Calculo diferencial e Integral II

Calculo diferencial e Integral II

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Cálculo
diferencial e
integral II

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André Luís Delvas Fróes
Francine de Mendonça Fábrega
Daniel Geraldini

Cálculo diferencial e
integral II

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

 Fróes, André Luís Delvas

 ISBN 978-85-8482-534-9

 1. Cálculo diferencial. 2. Cálculo integral. I. Fábrega,
 Francine de Mendonça. II. Geraldini, Daniel. III. Título.

 CDD 515.33

Francine de Mendonça Fábrega, Daniel Geraldini. –
Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2016.
 236 p.

F925c Cálculo diferencial e integral II / André Luís Delvas Fróes,

© 2016 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer
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Lidiane Cristina Vivaldini Olo
Cristiane Lisandra Danna

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eGTB Editora

2016
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Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
CEP: 86041-100 — Londrina — PR

e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
Homepage: http://www.kroton.com.br/

Unidade 1 | Introdução às integrais e suas aplicações

Seção 1.1 - A integral de Riemann

Seção 1.2 - As integrais imediatas

Seção 1.3 - Cálculo de áreas sobre e entre curvas

Seção 1.4 - Problemas de valores iniciais imediatos

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Sumário

Unidade 2 | Regras avançadas de integração e coordenadas polares

Seção 2.1 - Cálculo de volume de sódio de revolução

Seção 2.2 - Integração por partes e mudanças de variáveis

Seção 2.3 - Curvas em coordenadas polares

Seção 2.4 - Integração por substituição trigonométrica

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Unidade 3 | Funções de várias variáveis e derivadas parciais

Seção 3.1 - Funções de várias variáveis

Seção 3.2 - Gráficos de superfícies

Seção 3.3 - Derivadas parciais e de ordem superior

Seção 3.4 - Derivada direcional

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119

131

147
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Unidade 4 | Aplicações de derivadas parciais e integrais duplas

Seção 4.1 - Vetor gradiente e otimização

Seção 4.2 - Integrais duplas: introdução

Seção 4.3 - Integrais duplas: coordenadas polares

Seção 4.4 - Integrais duplas: aplicações

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189

203
215

Palavras do autor

Seja bem-vindo ao curso de Cálculo Diferencial e Integral II. Antes de mais nada,
você sabe por que deveria fazer esse curso com afinco? Você já se deparou com um
aparelho eletrônico, objeto ou imóvel e se perguntou: por que ele possui esse formato?
E depois, por que custa esse preço? Essas perguntas são difíceis de responder, não
são? Pois então, o cálculo lhe trará as primeiras visualizações das respostas, permitindo
que você analise curvas e superfícies, para calcular áreas e volumes. Portanto, com o
conhecimento do estudo de cálculo você poderá analisar algumas situações e assim
tomar melhores decisões do que aquele que não detém esse conhecimento.

Na primeira unidade desse curso, estudaremos a integração em uma variável e
aprenderemos a calcular a área sob um gráfico. Essa primeira unidade é fundamental
para o desenvolvimento posterior do curso. Na segunda unidade, aprenderemos a
calcular volumes de objetos simples e simétricos, e também a usar algumas técnicas
mais avançadas de integração.

Já na terceira unidade, começaremos nossos estudos com funções de mais de
uma variável, que são as funções mais próximas de nossa realidade, pois poucos são
os problemas que envolvem uma única variável, não é mesmo? Aqui o foco estará em
melhorar sua visualização em três dimensões e saber calcular as taxas de variações
dessas funções.

Por último, na quarta unidade, terminaremos nossos estudos de derivadas parciais,
com as mais interessantes aplicações sobre taxa de variações de funções, em
particular a otimização. Concluiremos o curso com as integrais duplas, através das
quais veremos, entre outras coisas, como é feito o cálculo do centro de massa de um
objeto.

Curioso para aprender sobre tudo isso? Então, vamos lá. Um degrau de cada vez!
Desejamos boa sorte e que possamos aprender juntos esse difícil – porém interessante
– conteúdo.

Unidade 1

Introdução às integrais e suas
aplicações

Olá, estudante! Esperamos que você esteja entusiasmado para iniciar os
estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. Essa disciplina tem
como principal aplicação as integrais, mas certamente sua primeira pergunta
deve ser: “para que estudar integrais?”. As integrais são aplicadas nas mais diversas
áreas da engenharia como, por exemplo, para calcular o centro de massa
de uma estrutura, para compreendermos o desgaste de um equipamento
mecânico, para calcular o campo elétrico e magnético, para entendermos o
comportamento de um fluido ou de uma reação química, ou até mesmo o
custo de um processo industrial. No contexto do estudo de cálculo, a integral de
uma função permite determinar a área sob uma curva em um plano cartesiano.
Como veremos, existem diversas técnicas de integração.

Visando alcançar os nossos objetivos e compreendendo a relevância
do tema, temos como competência geral conhecer técnicas de integrais
aplicadas ao cálculo de área e volume esta unidade tem os seguintes objetivos
de aprendizagem: (1) compreender a integral definida; (2) aplicar o Teorema
Fundamental do Cálculo; (3) compreender o conceito de antiderivada; (4) aplicar
a integral de Riemann; (5) conhecer e aplicar as integrais imediatas: polinomiais,
trigonométricas, exponenciais e logarítmicas; (6) executar os cálculos de áreas
sob e entre curvas, e, finalmente, (7) resolver problemas de valores iniciais
imediatos.

Vamos imaginar que você trabalha em uma empresa que realiza a pintura
de chapas de metal galvanizadas utilizadas na construção civil. Esta empresa
produz uma grande quantidade dessas placas e é conhecida no mercado por
oferecer um preço competitivo e um produto de ótima qualidade, conquistando
cada vez mais clientes e aumentando a sua produtividade. Para que a empresa
consiga continuar a oferecer um preço competitivo, um planejamento criterioso

Convite ao estudo

Introdução às integrais e suas aplicações

U1

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sobre a quantidade de tinta que está sendo utilizada na pintura de suas placas
deverá ser realizado. Dessa forma, você foi designado para ser o responsável a
quantificar o consumo de tinta e analisar o impacto desse consumo nos lucros
da empresa.

Aplicando os conceitos apresentados nessa unidade você deverá realizar
os cálculos referentes ao consumo de tinta da empresa, bem como quanto a
empresa está lucrando com a venda dessas placas. Aceita o desafio? Siga em
frente! Bons estudos!

Introdução às integrais e suas aplicações

U1

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Seção 1.1

A integral de Riemann

Caro aluno, vamos iniciar os nossos estudos sobre as integrais conhecendo sua
interpretação geométrica na aplicação da Integral de Riemann. Conheceremos
também as integrais definidas, o Teorema Fundamental