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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Campus Prof. Jose´ Alo´ısio de Campos Vetores e geometria anal´ıtica 3a. LISTA DE EXERCI´CIO 1. Determinar as equac¸o˜es reduzidas, com varia´vel independente x, da reta que passa pelo ponto A = (4, 0,−3) e tem direc¸a˜o do vetor −→v = 2−→i + 4−→j + 5−→k 2. Determine o valor de m e n para o ponto P = (3,m, n) pertenc¸a a reta r: x=1-2t; y= -3-t; z=-4+t. 3. Determine as equac¸o˜es da seguintes retas: a) reta que passa por A(1,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x; b) reta que passa por B(3, 2, 1) e e´ perpendicular ao plano xz; c) reta que passa por A(2, 3, 4) e e´ orotogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y; d) reta que passa por A(4,−1, 2) e tem a direc¸a˜o do vetor ~i−~j; 4. Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas: a) (resposta:−2) { x = −3t y = 3 + t z = 4 e { x+5 6 = y−1 m z = 6 b) (resposta:−52 ) { x = 2− 3t y = 3 z = mt e { x−4 6 = z−1 5 y = 7 5. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas: a) (resposta:4) { y = 2x+ 13 z = 3x− 1 e x−1 2 = y −1 = z m ; b) (resposta:−7) { x = −1 y = 3 e { y = 4x−m z = x 6. Dadas as retas r: { y−3 2 = z+1 −2 x = 2 ; s: { y = 2x z = x− 3 e h: { x = 3 + t y = 1− 3t z = t , determinar: a) (resposta:(2, 4,−1)) O ponto de intersec¸a˜o de s e h; b) (resposta:cos θ = √ 3 6 ) O aˆngulo entre r e s. 7. (resposta:( 43 , 1, 0)) Em que ponto a reta que passa por A(2, 3, 4) e B(1, 0,−2) intercepta o plano xy? 8. Sejam as retas r : { x = 2 + 3t y = 4 + 5t z = mt e s : { y = 2x+ 1 z = x2 − 32 a) (resposta:m = 2) Calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes; b) (resposta:(−1,−1,−2)) Determinar, para o valor de m, o ponto de intersec¸a˜o de r e s. 1 9. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(1, 0,−2), B(2,−1,−6) e C(−4, 5, 2). Estabelecer as equac¸o˜es pa- rame´tricas da reta suporte da mediana do triaˆngulo ABC relativa ao lado BC. 10. Dados A = (0, 1) e B = (m, 0), determinar os pontos P = (x, y) da reta AB situados a distaˆncia 1 da origem. 11. Determine todos os pontos da reta r : x−32 = y+1 −1 = z −2 que teˆm abcissa 5. 12. Represente graficamente a reta r : x = −1 + t; y = 3− t; z = 2t. 13. Determine o valor de n para que seja de 30o o aˆngulo entre as retas r : x−24 = y+4 5 = z 3 , s : y = nx+ 5; z = 2x− 2 14. Ache o valor de m para que sejam coplanares as retas r : y = 2x+3; z = 3x−1, s : x−12 = y−1 = zm . 15. Estabelec¸a as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto de intersec¸a˜o das retas r : x− 2 = y + 1 2 = z 3 , s : x = 1− y; z = 2 + 2y e e´, ao mesmo tempo, ortogonal a r e a s. 16. Ache a equac¸a˜o da reta paralela ao plano pi : 2x − y + 3z + 1 = 0 e perpendicular a reta s : z = 2y + 1, x = −y + 3 17. Ache o aˆngulo Aˆ do triaˆngulo formado pelos pontos A = (0, 0, 1), B = (5, 2, 0), C = (3, 0, 2). 18. Encontre as constantes m,n, p e q para que o ponto I = (0, 1, 2) seja o ponto de intersec¸a˜o das retas r : x = 3t+ 1, y = −t+m, z = 5t+ n r : x− 3 p = y 5 = z − 1 q 19. As retas y = ax+ b e y = a′x+ b′ sa˜o perpendiculares e conte´m o ponto (x0, y0). Conhecendo a e b, determine a′ e b′. 20. Sejam A = (1, 2) e B = (−3,−4). Qual e´ o ponto de abcissa 5 sobre a reta perpendicular a AB passando pelo ponto C = (5, 6)?. 21. Ache a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto A = (6, 0,−2) e e´ paralelo aos vetores 3−→i e −2−→j + 5−→k . 22. Considere o plano pi : 4x+ 6y + 3z − 12 = 0. a) Ache as intersec¸o˜es desse plano com os eixos coordenados. Esboc¸e o plano. b) Ache a equac¸a˜o da reta suporte da mediana do triaˆngulo ABC, formado pelos pontos intersec¸a˜o encontrados no item anterior, relativa ao lado AB. c) Ache a equac¸a˜o do plano pi na forma parame´trica. d) Encontre o aˆngulo do plano pi com o plano coordenado Y OZ. 23. Considere o plano pi : 5x−y+2z+1 = 0 e as retas r : x = 3z+1 y = −z+2; s : x− 1−1 = y = z − 3 n . a) Ache o valor de n para que o aˆngulo entre as retas r e s seja de 300. b) Ache o valor de n para que a reta s na˜o intercepte o plano pi. c) Ache a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r e e´ ortogonal ao plano pi. 2 24. Determine os pontos da reta r : x = −z + 1, y = 2z − 1 que distam do plano pi : x+ y − 2z + 3 = 0√ 11 6 . 25. Considere o paralelep´ıpedo localizado com um de seus ve´rtices na origem e de dimenso˜es 3 de lar- gura, 4 de comprimento e 5 de altura. Determine: a) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a face AFGB. b) Determine a equac¸a˜o da reta que conte´m o segmento AC. c) Determine a equac¸a˜o da reta que conte´m o segmento ED. d) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a diagonal COFA do paralelep´ıpedo. (Denomine os ve´rtices na ordem que voceˆ quiser.) 26. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m pi1 ∩ pi2 e e´ perpendicular a pi3, sendo pi1 : x− y + z + 1 = 0, pi2 : x+ y − z − 1 = 0, pi3 : x+ y + 2z − 2 = 0. 27. Calcule a distaˆncia entre as retas r : x = 0 y = z s : y = 3 z = 2x 28. Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t. r : x− 1 = 2y = z, s : x = y = 0, t : x− 2 = z = 0 3
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