cad C6 curso a prof teoria matematica

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Álgebra FRENTE 1
1. Números Primos entre Si
Definição
Dois números inteiros a e b, não nulos, são chama -
dos primos entre si se, e somente se, os únicos divi -
sores comuns de a e b são 1 e – 1 e, consequen -
temente, se, e so men te se, mdc(a, b) = 1.
Em símbolos:
Propriedades
• Dois números consecutivos quaisquer são pri mos
entre si.
• Se p e q são primos e p � q e p � – q, então p e
q são primos entre si.
• a e b são primos entre si ⇔ mmc(a, b) = a . b, 
a, b ∈ �*.
Teoremas importantes
Se x divide a e x divide b, então x divide a ± b.
Simbolicamente
Se x divide a e x divide a ± b, então x divide b.
Simbolicamente
Os pares de números inteiros (a, b); (a; a ± b) e 
(b; a ± b) têm o mesmo máximo divisor comum.
Simbolicamente
Se p é primo e p divide a . b, então p divide a ou p
divide b.
Simbolicamente
Se a divide x, b divide x e, além disso, a e b são
primos entre si, então a . b divide x.
Simbolicamente
2. Critérios de Divisibilidade
• Divisibilidade por 2
Um número inteiro a é divisível por 2 se, e somente
se, o algarismo das unidades for 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
• Divisibilidade por 3
Um número inteiro a é divisível por 3 se, e somente
se, a soma de seus algarismos for divisível por 3.
• Divisibilidade por 5
Um número inteiro a é divisível por 5 se, e somente
se, o algarismo das unidades for 0 ou 5.
• Divisibilidade por 7
Um número inteiro a é divisível por 7 se, e somente
se, a diferença entre o número que se obtém de a
suprimindo-se o algarismo das unida des e o dobro deste
último (algaris mo das unidades) for divisível por 7.
• Divisibilidade por 11
Um número inteiro a é divisível por 11 se, e somente
se, sendo x a soma dos algarismos de ordem ímpar e y
a soma dos algarismos de ordem par, então x – y é
divisível por 11.
• Divisibilidade por 4
Um número inteiro a é divisível por 4 se, e somente
se, o número formado pelos algarismos das dezenas e
das unidades de a (na ordem) for divisível por 4.
• Divisibilidade por 6
Um número inteiro a é divisível por 6 se, e somente
se, a for divisível por 2 e também por 3.
• Divisibilidade por 10
Um número inteiro a é divisível por 10 se, e somente
se, for divisível por 2 e também por 5.
Assim sendo, a é divisível por 10 se, e somente se,
o algarismo das unidades de a for zero.
a ∈ �* e b ∈ �* são primos entre si⇔
⇔ D(a) ∩ D(b) = {–1, 1} ⇔ mdc(a, b) = 1
x ∈ D(a) � ⇒ x ∈ D(a ± b)x ∈ D(b)
x ∈ D(a) � ⇒ x ∈ D(b)x ∈ D(a ± b)
mdc(a; b) = mdc(a; a ± b) = mdc(b; a ± b)
p é primo � ⇒ p ∈ D(a) ou p ∈ D(b)p ∈ D(a .b)
a ∈ D(x)
b ∈ D(x) � ⇒ ab ∈ D(x)mdc (a, b) = 1
MÓDULO 47 Números Primos entre Si, 
Critérios de Divisibilidade e Números Reais 
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• Divisibilidade por 15
Um número inteiro a é divisível por 15 se, e somente
se, a for divisível por 3 e também por 5.
3. Números Decimais Exatos
São os que apresentam um número finito de casas
decimais não nulas.
Exemplos
2357
• 2,357 = –––––
1000
75
• 0,75 = ––––
100
4. Números Decimais Não Exatos
São os que apresentam um número infinito de
casas decimais não nulas.
Podem ser
• Periódicos (dízimas)
Exemplos
2,333...
0,424242...
3,52626262...
0,73444...
• não periódicos
Exemplos
2,252552555255552…
π = 3,1415926535…
e = 2,71822818284590453…
���2 = 1,4142…
���3 = 1,7320…
Exemplos
• Obter as frações geratrizes das dízimas
periódicas
a) 0,424242… b) 3,5262626…
Resolução
a) 0,424242 ... = = 
b) 3,5262626…= =
26 
35 + –––
99
= –––––––––– = 
10
5. Números Reais
O Conjunto �
Um número é chamado real quan do é inteiro ou
decimal. O con junto formado por todos os núme ros
reais é chamado conjunto dos nú meros reais e é
representado por �.
Notações
�* = � – {0}
�+ = {x ∈ � � x ≥ 0}
�*+ = {x ∈ � � x > 0}
�– = {x ∈ � � x ≤ 0}
�*– = {x ∈ � � x < 0}
6. Números Racionais e Números Irracionais
O Conjunto �
Diz-se que um número real x é racional se, e so -
mente se, existem nú meros inteiros a e b, com b � 0,
tais que x = .
O conjunto formado por todos os números racionais
é chamado conjunto dos números reais racionais e é
representado por �.
� = �x ∈ � | x = , a ∈ �, b ∈ �*�
Notar que � � � � � � �
Teorema
Sejam a ∈ � e b ∈ �*. O quociente (número racional)
da divisão de a por b, ou é inteiro, ou deci mal exato ou
decimal não exato periódico.
• Consequência do Teorema
Os únicos números reais que não são racionais são
os números deci mais não exatos e não periódi cos.
O Conjunto � – �
Diz-se que um número real α é irracional se, e
somente se, α não é racional. O conjunto formado por
todos os números irracionais é cha ma do conjunto dos
números irracio nais e é representado por � – �.
� – � = {x ∈ � | x ∉ �}
Notar que
• � � �
• � – � � �
• � � (� – �) = �
• � � (� – �) = �
Propriedades do fechamento
• � é fechado em relação à adi ção (r + s), sub tração
14
–––
33
42
–––
99
35,262626...
–––––––––––
10
3491
–––––
990
a
–––
b
a
–––
b
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(r – s), multi pli ca ção (r . s) e divisão � , s � 0�. 
Assim, a soma, a diferença, o produto e o quo ciente 
� , s � 0� de dois nú me ros racionais são sempre racio -
nais.
• � – � não é fechado em re la ção à adição,
subtração, multiplica ção e divisão. Assim, a soma, a dife -
ren ça, o produto e o quociente de dois números irracio -
nais nem sempre são irracionais.
Conclusão
Do exposto, sendo r e s números racionais e α e β
números irracionais, temos
Radical duplo
Se os números naturais a e b são tais que
a ± ���b ∈ �+ e c = ���������a2 – b ∈ �, então
a ± ���b = ± 
r––s
r––s
a + c
–––––
2
a – c
–––––
2
r + s ∈ � r + α ∈ � – � α + β ∈ �
r – s ∈ � r – α ∈ � – � α – β ∈ �
r . s ∈ � r . α ∈ � – � (r � 0) α . β ∈ �
r 
–– ∈ � (s � 0) 
s 
r
–– ∈ � – � (r � 0) 
α
α
–– ∈ �β
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Ao escrevermos 2495, estamos representando
cinco unidades mais nove dezenas mais quatro centenas
e mais dois milhares. 
Dessa forma, 2495 é uma abreviação para 
5 . 100 + 9 . 101 + 4 . 102 + 2 . 103.
Em cada número, além do seu próprio valor (valor
absoluto), cada algarismo possui um peso (valor rela -
tivo) que depende da sua posi ção no número.
No número 2495, tem-se:
Esse tipo de sistema é chamado posicional. O peso
de cada algarismo dependerá do lugar, da posição que
ele ocupa no número.
O sistema de numeração posicional preponderante 
é o decimal, cujos algarismos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9.
1. Outros Sistemas
No sistema de base sete, os algarismos são 0, 1, 2,
3, 4, 5 e 6. Num sistema de base b maior que 1, os
algarismos vão de 0 a b–1, inclusive (0, 1, ..., b–1).
Ao escrevermos (1425)7 = 1425(7), estamos, abrevia -
damente, representando 
5 . 70 + 2 . 71 + 4 . 72 + 1 . 73.
É costume indicar a base quan do o sistema não é
decimal.
No número 1425(7), tem-se:
Assim sendo,1425(7) = 5 + 14 + 196 + 343 = 558
Se a base é maior que dez, torna-se necessário
representar os naturais maiores que nove e menores
que a base por novos símbolos. Uma con ven ção é uti -
lizar as letras do alfabeto latino a, b, c, ... para indicar o
10, 11, 12, … respectivamente. Outra nota ção exis ten te
é (10), (11), (12), ..., que subs ti tuem 10, 11, 12, ...,
respec tiva mente.
No sistema duodecimal, base doze, os algarismos
são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a e b, estes dois últimos
podendo ser substituídos, na ordem, por (10) e (11).
algarismo valor absoluto valor relativo
5 5 5 . 100 = 5
9 9 9 . 101 = 90
4 4 4 .102 = 400
2 2 2 . 103 = 2000
algarismo valor absoluto valor relativo
5 5 5 . 70 = 5 
2 2 2 . 71 = 14 
4 4 4 . 72 = 196 
1 1 1 . 73 = 343
MÓDULO 48 Sistemas de Numeração
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Representando 15a3b(12) = 15(10)3(11)(12), estamos
abreviando a soma 
b . 120 + 3 . 121 + a . 122 + 5 . 123 + 1 . 124.
No número 15a3b(12), tem-se
Assim sendo,
15a3b(12) = 11 + 36 + 1440 + 8640 + 20736 = 30863
2. Mudança de Base
Como exemplo, vamos examinar a representação do
número N = 558 = 1425(7) = 5 . 7
0 + 2 . 71 + 4 . 72 + 1 . 73
Todas as parcelas da soma in dicada, com exceção da
primeira, são divisíveis por 7 e, portanto, o pri meiro
coeficiente (o algarismo 5) é o resto da divisão de 558
por 7.
De modo análogo, pode-se con cluir que, dividindo,
sucessivamente, por 7 cada quociente da divisão an te rior,
os restos são (na ordem inver sa) os algarismos do
número na base 7.
No caso, tem-se
Exemplos
1. Escrever o número 2134(5) no sis tema decimal.
Resolução
2134(5) = 4 . 5
0 + 3 . 51 + 1 . 52 + 2 . 53 =
= 4 + 15 + 25 + 250 = 294
2. Representar o número 44687 no sistema de base 12.
Resolução
Resposta: 44687 = 21(10)3(11)(12) = 21a3b(12)
3. Representar o número 425(7) na base 3.
Resolução
a) 425(7) = 5 . 7
0 + 2 . 71 + 4 . 72 = 5 + 14 + 196 = 215
Resposta: 425(7) = 215 = 21122(3)
algarismo valor absoluto valor relativo
b b (onze) 11 .120 = 11
3 3 3 .121 = 36
a a (dez) 10 .122 = 1440
5 5 5 .123 = 8640
1 1 1 . 124 = 20736 
558 7
5 79 7
1 4 2 5 2 11 7
4 1 7
1 0
44687 12
11 3723 12
2 1 a 3 b 3 310 12
10 25 12 
1 2
b) 215 3
2 71 3
2 23 3 
1 7 3
1 2
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MÓDULOS 49 e 50 Definição de Número Complexo 
e Operações na Forma Algébrica
Número complexo é um par orde nado (x, y) de
números reais.
Representando por � o conjunto dos números
complexos, temos
Sendo (a, b) ∈ � e (c, d) ∈ �, definimos em �:
Adição
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Multiplicação
(a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
(C, +, •) é o corpo dos números complexos.
1. Forma Algébrica
Decorre da definição que
(x, 0) = x, isto é, (x, 0) e x são isomorfos.
Se i = (0, 1), então i2 = –1
(0, y) = (y, 0) • (0, 1) = yi
(x, y) = (x, 0) + (0, y)
(x, y) = x + yi
� = {(x, y) � x ∈ � e y ∈ �}
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Nomenclatura
z é a notação usual de um elemento de C.
x é a parte real de z : x = Re(z).
yi é a parte imaginária de z.
y é o coeficiente da parte imaginária: y = Im(z).
i = (0, 1) é a unidade imaginária.
y = 0 ⇒ z = x + yi = x ⇒ z é real.
x = 0 ⇒ z = x + yi = yi ⇒ z é imaginário puro.
–z = a – bi é chamado conjugado de z.
2. Operações na Forma Algébrica
Adição: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) . i
Subtração: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) . i
Multiplicação: (a + bi)•(c + di) =
= ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc) • i
a + bi a + bi c – di
Divisão: ––––––– = –––––––•––––––– =
c + di c + di c – di
(...) + (...)i (...) (...)
= ––––––––––– = ––––––––– + ––––––––– • i
c2 + d2 c2 + d2 c2 + d2
com c + di � 0
3. Potências de i
sendo n ∈ � e r ∈ {0, 1, 2, 3} o resto da divisão de n 
por 4.
Observe que in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0, ∀n ∈ �.
i0 =1 i1= i i2=–1 i3= –i in = ir
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Sendo z = x + yi, com x, y ∈ �, um número
complexo, temos
Módulo de z
Indica-se �z� ou ρ
Define-se 
Argumento de z � 0
Indica-se arg z ou θ
Define-se 
1. Forma Trigonométrica
Se z = x + yi é um número complexo diferente de
zero, então a forma trigonométrica de z é
Observe que
⇒ z = ρcos θ + iρsen θ ⇒
⇒ z = ρ(cos θ + i sen θ)
2. Representação Geométrica
Consideremos num plano, cha ma do Plano de
Argand-Gauss ou Plano Complexo, um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogo nais xOy e nele, 
um ponto P de coorde nadas x e y. Lembrando que 
z = (x, y) = x + yi, concluímos que existe uma cor -
respondência biunívo ca entre os pontos do plano e os nú -
me ros complexos. Em outras palavras, “o conjunto dos
números com plexos pode ser representado geometrica -
mente pelos pontos do plano”. O ponto P é a imagem
geométrica de z ou o afixo de z.
�z � = ρ = ��������x2 + y2
0 ≤ θ < 2π
x
arg z = θ ⇔ �cos θ = –––ρy
sen θ = ––– ρ
z = ρ(cos θ + i sen θ)
z = x + yi
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ�
z = (x, y) = x+ yi = ρ(cos θ + i . senθ)
forma de 
par 
ordenado
forma 
algébrica
forma 
trigonométrica
MÓDULO 51 Forma Trigonométrica
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Sejam z, z1 e z2 três números complexos diferentes
de zero, tais que:
Multiplicação
Divisão
Potenciação com expoente inteiro
Observe que:
z1 . z2 = [ρ1(cos θ1 + i sen θ1)] . 
. [ρ2(cos θ2 + i sen θ2)] =
= (ρ1 . ρ2) . (cos θ1 . cos θ2 + i .
. cos θ1 . sen θ2 + i sen θ1 . cos θ2 +
+ i2 sen θ1 . sen θ2) =
= (ρ1 . ρ2) [(cos θ1 . cos θ2 – sen θ1 . sen θ2) +
+ i . (cos θ1 . sen θ2 + sen θ1 . cos θ2)] =
= (ρ1 . ρ2) [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)]
z = ρ (cos θ + i sen θ)
z1 = ρ1(cos θ1 + i sen θ1)
z2 = ρ2(cos θ2 + i sen θ2)
z1 . z2 = (ρ1 . ρ2) . [cos (θ1 + θ2) +
+ i . sen (θ1 + θ2)] (∀z1,z2 ∈ �*)
z1 ρ1–––– = –––– [cos (θ1 – θ2) + i . sen (θ1 – θ2)]z2 ρ2
(∀z1,z2 ∈ �*)
zn = ρn . [cos (nθ) + i . sen (nθ)]
(Fórmula de Moivre) (∀n ∈ �)
MÓDULO 52 Operações na Forma Trigonométrica:
Multiplicação, Divisão e Potenciação
1. Introdução
Todo número complexo
z = ρ (cos θ + i . sen θ) � 0 admite n raízes enésimas,
cujos módulos são todos iguais a
n
���ρ e cujos argu mentos
são:
θθ0 = –––n
θ 2πθ1 = ––– + –––– . 1n n
θ 2πθ2 = ––– + –––– . 2n n
• • • • •
• • • • •
• • • • •
θ 2πθn–1 = ––– + –––– . (n – 1)n n
Esses argumentos são os n primeiros termos de
uma progressão aritmética com primeiro ter mo igual a
e razão igual a .
Simbolicamente:
Sendo z = ρ (cos θ + i . sen θ) � 0 e zk, suas raízes
enésimas, temos:
Observação
Os afixos das raízes enésimas do número complexo
z são vértices de um polígono regular, de n lados, ins -
crito na circunferência de raio 
n
���ρ e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. 
2π
–––
n
θ
–––
n
θ 2π θ 2π
zk = ���ρ . 	cos �–– + –––– . k�+ i . sen �–– + –––– . k �
n n n n
Com k ∈ {0, 1, 2, ..., n – 1}
MÓDULO 53 Radiciação em �
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1. Função Polinomial
Definição
É a função P : C → C, definida por 
P(x) = a0 . x
n + a1. x
n –1 + ... +
+ an – 1 . x + an, em que n ∈ �.
a0, a1, a2, ..., an ∈ C são os coeficientes.
a0x
n, a1 . x
n – 1, ..., an – 1 . x, an são os termos ou
monômios.
Valor numérico
O valor numérico de P, para x = �, é a imagem de �
por P. É o número P (α) = a0 . α
n + a1 . α
n – 1 +
+ ... + an – 1 . α + an.
P (0) = an é o termo independente de x.
Raiz
� é raiz de P(x) ⇔ P(α) = 0.
Grau
O grau do polinômio P(x) = a0 . x
n + a1 . x
n – 1 + ... +
+ ap . x
n – p + ... + an – 1 . x + an (n ≥ p) é o número natural
n – p se, e so mente se, a0 = a1 = ... = ap – 1 = 0 e 
ap � 0.
Em outras palavras, “é o maior expoente que tem o
x considerando-se apenas os termos com coeficientes
diferentes de zero”.
Função polinomial identicamente nula
• Definição
P(x) ≡ 0 ⇔ P(x) = 0, ∀ x ∈ C
• Teorema
Funções polinomiais idênticas
• Definição
A(x) ≡ B(x) ⇔ A(x) = B(x), ∀x ∈ C
• Teorema
1. Calcular o valornumérico do polinômio P(x) = x3 – 7x2 + 3x
– 4 para x = 2.
Resolução
P(2) = 23 – 7 . 22 + 3 . 2 – 4
P(2) = 8 – 28 + 6 – 4 = – 18
Resposta: P(2) = – 18
2. Discutir, em relação a a ∈ �, o grau da função polinomial P :
� → � definida por P(x) = (a2 – 5a + 4)x3 + (a – 1)x2 + (a –
3) . x + 7
Resolução:
Lembrando que o coeficiente de x3 é a2 – 5a + 4 e que 
a2 – 5a + 4 = 0 ⇔ a = 1 ou a = 4, temos:
a) a ≠ 1 e a ≠ 4 ⇒ gr(P) = 3
b) a = 1 ⇒ P(x) = 0 . x3 + 0 . x2 – 2x + 7 ⇒ gr(P) = 1
c) a = 4 ⇒ P(x) = 0 . x3 + 3x2 + x + 7 ⇒ gr(P) = 2
a ≠ 1 e a ≠ 4 ⇒ gr(P) = 3
Resposta: � a = 1 ⇒ gr(P) = 1
a = 4 ⇒ gr(P) = 2
3. Sejam f e g duas funções polinomiais definidas por:
f(x) = (2a – 3)x3 + (a – 1)x + 3 e
g(x) = (3a – 7)x3 + (a – 2)x2 + 3x – a
Determinar a ∈ � para que a função (f + g) tenha grau 3.
Resolução
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = (2a – 3)x3 + (a – 1)x + 3 +
+ (3a – 7)x3 + (a – 2) . x2 + 3x – a ⇒
⇒ (f + g) (x) = (5a – 10) . x3 + (a – 2)x2 + (a + 2) x + (3 – a)
Assim sendo: gr(f + g) = 3 ⇔ 5a – 10 ≠ 0 ⇔ a ≠ 2
Resposta: a ≠ 2
4. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio
x3 + 6x2 + ax + b seja um cubo perfeito.
Resolução
Sendo x3 + 6x2 + ax + b um polinômio de grau 3, será ele
um cubo perfeito se for idêntico a (mx + n)3. Assim sendo:
x3 + 6x2 + ax + b ≡ (mx + n)3 ⇔
⇔ x3 + 6x2 + ax + b ≡ m3x3 + 3m2nx2 + 3mn2x + n3 ⇔
⇔ ⇔ 
Resposta: a = 12 e b = 8
P(x) � 0 ⇔ a0 = a1 = a2 = ... = an = 0
A(x) ≡ B(x) ⇔ ai = bi, ∀i ∈ {0, 1, 2, 3, ..., n}
Exercícios Resolvidos
�
m3 = 1
3m2n = 6
3mn2 = a
n3 = b
m = 1
n = 2
a = 12
b = 8
�
MÓDULO 54 Definição de Polinômios, Grau, 
Valor Numérico e Identidade
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Álgebra FRENTE 2
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Á
T
IC
A
 A
B
 
1. Definição
Sendo M uma matriz de ordem n e In a matriz
unidade de ordem n, define-se:
M–1 é inversa de M ⇔ M . M–1 = In = M
–1 . M
2. Existência da Inversa
det M ≠ 0 ⇔ M é invertível (não singular)
det M = 0 ⇔ M é não invertível (singular)
3. Regra Prática
• Calcular det(M)
• Determinar a matriz dos cofa to res de M : M'
• Determinar a matriz adjunta de M: 
—
M = (M')t
• Aplicar a fórmula: M–1 = 
__
M
Observação
Para encontrar um elemento da inversa de M, aplicar
a fórmula:
bij de M
–1 = 
1
–––––––
det (M)
cofator do aji de M––––––––––––––––––
det M
1. Definição
Sendo M uma matriz de ordem n e In a matriz
unidade de ordem n, define-se:
M–1 é inversa de M ⇔ M . M–1 = In = M
–1 . 
2. Existência da Inversa
det M ≠ 0 ⇔ M é invertível (não singular)
det M = 0 ⇔ M é não invertível (singular)
3. Regra Prática
• Calcular det(M)
• Determinar a matriz dos cofa to res de M : M'
• Determinar a matriz adjunta de M: 
—
M = (M')t
• Aplicar a fórmula: M–1 = 
__
M
Observação
Para encontrar um elemento da inversa de M, aplicar
a fórmula:
bij de M
–1 = 
4. Propriedades
• Se A é invertível, então A–1 é úni ca.
• Se A é invertível, então (A–1)–1 = A.
• Se A e B são invertíveis e de mesma ordem,
então (A . B)–1 = B–1 . A–1.
• Se A é invertível, então (At)–1 = (A–1)t.
• Se A é invertível, então
det (A–1) = .1–––––––
det (M)
cofator do aji de M––––––––––––––––––
det M
1
–––––––
det (A)
MÓDULO 24 Definição e Cálculo da Matriz Inversa
MÓDULO 25 Propriedades da MatrizInversa e Equações Matriciais
C6_AB_MAT_TEO_2016_Rose 16/05/16 15:32 Página 112
1. Sistemas Lineares
• Um sistema (S) de m equa ções lineares (m ∈ �*)
com n incógnitas (n ∈ �*), x1, x2, x3, …, xn, é um
conjunto de equações da forma:
com m ≥ 2 e n ≥ 2
no qual os coeficientes aij são núme ros reais não todos
nulos simultanea mente e os termos bi são números
reais quaisquer.
• Se todos os mesmos bi forem nulos (i = 1, 2 …,
m), então (S) é um sistema linear homogêneo.
• Dizemos que a n-upla de nú me ros reais (α1, 
α2, …, αn) é uma SOLUÇÃO do sistema (S) se forem
verdadeiras todas as sentenças de (S) fazendo-se 
xi = αi.
• Um sistema (S) é COMPATÍ VEL (ou possível) se
existir pelo me nos uma solução; (S) é INCOM PATÍVEL
(ou impossível) se não admite so lução.
Se "V" é o conjunto-solução (ou conjunto verdade) do
sistema (S), en tão devemos ter uma das seguintes
situações:
– Compatível e determina do: quando V é um
conjunto unitário.
– Compatível e indetermi na do: quando V é um
conjunto infinito.
– Incompatível: quando V é o conjunto vazio.
Matrizes de um sistema
Num sistema linear, definem-se as duas matrizes
seguintes:
que recebem o nome de:
MI = matriz incompleta.
MC = matriz completa (ou as socia da ao sistema).
Se a matriz M.I. for quadrada, o seu determinante é
dito determinante do sistema (D).
Exemplo
• O sistema
é possível e determinado, pois apre sen ta uma única solução
que é S = {(1, 2)}.
• O sistema 
é possível e indeterminado, pois apre senta infinitas
soluções da forma S = {(k, k – 2)}.
Observe, nesse exemplo, que a se gunda equação é a
primeira com am bos os membros multiplicados por 2.
• O sistema 
é impossível, pois não existe par or de nado (x, y) que torne
as duas sen tenças verdadeiras "simultanea men te".
• No sistema , de finem-se:
Ml = e MC = 
e o determinante do sistema D = det MI = 
2. Sistema Normal
• O sistema linear (S) com "m" equações e "n"
incógnitas será "NORMAL" quando:
e 
Resolução de um sistema normal
• Teorema de Cramer
Qualquer sistema normal admite uma e uma só
solução dada por:
(s) �
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
……………………….....……………...
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
MI = 	
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
…………………………
…………………………
am1 an2 … amn
MC = 	
a11 a12 … a1n b1
a21 a22 … a2n b2
…………………….……
……………………….…
am1 an2 … amn bm
�x + 2y = 5x + y = 3
�x – y = 22x – 2y = 4
�x – y = 2x – y = 4
�x + 2y = 53x + 4y = 11
	 13
2
4 
 	
1
3
2
4
5
11 
1
3
2
4
D ≠ 0m = n
– 113
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MÓDULO 26 Sistema Normal, Regra de Cramer e Escalonamento
C6_AB_MAT_TEO_2016_Rose 16/05/16 15:32 Página 113
x1 = ; x2 = 
x3 = ; …; xn = onde:
– D é o determinante do sistema.
– Di é o determinante que se ob tém de D, trocando
a iésima coluna da matriz M.I. por b1, b2, b3, …, bn.
Exemplo
• O sistema 
é normal, pois o número de equações é igual ao número
de incógnitas e o determinante do sistema:
D = = – 2 ≠ 0
O Teorema de Cramer nos garan te que a solução é
única e obtida por:
x = = = 1, pois Dx = = – 2 
y = = = 2, pois Dy = = – 4
5
11
2
4
– 2
–––
– 2
Dx–––
D
1
3
5
11
– 4
–––
– 2
Dy–––
D
1
3
2
4
�x + 2y = 53x + 4y = 11
Dn–––
D
D3–––
D
D2–––
D
D1–––
D
114 –
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1. Definição: Sistemas Equivalentes
Dizemos que dois sistemas são equivalentes se e
somente se apresentarem o mesmo conjunto solução.
Para transformar um sistema num sistema equiva -
lente mais simples, pode-se
• permutar duas equações;
• multiplicar qualquer uma das equações por um
número real dife rente de zero;
• multiplicar uma equação por um número real e
adicioná-la à outra equação.
Exemplo
Vamos resolver o sistema:
x – y + z = –2 (a1)
(l) x – 2y – 2z = –1 (b1)� 2x + y + 3z = 1 (c1)
transformando-o num sistema equi valente mais simples,
seguindo o se guin te roteiro:
• para obter (b2), multiplique (a1) por –1 e adicione o
resultado a (b1);
• para obter (c2), multiplique (a1) por –2 e adicione o
resultado a (c1).
x – y + z = –2 (a1)
(ll) – y – 3z = 1 (b2)� 3y + z = 5 (c2)
• para obter (b3), multiplique (b2) por (–1); para obter
(c3), multiplique (b2) por 3 e adicione o resultado a (c2).
x – y + z = –2(a1)
(lll) y + 3z =–1 (b3)� – 8z = 8 (c3)
Assim, como (l), (ll) e (lll) são equi valentes:
• de (c3), obtém-se z = –1;
• substituindo-se em (b3), obtém-se y = 2 e
substituindo-o em (a1), obtém-se x = 1.
Logo, V = {(1; 2; –1)}
2. Discussão
Se for possível transformar um sistema (S) num
sistema equivalente mais simples do tipo
pode-se discuti-lo em função da variação de a e de b.
Assim, se
• a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.
• a = 0 e b = 0 ⇒ o sistema é possível e
indeterminado.
• a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.
x – y + z = – 2
y + 3z = – 1
az = b�
MÓDULO 27 Escalonamento (Método de Gauss)
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– 115
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1. Posição dos Pontos de um Plano em Relação a
uma Reta
Seja o plano cartesiano e r uma de suas retas.
• Em relação à reta r, os pontos do plano podem
assumir uma das seguintes posições relativas:
a) pertencem à reta r.
b) pertencem ao semiplano (1) (sem considerar os
pontos de r).
c) pertencem ao semiplano (2) (sem considerar os
pontos de r).
• Sendo P(x0; y0) um ponto gené rico do plano carte -
siano e r a reta de equação ax + by + c = 0, verifica-se
que:
a) ax0 + by0 + c para todos os pontos da reta r.
b) ax0 + by0 + c para todos os pontos de um
dos semiplanos (sem considerar os pontos da reta r). 
c) ax0 + by0 + c para todos os pontos do ou tro
semiplano (sem considerar os pontos da reta r). 
• Para sabermos qual dos semipla nos é positivo
ou negativo, procede-se da seguinte maneira:
a) Procura-se o valor numérico do trinômio 
ax + by + c para o ponto O (0; 0) – (origem).
b) Se o resultado é positivo, o semiplano que con -
tém a origem é positivo e o outro, negativo. 
c) Se o resultado for negativo, o semi plano que
contém a origem é negativo e o outro, posi ti vo.
d) Se o resultado der “zero”, signi fica que a origem
per tence à reta e devemos, pois, tomar um outro ponto
(exem plo: (1; 0), (2; 0), (0; 1) etc.) externo à reta para,
então, recairmos no estudo anterior.
Exemplo
Representar graficamente o con jun to dos pontos
do plano (x; y), tais que 2x – 3y – 6 ≥ 0.
Resolução
O problema pede a representação gráfica dos pon -
tos da reta e do semiplano positivo.
A partir da representação gráfica da reta 2x–3y – 6 = 0,
observamos que o semiplano que contém a origem é
negativo, pois 2 . 0 – 3 . 0 – 6 < 0.
A representação gráfica da ine qua ção 
2x – 3y – 6 ≥ 0 é:
= 0
> 0
< 0
Geometria Analítica FRENTE 3
MÓDULO 24 Posição dos Pontos de um Plano em Relação a uma Reta e Distância de Ponto à Reta
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116 –
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B
 
2. Distância de um Ponto a uma Reta
Seja a reta r, de equação ax + by + c = 0 e o ponto
P(x0; y0), não pertencente à reta. A distância do ponto P à
reta r será:
Exemplo
A distância do ponto P(5; 1) à reta de equação 
3x + 4y – 4 = 0 é:
� 3 . 5 + 4 . 1 – 4 �
d = ––––––––––––––––––– = = 3
���������32 +42
3. Distância entre Duas Retas Paralelas
Dadas duas retas r e s paralelas com equações:
r: ax + by + c = 0
s: ax + by + c’ = 0
conclui-se que a distância entre r e s é:
4. Lugares Geométricos
Definição
Lugar geométrico (L.G.) é um conjunto de pontos,
no qual todos os pontos e somente eles possuem uma
propriedade comum. Dessa maneira, uma curva é um
lugar geométrico quando todos os seus pontos e
unicamente eles admitem uma propriedade comum.
Resolução de problemas
Resolver um problema de lugar geométrico significa
determinar a equação de uma curva e interpretar essa
equação no plano cartesiano, isto é, dizer que tipo de
curva representa a equação obtida.
Para resolver um problema de L.G., devemos se guir
os seguintes passos:
1o.) Tomar um ponto genérico P(x; y) do plano.
2o.) Impor, analiticamente, (geral mente, por meio das
fórmulas de dis tân cias), condições para que o pon to
pertença ao lugar geométrico.
3o.) Obter a equação do lugar geométrico.
4o.) Interpretar essa equação no plano cartesiano.
Exemplo
Dadas as retas (r) 3x – 6y – 1 = 0 e (s) 2x + y + 1 = 0,
de terminar as equações das retas bissetrizes de r e s.
Obs.: As bissetrizes constituem o L.G. dos pontos
do plano equidistantes de r e s.
Resolução
Seja P(x; y) um ponto genérico do plano, então:
dP,r = dP,s
� 3x – 6y – 1 � � 2x + y + 1 �
Portanto: –––––––––––––– = –––––––––––––– ⇔
���������� 9 + 36 ��������� 4 + 1 
⇔ � 3x – 6y – 1 � = 3 . � 2x + y + 1 � ⇔
3x – 6y – 1 = 6x + 3y + 3 ⇔ 3x + 9y + 4 = 0
⇔ � ou3x – 6y – 1 = – 6x – 3y – 3 ⇔ 9x – 3y + 2 = 0
As bissetrizes de r e s constituem um par de retas
perpendiculares entre si.
� ax0 + by0 + c �
dP,r = ––––––––––––––––––
������������ a2 + b2
| c’ – c |
dr,s = ––––––––––
����������� a2 + b2
15
–––
5
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B
A circunferência é um dos mais importantes lugares
geométricos (L.G.), merecendo, pois, um estudo
detalhado.
1. Definição
Dado um ponto C de um plano (chamado centro) e
uma medida r não nula (chamada raio), denomina-se
circunferência ao lugar geo métrico (L.G.) dos pontos do
plano que distam r do ponto C.
2. Equação Reduzida (ou Cartesiana) da
Circunferência
Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r.
Considerando um ponto genérico P(x; y) pertencente à
circunferência, teremos:
P ∈ circunferência ⇔ dPC = r ⇔
⇔ �����������������������(x – a)2 + (y – b)2 = r ⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 
A equação 
é denominada equação reduzida da circunferência.
• Caso particular: Se o centro da circunferência é a
origem, C(0; 0), então a equação reduzida resulta 
 
Exemplos
1) Obter a equação reduzida da circunferência de
centro C(– 2; 3) e raio 5.
Resolução
A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, resulta:
(x – (–2))2 + (y –3)2 = 52 ⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25,
denominada equação reduzida.
2) Obter a equação reduzida da cir cunferência de
centro na origem e raio 5.
Resolução
A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos: 
(x – 0)2 + (y – 0)2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25
3. Equação Geral (ou Normal) da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida da circunfe rên -
cia: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 ⇔
⇔ x2 + y2 –2ax– 2by+a2 +b2 – r2 = 0
Fazendo-se – 2a = m; – 2b = n e a2 + b2 – r2 = p,
resulta:
que é denominada equação geral da circunferência.
Exemplo
Determine a equação geral da cir cun ferência de
centro C(–1; 3) e raio 5.
Resolução
A partir da equação 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos a equa ção reduzida: 
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25, que, desen volvida, resulta:
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 25 ⇔
⇔ x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0,
denominada equação geral da circunferência.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 + y2 = r2
x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0
1. Determinação do Centro e do 
Raio de uma Circunferência
Equação reduzida
Dada a equação reduzida de uma circunferência:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 , de imediato conclui-se que o
centro é C(a ; b) e o raio é r.
Exemplo
A circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9
tem centro C (2; – 5) e raio r = 3.
Equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência,
x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0, o centro e o raio são
MÓDULO 25 Circunferência: Equações Reduzida e Geral
MÓDULO 26 Determinação do Centro e do Raio
C6_AB_MAT_TEO_2016_Rose 16/05/16 15:32 Página 117
obtidos comparando-se essa equação com a equa ção 
x2 + y2 – 2a . x – 2b . y + a2 + b2 – r2 = 0.
Notando-se que os coeficientes de x2 e y2 são iguais
a 1, a obtenção do centro e do raio é feita da seguinte
forma:
• Na determinação das coordenadasdo centro, os
coeficientes de x e y (m e n) devem ser divididos por 
(–2), pois a partir das equações, conclui-se que:
Assim, as coordenadas do centro são:
• Obtido o centro C(a; b), o raio é determinado a par tir
da fórmula: , (com a2 + b2 – p > 0),
visto que das equações, temos: 
p = a2 + b2 – r2 ⇔ r2 = a2 + b2 – p
Observações
• Quando a2 + b2 – p = 0, a equação representa
apenas o ponto C(a; b).
• Quando a2 + b2 – p < 0, a equação nada repre sen -
ta.
�
m– 2a = m ⇔ a = ––––
– 2
n– 2b = n ⇔ b = ––––
– 2
r = ������������a2 + b2 – p 
m n 
C �––––; ––––�– 2 – 2
a b
118 –
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B
 
Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r, com
equa ção (x – a)2 + (y – b)2 = r2 e um ponto P(x0; y0) do
plano cartesiano.
A posição do ponto P em relação à circunferência é
obtida pelo cálculo da distância do ponto P ao centro C
da circunferência e comparada com a medida do raio r.
Dessa forma, temos:
• P(x0; y0) pertence à circun fe rên cia ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 = r2
• P(x0; y0) é interno à circun fe rência ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 < r2
• P(x0; y0) é externo à circun fe rência ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 > r2.
Exemplo 1
Representar gra ficamente os pon tos que satisfa -
zem à inequação x2 + y2 ≤ 9.
Resolução
A equação x2 + y2 = 9 repre senta uma circunferên cia
de centro C(0; 0) e raio r = 3. Des sa forma, a inequa ção
x2 + y2 ≤ 9 representa os pon tos da circunferência e os
pon tos internos a esta, e sua representação gráfica é:
Exemplo 2
Representar gra ficamente os pon tos que satisfa -
zem à inequação (x – 3)2 + y2 > 4.
Resolução
A equação (x – 3)2 + y2 = 4 repre senta uma circun fe -
rên cia de centro C(3; 0) e raio r = 2. Dessa forma, a ine -
quação (x – 3)2 + y2 > 4 representa os pontos ex ternos a
essa cir cun fe rên cia, e sua repre sen ta ção grá fica é:
MÓDULO 27 Posição dos Pontos do Plano em Relação a uma Circunferência
C6_AB_MAT_TEO_2016_Rose 16/05/16 15:32 Página 118
1. Definição e Elementos
Seja um plano α, um ponto V ∉ α e um círculo γ
contido em α. Cha ma-se cone circular a reunião de
todos os segmentos de reta com uma extre midade em
V e a outra nos pon tos do círculo γ considerado.
No cone circular da figura, têm-se os seguintes
elementos:
Vértice: é o ponto V citado na definição.
Base: é o círculo γ citado na de fi nição.
Altura: é a distância (h) do vértice ao plano da base.
Geratrizes: são os segmen tos com uma
extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência
da base.
Raio da Base: é o raio do cír culo γ citado na
definição.
2. Cone Reto
Definição e elementos
Um cone circular é dito reto quando a projeção
ortogonal do vér tice sobre o plano da base é o centro da
base.
O cone circular reto é também chamado cone de
revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Na figura, temos:
VO = h é a altura do cone
OB = R é o raio da base
VB = g é a geratriz
g2 = h2 + R2
• Secção meridiana
É a intersecção do cone reto com um plano que
contém a reta VO
↔
(eixo de rotação).
A secção meridiana de um cone circular reto é um
triângulo isósceles, cuja área é dada por:
O triângulo isósceles VAB é uma secção meridiana
do cone circular reto da figura.
• Desenvolvimento das superfícies lateral e
total de um cone reto
A superfície lateral de um cone circular reto de raio
da base R e geratriz g é equivalente a um setor circular
de raio g, cujo arco tem comprimento 2 π R.
ASM = R . h
– 119
M
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Geometria Métrica FRENTE 4
MÓDULO 24 Cone Circular
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120 –
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A
 A
B
 
Assim, sendo Ab a área da base, Al a área lateral e At
a área total desse cone circular reto, temos:
A� = ⇔
At = A� + Ab ⇔
• Volume do cone
Todo cone é equivalente a uma pirâmide de base
equivalente e de mesma altura.
Assim,
ou
3. Cone Equilátero
Um cone circular reto é dito equi látero quando a sua
secção meri diana é um triângulo equilátero.
No cone equilátero da figura, tem-se AB = AV = BV. 
Assim, 
e
Ab = π R
2
A� = π R g
g . 2π R
–––––––––
2
At = π R (g + R)
Ab . h
V = –––––––
3
π R2 h
V = ––––––––
3
g = 2 R h = R���3
MÓDULO 25 Troncos
1. Secção Paralela à Base de uma Pirâmide
Quando interceptamos todas as arestas laterais da
pirâmide por um plano paralelo à base, que não con tém
esta, nem o vértice, obte mos uma secção poligonal, tal
que:
• As arestas laterais e a altura ficam divididas na
mesma razão. 
• A secção obtida e a base são polígonos seme -
lhantes.
• A razão entre as áreas da sec ção (As) e da base
(Ab) é igual ao quadrado da razão entre suas distân cias ao
vér tice.
• A razão entre os volumes das pirâmides
semelhantes VA’B’C’... e VABC ... é igual ao cubo da
razão entre suas alturas.
VA’ VB’ VC’ h
–––– = –––– = –––– = … = –––
VA VB VC H
As h2–––– = ––––
Ab H2
VVAB'C'... h3
––––––––– = ––––
VVABC... H3
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– 121
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• A “parte” (região) da pirâmide compreendida
entre a base e a cita da secção é denominada tron co de
pirâ mi de de bases para le las.
2. Cálculo do Volume de um Tronco de Pirâmide
de Bases Paralelas
Sendo AB e Ab as áreas das ba ses, H, a altura
(distância entre os planos das bases) e V, o volume de
um tronco de pirâmide de bases pa ra lelas, tem-se:
3. Tronco de Cone de Bases Paralelas
Seccionando-se um cone por um plano paralelo à
base dele, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e um
tron co de cone de bases para lelas.
Sendo R e r os raios das bases e h a altura do tronco
de cone de ba ses paralelas, tem-se que o seu volu me é
dado por:
e sua área lateral é dada por:
4. Sólidos Semelhantes
Em sólidos semelhantes, a razão entre as áreas é
igual ao quadrado da razão de semelhança, e a razão en -
tre os volumes é igual ao cubo da razão de se melhança.
Assim, se dois sólidos de áreas, respectivamente,
iguais a A1 e A2, e volumes, respectivamente, iguais a
V1 e V2 são semelhantes numa razão K, então:
e 
H
V = ––– (AB + Ab + �����������AB . Ab )3
π hVt = ––––– (R
2 + r2 + R r)
3
A� = π (R + r) g
A1–––– = K2
A2
V1–––– = K3
V2
MÓDULO 26 A Esfera e suas Partes
1. Superfície Esférica
É a superfície gerada pela revo lução completa de
uma semicircun ferência (ABA’) em torno de seu diâ -
metro (AA’), como mostra a figura.
A área de uma superfície esfé rica de raio R é dada
por:
2. Esfera
É o sólido limitado por uma su per fície esférica.
ASE = 4 π R
2
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122 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
O volume de uma esfera de raio
R é dado por:
3. Partes da Superfície Esférica
• Fuso esférico
• Zona esférica
• Calota esférica
4. Partes da Esfera
• Cunha esférica
• Setor esférico
• Segmento esférico de 
uma base
• Segmento esférico 
de duas bases
 π R
2 α°
Af = ––––––––90°
Azona = 2π R h
Acal = 2π R h
π R3 α° 
Vc = ––––––––
270° 
4
Vesf = ––– π R
3
3
2
V = –– π R2 h
3
π h
V = ––––– (3r2 + h2)
6
π h
V = –––– [3 (r1
2 + r2
2 ) + h2]
6
1. Esfera Inscrita no Cubo
r + r = a ⇔
2. Cubo Inscrito na Esfera
ar = ––– 
2
MÓDULO 27 Inscrição e Circunscrição de Sólidos
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– 123
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
(2R)2 = (a���2 )
2
+ a2 ⇔
3. Esfera Inscrita no Cilindro
e
4. Cilindro Inscrito na Esfera
5. Cilindro Inscrito no Cubo
e 
6. Cubo Inscrito no Cilindro
e7. Esfera Inscrita no Cone
a���3
R = ––––––
2 
r = R h = 2 . R
(2R)2 = (2r)2 + h2
aR = –––
2
h = a 
a���2
R = ––––––
2
h = a 
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124 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 A
B
 
No triângulo retângulo BCA, de acordo com o
Teorema de Pitágoras, tem-se:
Da semelhança dos triângulos retân gulos DOA e
BCA, resulta:
8. Cone Inscrito na Esfera
No triângulo retângulo MAO, de acordo com o
Teorema de Pitágoras, tem-se:
9. Esfera Inscrita Numa Pirâmide 
Regular de Base Quadrada
No triângulo retângulo AMV, de acordo com o Teo -
rema de Pitágoras, tem-se:
Da semelhança dos triângulos retân gulos POV e
AMV, resulta:
⇔
r h – r
––– = ––––––
R g
R2 = r2 + (h – R)2
� 2g2 = h2 + �––�2
r h – r
–––– = ––––––
�/2 g
2r h – r
––– = ––––––
� g
g2 = h2 + R2
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