Aula3-E.descritiva (posição)

Prévia do material em texto

©E.	
  Novaes	
   1	
  
Universidade Federal de Goiás 
Escola de Agronomia e Engenharia de Alimentos 
Engenharia Florestal 
Disciplina: Estatística e Experimentação Florestal 
Professor: Evandro Novaes 
Estatística Descritiva – medidas de posição 
Capítulo 2 
©E. Novaes 
Aula	
  de	
  hoje	
  
•  Esta3s4ca	
  Descri4va	
  Univariada	
  
– Medidas	
  de	
  posição	
  
– Medidas	
  de	
  dispersão	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   2	
  
Esta3s4ca	
  –	
  um	
  outro	
  conceito	
  
•  As	
  “esta3s4cas”	
  são	
  medidas	
  que	
  representam	
  propriedades	
  
específicas	
  das	
  amostras;	
  
–  Medidas	
  de	
  posição	
  (tendência	
  central)	
  
–  Medidas	
  de	
  dispersão	
  (variação)	
  
•  São	
  es4madas	
  através	
  de	
  funções	
  (fórmulas	
  matemá4cas)	
  
que	
  são	
  aplicados	
  as	
  observações	
  amostrais;	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Resumo	
  das	
  Esta3s4cas	
  que	
  veremos	
  
Medidas	
  de	
  
Posição	
  
Dispersão	
  
-­‐ 	
  Moda	
  
-­‐ 	
  Média	
  
-­‐ 	
  Mediana	
  
-­‐ 	
  Percen4l	
  
-­‐ 	
  Amplitude	
  total	
  
-­‐ 	
  Variância	
  
-­‐ 	
  Desvio-­‐padrão	
  
-­‐ 	
  Coeficiente	
  de	
  variação	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   3	
  
Medidas	
  de	
  posição	
  
ou	
  tendência	
  Central	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Moda	
  
•  É	
  a	
  observação	
  que	
  ocorre	
  com	
  maior	
  frequência	
  em	
  
um	
  conjunto	
  de	
  dados	
  
Mo	
  =	
  “sobreviventes”	
  
0%	
  
20%	
  
40%	
  
60%	
  
80%	
  
100%	
  
sobreviventes	
   mortos	
  
freq.	
  rela)va	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   4	
  
Moda	
  
Mo	
  =	
  “Regular”	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Moda	
  
Dados	
  Quan)ta)vos	
  Con4nuos	
  
	
  -­‐	
  valor	
  central	
  da	
  classe	
  de	
  maior	
  freq.	
  -­‐	
  
Mo	
  =	
  36	
  m3/ha.ano	
  
Produtividade do E. urophylla 
37.64 27.68 29.64 45.96 
37.53 32.42 30.01 30.80 
35.57 31.33 28.31 29.27 
25.73 31.81 27.08 42.11 
34.51 29.14 26.02 35.23 
29.18 24.69 31.00 36.03 
27.31 33.54 30.65 34.60 
24.42 26.86 35.01 35.13 
25.98 23.78 34.81 26.53 
29.96 33.87 37.02 34.71 
37.33 33.53 36.20 34.80 
39.08 32.63 33.33 35.12 
24.72 29.90 36.46 36.86 
28.76 39.49 33.51 28.72 
35.51 38.54 41.41 38.07 
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   5	
  
Média	
  ari4mé4ca	
  
•  A	
  média	
  de	
  um	
  conjunto	
  de	
  dados	
  
quan4ta4vas	
  é	
  a	
  soma	
  das	
  medidas	
  dividido	
  
pelo	
  número	
  total	
  de	
  observações.	
  
€ 
y =
yi
i=1
n
∑
n
©E.	
  Novaes	
  	
  
Média	
  
€ 
y = 37.64 + 37.53+ 35.57 + ....+ 38.0760
€ 
y = 32.61
Produtividade do E. urophylla 
37.64 27.68 29.64 45.96 
37.53 32.42 30.01 30.80 
35.57 31.33 28.31 29.27 
25.73 31.81 27.08 42.11 
34.51 29.14 26.02 35.23 
29.18 24.69 31.00 36.03 
27.31 33.54 30.65 34.60 
24.42 26.86 35.01 35.13 
25.98 23.78 34.81 26.53 
29.96 33.87 37.02 34.71 
37.33 33.53 36.20 34.80 
39.08 32.63 33.33 35.12 
24.72 29.90 36.46 36.86 
28.76 39.49 33.51 28.72 
35.51 38.54 41.41 38.07 
m3/ha.ano	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   6	
  
Média	
  
€ 
y = 32,61
€ 
y = 41,49
Produ4vidade	
  em	
  m3	
  de	
  madeira/haŸano	
  de	
  duas	
  espécies	
  de	
  Eucalyptus.	
  
E. urophylla E. grandis 
37.64 27.68 29.64 45.96 34.03 45.47 42.03 39.54 
37.53 32.42 30.01 30.80 53.53 44.56 40.70 42.92 
35.57 31.33 28.31 29.27 42.89 30.54 53.50 35.42 
25.73 31.81 27.08 42.11 44.39 50.47 45.01 36.89 
34.51 29.14 26.02 35.23 41.31 39.49 45.12 33.44 
29.18 24.69 31.00 36.03 33.69 35.46 34.19 44.80 
27.31 33.54 30.65 34.60 43.52 31.54 41.20 44.38 
24.42 26.86 35.01 35.13 38.70 48.83 41.62 39.97 
25.98 23.78 34.81 26.53 42.21 36.54 42.12 47.41 
29.96 33.87 37.02 34.71 51.27 38.77 50.26 42.21 
37.33 33.53 36.20 34.80 42.89 39.68 39.11 39.35 
39.08 32.63 33.33 35.12 48.63 40.75 36.80 48.77 
24.72 29.90 36.46 36.86 38.98 35.47 46.36 37.94 
28.76 39.49 33.51 28.72 37.58 41.76 38.28 42.48 
35.51 38.54 41.41 38.07 36.76 41.70 40.67 45.56 
©E.	
  Novaes	
  	
  
Média	
  Ponderada	
  
•  Quando	
  os	
  resultados	
  observados	
  têm	
  pesos	
  
diferentes,	
  deve-­‐se	
  u4lizar	
  a	
  média	
  
ponderada.	
  
•  Exemplo:	
  média	
  final	
  de	
  Esta3s4ca	
  
– Listas	
  de	
  Exercícios	
  –	
  peso	
  30%	
  
– Provas	
  –	
  peso	
  70%	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   7	
  
Média	
  Ponderada	
  
€ 
y p =
piyi
i=1
n
∑
pi
i=1
n
∑
©E.	
  Novaes	
  	
  
Média	
  Ponderada	
  
•  Exemplo	
  média	
  final	
  esta3s4ca	
  
– Gregório	
  
•  Listas	
  =	
  8	
  
•  Prova	
  =	
  4	
  
– Gertrudes	
  
•  Listas	
  =	
  7	
  
•  Prova	
  =	
  5	
  
€ 
y Gregório =
(8 × 30) + (4 × 70)
100 = 5,20
€ 
y Gertrudes =
(7 × 0,3) + (5 × 0,7)
1 = 5,60
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   8	
  
Problema	
  da	
  média	
  –	
  “outliers”	
  
Número	
  de	
  ramos	
  laterais	
  em	
  árvores	
  de	
  Ipê-­‐roxo	
  
0	
   0	
   1	
   1	
   1	
   2	
   2	
   2	
   2	
   2	
   3	
   3	
   3	
   22	
  
Número	
  de	
  ramos	
  laterais	
  em	
  árvores	
  de	
  Ipê-­‐roxo	
  
0	
   0	
   1	
   1	
   1	
   2	
   2	
   2	
   2	
   2	
   3	
   3	
   3	
  
€ 
y =1,69
€ 
y = 3,14
(dados	
  extremos)	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Mediana	
  
•  A	
  mediana	
  de	
  dados	
  quan4ta4vos	
  é	
  o	
  valor	
  
central	
  ob4do	
  quando	
  as	
  medidas	
  estão	
  em	
  
ordem	
  crescente	
  (ou	
  decrescente);	
  
Mediana	
  
50%	
   50%	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   9	
  
Slides	
  gen4lmente	
  cedido	
  por	
  Prof.	
  Alexandre	
  Coelho	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Slides	
  gen4lmente	
  cedido	
  por	
  Prof.	
  Alexandre	
  Coelho	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   10	
  
Obter	
  a	
  mediana	
  
Produ)vidade	
  de	
  13	
  talhões	
  plantados	
  com	
  o	
  mesmo	
  clone	
  de	
  Eucalyptus	
  
32,1	
   28,3	
   25,7	
   27,2	
   28,1	
   29,5	
   26,4	
   27,8	
   30,5	
   31,0	
   28,9	
   24,1	
   29,0	
  
Produ)vidade	
  de	
  13	
  talhões	
  plantados	
  com	
  o	
  mesmo	
  clone	
  de	
  Eucalyptus	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,0	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
1º	
  Passo:	
  ordenar	
  os	
  dados	
  
€ 
md = 28,3
6	
  observações	
   6	
  observações	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Produ)vidade	
  de	
  12	
  talhões	
  plantados	
  com	
  o	
  mesmo	
  clone	
  de	
  Eucalyptus	
  
32,1	
   28,3	
   25,7	
   27,2	
   28,1	
   29,5	
   26,4	
   27,8	
   30,5	
   31,0	
   28,9	
   24,1	
  
Produ)vidade	
  de	
  13	
  talhões	
  plantados	
  com	
  o	
  mesmo	
  clone	
  de	
  Eucalyptus	
  
32,1	
   28,3	
   25,7	
   27,2	
   28,1	
   29,5	
   26,4	
   27,8	
   30,5	
   31,0	
   28,9	
   24,1	
   29,0	
  
Mediana	
  -­‐	
  número	
  par	
  de	
  observações	
  
Produ)vidade	
  de	
  12	
  talhões	
  plantados	
  com	
  o	
  mesmo	
  clone	
  de	
  Eucalyptus	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
1º	
  Passo:	
  ordenar	
  os	
  dados	
  
6	
  observações	
   6	
  observações12	
  
€ 
md =
28,1+ 28,3
2 = 28,2
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   11	
  
Slides	
  gen4lmente	
  cedido	
  por	
  Prof.	
  Alexandre	
  Coelho	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Slides	
  gen4lmente	
  cedido	
  por	
  Prof.	
  Alexandre	
  Coelho	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   12	
  
Distribuição	
  Simétrica	
  
€ 
y = 28,35
€ 
md = 28,3
©E.	
  Novaes	
  	
  
Simetria	
  da	
  distribuição	
  
Assimétrica	
  a	
  direita	
   Assimétrica	
  a	
  esquerda	
  
Simétrica	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   13	
  
Quar4s	
  e	
  Percen4s	
  
•  São	
  uma	
  generalização	
  do	
  conceito	
  de	
  mediana.	
  
Enquanto	
  a	
  mediana	
  divide	
  um	
  conjunto	
  de	
  valores	
  
ordenados	
  em	
  dois,	
  os	
  quar4s	
  o	
  dividem	
  em	
  quatro	
  
partes	
  iguais	
  (com	
  25%	
  dos	
  dados)	
  
Produ)vidade	
  de	
  12	
  talhões	
  plantados	
  com	
  o	
  mesmo	
  clone	
  de	
  Eucalyptus	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
Q25	
  =	
  26,8	
   Q50	
  =	
  Md	
  =	
  28,2	
   Q25	
  =	
  30	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Quar4s	
  e	
  Percen4s	
  
•  O	
  percen4l	
  de	
  ordem	
  p%	
  de	
  um	
  conjunto	
  de	
  valores	
  
dispostos	
  em	
  ordem	
  crescente	
  é	
  um	
  valor	
  tal	
  que	
  p%	
  
das	
  observações	
  estão	
  abaixo	
  dele	
  e	
  100-­‐p%	
  estão	
  
acima	
  dele	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   14	
  
Percen4s	
  
Produtividade de Eucalyptus urophylla 
23.78 24.42 24.69 24.72 25.73 25.98 26.02 26.53 26.86 27.08 27.31 27.68 28.31 28.72 28.76 
29.14 29.18 29.27 29.64 29.9 29.96 30.01 30.65 30.8 31 31.33 31.81 32.42 32.63 33.33 
33.51 33.53 33.54 33.87 34.51 34.6 34.71 34.8 34.81 35.01 35.12 35.13 35.23 35.51 35.57 
36.03 36.2 36.46 36.86 37.02 37.33 37.53 37.64 38.07 38.54 39.08 39.49 41.41 42.11 45.96 
Cálculo	
  do	
  percen4l	
  de	
  ordem	
  100p	
  (P100p)	
  
	
  
	
  np	
  inteiro	
  =>	
  
	
  
	
  np	
  não	
  inteiro	
  =>	
  
€ 
P100p =
x[np ] + x[np+1]
2
€ 
P100p = x[int(np )+1]
n	
  =	
  número	
  de	
  observações	
  
p	
  =	
  razão	
  do	
  percen4l	
  (p.ex.	
  p=0,67	
  para	
  o	
  P67)	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
Outras	
  medidas	
  de	
  posição	
  
Média	
  geométrica:	
  
Média	
  harmônica:	
  
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   15	
  
Es4ma4vas	
  
Produ)vidade	
  de	
  13	
  talhões	
  plantados	
  com	
  o	
  mesmo	
  clone	
  de	
  Eucalyptus	
  
24,1	
   25,7	
   26,4	
   27,2	
   27,8	
   28,1	
   28,3	
   28,9	
   29,0	
   29,5	
   30,5	
   31,0	
   32,1	
  
€ 
md = 28,3
6	
  observações	
   6	
  observações	
  
€ 
y = 24,1+ 25,7 + ...+ 32,113 = 28,35
€ 
y g = 24,1× 25,7 × ....× 32,113 = 28,27
€ 
y h =
1
1
24,1 +
1
25,7 + ...+
1
32,1
13
= 28,19
©E.	
  Novaes	
  	
  
Es4mar	
  moda,	
  mediana,	
  média	
  
ari4mé4ca	
  e	
  os	
  quar4s	
  	
  
Teor de lignina (%) em amostras de madeira de Eucalyptus 
 
22.58 23.93 22.88 20.47 23.10 25.28 20.99 23.32 
©E.	
  Novaes	
  	
  
©E.	
  Novaes	
   16	
  
U4lizando	
  a	
  calculadora	
  
Es4mar	
  moda,	
  mediana,	
  média	
  ari4mé4ca	
  e	
  os	
  quar4s	
  	
  
©E.	
  Novaes