Aula8-Probabilidade (Normal)

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1	
  
Universidade	
  Federal	
  de	
  Goiás	
  
Escola	
  de	
  Agronomia	
  e	
  Engenharia	
  de	
  Alimentos	
  
Engenharia	
  Florestal	
  
Disciplina: Estatística e Experimentação Florestal	
Professor: Evandro Novaes	
Probabilidade – distribuição Normal	
Capítulo 3	
© E. Novaes	
3.  Probabilidade	
  e	
  Distribuições	
  de	
  Probabilidade	
  
a.  Introdução	
  à	
  Probabilidade	
  
b.  Distribuição	
  Binomial	
  
c.  Distribuição	
  de	
  Poisson	
  
d.  Distribuição	
  Normal	
  
Aula	
  de	
  hoje	
  
Variáveis	
  discretas	
  
Variável	
  conGnua	
  
© E. Novaes	
2	
  
Binomial	
  vs	
  Poisson	
  
•  Ambos	
  representam	
  variáveis	
  discretas;	
  
•  Binomial	
  =>	
  número	
  de	
  ocorrências	
  tem	
  um	
  
limite	
  (n)	
  
•  Poisson	
  =>	
  em	
  teoria	
  não	
  há	
  limite	
  para	
  o	
  
número	
  de	
  ocorrências	
  (número	
  de	
  testes	
  n	
  é	
  
desconhecido).	
  
© E. Novaes	
Binomial	
  vs	
  Poisson	
  
•  Exemplo	
  Binomial	
  
– Lança-­‐se	
  uma	
  moeda	
  10	
  vezes.	
  Qual	
  é	
  a	
  
probabilidade	
  de	
  se	
  obter	
  no	
  mínimo	
  3	
  caras;	
  
•  Exemplo	
  Poisson	
  
– Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  meu	
  computador	
  não	
  
falhar	
  hoje,	
  dado	
  que	
  ele	
  vem	
  falhando	
  em	
  média	
  
duas	
  vezes	
  por	
  semana;	
  
© E. Novaes	
3	
  
Binomial	
  ~	
  Poisson	
  
•  Se	
  n	
  for	
  grande	
  e	
  p	
  pequeno	
  
– Binomial(np)	
  ~	
  Poisson(λ)	
  
© E. Novaes	
Binomial	
  vs	
  Poisson	
  
•  Se	
  n	
  não	
  for	
  grande	
  e/ou	
  p	
  não	
  for	
  pequeno	
  
– Binomial(np)	
  ≠	
  Poisson(λ)	
  
© E. Novaes	
4	
  
Distribuição	
  Normal	
  
© E. Novaes	
Histórico	
  
Pierre-­‐Simon	
  de	
  Marquis	
  Laplace	
  
(1749-­‐1827)	
  
Abraham	
  de	
  Moivre	
  
(1667-­‐1754)	
  
Carl	
  Friedrich	
  Gauss	
  
(1777-­‐1855)	
  
© E. Novaes	
5	
  
Distribuição	
  Normal	
  
•  Porquê	
  é	
  tão	
  importante	
  na	
  BioestaGsica:	
  
1.  Muitas	
  variáveis	
  biológicas	
  tendem	
  a	
  ter	
  distribuição	
  Normal	
  
(p.ex.	
  caracteres	
  quanitaivos)	
  
2.  A	
  distribuição	
  das	
  médias	
  de	
  uma	
  variável	
  qualquer	
  tendem	
  a	
  
ter	
  distribuição	
  Normal,	
  mesmo	
  que	
  a	
  variável	
  em	
  si	
  não	
  tenha	
  
(Teorema	
  do	
  Limite	
  Central);	
  
3.  Muitos	
  testes	
  e	
  modelos	
  estaGsicos	
  pressupõem	
  a	
  
“normalidade	
  dos	
  dados”;	
  	
  
© E. Novaes	
Demonstração	
  do	
  Teorema	
  do	
  
Limite	
  Central	
  
© E. Novaes	
6	
  
Frutos	
  de	
  mangaba	
  
© E. Novaes	
Histograma	
  –	
  peso	
  dos	
  frutos	
  
© E. Novaes	
7	
  
Histograma	
  –	
  peso	
  dos	
  frutos	
  
© E. Novaes	
Histograma	
  –	
  peso	
  dos	
  frutos	
  
© E. Novaes	
8	
  
Histograma	
  –	
  peso	
  dos	
  frutos	
  
© E. Novaes	
Histograma	
  –	
  peso	
  dos	
  frutos	
  
© E. Novaes	
9	
  
Histograma	
  –	
  peso	
  dos	
  frutos	
  
© E. Novaes	
Distribuição	
  Normal	
  
© E. Novaes	
10	
  
Distribuição	
  Normal	
  
Função	
  densidade	
  de	
  probabilidade	
  
€ 
f (x) = 1
σ 2π e
−
1
2
x−µ
σ
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
© E. Novaes	
Propriedades	
  da	
  Distribuição	
  Normal	
  
1.  Dois	
  parâmetros	
  descrevem	
  a	
  
distribuição:	
  	
  
2.  Forma	
  de	
  “Sino”:	
  unimodal	
  e	
  simétrica	
  
•  média	
  ≅	
  moda	
  ≅	
  mediana	
  
3.  Assintóica:	
  a	
  curva	
  jamais	
  toca	
  o	
  eixo	
  x	
  
4.  A	
  curva	
  tem	
  dois	
  pontos	
  de	
  inflexão	
  em	
  	
  
(μ-­‐σ)	
  e	
  (μ+σ)	
  
Pontos	
  de	
  inflexão	
  
€ 
X ~ N(µ , σ 2)
© E. Novaes	
11	
  
© E. Novaes	
© E. Novaes	
12	
  
© E. Novaes	
© E. Novaes	
13	
  
© E. Novaes	
© E. Novaes	
14	
  
Distribuição	
  do	
  peso	
  de	
  frutos	
  de	
  mangaba	
  
€ 
f (x) = 1
σ 2π e
−
1
2
x−µ
σ
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
€ 
x = 2,0
s = 0,3
© E. Novaes	
Distribuição	
  do	
  peso	
  de	
  frutos	
  de	
  mangaba	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
€ 
x = 2,0
s = 0,3
© E. Novaes	
15	
  
Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  fruto	
  apresente	
  peso	
  
menor	
  do	
  que	
  1,5?	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
© E. Novaes	
Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  fruto	
  apresente	
  peso	
  
menor	
  do	
  que	
  1,5?	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
© E. Novaes	
16	
  
Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  fruto	
  apresente	
  peso	
  
maior	
  do	
  que	
  2,1dag?	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
© E. Novaes	
Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  fruto	
  apresente	
  peso	
  
entre	
  1,5	
  e	
  2,1dag?	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
© E. Novaes	
17	
  
© E. Novaes	
© E. Novaes	
18	
  
© E. Novaes	
Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  fruto	
  apresente	
  peso	
  
menor	
  do	
  que	
  1,5dag?	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
© E. Novaes	
19	
  
Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  fruto	
  apresente	
  peso	
  
menor	
  do	
  que	
  1,5dag?	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
€ 
f (x) = 12π e
−
x
2
2€ 
zi =
xi − 2,0
0,3
© E. Novaes	
Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  fruto	
  apresente	
  peso	
  
maior	
  do	
  que	
  2,1dag?	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
€ 
f (x) = 12π e
−
x
2
2€ 
zi =
xi − 2,0
0,3
© E. Novaes	
20	
  
Qual	
  é	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que	
  um	
  fruto	
  apresente	
  peso	
  
entre	
  1,5	
  e	
  2,1dag?	
  
€ 
f (x) = 10,3 2π e
−
1
2
x−2
0,3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
€ 
f (x) = 12π e
−
x
2
2€ 
zi =
xi − 2,0
0,3
© E. Novaes	
11.	
  Suponha	
  que	
  a	
  eficiência	
  do	
  uso	
  do	
  paclobutrazol	
  para	
  indução	
  de	
  
florescimento	
  precoce	
  em	
  plantas	
  de	
  Eucalyptus	
  seja	
  de	
  90%.	
  Supondo	
  
que	
  10	
  plantas	
  tenham	
  sido	
  submeidas	
  ao	
  tratamento	
  de	
  indução,	
  
calcule	
  a	
  probabilidade	
  de	
  que:	
  
a)  pelo	
  menos	
  duas	
  plantas	
  tratadas	
  floresçam	
  precocemente;	
  
b)  todas	
  as	
  plantas	
  tratadas	
  floresçam	
  precocemente.	
  
© E. Novaes