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Lista de Exercícios - 03

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
Campus Prof. Jose´ Alo´ısio de Campos
Vetores e geometria anal´ıtica
3a. LISTA DE EXERCI´CIO
1. Determinar as equac¸o˜es reduzidas, com varia´vel independente x, da reta que passa pelo ponto
A = (4, 0,−3) e tem direc¸a˜o do vetor −→v = 2−→i + 4−→j + 5−→k
2. Determine o valor de m e n para o ponto P = (3,m, n) pertenc¸a a reta r: x=1-2t; y= -3-t; z=-4+t.
3. Determine as equac¸o˜es da seguintes retas:
a) reta que passa por A(1,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x;
b) reta que passa por B(3, 2, 1) e e´ perpendicular ao plano xz;
c) reta que passa por A(2, 3, 4) e e´ orotogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
d) reta que passa por A(4,−1, 2) e tem a direc¸a˜o do vetor ~i−~j;
4. Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
a) (resposta:−2)
{ x = −3t
y = 3 + t
z = 4
e
{
x+5
6 =
y−1
m
z = 6
b) (resposta:−52 )
{
x = 2− 3t
y = 3
z = mt
e
{
x−4
6 =
z−1
5
y = 7
5. Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
a) (resposta:4)
{
y = 2x+ 13
z = 3x− 1 e
x−1
2 =
y
−1 =
z
m ;
b) (resposta:−7)
{
x = −1
y = 3
e
{
y = 4x−m
z = x
6. Dadas as retas r:
{
y−3
2 =
z+1
−2
x = 2
; s:
{
y = 2x
z = x− 3 e h:
{ x = 3 + t
y = 1− 3t
z = t
, determinar:
a) (resposta:(2, 4,−1)) O ponto de intersec¸a˜o de s e h;
b) (resposta:cos θ =
√
3
6 ) O aˆngulo entre r e s.
7. (resposta:( 43 , 1, 0)) Em que ponto a reta que passa por A(2, 3, 4) e B(1, 0,−2) intercepta o plano
xy?
8. Sejam as retas r :
{ x = 2 + 3t
y = 4 + 5t
z = mt
e s :
{
y = 2x+ 1
z = x2 − 32
a) (resposta:m = 2) Calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes;
b) (resposta:(−1,−1,−2)) Determinar, para o valor de m, o ponto de intersec¸a˜o de r e s.
1
9. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(1, 0,−2), B(2,−1,−6) e C(−4, 5, 2). Estabelecer as equac¸o˜es pa-
rame´tricas da reta suporte da mediana do triaˆngulo ABC relativa ao lado BC.
10. Dados A = (0, 1) e B = (m, 0), determinar os pontos P = (x, y) da reta AB situados a distaˆncia 1
da origem.
11. Determine todos os pontos da reta r : x−32 =
y+1
−1 =
z
−2 que teˆm abcissa 5.
12. Represente graficamente a reta r : x = −1 + t; y = 3− t; z = 2t.
13. Determine o valor de n para que seja de 30o o aˆngulo entre as retas
r : x−24 =
y+4
5 =
z
3 , s : y = nx+ 5; z = 2x− 2
14. Ache o valor de m para que sejam coplanares as retas r : y = 2x+3; z = 3x−1, s : x−12 = y−1 = zm .
15. Estabelec¸a as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto de intersec¸a˜o das retas
r : x− 2 = y + 1
2
=
z
3
, s : x = 1− y; z = 2 + 2y
e e´, ao mesmo tempo, ortogonal a r e a s.
16. Ache a equac¸a˜o da reta paralela ao plano pi : 2x − y + 3z + 1 = 0 e perpendicular a reta
s : z = 2y + 1, x = −y + 3
17. Ache o aˆngulo Aˆ do triaˆngulo formado pelos pontos A = (0, 0, 1), B = (5, 2, 0), C = (3, 0, 2).
18. Encontre as constantes m,n, p e q para que o ponto I = (0, 1, 2) seja o ponto de intersec¸a˜o das retas
r : x = 3t+ 1, y = −t+m, z = 5t+ n r : x− 3
p
=
y
5
=
z − 1
q
19. As retas y = ax+ b e y = a′x+ b′ sa˜o perpendiculares e conte´m o ponto (x0, y0). Conhecendo a e
b, determine a′ e b′.
20. Sejam A = (1, 2) e B = (−3,−4). Qual e´ o ponto de abcissa 5 sobre a reta perpendicular a AB
passando pelo ponto C = (5, 6)?.
21. Ache a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto A = (6, 0,−2) e e´ paralelo aos vetores 3−→i e
−2−→j + 5−→k .
22. Considere o plano pi : 4x+ 6y + 3z − 12 = 0.
a) Ache as intersec¸o˜es desse plano com os eixos coordenados. Esboc¸e o plano.
b) Ache a equac¸a˜o da reta suporte da mediana do triaˆngulo ABC, formado pelos pontos intersec¸a˜o
encontrados no item anterior, relativa ao lado AB.
c) Ache a equac¸a˜o do plano pi na forma parame´trica.
d) Encontre o aˆngulo do plano pi com o plano coordenado Y OZ.
23. Considere o plano pi : 5x−y+2z+1 = 0 e as retas r : x = 3z+1 y = −z+2; s : x− 1−1 = y =
z − 3
n
.
a) Ache o valor de n para que o aˆngulo entre as retas r e s seja de 300.
b) Ache o valor de n para que a reta s na˜o intercepte o plano pi.
c) Ache a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r e e´ ortogonal ao plano pi.
2
24. Determine os pontos da reta r : x = −z + 1, y = 2z − 1 que distam do plano pi : x+ y − 2z + 3 = 0√
11
6
.
25. Considere o paralelep´ıpedo localizado com um de seus ve´rtices na origem e de dimenso˜es 3 de lar-
gura, 4 de comprimento e 5 de altura. Determine:
a) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a face AFGB.
b) Determine a equac¸a˜o da reta que conte´m o segmento AC.
c) Determine a equac¸a˜o da reta que conte´m o segmento ED.
d) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m a diagonal COFA do paralelep´ıpedo. (Denomine os
ve´rtices na ordem que voceˆ quiser.)
26. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m pi1 ∩ pi2 e e´ perpendicular a pi3, sendo
pi1 : x− y + z + 1 = 0, pi2 : x+ y − z − 1 = 0, pi3 : x+ y + 2z − 2 = 0.
27. Calcule a distaˆncia entre as retas
r : x = 0 y = z
s : y = 3 z = 2x
28. Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t.
r : x− 1 = 2y = z,
s : x = y = 0, t : x− 2 = z = 0
3

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