Calculo diferencial e Integral II

Calculo diferencial e Integral II


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Pré-visualização35 páginas
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Cálculo 
diferencial e 
integral II
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André Luís Delvas Fróes
Francine de Mendonça Fábrega
Daniel Geraldini
Cálculo diferencial e 
integral II
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Fróes, André Luís Delvas 
 
 
 ISBN 978-85-8482-534-9
 1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Fábrega, 
 Francine de Mendonça. II. Geraldini, Daniel. III. Título.
 CDD 515.33 
Francine de Mendonça Fábrega, Daniel Geraldini. \u2013 
Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2016.
 236 p.
F925c Cálculo diferencial e integral II / André Luís Delvas Fróes,
© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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Editoração
Emanuel Santana
Lidiane Cristina Vivaldini Olo
Cristiane Lisandra Danna
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Erick Silva Griep
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eGTB Editora
2016
Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Avenida Paris, 675 \u2013 Parque Residencial João Piza
CEP: 86041-100 \u2014 Londrina \u2014 PR
e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
Homepage: http://www.kroton.com.br/
Unidade 1 | Introdução às integrais e suas aplicações
Seção 1.1 - A integral de Riemann
Seção 1.2 - As integrais imediatas
Seção 1.3 - Cálculo de áreas sobre e entre curvas
Seção 1.4 - Problemas de valores iniciais imediatos
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Sumário
Unidade 2 | Regras avançadas de integração e coordenadas polares
Seção 2.1 - Cálculo de volume de sódio de revolução
Seção 2.2 - Integração por partes e mudanças de variáveis
Seção 2.3 - Curvas em coordenadas polares
Seção 2.4 - Integração por substituição trigonométrica
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Unidade 3 | Funções de várias variáveis e derivadas parciais
Seção 3.1 - Funções de várias variáveis
Seção 3.2 - Gráficos de superfícies
Seção 3.3 - Derivadas parciais e de ordem superior
Seção 3.4 - Derivada direcional
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147
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Unidade 4 | Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas
Seção 4.1 - Vetor gradiente e otimização
Seção 4.2 - Integrais duplas: introdução
Seção 4.3 - Integrais duplas: coordenadas polares
Seção 4.4 - Integrais duplas: aplicações
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203
215
Palavras do autor
Seja bem-vindo ao curso de Cálculo Diferencial e Integral II. Antes de mais nada, 
você sabe por que deveria fazer esse curso com afinco? Você já se deparou com um 
aparelho eletrônico, objeto ou imóvel e se perguntou: por que ele possui esse formato? 
E depois, por que custa esse preço? Essas perguntas são difíceis de responder, não 
são? Pois então, o cálculo lhe trará as primeiras visualizações das respostas, permitindo 
que você analise curvas e superfícies, para calcular áreas e volumes. Portanto, com o 
conhecimento do estudo de cálculo você poderá analisar algumas situações e assim 
tomar melhores decisões do que aquele que não detém esse conhecimento.
Na primeira unidade desse curso, estudaremos a integração em uma variável e 
aprenderemos a calcular a área sob um gráfico. Essa primeira unidade é fundamental 
para o desenvolvimento posterior do curso. Na segunda unidade, aprenderemos a 
calcular volumes de objetos simples e simétricos, e também a usar algumas técnicas 
mais avançadas de integração.
Já na terceira unidade, começaremos nossos estudos com funções de mais de 
uma variável, que são as funções mais próximas de nossa realidade, pois poucos são 
os problemas que envolvem uma única variável, não é mesmo? Aqui o foco estará em 
melhorar sua visualização em três dimensões e saber calcular as taxas de variações 
dessas funções.
Por último, na quarta unidade, terminaremos nossos estudos de derivadas parciais, 
com as mais interessantes aplicações sobre taxa de variações de funções, em 
particular a otimização. Concluiremos o curso com as integrais duplas, através das 
quais veremos, entre outras coisas, como é feito o cálculo do centro de massa de um 
objeto.
Curioso para aprender sobre tudo isso? Então, vamos lá. Um degrau de cada vez! 
Desejamos boa sorte e que possamos aprender juntos esse difícil \u2013 porém interessante 
\u2013 conteúdo.
Unidade 1
Introdução às integrais e suas 
aplicações
Olá, estudante! Esperamos que você esteja entusiasmado para iniciar os 
estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. Essa disciplina tem 
como principal aplicação as integrais, mas certamente sua primeira pergunta 
deve ser: \u201cpara que estudar integrais?\u201d. As integrais são aplicadas nas mais diversas 
áreas da engenharia como, por exemplo, para calcular o centro de massa 
de uma estrutura, para compreendermos o desgaste de um equipamento 
mecânico, para calcular o campo elétrico e magnético, para entendermos o 
comportamento de um fluido ou de uma reação química, ou até mesmo o 
custo de um processo industrial. No contexto do estudo de cálculo, a integral de 
uma função permite determinar a área sob uma curva em um plano cartesiano. 
Como veremos, existem diversas técnicas de integração.
Visando alcançar os nossos objetivos e compreendendo a relevância 
do tema, temos como competência geral conhecer técnicas de integrais 
aplicadas ao cálculo de área e volume esta unidade tem os seguintes objetivos 
de aprendizagem: (1) compreender a integral definida; (2) aplicar o Teorema 
Fundamental do Cálculo; (3) compreender o conceito de antiderivada; (4) aplicar 
a integral de Riemann; (5) conhecer e aplicar as integrais imediatas: polinomiais, 
trigonométricas, exponenciais e logarítmicas; (6) executar os cálculos de áreas 
sob e entre curvas, e, finalmente, (7) resolver problemas de valores iniciais 
imediatos.
Vamos imaginar que você trabalha em uma empresa que realiza a pintura 
de chapas de metal galvanizadas utilizadas na construção civil. Esta empresa 
produz uma grande quantidade dessas placas e é conhecida no mercado por 
oferecer um preço competitivo e um produto de ótima qualidade, conquistando 
cada vez mais clientes e aumentando a sua produtividade. Para que a empresa 
consiga continuar a oferecer um preço competitivo, um planejamento criterioso 
Convite ao estudo
Introdução às integrais e suas aplicações
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sobre a quantidade de tinta que está sendo utilizada na pintura de suas placas 
deverá ser realizado. Dessa forma, você foi designado para ser o responsável a 
quantificar o consumo de tinta e analisar o impacto desse consumo nos lucros 
da empresa. 
Aplicando os conceitos apresentados nessa unidade você deverá realizar 
os cálculos referentes ao consumo de tinta da empresa, bem como quanto a 
empresa está lucrando com a venda dessas placas. Aceita o desafio? Siga em 
frente! Bons estudos! 
Introdução às integrais e suas aplicações
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Seção 1.1
A integral de Riemann
Caro aluno, vamos iniciar os nossos estudos sobre as integrais conhecendo sua 
interpretação geométrica na aplicação da Integral de Riemann. Conheceremos 
também as integrais definidas, o Teorema Fundamental