovetores v1, v2, v3, · · · vn. 13. Seja A uma matriz quadrada real de ordem n. Enta˜o (a) A e At tem os mesmos autovalores (b) A e´ na˜o singular se e somente se todos os autovalores sa˜o diferentes de zero.(c) Se A e´ sime´trica enta˜o todos os autovalores sa˜o reais (d) A e´ definida positiva se e somente se todos os autovalores sa˜o positivos. (e) Se A e´ sime´trica e definida positiva com autovalores λ. Enta˜o 0 < λ ≤ ‖A‖ (f) Os valores singulares diferentes de zero da matriz A sa˜o a raiz quadrada dos autovalores na˜o nulos da matriz AtA. (g) Se A e´ sime´trica enta˜o os valores singulares de A sa˜o os valores absolutos dos autovalores da matriz A. 14. (Forma diagonal para matriz sime´trica): Seja A uma matriz sime´trica de ordem n, com autovalores λ1, λ2, · · ·λn. Enta˜o existe uma matriz ortogonal Q tal que QtAQ = D, onde D = diag(λ1, λ2, · · ·λn) Ps: Use a decomposic¸a˜o de valor singular (SVD) 15. Seja Q uma matriz m× n com colunas ortonormais. (a) Mostre que a colunas de Q sa˜o Linearmente independentes. (b) Se m = n, enta˜o as colunas de Q formam uma base ortonormal do IRn. Usando esta propriedade, mostre que Qt e´ tambe´m ortogonal Segunda lista de exerc´ıcios de A´lgebra Linear Computacional Prof. Mauro Rincon 1. Calcule o nu´mero de operac¸o˜es de (multiplicac¸a˜o/divisa˜o) e (adic¸a˜o/subtrac¸a˜o) para decompor uma matriz A pelo me´todo de decomposic¸a˜o LU . 2. Considere o me´todo iterativo: Xk+1 = HXk + d k = 0, 1 · · · Mostre que: (a) ρ(H) < 1 enta˜o a sequeˆncia {Xk} e´ convergente, para qualquer aproximac¸a˜o inicial X0. (b) ρ(H) > 1 enta˜o existe pelo menos uma sequeˆncia {Xk} tal que ‖Xk‖ → ∞, se k →∞. PS: Fac¸a a demonstrac¸a˜o somente para matrizes com n-vetores LI. 3. Mostre que se uma matriz quadrada A e´ estritamente diagonal domi- nante enta˜o o Me´todo Iterativo de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel geram uma sequeˆncia {Xk} convergente, para qualquer aproximac¸a˜o inicial X0. 4. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz o Crite´rio de Sassenfeld enta˜o o Me´todo Iterativo de Gauss-Seidel gera uma sequeˆncia {Xk} convergente, para qualquer aproximac¸a˜o inicial X0. 5. (Teorema de Choleski): Considere a decomposic¸a˜o de uma matriz na forma A = LLt, onde L e´ uma matriz triangular inferior e na˜o singular (lii 6= 0). Mostre que a decomposica˜o e´ va´lida se e somente se A e´ sime´trica e definida positiva. 6. Prove que os elementos da sequeˆncia rk = b−Axk, obtida pelo me´todo do gradiente sa˜o ortogonais dois a dois. 7. Do me´todo dos gradientes conjugados, sabe-se que as direc¸o˜es sa˜o A- conjugados, isto e´, (Pj, APi) = 0, ∀i 6= j. Mostre que os vetores Pi sa˜o LI. 8. Considere o sistema linear Ax=b, onde A = 2 1 01 3 0 0 0 2 e b = (1, 0,−1)t (a) Resolva o sistema pelo me´todo dos gradientes conjugados, usando como precisa˜o ε ≤ 1× 10−3 (b) Resolva o sistema pelo me´todo dos gradientes , usando como pre- cisa˜o ε ≤ 1× 10−3 (c) Resolva o sistema pelo me´todo do Cholesky Vetores Espaços Vetoriais Espaços Vetoriais 2 Espaços Vetoriais 3 Sistemas Lineares Matrizes Propriedades das Operações com Matrizes Soluções de Sistemas de Equações Lineares Matriz Inversa Determinantes Expansão de Cofatores A Inversa de uma Matriz e a Regra de Cramer Metodo de Eliminação de Gauss Transformações Lineares Autovalores e Autovetores Exercicios Basicos de Algebra Linear Primeiralistadeexerc´ıciosde ´ AlgebraLinearComputacional Primeira Lista de Exerciıcios de Algebra Linear Computacional Segunda Lista de Exerciıcios de Algebra Linear Computacional
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