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Cálculo Vetorial - Circunferências

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Prof.: André Assumpção – http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 1 
 
Cálculo Vetorial 
Aula 5: Circunferências 
Prof. André Assumpção 
I. Definição 
 Denomina-se por Circunferência o lugar geométrico formado por todos os 
pontos P = (x,y) de um plano, que mantenham a mesma distância de um ponto fixo 
C=(a,b), que será denominado por centro da circunferência. Essa distância entre 
qualquer ponto P e o ponto C é denominada por raio (R). 
 
 
 
 R R 
 P1 C=(a;b) P2 
 
 
 
II. A Equação da Circunferência 
 
 Considerando a definição apresentada acima, teremos que: 
  .)()()()()()( 222222; 222 RbyaxRbyaxRbyaxRd CP 
 
 Assim, para uma circunferência que possua centro em C = (1;2) e Raio R=3, sua 
equação será: 
 
.044209542
944123)2()1()()(
2222
22222222


yxyxyxyx
yyxxyxRbyax 
 
Determinação do Raio e das Coordenadas do Centro de uma Circunferência 
 
 A partir de sua equação geral poderemos deduzir os valores do Raio e das 
Coordenadas do Centro da Circunferência. Para uma circunferência de Raio R e 
Centro em C = (a;b), teremos o seguinte: 
.022
02222)()(
22222
2222222222222


Rbabyaxyx
RbbyyaaxxRbbyyaaxxRbyax
 
 Vamos comparar o último resultado do desenvolvimento acima -
022 22222  Rbabyaxyx
(1), com a seguinte equação de uma circunferência 
x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 (2). 
 
(1) x2 + y2 -2ax -2by a2+b2-R2 
(2) x2 + y2 -2x -2y -2 
 
 Podemos observar que: 
-2a = -2  a = 1; -2b = -2  b = 1; a2+b2-R2 = -2  12+12-R2 = -2  - R2 = - 2 – 2  R2 = 4 
 R = 
.24 
 Portanto, a circunferência possui centro em C = (1;1) e Raio R = 2. 
Vejamos outro exemplo: 
A distância entre P1 e C será o Raio (R) da circunferência. A 
distância entre P1 e P2 medirá o dobro do Raio, sendo 
denominado por diâmetro da circunferência. Ou seja: 
dP1;C = R; 
dP1;P2 = 2R = diâmetro; 
 
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Cálculo Vetorial 
Aula 5: Circunferências 
Prof. André Assumpção 
Ex1.: Determine o raio R e as coordenadas do centro da circunferência de equação 
x2 + y2 + 2x – 4y + 4 = 0. 
Teremos que -2a = 2  a = -1; -2b = -4  b = 2; a2+b2-R2 = 4  (-1)2+(2)2-R2 = 4  
1 + 4 - R2 = 4  5 - R2 = 4 - R2 = -1  R = 
.11 
 Portanto, a circunferência possui 
centro em C = (-1;2) e raio R = 1. 
 
 A partir do exposto acima, uma outra dedução importante poderá ser feita, o 
que nos dará uma condição para a existência de uma circunferência. 
 Sabemos que, para uma circunferência de Centro C = (a;b) e Raio R, teremos 
 
022 22222  Rbabyaxyx
 
 
 Vamos escrever a equação como x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, onde c = a2 + b2 – R2. 
 Assim, teremos que 
cbaRcbaR  22222
. Portanto, para que exista 
a circunferência, o valor de a2+ b2 – c deverá ser positivo, ou seja, a2 + b2 – c > 0. Caso 
a2 + b2 – c = 0 teremos a equação de um ponto. 
 
III. Relação entre pontos e uma Circunferência 
 
 Poderemos analisar a posição de um ponto em relação a uma circunferência, 
considerando as três situações mostradas a seguir. 
 Dado um círculo de raio R e um ponto P=(xi;yi), este ponto poderá estar 
localizado no interior do círculo, poderá pertencer à circunferência ou poderá ser 
externo ao círculo. Para tanto, bastará verificar a distância entre o ponto P e o centro 
C do círculo, considerando as seguintes situações: 
 Caso 1: dPC < R  O ponto estará no interior do círculo; 
 Caso 2: dPC = R  O ponto pertencerá ä circunferência; 
 Caso 2: dPC > R  O ponto será externo ao círculo; 
 
 
 P=(xi;yi) 
 dPC<R 
 R 
 C=(a;b) 
 
 
 
 Caso 1 Caso 2 Caso 3 
 Vejamos os seguintes exemplos: 
Ex2.: Determine a posição do ponto P=(1;3) em relação à circunferência de Centro em 
C = (-1;0) e raio R = 1. 
.11394)3()2()30()11( 2222 PCd
 
 Portanto, o ponto está localizado numa região externa ao círculo de centro em C 
= (-1; 0) e Raio R = 1. 
 
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Aula 5: Circunferências 
Prof. André Assumpção 
Ex3.: Determine a posição do ponto P=(1; 2) em relação à circunferência de Centro em 
C = (0;1) e raio R = 2. 
.2211)1()1()21()10( 2222 PCd
 
 Portanto, o ponto está localizado numa região interna do círculo de centro em C 
= (1; 2) e Raio R = 2. 
 
Ex4.: Determine a posição do ponto P=(0; 2) em relação à circunferência de Centro em 
C = (0;0) e raio R = 2. 
.2440)2()0()20()00( 2222 PCd
 
 Portanto, o ponto pertence à circunferência de centro em C = (0; 0) e Raio R = 2. 
 
IV. Posicionamento de uma reta em relação a uma circunferência 
 
 Tal como foi feito na análise da posição de um ponto P em relação a uma 
circunferência, também poderemos analisar a posição de uma reta r: ax + by + c = 0 
em relação a uma circunferência de centro C = (x1; y1) e raio R. Para tanto, deveremos 
analisar os casos descritos abaixo. 
Caso 1: Reta tangente à circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: Reta secante à circunferência 
 
Caso 3: Reta externa à circunferência 
 
 
Neste caso, a distância entre o centro C e a 
reta r será igual ao raio R da circunferência. 
Ou seja, teremos dC;r = R. 
O ponto P será a única interseção entre a reta 
r e a circunferência. 
Neste caso, a distância entre o centro C e a 
reta r será menor que o raio R da 
circunferência. Ou seja, teremos dC;r < R. 
Os pontos P1 e P2 serão as interseções entre a 
reta r e a circunferência. 
Neste caso, a distância entre o centro C e a 
reta r será maior que o raio R da 
circunferência. Ou seja, teremos dC;r > R. 
Assim, não haverá interseção entre a reta r e a 
circunferência. 
 
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Aula 5: Circunferências 
Prof. André Assumpção 
 Cabe lembrar que já trabalhamos com o cálculo da distância entre ponto e reta, 
que novamente será aplicado, agora, para a determinação da posição de uma reta em 
relação a uma circunferência. 
 Vejamos o seguinte exemplo. 
 
Ex5.: Determine a posição da reta r: 2x + 3y – 5 = 0 em relação à circunferência de 
Centro em C = (0;0) e raio R = 2. 
 A distância entre um ponto P=(x1;y1) e uma reta r: ax + by c = 0 é calculada por 
 
22
11
Pr
||
ba
cbyax
d



. Assim, considerando o centro da circunferência C = (0; 0) e a reta 
r: 2x + 3y – 5 = 0, teremos 
.. 39,1
13
135
13
5
32
|50.30.2|
22
cudCr 



 
 Observe que a distância entre o centro da circunferência e a reta é menor que o 
raio da circunferência. Portanto, a reta é secante à circunferência. 
 Vejamos outro exemplo. 
Ex6.: Determine a posição da reta r: 2x + 3y – 5 = 0 em relação à circunferência de 
Centro em C = (-1; 0) e raio R = 1. 
 Considerando o centro da circunferência C = (-1; 0) e a reta r: 2x + 3y – 5 = 0, 
teremos 
.. 94,1
13
137
13
7
32
|50.31.2|
22
cudCr 



 
 Como a distância entre o centro da circunferência e a reta r é maior que o raio (R 
= 1), concluímos que a reta é externa à circunferência. 
 
V. Interseção entre reta e circunferência 
 
 Como visto anteriormente, podemos ter duas situações, na análise daposição de 
uma reta em relação a uma circunferência, em que teremos interseção entre esses 
dois objetos. Caso a reta seja tangente à circunferência, haverá um único ponto de 
interseção. Se a reta for secante à circunferência, teremos dois pontos de interseção. 
 Para os dois casos, deveremos resolver um sistema de equações do tipo que será 
mostrado a seguir. 
S = 


 
0 = c +y 2b -x 2a - y + x
 0
222
22
111 cybxa
 
 
 Vejamos o seguinte exemplo. 
Ex7.: Determine a interseção, caso exista, entre a reta r: 2x + 3y – 5 = 0 e a 
circunferência de Centro em C = (0; 0) e raio R = 2. 
Primeiramente iremos montar a equação da circunferência. Assim, teremos a 
equação x2 + y2 = 4. Desta forma, teremos o seguinte sistema de equações: 
 
 
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

 
 (2) 0 = 4 - y + x
 (1) 0532
22
yx
De (1) teremos 
3
25 x
y


. Substituindo em (2), vamos 
obter a equação quadrática 13y2 – 30y + 9 = 0, que nos dará as raízes y1 = 0,35 e y2 = 
1,95. Substituindo esses valores em (1), teremos x1 = -0,43 e x2 = 1,97. 
 Portanto, a reta r é secante à circunferência, com interseção nos pontos P1 = (-0,43; 
0,35) e P2 = (1,97; 1,95). 
 
VI. Interseção entre duas circunferências 
 
 Vamos considerar as circunferências C1:
0 = c +y 2b -x 2a - y + x 111
22
 e 
C2: 
0 = c +y 2b -x 2a - y + x 222
22
. 
 Para essas duas circunferências poderemos ter as seguintes situações a 
considerar. São elas: 
 
Caso 1: Circunferências Externas 
 
Caso 2: Circunferências Internas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 3: Circunferências Tangentes Externas 
 
 
 
Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 
será maior que a soma dos raios (R1+R2). Ou 
seja, dc1c2 > R1+R2. 
Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 
será menor que a soma dos raios (R1+R2). Ou 
seja, dc1c2 < R1+R2. 
Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 
será igual a soma dos raios (R1+R2). Ou seja, 
dc1c2 = R1+R2. 
 
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Prof. André Assumpção 
Caso 4: Circunferências Tangentes Internas 
 
Caso 5: Circunferências Secantes 
 
Caso 6: Circunferências Concêntricas 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcular a intersecção entre duas circunferências e definir em qual das 
situações elas se enquadram, deveremos resolver um sistema de equações do tipo 
 
S = 



 0 = c +y 2b -x 2a - y + x
 0 = c +y 2b -x 2a - y + x
222
22
111
22 
 
 Vejamos o seguinte exemplo. 
 
Ex8.: Determine a interseção, caso exista, entre as circunferências 
C1:x2 + y2 - 2x – 3 = 0 e C2: x2 + y2 - 2x -8y + 13 = 0. 
Teremos que resolver o sistema 



 (2) 0 = 13 +8y -2x - y + x
 (1) 0 = 3 -2x - y + x
22
22 
Multiplicando a equação (1) por -1 e somando as duas equações, teremos: 
20168
_________________________
 (2) 0 = 13 +8y -2x - y + x
 (1) 0 = 3 2x y - x-
22
22



 
yy
 
Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 
será igual a diferença entre os raios (R2 –R1). 
Ou seja, dc1c2 = R2 – R1. 
Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 
estará compreendida entre a diferença e a 
soma entre os raios R1 e R2. Ou seja, 
R2 – R1 < dc1c2 < R2 + R1. 
Neste caso, a distância entre os centros C1 e C2 
será nula. Ou seja, dc1c2 = 0. 
 
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Cálculo Vetorial 
Aula 5: Circunferências 
Prof. André Assumpção 
 Substituindo em qualquer das equações encontraremos x1 = x2 = 1. Portanto, as 
circunferências são tangentes externas, com interseção em P=(1; 2). 
 
Exercícios 
1) Determine a equação da circunferência que tenha centro em C=(0;0) e passe pelo 
ponto P = (1; 2). 
2) Determine a equação da circunferência que tenha centro em C=(-1; 2) e passe pelo 
ponto P = (0; 1). 
3) A equação da circunferência com centro no ponto C= (2; 1) e que passa pelo ponto 
P= (0; 3). 
4) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 
– 4x + 6y – 12 = 0. 
5) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 
+ 2x = 0. 
6) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 
– 2x + 4y – 4 = 0. 
7) Determine, caso exista, a interseção entre a circunferência 
0114622  yxyx
 
e a reta r: x – y + 1 = 0. 
8) Determine, caso exista, a interseção entre a circunferência 
014222  yxyx
 e 
a reta r: x – y + 1 = 0. 
9) Determine a equação da reta tangente à circunferência 
02910622  yxyx
 no 
ponto (2; - 3). 
10) Determine, caso existam, as interseções entre as circunferências 
0728 xe 01382 2222  yxyyxyx
 . 
11) Determine, caso existam, as interseções entre as circunferências 
0524 xe 0442 2222  yxyyxyx
. 
12) Determine a equação da circunferência tangente ao eixo dos x na origem e que 
passa pelo ponto ( 3, 4). 
13) Determine a equação da reta tangente à circunferência 
422  yx
 no ponto 
 2 ,2
. 
14) Determine a equação da circunferência que passa pela interseção entre as 
circunferências 
022  yxyx
 e x2 + y2 – 2x - y + 1 = 0 e pela origem do plano 
cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito: 
1) x2+y2=5; 
2) x2+y2 +2x – 4y + 3 = 0; 
3) x2+y2 - 4x – 2y - 3 = 0; 
4) C = (2; -3) e R = 5; 
5) C = (-1; 0) e R = 1; 
6) C = (1; -2) e R = 3; 
7) P = (2; 3); 
8) P1 = (-0,41; 0,59) e P2 = (2,41; 3,41); 
9) x – 2y – 8 = 0; 
10) P1 = (1; 2) e P2 = (3; 4); 
11) P1 = (3,97; -1,49) e P2 = (-1,07; 0,19); 
12) x2 + y2 – 25y/4 = 0; 
13) 
22 xy
; 
14) x2 + y2 – x - y = 0; 
 
 
 
 
Até breve....

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