Relatório FQ - Elaboração de Gráficos

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Universidade Federal do Ceará
Centro de Ciências
Departamento de Química Analítica e Físico – Química 
Relatório de Físico – Química I
Elaboração de Gráficos
Aluna: Lara Dias Lima
Matrícula: 367932
Curso / Turma: Química / 01B
Data (entrega): 31/03/2015
Fortaleza, 2015.1
Finalidade
Elaborar dois gráficos, sendo um de volume versus inverso da pressão e outro de tempo versus inverso da concentração de NO2;
Encontrar a equação da reta utilizando regressão linear;
Traçar a reta correspondente a cada equação da reta;
Resolver problemas de valores intermediários das variáveis de cada gráfico, utilizando interpolação linear;
Resultados e Execução dos Cálculos
GRÁFICO 1
Tendo em vista a tabela abaixo, definiu-se o eixo vertical para o volume e o eixo horizontal para o inverso da pressão e, calculando as variações dos dados, foi possível obter: 
	V (L)
	1/P (atm-1)
	1250
	2,5
	750
	1,5
	500
	1
	412
	0,77
	350
	0,71
	297
	0,59
	150
	0,3
Tabela 1 - Volume e Inverso da Pressão
ΔV = 1250 – 150 = 1100L
Δ1/P = 2,5 – 0,3 = 2,2 atm-1
Considerando a origem como (V, 1/P) = (120; 0,2) e sendo os centímetros disponíveis: 15,7cm no eixo horizontal e 23,6cm no eixo vertical, calculou-se:
Para 
Para -1/cm
Grafou-se os pontos extremos para que pudesse ser feita uma análise de que os pontos estariam dentro dos limites definidos do papel milimetrado. Para cálculo dos pontos que foram grafados, seguiu-se a seguinte lógica:
	P1 (2,5atm-1; 1250L) P1 (12,8cm; 21,6cm)
Para V: 1250 – 120 = 1130 52,4 21,6cm
Para 1/P: 2,5 – 0,2 = 2,3 0,18 12,8cm
Seguindo o mesmo procedimento visto acima, calcularam-se os outros pontos:
P2 (0,3atm-1; 150L) P2 (0,6cm; 0,6cm)
P3 (1,5atm-1; 750L) P3 (7,22cm; 12,02cm)
P4 (1atm-1; 500L) P4 (4,44cm; 7,25cm)
P5 (0,77atm-1; 412L) P5 (3,16cm; 5,57cm)
P6 (0,71atm-1; 350L) P6 (2,83cm; 4,39cm) 
P7 (0,59atm-1; 297L) P7 (2,16cm; 3,37cm)
Equação da Reta
Para os dados do experimento, utilizaram-se três procedimentos para determinação dos coeficientes angular e linear da equação da reta, através de regressão linear. 
Método Gráfico
Depois de grafados dois pontos arbitrários entre os pontos extremos do gráfico calcularam-se seus respectivos valores para as variáveis de interesse:
P’ (1,5cm; 2cm) P’(0,47atm-1; 224,8L)
P” (10cm; 17cm) P” (2atm-1; 1010,8L)
Sabendo que a equação da reta é definida por Y= mX + b, calculou-se Y e X substituindo-os, respectivamente, pelo volume e inverso da pressão:
 x (-1) -224,8 = -0,47m - b
 1010,8 = 2m + b
 786 = 1,53m m = 513,72
b1 = 224,8 – 0,47 513,72 b1 = -16,65 b = b = -16,64
b2 = 1010,8 – 2 513,72 b2 = -16,64
Assim, .
Método das Médias
	Dividiram-se os pontos em dois grupos, como mostrados na tabela 2, e foi montada uma equação de reta para cada ponto individualmente para que, em seguida, pudesse ser realizada a soma de cada fator e resolvido o sistema.
	
	1º GRUPO
	2º GRUPO
	
	1250 = 2,5m + b
	350 = 0,71m + b
	
	750 = 1,5m + b
	297 = 0,59m + b
	
	500 = 1m + b
	150 = 0,3m + b
	
	412 = 0,77m + b
	 
	SOMA
	2912 = 5,77m + 4b
	797 = 1,6m + 3b
Tabela 2 – Divisão das equações em dois grupos.
2912 = 5,77m + 4b1 x (3) 8736 = 17,31m + 12b
797 = 1,6m + 3b2 x (-4) -3188 = - 6,4m – 12b
 10,91m = 5548 m = 508,52
b1 = -5,54 b = -5,54
b2 = -5,54
 
Então, .
Método dos Mínimos Quadrados
Nesse método, aplicaram-se os seguintes cálculos (onde n = número de pontos):
 ; 
De acordo com a tabela 3, obtiveram-se os valores dos somatórios e após aplicação nas fórmulas, conseguiu-se os seguintes resultados:
	
	X
	Y
	X2
	XY
	
	2,5
	1250
	6,25
	3125
	
	1,5
	750
	2,25
	1125
	
	1
	500
	1
	500
	
	0,77
	412
	0,5929
	317,24
	
	0,71
	350
	0,5041
	248,5
	
	0,59
	297
	0,3481
	175,23
	
	0,3
	150
	0,09
	45
	SOMA
	7,37
	3709
	11,0351
	5535,97
Tabela 3
m = m = 497,91
b = b = 5,63.
Portanto, .
Pôde-se, ainda, criar uma tabela que permite a comparação entre os métodos, vista a seguir:
	Coeficiente
	m
	b
	Método Gráfico
	513,72
	-16,64
	Método das Médias
	508,52
	-5,54
	Método dos Mínimos Quadrados
	497,91
	5,63
Tabela 4
Traçado da Reta
Para traçar a reta, foram escolhidos dois pontos arbitrários entre o primeiro e o segundo ponto, bem como entre o último e o penúltimo ponto, calculando-se seus respectivos valores de volume e inverso de pressão, através da equação da reta advinda do método dos mínimos quadrados considerada o mais ideal, pois permite maior precisão para o número de pontos utilizados.
.
P1 (0,45atm-1; 229,7L) P1 (1,4cm; 2,1cm)
P2 (2atm-1; 1001,5L) P2 (10cm; 16,8cm)
Depois de marcados os pontos, construiu-se uma reta que ligasse os mesmos, fazendo o possível para marcar a maior quantidade possível de pontos.
GRÁFICO 2
A partir da tabela que se segue, definiu-se o eixo vertical para o inverso da concentração de NO2 e o eixo horizontal para o tempo:
	Tempo (min)
	1/[NO2] (L.mol-1)
	0,5
	67
	1
	85
	1,5
	95
	2
	115
Tabela 5 - Tempo e Inverso da Concentração de NO2.
Dessa forma, foram calculadas, usando as mesmas técnicas aplicadas no gráfico 1, as variações dos dados, bem como as proporções em centímetros de cada variável. Utilizando a origem como (t, 1/[NO2]) = (0 ; 60) e sabendo que são disponíveis 18cm na horizontal e 28cm na vertical do papel milimetrado, têm-se que:
Para t = 2 -0 = 2 15 = 0,133 min/cm
Para 1/[NO2] = 115 – 67 = 48 24 = 2 L.mol-1/ cm
A partir dessa informação, foram obtidos os valores em centímetros de cada ponto:
P1 (0,5 min ; 67 L.mol-1) P1 (3,8cm; 3,5cm)
P2 (2 min; 115 L.mol-1) P2 (15cm; 27,5cm)
P3 (10 min; 85 L.mol-1) P3 (7,7cm; 12,5cm)
P4 (1,5 min; 95 L.mol-1) P4 (11,5cm; 17,5cm)
Equação da Reta
Método Gráfico
P’ (6cm; 9cm) P’(0,78min; 78 L.mol-1)
P” (13,5cm; 24,5cm) P” (1,75min; 109 L.mol-1)
 x (-1) -78 = -0,78m - b
 109 = 1,75m + b
 31 = 0,975m m = 31,8.
b1 = 78 – 0,78 31,8 b1 = 53,196 b = b = 53,19.
b2 = 109 – 1,75 31,8 b2 = 53,191
Assim, 1/[NO2].
Método das Médias
	
	1º GRUPO
	2º GRUPO
	
	67 = 0,5m + b
	95 = 1,5m + b
	
	85 = 1m + b
	115 = 2m + b
	SOMA
	152 = 1,5m + 2b
	210 = 3,5m + 2b
Tabela 6 – Divisão das equações em dois grupos.
152 = 1,5m + 2b1 x (-1) -152 = -1,5m - 2b
210 = 3,5m + 2b2 210 = 3,5m + 2b
 2m = 58 m = 29.
b1 = 54,25 b = 54,25
b2 = 54,25
 
Então, 1/[NO2]
Método dos Mínimos Quadrados
	
	X
	Y
	X2
	XY
	
	0,5
	67
	0,25
	33,5
	
	1
	85
	1
	85
	
	1,5
	95
	2,25
	142,5
	
	2
	115
	4
	230
	SOMA
	5
	362
	7,5
	491
 Tabela 7
m = m = 30,8
b = b = 52.
Portanto,1/[NO2]
	Coeficientes
	M
	b
	Método Gráfico
	31,8
	53,19
	Método das Médias
	29
	54,25
	Método dos Mínimos Quadrados
	30,8
	52
Tabela 8 - Tabela de comparação dos métodos.
Traçado da Reta
Marcaram-se os dois pontos arbitrários e traçou-se a reta a partir deles, utilizando a equação da reta abaixo:
1/[NO2]
P1 (1,25 min; 90,5 L.mol-1) P1 (9,4 cm; 15,3cm)
P2 (1,8 min; 107,44 L.mol-1) P2 (13,5 cm; 23,8 cm)
Discussão
Observaram-se, nos dois gráficos, diferenças nos valores dos coeficientes angular e linear nos métodos utilizados para encontrar a equação da reta. Ainda que os valores tenham sido próximos, os desvios se referem ao método em questão. O método gráfico só é utilizado em situações que dispõem de três a cinco pontos, fornecendo precisão duvidosa, pois no mesmo são selecionados dois pontos arbitrários que podem não englobar todos os pontos. Já o das médias fornece melhores resultados e é utilizado quando se trabalha com seis ou mais pontos. Contudo, o método dos mínimos quadrados é o mais aconselhável, pois fornece resultados mais confiáveis para os coeficientes e sua utilização é justificável quando se utilizam sete ou mais pontos, possibilitando menor probabilidade de erro.
	A reta traçada no gráfico 1 conseguiu englobar a maioria dos pontos, demonstrando que a mesma se adéqua aos pontos, porém os pontos não englobados podem ser justificados por erros experimentais durante a obtenção dos valores de volume e pressão. 
	A reta do gráfico 2 se mostrou não adequada para representação dos pontos utilizados, pois a maioria dos pontos não foram englobados na reta. Isso pode ser justificado pelo uso de pontos experimentais, nos quais não são associados erros específicos aos mesmos, sendo assim, a reta não se ajusta perfeitamente ao gráfico
Conclusões
	A elaboração dos gráficos foi baseada na definição de métodos de regressão linear para que pudesse ser encontrada a equação da reta sendo possível, posteriormente, realizar o traçado da reta correspondente aos pontos experimentais. Foram obtidas as equações de reta para os três métodos de regressão e as retas foram traçadas, sendo que no gráfico 1 a reta se adequou aos pontos e no gráfico 2 a reta se mostrou inadequada para representação dos pontos. 
Ainda foi possível observar que, para o gráfico 1, o volume varia inversamente proporcional à pressão aplicada e para o gráfico 2, percebe-se que a concentração de NO2 varia inversamente proporcional ao tempo.
Problemas
Para resolução dos problemas propostos, utilizaram-se dois métodos, algébrico e o de interpolação linear, que consiste na determinação de um valor desconhecido entre dois valores conhecidos em uma tabela através do gráfico traçado. A resolução proposta para a interpolação segue a lógica de semelhança de triângulos percebida no gráfico abaixo:
	Y
	X
	Y2
	X2
	Y
	X
	Y1
	X1
 
 Gráfico 3 - Gráfico X versus Y Tabela 9 - Tabela referente ao gráfico X x Y
 
 = Y = + Y1
GRÁFICO 1
Problema: Qual o volume do gás quando a pressão aplicada for 0,77 atm?
P = 0,77 atm 1/P = 1,3 atm-1 
Como: , então: V = 652, 913L.
Por interpolação:
	V
	1/P
	750
	1,5
	v
	1,3
	500
	1
 Tabela 10 V = 650L.
GRÁFICO 2
Problema: Qual a concentração de NO2 quando o tempo gasto for de 1,3 minuto?
Como: 1/[NO2], sendo t = 1,3 min, então: 1/[NO2] = 92,04 L.mol-1.
Assim, [NO2] = 0,0108 mol.L-1. 
Por interpolação:
	t
	1/[NO2]
	1,5
	95
	1,3
	x
	1
	85
 Tabela 11					 x = 91 L.mol-1.
							[NO2] = 0,0109 mol.L-1.