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Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 1 Cálculo Vetorial Aula 5: Circunferências Prof. André Assumpção I. Definição Denomina-se por Circunferência o lugar geométrico formado por todos os pontos P = (x,y) de um plano, que mantenham a mesma distância de um ponto fixo C=(a,b), que será denominado por centro da circunferência. Essa distância entre qualquer ponto P e o ponto C é denominada por raio (R). R R P1 C=(a;b) P2 II. A Equação da Circunferência Considerando a definição apresentada acima, teremos que: .)()()()()()( 222222; 222 RbyaxRbyaxRbyaxRd CP Assim, para uma circunferência que possua centro em C = (1;2) e Raio R=3, sua equação será: .044209542 944123)2()1()()( 2222 22222222 yxyxyxyx yyxxyxRbyax Determinação do Raio e das Coordenadas do Centro de uma Circunferência A partir de sua equação geral poderemos deduzir os valores do Raio e das Coordenadas do Centro da Circunferência. Para uma circunferência de Raio R e Centro em C = (a;b), teremos o seguinte: .022 02222)()( 22222 2222222222222 Rbabyaxyx RbbyyaaxxRbbyyaaxxRbyax Vamos comparar o último resultado do desenvolvimento acima - 022 22222 Rbabyaxyx (1), com a seguinte equação de uma circunferência x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 (2). (1) x2 + y2 -2ax -2by a2+b2-R2 (2) x2 + y2 -2x -2y -2 Podemos observar que: -2a = -2 a = 1; -2b = -2 b = 1; a2+b2-R2 = -2 12+12-R2 = -2 - R2 = - 2 – 2 R2 = 4 R = .24 Portanto, a circunferência possui centro em C = (1;1) e Raio R = 2. Vejamos outro exemplo: A distância entre P1 e C será o Raio (R) da circunferência. A distância entre P1 e P2 medirá o dobro do Raio, sendo denominado por diâmetro da circunferência. Ou seja: dP1;C = R; dP1;P2 = 2R = diâmetro; Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 2 Cálculo Vetorial Aula 5: Circunferências Prof. André Assumpção Ex1.: Determine o raio R e as coordenadas do centro da circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 4y + 4 = 0. Teremos que -2a = 2 a = -1; -2b = -4 b = 2; a2+b2-R2 = 4 (-1)2+(2)2-R2 = 4 1 + 4 - R2 = 4 5 - R2 = 4 - R2 = -1 R = .11 Portanto, a circunferência possui centro em C = (-1;2) e raio R = 1. A partir do exposto acima, uma outra dedução importante poderá ser feita, o que nos dará uma condição para a existência de uma circunferência. Sabemos que, para uma circunferência de Centro C = (a;b) e Raio R, teremos 022 22222 Rbabyaxyx Vamos escrever a equação como x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, onde c = a2 + b2 – R2. Assim, teremos que cbaRcbaR 22222 . Portanto, para que exista a circunferência, o valor de a2+ b2 – c deverá ser positivo, ou seja, a2 + b2 – c > 0. Caso a2 + b2 – c = 0 teremos a equação de um ponto. III. Relação entre pontos e uma Circunferência Poderemos analisar a posição de um ponto em relação a uma circunferência, considerando as três situações mostradas a seguir. Dado um círculo de raio R e um ponto P=(xi;yi), este ponto poderá estar localizado no interior do círculo, poderá pertencer à circunferência ou poderá ser externo ao círculo. Para tanto, bastará verificar a distância entre o ponto P e o centro C do círculo, considerando as seguintes situações: Caso 1: dPC < R O ponto estará no interior do círculo; Caso 2: dPC = R O ponto pertencerá ä circunferência; Caso 2: dPC > R O ponto será externo ao círculo; P=(xi;yi) dPC<R R C=(a;b) Caso 1 Caso 2 Caso 3 Vejamos os seguintes exemplos: Ex2.: Determine a posição do ponto P=(1;3) em relação à circunferência de Centro em C = (-1;0) e raio R = 1. .11394)3()2()30()11( 2222 PCd Portanto, o ponto está localizado numa região externa ao círculo de centro em C = (-1; 0) e Raio R = 1. Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 3 Cálculo Vetorial Aula 5: Circunferências Prof. André Assumpção Ex3.: Determine a posição do ponto P=(1; 2) em relação à circunferência de Centro em C = (0;1) e raio R = 2. .2211)1()1()21()10( 2222 PCd Portanto, o ponto está localizado numa região interna do círculo de centro em C = (1; 2) e Raio R = 2. Ex4.: Determine a posição do ponto P=(0; 2) em relação à circunferência de Centro em C = (0;0) e raio R = 2. .2440)2()0()20()00( 2222 PCd Portanto, o ponto pertence à circunferência de centro em C = (0; 0) e Raio R = 2. IV. Posicionamento de uma reta em relação a uma circunferência Tal como foi feito na análise da posição de um ponto P em relação a uma circunferência, também poderemos analisar a posição de uma reta r: ax + by + c = 0 em relação a uma circunferência de centro C = (x1; y1) e raio R. Para tanto, deveremos analisar os casos descritos abaixo. Caso 1: Reta tangente à circunferência Caso 2: Reta secante à circunferência Caso 3: Reta externa à circunferência Neste caso, a distância entre o centro C e a reta r será igual ao raio R da circunferência. Ou seja, teremos dC;r = R. O ponto P será a única interseção entre a reta r e a circunferência. Neste caso, a distância entre o centro C e a reta r será menor que o raio R da circunferência. Ou seja, teremos dC;r < R. Os pontos P1 e P2 serão as interseções entre a reta r e a circunferência. Neste caso, a distância entre o centro C e a reta r será maior que o raio R da circunferência. Ou seja, teremos dC;r > R. Assim, não haverá interseção entre a reta r e a circunferência. Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 4 Cálculo Vetorial Aula 5: Circunferências Prof. André Assumpção Cabe lembrar que já trabalhamos com o cálculo da distância entre ponto e reta, que novamente será aplicado, agora, para a determinação da posição de uma reta em relação a uma circunferência. Vejamos o seguinte exemplo. Ex5.: Determine a posição da reta r: 2x + 3y – 5 = 0 em relação à circunferência de Centro em C = (0;0) e raio R = 2. A distância entre um ponto P=(x1;y1) e uma reta r: ax + by c = 0 é calculada por 22 11 Pr || ba cbyax d . Assim, considerando o centro da circunferência C = (0; 0) e a reta r: 2x + 3y – 5 = 0, teremos .. 39,1 13 135 13 5 32 |50.30.2| 22 cudCr Observe que a distância entre o centro da circunferência e a reta é menor que o raio da circunferência. Portanto, a reta é secante à circunferência. Vejamos outro exemplo. Ex6.: Determine a posição da reta r: 2x + 3y – 5 = 0 em relação à circunferência de Centro em C = (-1; 0) e raio R = 1. Considerando o centro da circunferência C = (-1; 0) e a reta r: 2x + 3y – 5 = 0, teremos .. 94,1 13 137 13 7 32 |50.31.2| 22 cudCr Como a distância entre o centro da circunferência e a reta r é maior que o raio (R = 1), concluímos que a reta é externa à circunferência. V. Interseção entre reta e circunferência Como visto anteriormente, podemos ter duas situações, na análise daposição de uma reta em relação a uma circunferência, em que teremos interseção entre esses dois objetos. Caso a reta seja tangente à circunferência, haverá um único ponto de interseção. Se a reta for secante à circunferência, teremos dois pontos de interseção. Para os dois casos, deveremos resolver um sistema de equações do tipo que será mostrado a seguir. S = 0 = c +y 2b -x 2a - y + x 0 222 22 111 cybxa Vejamos o seguinte exemplo. Ex7.: Determine a interseção, caso exista, entre a reta r: 2x + 3y – 5 = 0 e a circunferência de Centro em C = (0; 0) e raio R = 2. Primeiramente iremos montar a equação da circunferência. Assim, teremos a equação x2 + y2 = 4. Desta forma, teremos o seguinte sistema de equações: Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 5 Cálculo Vetorial Aula 5: Circunferências Prof. André Assumpção (2) 0 = 4 - y + x (1) 0532 22 yx De (1) teremos 3 25 x y . Substituindo em (2), vamos obter a equação quadrática 13y2 – 30y + 9 = 0, que nos dará as raízes y1 = 0,35 e y2 = 1,95. Substituindo esses valores em (1), teremos x1 = -0,43 e x2 = 1,97. Portanto, a reta r é secante à circunferência, com interseção nos pontos P1 = (-0,43; 0,35) e P2 = (1,97; 1,95). VI. Interseção entre duas circunferências Vamos considerar as circunferências C1: 0 = c +y 2b -x 2a - y + x 111 22 e C2: 0 = c +y 2b -x 2a - y + x 222 22 . Para essas duas circunferências poderemos ter as seguintes situações a considerar. São elas: Caso 1: Circunferências Externas Caso 2: Circunferências Internas Caso 3: Circunferências Tangentes Externas Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 será maior que a soma dos raios (R1+R2). Ou seja, dc1c2 > R1+R2. Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 será menor que a soma dos raios (R1+R2). Ou seja, dc1c2 < R1+R2. Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 será igual a soma dos raios (R1+R2). Ou seja, dc1c2 = R1+R2. Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 6 Cálculo Vetorial Aula 5: Circunferências Prof. André Assumpção Caso 4: Circunferências Tangentes Internas Caso 5: Circunferências Secantes Caso 6: Circunferências Concêntricas Para calcular a intersecção entre duas circunferências e definir em qual das situações elas se enquadram, deveremos resolver um sistema de equações do tipo S = 0 = c +y 2b -x 2a - y + x 0 = c +y 2b -x 2a - y + x 222 22 111 22 Vejamos o seguinte exemplo. Ex8.: Determine a interseção, caso exista, entre as circunferências C1:x2 + y2 - 2x – 3 = 0 e C2: x2 + y2 - 2x -8y + 13 = 0. Teremos que resolver o sistema (2) 0 = 13 +8y -2x - y + x (1) 0 = 3 -2x - y + x 22 22 Multiplicando a equação (1) por -1 e somando as duas equações, teremos: 20168 _________________________ (2) 0 = 13 +8y -2x - y + x (1) 0 = 3 2x y - x- 22 22 yy Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 será igual a diferença entre os raios (R2 –R1). Ou seja, dc1c2 = R2 – R1. Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 estará compreendida entre a diferença e a soma entre os raios R1 e R2. Ou seja, R2 – R1 < dc1c2 < R2 + R1. Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 será nula. Ou seja, dc1c2 = 0. Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 7 Cálculo Vetorial Aula 5: Circunferências Prof. André Assumpção Substituindo em qualquer das equações encontraremos x1 = x2 = 1. Portanto, as circunferências são tangentes externas, com interseção em P=(1; 2). Exercícios 1) Determine a equação da circunferência que tenha centro em C=(0;0) e passe pelo ponto P = (1; 2). 2) Determine a equação da circunferência que tenha centro em C=(-1; 2) e passe pelo ponto P = (0; 1). 3) A equação da circunferência com centro no ponto C= (2; 1) e que passa pelo ponto P= (0; 3). 4) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0. 5) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 + 2x = 0. 6) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. 7) Determine, caso exista, a interseção entre a circunferência 0114622 yxyx e a reta r: x – y + 1 = 0. 8) Determine, caso exista, a interseção entre a circunferência 014222 yxyx e a reta r: x – y + 1 = 0. 9) Determine a equação da reta tangente à circunferência 02910622 yxyx no ponto (2; - 3). 10) Determine, caso existam, as interseções entre as circunferências 0728 xe 01382 2222 yxyyxyx . 11) Determine, caso existam, as interseções entre as circunferências 0524 xe 0442 2222 yxyyxyx . 12) Determine a equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem e que passa pelo ponto ( 3, 4). 13) Determine a equação da reta tangente à circunferência 422 yx no ponto 2 ,2 . 14) Determine a equação da circunferência que passa pela interseção entre as circunferências 022 yxyx e x2 + y2 – 2x - y + 1 = 0 e pela origem do plano cartesiano. Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 8 Cálculo Vetorial Aula 5: Circunferências Prof. André Assumpção Gabarito: 1) x2+y2=5; 2) x2+y2 +2x – 4y + 3 = 0; 3) x2+y2 - 4x – 2y - 3 = 0; 4) C = (2; -3) e R = 5; 5) C = (-1; 0) e R = 1; 6) C = (1; -2) e R = 3; 7) P = (2; 3); 8) P1 = (-0,41; 0,59) e P2 = (2,41; 3,41); 9) x – 2y – 8 = 0; 10) P1 = (1; 2) e P2 = (3; 4); 11) P1 = (3,97; -1,49) e P2 = (-1,07; 0,19); 12) x2 + y2 – 25y/4 = 0; 13) 22 xy ; 14) x2 + y2 – x - y = 0; Até breve....
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