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C ul tu ra A ca dê m ic a ESTRUTURAS ALGÉBRICAS Mauri Cunha do Nascimento Hércules de Araujo Feitosa N A SC IM EN TO , M .C . do; FEITO SA , H . de A . ESTR U TU R A S A LG ÉBR IC A S Mauri Cunha do Nascimento graduou-se e obteve mestrado e doutorado em Mate- mática pela Universidade Estadual de Campinas-Unicamp, desenvolvendo trabalhos em Álgebra Comutativa. Iniciou sua carreira profi ssional na Universidade Estadual de Londri- na, onde trabalhou entre os anos de 1979 e 1993. Atualmente é professor assistente doutor do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Unesp, Câmpus de Bauru. Hércules de Araujo Feitosa é graduado em Matemática pela Fundação Educacional de Bauru (1984), obteve o mestrado em Fundamentos da Matemática pela Unesp/IGCE/Rio Claro (1992) e o doutorado em Lógica e Filosofi a da Ciência pela Universidade Estadual de Campinas/Unicamp/IFCH (1998). Atualmente é professor doutor do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Unesp, Câmpus de Bauru. É professor do Pro- grama de Pós-Graduação em Filosofi a da Unesp/FFC/Marília. Tem grande experiência no ensino de Lógica e Fundamentos da Matemática. Suas investigações científi cas estão voltadas para lógica, traduções entre lógicas, modelos algébricos, quantifi cadores e lógicas não clássicas. O objetivo deste livro é apresentar um texto introdutório sobre os conceitos da álge bra para um curso de graduação. No capítulo introdutório, está uma breve apresentação de alguns conceitos básicos sobre conjuntos e operações com conjuntos, seguida do tema das relações, relações de ordem e relações de equivalência, que são necessários para o desenvolvimento das estruturas algébricas abordadas nos capítulos seguintes: grupos, anéis e corpos. O volu- me trata também de polinômios e de extensões de corpos. Estes temas são essenciais para a parte fi nal, que discute os três problemas clássicos da antiguidade. Desenvolve discussões sobre as construções geométricas apenas com régua e compasso e, na sequência, sobre a resolução de equações por meio de radicais. Capa_Estruturas algebricas.indd 1Capa_Estruturas algebricas.indd 1 03/10/2013 09:06:5003/10/2013 09:06:50 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS Estruturas algebricas_iniciais.indd 1Estruturas algebricas_iniciais.indd 1 01/10/2013 19:25:5401/10/2013 19:25:54 Universidade Estadual Paulista Reitor Julio Cezar Durigan Pró-Reitor de Graduação Laurence Duarte Colvara Pró-Reitor de Pós-Graduação Eduardo Kokubun Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini Pró-Reitora de Extensão Universitária Mariângela Spotti Lopes Fujita Pró-Reitor de Administração Carlos Antonio Gamero Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto Chefe de Gabinete Roberval Daiton Vieira Estruturas algebricas_iniciais.indd 2Estruturas algebricas_iniciais.indd 2 01/10/2013 19:25:5501/10/2013 19:25:55 São Paulo 2013 C ul tu ra A ca dê m ic a Mauri Cunha do Nascimento Hércules de Araujo Feitosa ESTRUTURAS ALGÉBRICAS Estruturas algebricas_iniciais.indd 3Estruturas algebricas_iniciais.indd 3 01/10/2013 19:25:5501/10/2013 19:25:55 © Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2013. Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp N244e Nascimento, Mauri Cunha do Estruturas Algébricas / Mauri Cunha do Nascimento [e] Hércules de Araujo Feitosa. – São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Paulista, Pró-Reitoria de Graduação, 2013. 172 p. Bibliografi a ISBN 978-85-7983-418-9 1. Álgebra. I. Título. II. Feitosa, Hércules de Araujo. III. Universidade Estadual Paulista. Pró-Reitoria de Graduação. CDD 512 Pró-reitor Laurence Duarte Colvara Secretária Joana Gabriela Vasconcelos Deconto Assessoria José Brás Barreto de Oliveira Maria de Lourdes Spazziani Valéria Nobre Leal de Souza Oliva Técnica Bambina Maria Migliori Camila Gomes da Silva Cecília Specian Eduardo Luis Campos Lima Gisleide Alves Anhesim Portes Ivonette de Mattos Maria Emília Araújo Gonçalves Maria Selma Souza Santos Renata Sampaio Alves de Souza Sergio Henrique Carregari Projeto gráfico Andrea Yanaguita Diagramação Mauri da Cunha Nascimento Hércules de Araujo Feitosa Finalização Estela Mletchol equipe Estruturas algebricas_iniciais.indd 4Estruturas algebricas_iniciais.indd 4 03/10/2013 09:05:2803/10/2013 09:05:28 PROGRAMA DE APOIO À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO Considerando a importância da produção de material didático-pedagó gico dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a Funda- ção Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibi- lizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado sob demanda. Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade aca- dê mica mais esta obra, “Estruturas Algébricas”, de autoria dos Professores: Dr. Mauri Cunha do Nascimento e Dr. Hércules de Araujo Feitosa, da Facul- dade de Ciências do Câmpus de Bauru, esperando que ela traga contribuição não apenas para estu dantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado. Estruturas algebricas_iniciais.indd 5Estruturas algebricas_iniciais.indd 5 03/10/2013 09:05:2903/10/2013 09:05:29 Estruturas algebricas_iniciais.indd 6Estruturas algebricas_iniciais.indd 6 01/10/2013 19:25:5501/10/2013 19:25:55 i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page — #1 i i i i i i INTRODUÇÃO 11 1 PRELIMINARES 15 1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Operações com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Relação de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Propriedades das operações . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 Os inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 GRUPOS 35 2.1 Definições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Propriedades dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Produto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Grupos de permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Grupos de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.9 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.10 Grupo quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.11 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.12 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sumário i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page — #2 i i i i i i 3 ANÉIS 73 3.1 Definições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Os anéis Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3 Propriedades dos anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4 Subanéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6 Homomorfismo de anéis . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 89 3.7 Anel quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.8 O teorema do isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.9 Característica de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.10 O corpo de frações de um domínio de integridade . . . . . 100 3.11 Sobre um corpo ordenado e completo . . . . . . . . . . . 102 4 POLINÔMIOS 111 4.1 Anel de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2 Ideais principais e máximo divisor comum . . . . . . . . . 117 4.3 Polinômios irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4 Fatoração em polinômios irredutíveis . . . . . . . . . . . 123 4.5 Polinômios sobre os inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5 CORPOS 131 5.1 Extensões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2 Imersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.3 Extensões de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.4 Elementos da Teoria de Galois . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.5 Construções com régua e compasso . . . . . . . . . . . . . 155 5.6 Resolução de equações com radicais . . . . . . . . . . . . 162 5.7 Polinômios Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 BIBLIOGRAFIA 169 ÍNDICE REMISSIVO 171 8 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 9 — #3 i i i i i i NOTAÇÕES A[x] - anel de polinômios com coeficientes em A - pag.111 [L : K] - grau da extensão de L sobreK - pag.134 ∂p(x) - grau do polinômio p(x) - pag.113 [a1, a2, . . . , an] espaço vetorial gerado por {a1, a2, . . . , an} K(a1, a2, . . . , an) - o menor corpo que contémK e {a1, a2, . . . , an} Im(h) - a imagem da função h N(h) - o núcleo do homomorfismo h Gal(f(x),K) - o corpo de decomposição de f(x) sobreK - pag.144 KG - o corpo fixo deK por G - pag.145 G(L,K) - o grupo dosK-automorfismos de L - pag.146 H < G -H subgrupo de G H �G -H subgrupo normal de G LH - o corpo fixo de L porH - pag.151 I(K,L) - conjunto dos corpos intermediários entreK e L - pag.151 Sn - grupo de permutações - pag.56 G(f(x),K) - o grupo de Galois de f(x) - pag.148 N, Z, Q, R, C - conjuntos numéricos - pag.15. X∗ -X − {0} ∅ - conjunto vazio A ⊆ B - A subconjunto de B A ⊂ B - A é subconjunto próprio de B A−B - conjunto dos elementos de A que não estão em B P(E) - o conjunto das partes de E iA - a função identidade de A em A a | b - a divide b mdc(a, b) - o máximo divisor comum de a e b mmc(a, b) - o mínimo múltiplo comum de a e b Mm×n(R) - conjunto das matrizesm× n Mn(R) - conjunto das matrizes quadradas de ordem n In - matriz identidade n× n 〈a〉 - grupo cíclico gerado por a 〈S〉 - subgrupo gerado por S i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 10 — #4 i i i i i i 〈a1, a2, . . . , an〉 - subgrupo gerado por {a1, a2, . . . , an} |G| - ordem do grupo G |a| - ordem do elemento a (G : H) - índice do subgrupoH em G 10 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 11 — #5 i i i i i i Introdução Uma parte significativa do trabalho matemático consiste em com- preender e desenvolver estruturas matemáticas. De um modo geral, uma estrutura matemática é determinada por um conjunto universo de objetos matemáticos, por operações que envolvem estes objetos e tam- bém por relações entre esses elementos do universo. Um exemplo bastante simples e que está na experiência mate- mática de todo estudante é a estrutura matemática determinada por (N, 0, 1,+, ·, s,≤), em que N é o conjunto dos números naturais, 0 e 1 são dois números naturais particulares, s é a operação (função) suces- sor, que a cada número natural n atribui o seu sucessor n + 1, + é a operação de adição de números naturais, · é a operação de multiplica- ção de números naturais e ≤ é a relação usual de ordem de números naturais. Para certas estruturas, tratamos e quantificamos sobre operações e relações com conjuntos de conjuntos do universo. São estruturas de segunda ordem, importantes e corriqueiras no contexto matemático. Por exemplos, estruturas topológicas são deste tipo. Podemos destacar alguns aspectos de uma estrutura e nos debruçar- mos apenas sobre este quesito. Por exemplo, podemos estudar apenas (N,≤), isto é, o conjunto dos números naturais com sua usual relação de ordem, mas sem operações. Uma estrutura matemática sem opera- ções é chamada estrutura relacional. Por outro lado, podemos esquecer as relações da estruturamatemática e nos concentrarmos nas suas ope- rações, demodo a caracterizar quais propriedades as operações daquela i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 12 — #6 i i i i i i 12 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | estrutura partilham. Uma estrutura matemática fundada em operações é uma estrutura algébrica. Como indica o título deste texto, trataremos das estruturas algébri- cas. Motivados pelas estruturas algébricas dadas por diversos conjuntos numéricos, matemáticos perceberam que há alguns aspectos comuns em muitas dessas estruturas e também diferenças substanciais. Então, identificar o que seria comum e abstrair tais aspectos levou-os ao es- tudo das estruturas algébricas. Diante disso, escolhemos alguns princípios básicos, ou axiomas al- gébricos, e determinamos uma teoria específica. Desenvolvemos esta particular teoria em seus aspectos gerais e depois identificamos estru- turas matemáticas que são modelos daquela teoria - os exemplos, isto é, estruturas que fazem os axiomas serem sempre válidos. Este é o ca- minhar das investigações sobre estruturas algébricas. Há uma tradição importante dos algebristas que destacam o estudo das seguintes teorias algébricas: Grupos, Anéis, Corpos e Anéis de Po- linômios. Emmuitos cursos de matemática pelo mundo há alguma dis- ciplina que trata destas teorias. Neste texto nos propomos a fazer exa- tamente isto. Existemmuitos e bons textos sobre este assunto, como indicados na bibliografia. Segundo o nosso entendimento, o nosso livro não é me- lhor, mas também não é pior que os outros textos. Ele apenas explicita as nossas escolhas, as quais fizemos ao longo demuitos anos dando au- las de estruturas algébricas, e também sugere um encadeamento para a formação dos nossos alunos. Corresponde a nossas notas de aulas, revistas e dimensionadas para a nossa realidade. Reunimos os exercícios ao final de cada seção. No primeiro capítulo apresentamos, de forma bem resumida, alguns conceitos importantes para os desdobramentos posteriores. Tais con- teúdos são desenvolvidos em alguns textos da Bibliografia, especial- mente em [3], [5] e [16]. No capítulo seguinte, tratamos dos Grupos. Cada grupo é uma es- trutura algébrica determinada por uma única operação e um elemento i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 13 — #7 i i i i i i | INTRODUÇÃO 13 neutro para aquela operação, com algumas poucas propriedades. Numa estrutura de grupo já podemos resolver algumas simples equações de primeiro grau. No terceiro capítulo, adicionamos uma operação à estrutura de gru- pos e ampliamos o conjunto de axiomas para obtermos uma nova estru- tura algébrica denominada Anel. Definimos muitos casos particulares de anéis, damos inúmeros exemplos emostramosmuitas propriedades. O próximo capítulo é destinado aos polinômios. Daremos grande ênfase a polinômios sobre anéis. O último capítulo é destinado a elementos da Teoria de Galois. Trata-se de uma teoria belíssima, fundamental para os estudos algébri- cos, de surgimento relativamente recente e que permitiu comprovar a impossibilidade de alguns anseios matemáticos, por muito tempo per- seguidos, como: a trissecção de um ângulo, dividir um ângulo qualquer emtrês ângulos demesmamedida; a quadratura do círculo, determinar um quadrado com área idêntica a de um círculo dado; a duplicação do cubo, a determinação de um cubo cujo volume é exatamente o dobro do volume de um cubo dado; e a determinação de um método que en- volvesse apenas radicais dos coeficiente de uma equação qualquer para a obtenção de suas raízes. Temos soluções para equações de graus até quatro, mas não há método geral para equações de graus superiores a quatro. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 14 — #8 i i i i i i i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 15 — #9 i i i i i i Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo inicial, faremos uma rápida apresentação sobre alguns conceitos matemáticos necessários para o desenvolvimento dos tópicos que surgirão no texto. Todos estes temas são usualmente vis- tos em momentos anteriores ao estudo das estruturas algébricas como desenvolvidos nos capítulos seguintes. 1.1 Conjuntos O conceito de conjunto é fundamental para os desenvolvimentos deste texto e também da Matemática de um modo geral. Faremos uma abordagem rápida em que apresentaremos aspectos da álgebra dos conjuntos. Detalhes sobre tratamento mais cuidadoso e axiomático dos conjuntos podem ser encontrados em [5]. As notações abaixo são as usuais para os conjuntos numéricos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} o conjunto dos números naturais; Z = {...− 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...} o conjunto dos números inteiros; Q = {a b : a, b ∈ Z e b 6= 0} o conjunto dos números racionais; R o conjunto dos números reais, que consiste dos números racionais e dos irracionais; C = {a+bi : a, b ∈ R e i2 = −1} o conjunto dos números complexos. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 16 — #10 i i i i i i 16 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Denotamos, em geral, os conjuntos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. O símbolo : entre chaves deve ser lido como “tal que”. Se A é um conjunto de números, denotamos por A∗ o conjunto A sem o zero. Assim, N∗ = {1, 2, 3, ...}. Representamos um conjunto dispondo seus elementos entre cha- ves, como nos seguintes casos, A = {a, b, c}, B = {0, 2, 4, ..., 2n, ...} e P = {x ∈ B : x > 5}. Escrevemos a ∈ A para indicar que o elemento a pertence ao conjunto A e escrevemos a /∈ A para denotar que o elemento a não pertence ao conjunto A. Para o conjunto A = {−1, 0, 1}, temos −1 ∈ A, 2 /∈ A, 0 ∈ A, .... O conjunto vazio é o único conjunto que não contém elementos. Denotamos o conjunto vazio por { } ou, da maneira mais usual, por ∅. Um conjunto é unitário quando possui apenas um elemento. Por exemplo, A = {a} e B = {x ∈ Z : x2 = 0} são conjuntos unitários. O conjunto universo V é constituído por todos os elementos que es- tão em consideração. Por isso, muitas vezes, é chamado de universo de discurso. Como exemplo, na Geometria Euclidiana Plana, o conjunto universo é o plano euclidiano. Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A são também elementos de B. Nesse caso, dizemos também que A está contido em B ou que B contém A. Denotamos a inclusão de conjuntos por: A ⊆ B. Para qualquer conjunto A, temos ∅ ⊆ A e A ⊆ A. Estes dois i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 17 — #11 i i i i i i | PRELIMINARES 17 subconjuntos são chamados de subconjuntos triviais de A. O conjunto A é um subconjunto próprio de B se A ⊆ B e A 6= B. Denotamos a inclusão própria por: A ⊂ B. Se A = {−1, 0, 1} e B = {−3,−2,−1, 0, 1, 2}, então temos A ⊂ B. Neste caso também é correto escrever A ⊆ B. Dois conjuntosA eB são iguais quando têm exatamente osmesmos elementos. A igualdade de conjuntos é denotada por A = B. Os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {x ∈ N : x ≤ 2} possuem os mesmos elementos e, deste modo, A = B. 1.2 Operações com conjuntos As operações com conjuntos nos ensinam como operar com conjuntos e obtermos novos conjuntos a partir de conjuntos dados. Introduzimos, a seguir, as operações de união, intersecção, comple- mentação e diferença de conjuntos. Sejam A e B dois conjuntos dados: A união de A e B é o conjunto A ∪B dos elementos que pertencem a A ou a B. A intersecção de A e B é o conjunto A ∩ B dos elementos que per- tencem a A e a B. A diferença entreA eB é o conjuntoA−B formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. O complementar deA relativo ao universoV é o conjuntoA′ formado pelos elementos que pertencem a V , mas não pertencem a A. Dois conjuntos A e B são disjuntos quando A ∩B = ∅. Dessas operações entre conjuntos seguem as seguintes proprieda- i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 18 — #12 i i i i i i 18 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | des das operações com conjuntos: Propriedades da união: A ∪A = A [Idempotência] A ∪B = B ∪A [Comutatividade] (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) [Associatividade] A ∪∅ = A [Elemento neutro] A ∪ V = V [Elemento absorvente] A ⊆ A ∪B [Disjunção] Propriedades da intersecção: A ∩A = A [Idempotência] A ∩B = B ∩A [Comutatividade] (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [Associatividade] A ∩∅ = ∅ [Elemento absorvente] A ∩ V = A [Elemento neutro] A ∩B ⊆ A [Conjunção] Propriedades distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) Propriedades do complementar: (A′)′ = A [Duplo complementar] A ∩A′ = ∅ A ∪A′ = V Propriedades de absorção e diferença: A ∩ (A ∪B) = A A ∪ (A ∩B) = A A−B = A ∩B′. Exercícios 1. Verificar a validade das propriedades das operações com conjuntos. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 19 — #13 i i i i i i | PRELIMINARES 19 1.3 Relações No contexto matemático é usual tomarmos dois elementos e compararmos um com outro. Observar que um é maior que o outro, que são iguais, que guardam algum tipo de propriedade ou relação. A abstração algébrica destas situações nos remetem ao conceito de relações, como veremos agora. O produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B, que é denotado por A × B, é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) tais que a ∈ A e b ∈ B. Deste modo, A×B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}. Também dizemos que este é um produto cartesiano binário, mo- tivado pelo estudo do plano cartesiano, inicialmente investigado por Rene Descartes, mas que pode ser generalizado para uma coleção de conjuntos, do seguinte modo: A1 ×A2 × ...×An = {(a1, a2, ..., an) : ai ∈ Ai}. Uma relação binária de A em B é qualquer subconjunto de A×B. Em geral trataremos de relações binárias e diremos apenas rela- ção. Se R é uma relação, algumas vezes escrevemos xRy ao invés de (x, y) ∈ R. Vejamos que isto é o que ocorre com a usual re- lação de ordem ≤ no conjunto dos números reais R. Temos que R = {(x, y) ∈ R × R : x é menor ou igual a y}, contudo, corriqueira- mente denotamos esta relação por “x ≤ y” e não por “(x, y) ∈ R”. Uma relação em um conjunto A (ou sobre um conjunto A) é um subconjunto R do produto cartesiano A×A. Seja R uma relação sobre A. Dizemos que R é: (i) reflexiva quando, para todo a ∈ A, ocorre aRa; (ii) simétrica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb, então bRa; (iii) transitiva quando, para todos a, b, c ∈ A, se aRb e bRc, então i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 20 — #14 i i i i i i 20 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | aRc; (iv) anti-simétrica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb e bRa, então a = b. (v) linear quando, para todos a, b ∈ A, ocorre aRb ou bRa. Uma relação de ordem sobre um conjuntoA é uma relação reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Uma relação de ordem total sobre A é uma relação de ordem linear. Exemplo 1.1. Se E é um conjunto qualquer, o conjunto das partes de E é o conjunto P(E) = {X : X ⊆ E}. Então (P(E),⊆) é uma relação de ordem, mas não é uma ordem total. Exemplo 1.2. A relaçãoR = {(a, b) ∈ R : a ≤ b} é uma ordem linear. Exercícios 1. Justificar a ordem da inclusão de conjuntos acima e mostrar porque ela não é total. 1.4 Relação de equivalência As relações de equivalência são importantes para os desdobra- mentos algébricos que planejamos encaminhar. De certo modo, elas generalizam uma relação de igualdade. Uma relação de equivalência sobre um conjunto A é uma relação re- flexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 1.3. A relação de igualdade em qualquer conjunto é sempre uma relação de equivalência. Exemplo 1.4. A semelhança de triângulos é uma relação de equivalência. Dada umauma relação de equivalência R emumconjuntoA e a ∈ A, a classe de equivalência de a segundo a relaçãoR é o conjunto [a] = {x ∈ A : xRa}. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 21 — #15 i i i i i i | PRELIMINARES 21 Exemplo 1.5. Se A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}, então R é uma relação de equivalência e as suas classes de equivalência são dadas por: [1] = {1, 2}, [2] = {1, 2} e [3] = {3}. Teorema 1.1. Seja R uma relação de equivalência em um conjunto A. Então: (i) duas classes de equivalência de R são iguais ou disjuntas e (ii) o conjunto A é a união de todas as classes de equivalência. Demonstração: (i) Sejam [a] e [b] duas classes. Se [a] e [b] são disjuntas, nada há para verificar. Agora, se [a] ∩ [b] 6= ∅, então deve ser o caso que [a] = [b]. Se [a] ∩ [b] 6= ∅, então existe c ∈ [a] ∩ [b] e, daí, cRa e cRb. Portanto, aRc, cRb e, assim, aRb. Se d ∈ [a], então dRa, e como aRb, então dRb, ou seja, d ∈ [b], o que mostra que [a] ⊆ [b]. De modo análogo, verifica-se que [b] ⊆ [a]. Portanto, [a] = [b]. (ii) Como [a] ⊆ A, então ∪{[a] : a ∈ A} ⊆ A. Por outro lado, A ⊆ ∪{[a] : a ∈ A}. Portando, A = ∪{[a] : a ∈ A}. SeR é uma relação de equivalência sobre o conjuntoA, então o con- junto quociente de A pela relação R é o conjunto das classes de equi- valência de R, isto é, A/R = {[a] : a ∈ A} = {B ∈ P(A) : B = [a], para algum a ∈ A}. Exemplo 1.6. No exemplo anterior, A/R = {[1], [3]}. 1.5 Funções Naturalmente reconhecemos que o conceito de função é central para quase tudo em Matemática. Apenas recordaremos algumas definições. Uma função f deA emB é uma relação deA emB tal que para cada x ∈ A existe um único y que satisfaz (x, y) ∈ f . Em geral, denotamos uma função f de A em B por f : A → B e (x, y) ∈ f por y = f(x). i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 22 — #16 i i i i i i 22 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Quando f : A → B é uma função de A em B, então dizemos que A é o domínio de f ,B é o contradomínio de f e a imagem de f é o conjunto Im(f) = {b ∈ B : b = f(a), para algum a ∈ A}. Exemplo 1.7. Para um conjunto A, iA : A→ A é a função identidade em A que é definida por iA(x) = x, para todo x ∈ A. Uma função f : A → B é sobrejetiva quando Im(f) = B. Ela é injetiva quando, para x, y ∈ A, se x 6= y, então f(x) 6= f(y) e é bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. 1.6 Operações São as operações e as propriedades partilhadas pelas operações que determinam as estruturas algébricas. Recordemos então alguns aspectos das operações, que são casos particulares de funções. Uma operação binária sobre um conjunto A é uma função ∗ : A×A→ A. Assim, uma operação binária em A associa a cada par de elementos de A um outro elemento de A. Exemplo 1.8. A adição é uma operação em R, pois a soma de números reais é ainda um número real. Exemplo 1.9. Do mesmo modo, a adição é uma operação em N, Z, Q, R e C. Exemplo 1.10. A multiplicação também é uma operação em N, Z,Q, R e C. Exemplo 1.11. A subtração não é uma operação N, pois 0 ∈ N e 1 ∈ N, mas 0− 1 /∈ N. Mas a subtração é uma operação nos conjuntos Z, Q, R e C. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 23 — #17 i i i i i i | PRELIMINARES 23 Exemplo 1.12. No conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n, a adição e o produto de matrizes são operações. Assim como na adição + e na multiplicação ·, indicamos cada ope- ração genérica por um símbolo específico para aquela operação. Exemplo 1.13. Em N a operação sucessor definida por s(n) = n + 1 é uma operação de aridade 1 ou unária. Uma estrutura algébrica é determinada por um par (A, {\i}i∈I), em que A é um conjunto não vazio e {\i} é um conjunto de operações de aridades finitas sobre A. Exemplo 1.14. (N, s,+, ·) é uma estrutura algébrica determinada pelo conjunto dos números naturaisN, munido das operações sucessor s, adição + e multiplicação ·. Veremos, posteriormente, que as propriedades partilhadas pelas operações de cada estrutura algébrica é que caracterizarão as particu- lares estruturas que investigaremos no texto. 1.7 Propriedades das operações Sejam ∗ e# operações sobre um conjunto A. Propriedade associativa: a operação ∗ é associativa se para todos x, y, z ∈ A, tem-se: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z. Propriedade comutativa: a operação ∗ é comutativa quando para todos x, y ∈ A, tem-se: x ∗ y = y ∗ x. Elemento Neutro: a operação ∗ admite um elemento neutro e ∈ A se para todo x ∈ A tem-se: x ∗ e = x = e ∗ x. Elemento Inverso ou Simétrico: um elemento x de A tem um inverso segundo a operação ∗, quando existe x′ ∈ A tal que x ∗ x′ = e = x′ ∗ x, i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 24 — #18 i i i i i i 24 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | em que e é o elemento neutro de A em relação à operação ∗. Se o elemento tem um inverso (ou simétrico) ele é chamado de inversível (ou simetrizável). Algumas vezes o elemento simétrico de um elemento segundo uma operação de adição é chamado de oposto; e o elemento simétrico segundo uma operação de multiplicação é chamado de inverso. Lei do Cancelamento: a lei do cancelamento vale para a operação ∗ se para todos x, y, z ∈ A tem-se: x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z e y ∗ x = z ∗ x⇒ y = z. Propriedade Distributiva: a operação # é distributiva em relação à operação ∗ quando, para todos x, y, z ∈ A, valem: x#(y ∗ z) = (x#y) ∗ (x#z) e (y ∗ z)#x = (y#x) ∗ (z#x). Exemplo 1.15. As operações usuais de adição emultiplicação de números reais são associativas e comutativas. Exemplo 1.16. A subtração sobre Z não é associativa nem comutativa, pois: (9− 3)− 5 = 1 6= 7 = 9− (5− 3) e 4− 2 = 2 6= −2 = 2− 4. Exemplo 1.17. A adição e a multiplicação de matrizes reais n × n são associativas. A adição é comutativa, mas a multiplicação não. Por exemplo, no caso de matrizes 2× 2:( 1 1 0 0 )( 1 0 1 0 ) = ( 2 0 0 0 ) e ( 1 0 1 0 )( 1 1 0 0 ) = ( 1 1 1 1 ) . Exemplo 1.18. Os números 0 e 1 são respectivamente os elementos neu- tros para a adição e multiplicação em N, Z, Q, R e C. Exemplo 1.19. A adição de matrizes em Mm×n(R) tem como elemento neutro a matriz nulam× n. Exemplo 1.20. A subtração não tem elemento neutro em Z, pois: 2−a = 2⇒ a = 0 e a− 2 = 2⇒ a = 4. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 25 — #19 i i i i i i | PRELIMINARES 25 Exemplo 1.21. Todo número inteiro tem seu oposto em Z, pois: n + (−n) = 0 = −n+ n. Exemplo 1.22. O número 2 não é um elemento inversível para a multipli- cação em Z, pois não existe n ∈ Z tal que 2n = 1. Exemplo 1.23. Para a multiplicação em R, não vale a lei do cancela- mento, pois 0.3 = 0.4, contudo 3 6= 4. Observar que em R, a multiplicação é distributiva em relação à adi- ção e emMn(R), a multiplicação é distributiva em relação à adição. Exercícios 1. Verificar que: (a) A composição de funções de R em R é associativa. (b) A potenciação em N não é associativa, nem comutativa. (c) A divisão em R∗ não é associativa, nem comutativa. 2. Mostrar que se uma operação ∗ admite elemento neutro, então ele é único. 3. Indicar os elementos neutros para a adição e para a multiplicação de matrizes reais de ordem 2 isto é,matrizes de ordem 2× 2. 4. Seja ∗ uma operação associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x tem um simétrico segundo ∗, então ele é único. 5. Seja ∗ uma operação com elemento neutro. Mostrar que: (a) se x é simetrizável, então o seu simétrico x′ também é simetrizável e (x′)′ = x; (b) se ∗ é associativa e x, y ∈ A são simetrizáveis, então (x ∗ y) é sime- trizável e (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′. 6. Seja ∗ uma operação com elemento neutro num conjuntoA. Mostrar que A tem pelo menos um elemento simetrizável. 7. Mostrar que para a adição em Z vale a lei do cancelamento. 8. Seja ∗ uma operação associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x é simetrizável, então podemos cancelar x, isto é, podemos mostrar que a ∗ x = b ∗ x⇒ a = b. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 26 — #20 i i i i i i 26 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | 1.8 Os inteiros Não pretendemos aqui fazer um desenvolvimento da Teoria dos Números como seria desejável em um curso de graduação. Nosso objetivo é apenas apresentar alguns conceitos e resultados necessários para tópicos que virão mais adiante. Esses resultados e conceitos podem ser encontrados em textos de Teoria dos Números, como por exemplo em [16]. Consideraremos o conjunto dos números inteiros Z, com as suas operações usuais de adição + e multiplicação · que satisfazem as propriedades: Adição: Para todos a, b, c ∈ Z valem: A1 Associatividade: a+ (b+ c) = (a+ b) + c; A2 Comutatividade: a+ b = b+ a; A3 Elemento neutro: para todo a existe o 0 tal que a+0 = 0+a = a; A4 Elemento oposto: para todo a existe −a ∈ Z tal que (−a) + a = a+ (−a) = 0; Multiplicação: Para todos a, b, c ∈ Z valem: M1 Associatividade: a · (b · c) = (a · b) · c; M2 Comutatividade: a · b = b · a; M3 Elemento neutro: para todo a existe o 1 tal que a · 1 = 1 · a = a; M4 Multiplicação por zero: 0 · a = 0; M5 Produto nulo: a · b = 0⇒ a = 0 ou b = 0; M6 Regra do sinal: (−a) · b = a · (−b) = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b; Distributividade e desigualdades: Para todos a, b, c ∈ Z valem: D0 Distributividade: a · (b+ c) = a · b+ a · c; D1 a < b⇔ a+ c < b+ c; D2 a < b e c > 0⇒ a · c < b · c; D3 a < b e c < 0⇒ a · c > b · c. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 27 — #21 i i i i i i | PRELIMINARES 27 Como usualmente, denotaremos a multiplicação de a por b por a · b ou apenas por ab. Princípio da boa ordenação: Todo conjunto não vazio de nú- meros naturais possui um menor elemento. Isto é, se S ⊆ N e S 6= ∅, então existe s ∈ S tal que s ≤ n, para todo n ∈ S. Primeiro princípio de indução: Sejam m ∈ N e P (n) uma sen- tença para n ∈ N, que satisfaz: (i) P (m) é verdadeira e (ii) se n ≥ m e P (n) é verdadeira, então P (n+ 1) é verdadeira. Então P (n) é verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m. Segundo princípio de indução: Sejam m ∈ N e P (n) uma sen- tença para n ∈ N, que satisfaz: (i) P (m) é verdadeira e (ii) para cada n ∈ N, com n > m, se P (r) é verdadeira para todo r ∈ N quandom ≤ r < n, então P (n) é verdadeira. Então P (n) é verdadeira para todo n ∈ N, com n ≥ m. O princípio da boa ordenação e os dois princípios de indução são equivalentes, isto é, a partir de um deles podemos demons- trar os outros dois. A equivalência pode ser verificada da seguinte forma: (boa ordenação ⇒ 2o Princípio de Indução ⇒ 1o Princípio de Indução⇒ boa ordenação) e pode ser encontrada, por exemplo em [16]. Propriedade arquimediana de Z: Se a e b são inteiros e a 6= 0, então: (i) existe d ∈ Z tal que da > b; (ii) existe e ∈ Z tal que ea < b. Divisibilidade: Para a e b inteiros, dizemos que a divide b, ou que a é um divisor de b, se b é um múltiplo inteiro de a. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 28 — #22 i i i i i i 28 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Notação: a | b⇔ b = qa, para algum q ∈ Z. Propriedades da divisibilidade: Para quaisquer a, b, c inteiros, valem: (i) a | a, 1 | a e a | 0; (ii) a | b⇒ a | bc; (iii) a | b⇒ a | bn, para todo n ∈ N∗; (iv) a | b e a | c⇒ a | (b+ c); (v) a | b e a | (b+ c)⇒ a | c; (vi) a | b e a | c⇒ a | (rb+ sc), para quaisquer r e s inteiros; (vii) a | b e b > 0⇒ a ≤ b; (viii) ab = 1⇒ a = b = 1 ou a = b = −1; (ix) a | b e b | a⇒ a = b ou a = −b. Se a1, a2, ..., an são inteiros tais que a | ai, para todo i, então, aplicando indução e o ítem (iv) das propriedades acima, prova-se que p | (a1 + a2 + . . . + an). O algoritmo da divisão: Dados n e d inteiros com d > 0, então existem únicos inteiros q e r tais que n = qd+ r e 0 ≤ r < d. O máximo divisor comum: Dados a e b inteiros não ambos nu- los, o máximo divisor comum de a e b é um inteiro positivo d que satisfaz: (i) d | a e d | b; (ii) se c é um inteiro tal que c | a e c | b, então c | d. Notação: d = mdc(a, b). O conceito de máximo divisor comum pode ser estendido para um conjunto finito de inteiros, tal que nem todos sejam nulos: O inteiro positivo d é o máximo divisor comum de a1, a2, ..., an se: (i) d | ai, para todo i; (ii) se c é um inteiro e c | ai para todo i, então c | d. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 29 — #23 i i i i i i | PRELIMINARES 29 Notação: d = mdc(a1, a2, ..., an). Os inteiros a1, a2, ..., an são relativamente primos ou primos entre si quando: mdc(a1, a2, ..., an) = 1. Propriedades do máximo divisor comum: Para a, b ∈ Z, temos: (i) se d = mdc(a, b), então d é o menor inteiro positivo da forma ra+ sb, para r e s inteiros; (ii) para r, s ∈ Z, se ra+ sb = 1, entãomdc(a, b) = 1; (iii) se d = mdc(a1, a2, ..., an), entãomdc( a1 d , a2 d , ..., an d ) = 1. Números primos: Um inteiro p > 1 é primo se seus únicos divi- sores positivos são p e 1. O Teorema Fundamental da Aritmética: Cada número inteiro n > 1 decompõe-se de modo único como um produto de primos, no seguinte sentido: n = pr11 p r2 2 .....p rt t , em que p1 < p2 < ... < pt são primos e t, r1, r2, ..., rt são inteiros positivos. Propriedades dos números primos: Se p é um número primo, então: (i) se p divide um produto de inteiros, então divide pelo menos um deles; (ii) se n é um inteiro positivo menor que p, então p - n; (iii) se p - n, entãomdc(n, p) = 1; (iv) se a e b são inteiros e p | ab, mas p2 - ab, então p divide somente um dos dois números. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 30 — #24 i i i i i i 30 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | As congruências de módulo n As congruências módulo n, além de exemplos de relações de equivalência, têm muitas aplicações algébricas e são importantes instrumentos para exemplos e contra-exemplos de propriedades algébricas. Sejam a, b, n ∈ Z e n > 1. A relação “a é congruente a b módulo n”, que é denotada por a ≡ b(mod n) é definida por: a ≡ b(mod n) ⇔ n | a − b ⇔ a − b = q.n, para algum q ∈ Z. Exemplo 1.24. Temos 5 ≡ 2(mod 3), 7 ≡ −1(mod 4), −1 ≡ 13(mod 7) e 31 ≡ 31(mod 77). A congruência módulo n é uma relação de equivalência, pois: Reflexividade: para todo a ∈ Z, temos que a − a = 0 = 0.n, isto é, a ≡ a(mod n) e, portanto, a relação é reflexiva; Simetria: para todos a, b ∈ Z, se a ≡ b(mod n), então a − b = c.n e, portanto, b − a = −(a − b) = −c.n. Logo, b ≡ a(mod n) e a relação é simétrica; Transitividade: para todos a, b, c ∈ Z, se a ≡ b(mod n) e b ≡ c(mod n), então a − b = d.n e b − c = e.n. Logo, a− c = a− b+ b− c = d.n+ e.n = (d+ e).n. Portanto, a ≡ c(mod n) e a relação é transitiva. Determinaremos, agora, o conjunto quociente de Z pela congruên- cia módulo n: Pelo algoritmo da divisão, para cadam ∈ Z existem e são únicos o quo- ciente e o resto q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < n, tais que m = qn + r. Assim, m − r = qn, ou seja, m ≡ r(mod n). Desse modo, para cada m ∈ Z, existe um único r ∈ {0, 1, ..., n − 1} tal que m ≡ r(mod n), ou seja, em vista do Teorema 1.1, as classes de equivalência dem e de r coincidem. Também, se0 ≤ r < s < n, então 0 < s − r ≤ s < n, ou seja, r e s não são congruentes módulo n. Denotamos a classe de equivalência de m ∈ Z por m e temos m ∈ {0, 1, ..., n− 1}, conforme observamos i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 31 — #25 i i i i i i | PRELIMINARES 31 acima. Se 0 ≤ r 6= s < n, então r 6= s e o conjunto quociente de Z pela congruência é um conjunto com n elementos: Zn = {0, 1, ..., n− 1}. Operações aritméticas em Zn As operações de adição e multiplicação em Zn são definidas do modo seguinte. Para a, b ∈ Zn, definimos: a+ b = a+ b e a.b = a.b Precisamos verificar que as operações acima estão bem definidas, isto é, se a = b e c = d, então a + c = b + d e a.c = b.d, ou seja, mostrar que a+ b = c+ d e a.c = b.d. Como duas classes x e y são iguais se, e somente se, x ≡ y(mod n), então basta mostrarmos que a + c ≡ b + d(mod n) e a.c ≡ b.d(mod n). Isto será feito na próxima proposição. Proposição 1.2. Sejam a, b, c, d, n ∈ Z, com n > 1. Daí: (i) Se a ≡ b(mod n), então a+ c ≡ b+ c(mod n); (ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), então a+ c ≡ b+ d(mod n); (iii) Se a ≡ b(mod n), então a.c ≡ b.c(mod n); (iv) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), então a.c ≡ b.d(mod n); Demonstração: (i) Se a ≡ b(mod n), então n|(a−b)⇔ n|(a+c−c−b)⇔ n|(a+ c)− (b+ c). Portanto, a+ c ≡ b+ c(mod n); (ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), por (i), temos que a + c ≡ b + c(mod n) e b + c ≡ b + d(mod n). Pela transitividade da relação ≡, a+ c ≡ b+ d(mod n). Como a = r, e r é o resto da divisão de a por n, podemos então defi- nir as operações de adição emultiplicação emZn = {0, 1, ..., n− 1} por: a+ b = c e a.b = d, i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 32 — #26 i i i i i i 32 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | em que c e d são, respectivamente, os restos das divisões de a+ b e a.b por n. Exemplo 1.25. Em Z15 temos 10 + 10 = 5; 3 + 7 = 10; 6 + 12 = 3; 5·5 = 10; 10·6 = 0. Vejamos algumas propriedades das operações de Zn. Proposição 1.3. Se a, b, c ∈ Zn, então: (i) Fechamento: a+ b ∈ Zn e a·b ∈ Zn (ii) Comutatividade: a+ b = b+ a e a·b = b·a (iii) Associatividade: a+ (b+ c) = (a+ b) + c e a·(b·c) = (a·b)·c (iv) Distributividade: a·(b+ c) = a·b+ a·c e (a+ b)·c = a·c+ b·c (iv) Neutro da adição: a+ 0 = 0 + a = a (v) Neutro da multiplicação: 1·a = a·1 = a (vi) Multiplicação por zero: 0·a = a·0 = 0 (vii) Oposto: a+ n− a = n− a+ a = 0, se 0 < a < n e 0 + 0 = 0 Demonstração: (i) Segue das definições das operações. (ii) Também seguem das definições das operações, pois a + b = b + a e a.b = b.a. (iii) a + (b + c) = a + d = e e (a + b) + c = f + c = g, em que d, e, f , e g são respectivamente os restos das divisões de b + c, a + d, a + b e f + c por n. Assim, existem números naturais q1, q2, q3 e q4 tais que: (1) b + c = q1n + d (2) a + d = q2n + e (3) a + b = q3n + f (4) f + c = q4n+ g De (1) e (2) temos a+(b+c) = a+(q1n+d) = q1n+(a+d) = q1n+(q2n+e). Logo, a+ b+ c = (q1 + q2)n+ e, ou seja, e é o resto da divisão de a+ b+ c por n. De (3) e (4) temos (a+b)+c = (q3n+f)+c = q3n+(f+c) = q3n+(q4n+g). Logo, a+ b+ c = (q3 + q4)n+ g, ou seja, g é o resto da divisão de a+ b+ c por n. Da unicidade do resto da divisão, temos que e = g. Assim, a+ (b+ c)= e = g = (a+ b) + c. De modo análogo, mostramos a·(b·c) = (a·b)·c. Podemos fazer tabelas para a adição e para a multiplicação em Zn. Por exemplo, para Z4 temos: i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 33 — #27 i i i i i i | PRELIMINARES 33 + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 · 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Olhando para a tabela da adição vemos que os opostos de 1, 2 e 3 são, respectivamente, 3 , 2 e 1. Na tabela da multiplicação vemos que os inversos de 1 e 3 são, respectivamente, 1 e 3, e que 0 e 2 não têm inversos. Exercícios 1. Completar a demonstração da Proposição 1.2. 2. Provar as demais propriedades das operações em Zn da Proposi- ção 1.3. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 34 — #28 i i i i i i i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 35 — #29 i i i i i i Capítulo 2 Grupos A estrutura algébrica de grupos é uma das primeiras numa hi- erarquia de estruturas algébricas que serão vistas nesse texto. Numa tal estrutura muito simples, podemos resolver, pela primeira vez nesta hierarquia, uma equação de primeiro grau. O conceito de grupo surgiu dos estudos de Évariste Galois com equações de polinômios, em 1832. Embora Galois tenha utilizado a ideia de grupo em todo o seu trabalho com equações, ele não deu explicitamente uma definição de grupo. A definição ocorreu, pela primeira vez, na publicação do trabalho de Galois, feita por Liouville em 1846. Um ano antes, porém, Cauchy apresentou o conceito, ao qual denominou de “sistema conjugado de substituições”. Durante algum tempo, esses dois termos “grupo” e “sistema conjugado de subs- tituições” foram utilizados. Contudo, em 1863, Jordan escreveu um comentário sobre o trabalho de Galois, em que usou o termo “grupo”, e a partir de então esta expressão passou a ser a mais utilizada, embora o termo “sistema conjugado de substituições” também tenha sido utilizado por alguns autores até por volta de 1880. Tanto Galois como Cauchy definiam grupos somente em termos da propriedade de fecha- mento, sem que aparecesse a associatividade e os elementos neutro e inverso. Ambos trabalhavam com permutações e, neste contexto, as propriedades definidoras dos grupos surgiam automaticamente. Aos poucos, a partir de trabalhos de outros matemáticos como Cayley, i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 36 — #30 i i i i i i 36 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Kronecker, Burnside e Heinrich Weber, a definição de grupos, como a conhecemos, ficou estabelecida. Passemos então amais algumasmotivações e posterior definição do conceito de grupos. Do estudo de operações com números inteiros, Z, podemos ressal- tar as seguintes propriedades da adição. Para quaisquer a, b, c em Z valem: (+0) a+ b ∈ Z (Fechamento); (+1) a+ (b+ c) = (a+ b) + c (Associatividade); (+2) 0 ∈ Z e a+ 0 = a = 0 + a (Elemento neutro da adição); (+3)−a ∈ Z e a+ (−a) = 0 = −a+ a (Elemento inverso da adição). Se no lugar de Z tomarmos Q, R, C, ou Mm×n(R) (o conjunto das matrizes reais de ordem m × n), as propriedades acima permanecem válidas. Inúmeros outros conjuntos com operações de adição ou ou- tras operações satisfazem estas quatro propriedades, que são impor- tantes no estudo de algumas teorias matemáticas, químicas e físicas. Isso, de certa forma, justifica um estudo genérico de conjuntos com uma operação que satisfaçam estas propriedades, muito embora a ori- gem da Teoria dos Grupos esteja nos trabalhos de Galois, a respeito de resolubilidade de equações polinomiais em termos de permutações de suas raízes. Com esta abordagem que abstrai algumas propriedades de uma estrutura algébrica, podemos identificar inúmeras propriedades que são válidas em todas elas e, assim, não precisamos fazer exata- mente o mesmo estudo em cada estrutura investigada, mas podemos tratá-las todas como um pacote. 2.1 Definições e exemplos Apresentamos agora a definição de grupo dada pelos axiomas que definem um grupo genérico. A seguir apresentamos muitos exemplos i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 37 — #31 i i i i i i | GRUPOS 37 de grupos, que são modelos para a caracterização formal dada na defi- nição. Definição 2.1. Um grupo é uma estrutura algébrica (G, ∗, e), em queG é um conjunto não vazio, ∗ é uma operação binária em G e e é um elemento de G tal que: (G1) para todos a, b, c ∈ G: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (Propriedade associativa) (G2) o elemento e ∈ G é tal que para todo a ∈ G: a ∗ e = e ∗ a = a (Elemento neutro) (G3) para todoa ∈ G, existe b ∈ G tal que: a ∗ b = e = b ∗ a (Elemento inverso). Como vimos, como ∗ é uma operação em G, então é uma função ∗ : G×G→ G, em que ∗(a, b) = a∗b. Assim, se a, b ∈ G, então a∗b ∈ G e, naturalmente, vale a condição do fechamento. Desde que introduzimos um conceito, então vejamos muitos exem- plos de grupos. Exemplo 2.1. (Z,+, 0), (Q,+, 0), (R,+, 0), (C,+, 0). Estes são grupos aditivos sobre os respectivos conjuntos numéricos. Exemplo 2.2. (Zn,+, 0). Ver as congruências módulo n, nas noções preliminares. Exemplo 2.3. (R∗, · , 1), (Q∗, · , 1), (C∗, · , 1). Estes são grupos multiplicativos sobre os respectivos conjuntos numé- ricos. Temos, em cada caso, de excluir o 0, pois este elemento, em cada conjunto, não tem o inverso para a multiplicação. Definição 2.2. Um grupo (G, ∗, e) é finito quando G possui uma quanti- dade finita de elementos. Exemplo 2.4. ({1,−1}, · , 1), ({1,−1, i,−i}, · , 1) são exemplos de grupos finitos. Exemplo 2.5. Param e n inteiros positivos, o conjunto das matrizes reais m×n é denotado porMm×n(R). A terna (Mm×n(R),+, O) é o grupo adi- tivo de matrizes, em que O é a matrizm× n nula. Denotamos porMn(R) o conjunto das matrizes reais de ordem n, isto é, o conjuntoMn×n(R). i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 38 — #32 i i i i i i 38 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | A seguirmostramos um exemplo não usual, de um tipo que algumas vezes é chamado de patológico. Exemplo 2.6. Para a, b ∈ R− {−1} definimos a ∗ b = a+ b+ ab. Vamos verificar que ∗ é uma operação em R− {−1}. É claro que se a = c e b = d então a ∗ b = c ∗ d. Para a, b ∈ R − {−1}, a + 1 6= 0 e b + 1 6= 0. Logo, (a+1)(b+1) 6= 0, ou seja, ab+a+b+1 6= 0. Portanto, a∗b = a+b+ab 6= −1, isto é, a ∗ b ∈ R− {−1}. Portanto, ∗ é uma operação em R− {−1} Se a, b, c ∈ R−{−1}, então a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b+ c+ bc) = a+(b+ c+ bc)+a(b+c+bc) = a+b+c+ab+ac+bc+abc. Por outro lado (a∗b)∗c = (a+b+ab)∗c = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c = a+b+c+ab+ac+bc+abc. Logo vale a associatividade. Para todo a ∈ R−{−1} o neutro para ∗, caso exista, tem que ser tal que a∗e = a. Daí, a+e+ae = a⇒ e(1+a) = 0⇒ e = 0 1 + a = 0, se a 6= −1, o que vale neste caso. Assim, 0 ∈ R− {−1} é tal que a ∗ 0 = 0 ∗ a = a. Dado a ∈ R − {−1}, se o inverso de a é a′, temos: a′ ∗ a = 0 ⇒ a′+a+a′a = 0⇒ a′(1+a) = −a⇒ a′ = −a 1 + a , pois a 6= −1. Verifica-se que a ∗ a′ = a′ ∗ a = 0. Assim, (R− {−1}, ∗, 0) é um grupo. Vejamos também alguns contra-exemplos: Exemplo 2.7. (N,+, 0) não é um grupo, pois 2 ∈ N, mas não existe n ∈ N tal que 2 + n = 0. Exemplo 2.8. (Z,−, 0) não é um grupo, pois não satisfaz nenhuma das condições G1, G2 e G3 da definição de grupos. Exemplo 2.9. (R, · , 1) não é um grupo, pois 0 ∈ R, mas não existe r ∈ R tal que 0 · r = 1. Logo, (R, · , 1) não satisfaz a condição G3. De forma semelhante, (Q, ·, 1) e (C, ·, 1) não são grupos. Exemplo 2.10. ({−1, 0, 1},+) não é um grupo, apesar de estarem satis- feitas as condiçõesG1,G2 eG3, pois “+” não é uma operação em {−1, 0, 1} devido a que 1 ∈ {−1, 0, 1}, mas 1 + 1 = 2 /∈ {−1, 0, 1}. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 39 — #33 i i i i i i | GRUPOS 39 Na hierarquia de estruturas que estamos investigando, partiremos do conceito de grupo a ao agregarmos novos axiomas algébricos que deverão ser respeitados em novas situações, faremos as estruturas cada vez mais específicas. Contudo, podemos dar alguns passos atrás e defi- nirmos estruturas ainda mais gerais que grupos. Estas têm menos im- portância e servem principalmente para caracterização de exemplos. Definição 2.3. Ummonóide é uma estrutura matemática (G, ∗), em que G é um conjunto não vazio e ∗ é uma operação associativa em G, isto é, vale (G1). Um semigrupo é uma estrutura matemática (G, ∗, e), em que (G, ∗) é um monóide e e é um elemento neutro para ∗ em G, isto é, vale (G2). Exemplo 2.11. (N,+, 0) não é um grupo, mas é exemplo de semigrupo. Observamos, nos exemplos acima de grupos, que todos eles satis- fazem a propriedade comutativa, isto é, para todos a, b ∈ G, temos que a ∗ b = b ∗ a. Contudo, isto não vale sempre. Definição 2.4. Um grupo (G, ∗, e) que satisfaz a propriedade comutativa: (G4) para todos a, b ∈ G: a ∗ b = b ∗ a, é chamado grupo abeliano ou grupo comutativo. Veremos, a seguir, que existem grupos que não são abelianos. Exemplo 2.12. SejaGL2(R), o conjunto das matrizes reais inversíveis de ordem 2, isto é, A ∈ GL2(R) se, e somente se, det(A) 6= 0. Das proprie- dades de multiplicação de matrizes, vemos que (GL2(R), · , I2) é um grupo multiplicativo. Mas este não é um grupo abeliano, pois:( 1 1 0 1 )( 1 0 1 1 ) = ( 2 1 1 1 ) e ( 1 0 1 1 )( 1 1 0 1 ) = ( 1 1 1 2 ) . Exemplo 2.13. Generalizando, os grupos (GLn(R), · , In), em que GLn(R) é o conjunto das matrizes inversíveis de ordem n, com n ≥ 2, · é a operação de multiplicação de matrizes e In é a matriz identidade de ordem n são grupos não abelianos. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 40 — #34 i i i i i i 40 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Tomemos, por exemplo, as matrizes A = (aij) e B = (bij), com aii = bii = 1; a12 = b21 = 1; e todos os outros elementos das matrizes A e B iguais a zero. Então: A ·B 6= B ·A. Exemplo 2.14. Se (G, ∗, e) é um grupo não abeliano, podemos ter a ∗ c = c ∗ b, com a 6= b. Por exemplo, no grupo GL2(R) para: A = ( 1 1 0 1 ) , B = ( 0 1 1 1 ) e C = ( 0 −1 1 2 ) , então A · B = B · C = ( 1 2 1 1 ) . Também, (A · B)−1 = ( −1 2 1 −1 ) , enquanto que A−1 ·B−1 = ( 1 −1 0 1 )( −1 1 1 0 ) = ( −2 1 1 0 ) . Exercícios 1. Verificar se (M2(R)∗, · , I2) é um grupomultiplicativo, em queM2(R)∗ é o conjunto das matrizes reais de ordem 2 sem amatriz nula, · é a mul- tiplicação de matrizes e I2 é a matriz identidade de ordem 2. 2. Verificar que (R − {1}, ∗, 0), ∗ definida por a ∗ b = a + b − ab é um grupo. 3. Dar dois exemplos de monóides que não são semigrupos. 4. Dar dois exemplos de semigrupos que não são grupos. 5. Seja (G, ∗, e) um semigrupo. Mostrar que (G, ∗, e) é um grupo se, e somente se, para todos a, b ∈ G, as equações a ∗ x = b e y ∗ a = b têm solução em G. 6. Mostrar que Z[ √ 2] = {a+ b√2 : a, b ∈ Z} determina um grupo abeli- ano com a operação de adição. 7. Verificar se R∗ é um grupo com a operação a� b = a · b 2 . 8. Verificar se R é um grupo com a operação ⊕ nos casos abaixo: (a) a⊕ b = a2 + b2; (b) a⊕ b = a+ b− 3. 9. Verificar se G = {z ∈ C : |z| = 1} determina um grupo abeliano com a operação de multiplicação de números complexos. 10. Verificar se G = {x ∈ R : |x| ≥ 1} determina um grupo abeliano com a operação de multiplicação de números reais. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 41 — #35 i i i i i i | GRUPOS 41 2.2 Propriedades dos grupos A operação de grupos ∗ é uma operação genérica, que ora pode ser uma soma +, ora pode ser uma multiplicação · ou qualquer outra ope- ração. É usual nos textos sobre grupos usarmos como símbolo da ope- ração de grupos apenas o ponto ·, ou mesmo, representar a · b por ab, apenas por questão de simplicidade. Assim, adotaremos esta convenção para alguns grupos genéricos. A operação será indicada por ·, e o elemento neutro por e e um inverso de um elemento a por a′. Diante da propriedade associativa e notação usual da multiplicação, podemos, em alguns casos, eliminar os parên- teses e pontos e escrevermos apenas: abc = a(bc) = (ab)c. Seja (G, ·, e) um grupo. Então: (P1) Existe um único elemento deG que satisfaz a propriedade (G2), isto é, o elemento neutro é único. Suponhamos que e e u satisfazem G2. Então e = eu = u. Logo existe umúnico elemento neutro paraG e e denota este único elemento neutro. (P2) Para todos a, b, c ∈ G, se ac = bc ou ca =cb, então a = b. Se ac = bc, então acc′ = bcc′ e, daí, ae = be. Logo, a = b. O caso ca = cb é análogo. (P3) Para cada a ∈ G, existe um único inverso para a. Segue de (P2). Assim, a′ denota o único inverso para a. (P4) Para todos a, b ∈ G, se ab = e ou ba = e, então b = a′. Seja ab = e. Como aa′ = e = ab, então aa′ = ab. Logo, por (P2), a′ = b. O caso ba = e é análogo. (P5) Para todo a ∈ G, (a′)′ = a. Como a′.(a′)′ = e = a′.a, então, por (P2), (a′)′ = a. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 42 — #36 i i i i i i 42 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | (P6) para todos a, b ∈ G, (ab)′ = b′a′. Como (ab)(b′a′) = a(bb′)a′ = aea′ = aa′ = e. Então, por (P4), b′a′ = (ab)′. Exercícios 1. Mostrar que (a1a2 ... an)′ = a′na′n−1 ... a′1, para todo n ∈ N∗. 2.3 Produto de grupos Uma propriedade universal das estruturas algébricas é o produto de estruturas. Em geral, dadas duas estruturas algébricas de um mesmo tipo, tomamos como o domínio de uma nova estrutura o produto carte- siano dos domínios das estruturas dadas e de maneira, mais ou menos natural, obtemos uma estrutura do mesmo tipo sobre este novo domí- nio. Estas novas estruturas são denominadas estruturas produto. Vere- mos como isto se aplica ao caso dos grupos. Definição 2.5. Se (G, ∗, eG) e (H,#, eH) são grupos, então (G × H, · , (eG, eH)) é o grupo produto de (G, ∗, eG) e (H,#, eH), em que a ope- ração “·” é definida por (g, h) · (g′, h′) = (g ∗ g′, h#h′), para g, g′ ∈ G e h, h′ ∈ H. É fácil verificar que (G ×H, · , (eG, eH)) é um grupo com elemento neutro (eG, eH), de maneira que eG e eH são, respectivamente, os ele- mentos neutros de G e H. Também (g, h)′ = (g′, h′). Verifica-se facil- mente que quando (G, ∗, eG) e (H,#, eH) são grupos abelianos, então (G×H, · , (eG, eH)) também é um grupo abeliano. Procedendo de maneira análoga, podemos estender a construção acima para o produto de umconjunto finito de grupos: G1×G2×...×Gn. Exemplo 2.15. Temos que (Z×GL2(R), . , (1, I2)) é um grupo com a ope- ração (a,A) · (b, B) = (a+ b, AB), em que na primeira coordenada temos adição de inteiros e na segunda o produto de matrizes. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 43 — #37 i i i i i i | GRUPOS 43 Exemplo 2.16. Temos que (Z2 ×Z2, · , (1, 1)) é um grupo abeliano com 4 elementos: {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Exercícios 1. Mostrar a validade das afirmações acima sobre o grupo (G × H, · , (eG, eH)). 2.4 Grupos de permutações Os exemplos de grupos são inúmeros. Tomando as funções reais bijetivas, com a operação de composição de funções, temos um grupo em que o elemento neutro é a função identidade. Como todo elemento de um grupo precisa ter um inverso no grupo, é necessário a exigência de funções bijetivas, pois apenas estas admitem a função inversa. O grupo das permutações é uma particularização deste exemplo. Definição 2.6. Sejam S um conjunto não vazio e P (S) = {f : S → S : f é bijetiva}. Então, (P (S), ◦, iS) é um grupo em que a operação ◦ é a com- posição de funções e o elemento neutro é a função identidade iS . O grupo (P (S), ◦, iS) é chamado grupo das permutações de S. Certamente, a composição de funções é associativa, a função iden- tidade iS é bijetiva e é o elemento neutro da composição de funções, e toda função bijetiva é inversível. Denotamos o grupo das permutações de {1, 2, ..., n} por Sn. Como a cada função bijetiva de Sn corresponde a uma permutação f(1)f(2)...f(n) de 1, 2, ..., n e o número total dessas permutações é n!, então Sn possui n! elementos. Para n ≥ 3, Sn é um grupo não abeliano, pois tomando f, g ∈ Sn de modo que f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3, g(1) = 2, g(2) = 3 e g(3) = 1 temos (fog)(1) = 1 e (gof)(1) = 3. Logo, fog 6= gof e, desse modo, S3 é um exemplo de grupo não abeliano com 6 elementos. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 44 — #38 i i i i i i 44 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Notação: Se f ∈ Sn, então denotamos f por: (1, f(1), f(f(1)), ...)(i, f(i), f(f(i)), ...), ..., como nos exemplos abaixo. Exemplo 2.17. Para f, g, h ∈ S4 tais que f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 2, f(4) = 1, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) = 1, g(4) = 4, h(1) = 3, h(2) = 4, h(3) = 1, h(4) = 2 denotamos f por (1, 3, 2, 4), g por (1, 3) e h por (1, 3)(2, 4). A justificativa de podermos usar essa notação se encontra no livro “Tópicos de Álgebra” (Herstein, 1970). Podemos fazer as composições fog = (1, 3, 2, 4)(1, 3) = (1, 2, 4), pois 1→ 3→ 2, 2→ 2→ 4, 4→ 4→ 1 e 3→ 1→ 3; gof = (1, 3)(1, 3, 2, 4) = (2, 4, 3), pois 1→ 3→ 1, 2→ 4→ 4, 4 → 1 → 3 e 3 → 2 → 2. Da mesma forma, podemos encontrar foh = (1, 3, 2, 4)(1, 3)(2, 4) = (1, 2), fof = (1, 3, 2, 4)(1, 3, 2, 4) = (1, 2)(3, 4). Exemplo 2.18. Podemos tomar os elementos de S3 como: e (função identidade) a = (1, 2, 3) a2 = (1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2) a3 = a2 · a = (1, 3, 2)(1, 2, 3) = e = (1, 2, 3)(1, 3, 2) = a · a2 ⇒ a′ = a2 b = (1, 2) b2 = e⇒ b′ = b ab = (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3) ba = (1, 2)(1, 2, 3) = (2, 3). Como S3 possui 3! = 6 elementos, podemos concluir que S3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} = {e, a, a2, b, ab, ba}. Exercícios 1. Encontrar o inverso para cada elemento de S3. 2. Quais são os elementos de S4? 3. Encontrar elementos a e b de S4 tais que ab 6= ba. 4. Encontrar a, b ∈ S3 tais que (ab)2 6= a2b2. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 45 — #39 i i i i i i | GRUPOS 45 2.5 Grupos de simetria A partir de rotações e reflexões em um polígono regular é possível definir uma estrutura de grupo, como veremos a seguir. Tomaremos um quadrado no plano de vértices A, B, C eD, com la- dos na horizontal e na vertical, e o denotaremos por ABCD, quando o vértice superior esquerdo for A, e os vértices B, C, D estiverem, res- pectivamente, tomados no sentido horário, a partir de A. Uma rotação de 90o, no sentido horário, que leva cada vértice do quadrado no vértice seguinte. Uma reflexão em torno da diagonal tomada do vértice esquerdo su- perior ao vértice direito inferior, deixa estes vértices fixos e troca os outros dois. Denotamos por σ uma rotação, e por τ uma reflexão. Assim: σ(ABCD) = DABC σ2(ABCD) = CDAB σ3(ABCD) = BCDA σ4(ABCD) = ABCD τ(ABCD) = ADCB i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 46 — #40 i i i i i i 46 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | τ2(ABCD) = ABCD στ(ABCD) = σ(ADCB) = BADC σ2τ(ABCD) = σ2(ADCB) = CBAD σ3τ(ABCD) = σ3(ADCB) = DCBA Denotamos por e o não movimento e(ABCD) = ABCD e, então, temos: D = {e, σ, σ2, σ3, τ, στ, σ2τ, σ3τ} que é um grupo. Podemos observar isso, na tabela abaixo: · e σ σ2 σ3 τ στ σ2τ σ3τ e e σ σ2 σ3 τ στ σ2τ σ3τ σ σ σ2 σ3 e στ σ2τ σ3τ τ σ2 σ2 σ3 e σ σ2τ σ3τ τ στ σ3 σ3 e σ σ2 σ3τ τ στ σ2τ τ τ σ3τ σ2τ στ e σ3 σ2 σ στ στ τ σ3τ σ2τ σ e σ3 σ2 σ2τ σ2τ στ τ σ3τ σ2 σ e σ3 σ3τ σ3τ σ2τ στ τ σ3 σ2 σ e Diante disso, podemos tomar D = {σjτ i : 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j ≤ 3, τ2 = σ4 = e, στ = τσ3, τ 6= e, σj 6= e para j = 1, 2, 3} O exemplo acima pode ser estendido assim: Definição 2.7. Consideremos um polígono regular de n lados e um eixo de reflexão que passa por um vértice e pelo centro do polígono. O grupo determinado por composições de rotações e reflexões sobre o polígono são denominados grupos de simetrias ou grupos diedrais e tais grupos podem ser descritos por: Dn = {σjτ i : 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j < n, τ2 = σn = e, στ = τσn−1, τ 6= e, σj 6= e, para 1 ≤ j < n}. Devemos observar que quando o polígono tem n lados, o grupo tem 2n elementos. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 47 — #41 i i i i i i | GRUPOS 47 Cada elemento de Dn pode ser vistos como uma permutação de n elementos, ou seja, como um elemento do grupo de permutações Sn, ao denominarmos os vértices do polígono de n lados pelos números 1, 2, ..., n. Assim,podemos considerar o grupo Dn como subgrupo de Sn. 2.6 Grupos cíclicos Como é usual em ciência, a expressão cíclico indica que após um certo período, tudo se repete. Definição 2.8. Sejam (G, ·, e) um grupo multiplicativo, a ∈ G e n ∈ N. A potência de a é definida recursivamente por: a0 = e, an+1 = an · a e os seus inversos são a′ = a−1 e (an)′ = (a−1)n. Com isso, definimos a potência de an, para todo n ∈ Z e muitas das regras usuais sobre potências podem ser verificadas, isto é, para todos inteirosm e n tem-se: (i) am · an = am+n (ii) (an)−1 = a−n (iii) (a−n)−1 = an (iv) (am)n = amn. Na notação aditiva, a · b significa a+ b, a′ significa−a, e an significa, para n > 0, na = a+ a+ ...+ a, a soma com n parcelas de a; para n < 0, na = (−a) + (−a) + ... + (−a), a soma com −n parcelas de −a e para n = 0, na = 0. Logo,ma+ na = (m+ n)a e n(ma) = (mn)a. Definição 2.9. Sejam (G, ·, e) um grupo e a ∈ G. O conjunto gerado por a é 〈a〉 = {an : n ∈ Z}. Como a0 = e, am · an = am+n = an · am, (am · an) · ap = am · (an · ap) e (an)′ = a−n, então (〈a〉 , ·, e) é um grupo abeliano. Definição 2.10. O grupo (〈a〉 , ·, e) é denominado grupo cíclico gerado por a. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 48 — #42 i i i i i i 48 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Na notação aditiva teríamos que 〈a〉 = {na : n ∈ Z}. Exemplo 2.19. Seja G = Z. Então: 〈1〉 = {n.1 : n ∈ Z} = {n : n ∈ Z} = Z. 〈−1〉 = {n.(−1) : n ∈ Z} = {−n : n ∈ Z} = Z . 〈t〉 = {n.t : n ∈ Z} é o conjunto dos inteiros múltiplos de t. Diante disso, Z é um grupo cíclico e podemos tomar como gerador 1 ou −1. Exemplo 2.20. Para n > 0 inteiro, Zn é um grupo cíclico gerado por 1. Exemplo 2.21. O grupo Z6 pode ser gerado por 1 e 5. Exemplo 2.22. O grupo S3 não é cíclico pois (1, 2)2 = (1, 3)2 = (2, 3)2 = e e (1, 2, 3)3 = (1, 3, 2)3 = e. Logo, nenhum elemento gera S3. Exemplo 2.23. O grupo R∗ não é cíclico. Para verificar isso, suponha que sim, isto é, que existe a ∈ R∗ tal que R∗ = 〈a〉. Considere então 2 = an e 3 = am e, a partir disso, chegue em um absurdo. Exercícios 1. Justificar os exemplos 2.20 e 2.21. 2. Sejam a, b ∈ Z e a operação⊕ definida por a⊕ b = a+ b+1. Verificar se Z com essa operação: (a) é um grupo ; (b) é um grupo abeliano; (c) é um grupo cíclico. 3. Verificar se o grupo Z2 × Z2 é um grupo cíclico. 4. Verificar se o grupo Z2 × Z3 é um grupo cíclico. 5. Quais elementos de Z5 geram Z5? 6. Seja (G, ·, e) um grupo abeliano. Mostrar que se a, b ∈ G e m ∈ Z, então (ab)m = ambm. 7. Seja (G, ·, e) um grupo tal que a2 = e, para todo a ∈ G. Mostrar que este grupo é abeliano. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 49 — #43 i i i i i i | GRUPOS 49 2.7 Subgrupos Um outro conceito universal das estruturas algébricas é o de subes- trutura. Uma subestrutura é uma estrutura contida em uma estrutura de mesmo tipo. Definição 2.11. Seja (G, ∗, e) um grupo. Um subgrupo de (G, ∗, e) é um grupo (H, ∗, eH), em queH ⊆ G, a operação ∗ é a mesma de (G, ∗, e). Como já observamos, usualmente indicamos um grupo apenas pelo seu domínio. Assim, escrevemos H < G para indicar que H é um sub- grupo de G. Exemplo 2.24. Se G é um grupo, então G < G e {e} < G são subgrupos de G. Estes subgrupos são chamados subgrupos triviais de G. Exemplo 2.25. Z < Q < R < C. Exemplo 2.26. Q∗ < R∗ < C∗. Exemplo 2.27. R∗ não é um subgrupo deR, pois as operações são distin- tas: multiplicação e adição, respectivamente. Exemplo 2.28. Z2 não é um subgrupo de Z3. Proposição 2.1. Sejam (G, ∗, e) um grupo e H ⊆ G. Então H é um sub- grupo de G se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: (i) e ∈ H; (ii) para todos a, b ∈ H, a ∗ b ∈ H; (iii) para todo a ∈ H, a′ ∈ H . Demonstração: (⇒) É claro que se H < G, então as três condições são satisfeitas. (⇐) Por outro lado, suponhamos as três condições satisfeitas. A condição (i) garante que H 6= ∅ e possui o elemento neutro de G; a condição (ii) garante que a operação ∗ de G, quando restrita à H, é uma operação em H; a condição (iii) garante a existência do inverso de cada elemento de H. Como H ⊆ G, então vale a propriedade associativa tam- bém para os elementos de H . Desse modo, H é um grupo com a operação de G e, portanto,H < G. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 50 — #44 i i i i i i 50 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Em vista da proposição acima, se H < G, então G e H possuem o mesmo elemento neutro. Exemplo 2.29. Se G = S3 = {e, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)}, podemos verificar que: {e, (1, 2)} < S3 e {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3. Corolário 2.2. Sejam (G, ∗, e) um grupo e H ⊆ G. Então H é um sub- grupo de G se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: (i)H 6= ∅; (ii) para todos a, b ∈ H, a ∗ b′ ∈ H. Exemplo 2.30. Seja 3Z = {3 · n : n ∈ Z} o conjunto dos múltiplos de 3. Temos: (i) 3Z 6= ∅, pois 0 = 3 · 0 ∈ 3Z; (ii) Se a, b ∈ 3Z, digamos, a = 3n e b = 3m, então a− b = 3(n−m) ∈ 3.Z. Assim, pelo corolário anterior, 3Z < Z. De modo semelhante, podemos mostrar que para qualquer m ∈ Z,mZ < Z. Se (G, ·, e) é um grupo e a ∈ G, como já vimos, 〈a〉 = {an : n ∈ Z} é umgrupo comamesmaoperação deG e, dessemodo, 〈a〉 < G. Dizemos que 〈a〉 é o subgrupo cíclico de G gerado por a. Agora, se S é um subconjunto não vazio de G, definimos: 〈S〉 = {(s1)r1 .(s2)r2 . ... .(sn)rn : si ∈ S e ri ∈ Z, i = 1, . . . , n}. Fica como exercício verificar que 〈S〉 < G e 〈S〉 = ∩{H : H < G e S ⊆ H}, e assim, 〈S〉 é o menor subgrupo de G que contém S. Definição 2.12. Dizemos que 〈S〉 é o subgrupo de G gerado por S. Exemplo 2.31. Para o grupo S3 temos: 〈(1, 2)〉 = {e, (1, 2)} e 〈(1, 2, 3)〉 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 51 — #45 i i i i i i | GRUPOS 51 Exemplo 2.32. S3 = 〈{(1, 2), (1, 2, 3)}〉, pois: (1, 2) ∈ 〈{(1, 2), (1, 2, 3)}〉 (1, 2, 3) ∈ 〈{(1, 2), (1, 2, 3)}〉 e = (1, 2)2 ∈ 〈{(1, 2), (1, 2, 3)}〉 (1, 3, 2) = (1, 2, 3)2 ∈ 〈{(1, 2), (1, 2, 3)}〉 (2, 3) = (1, 2)(1, 2, 3) ∈ 〈{(1, 2), (1, 2, 3)}〉 (1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2) = (1, 2)(1, 2, 3)2 ∈ 〈{(1, 2), (1, 2, 3)}〉 Exercícios 1. Justificar o exemplo 2.28. 2. Dar uma demonstração do Corolário 2.2. 3. Mostrar que 〈S〉 é o menor subgrupo de G que contém S. 4. Mostrar queH = {2n : n ∈ Z} é um subgrupo de R∗. 5. Mostrar queH = {x ∈ R : 0 < x} é um subgrupo de R∗. 6. Para G = M2×2(R) e H = {( a 0 b 0 ) : a, b ∈ R } , mostrar que H < G. 7. Para G = Z× Z eH = {(2a, 3b) : a, b ∈ Z}, mostrar queH < G. 8. Determinar todos os subgrupos de Z2 × Z3. 9. Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de Z12? (a) {0, 2, 4, 6, 8, 10} (b) {0, 6} (c) {0, 2, 3, 5, 8} (d) {1, 3, 5, 7, 9, 11} (e) {0, 4, 8} (f) {0, 3, 6, 9}. 10. Determinar os seguintes subgrupos de Z8. (a) 〈 2 〉 (b) 〈 5 〉 (c) 〈 4 〉 (d) 〈 2, 3 〉 . 11. Verificar se o conjunto I dos números ímpares é um subgrupo do grupo (Z,⊕), para a⊕ b = a+ b+ 1. 12. Para o grupo de permutações S4: (a) Determinar 〈(1, 2, 3)〉 (b) Determinar 〈(1, 2, 3, 4)〉 (c) Se H = {e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}, verificar se H é um subgrupo de S4 e seH é abeliano. 13. Mostrar que todo subgrupo de um grupo abeliano também é um grupo abeliano. 14. Mostrar que todo subgrupo de um grupo cíclico é um grupo cíclico. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 52 — #46 i i i i i i 52 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Nos exercícios a seguir, consideraremos sempre G como um grupo. 15. Sejam a ∈ G e C(a) = {g ∈ G : ag = ga}. Mostrar que C(a) < G. O subgrupo C(a) é chamado o centralizador de a em G. 16. Seja Z(G) = {g ∈ G : ga = ag, para todo a ∈ G}. Mostrar que Z(G) < G. O subgrupo Z(G) é chamado o centro de G . 17. Mostrar que se H e K são subgrupos de G, então H ∩K também é um subgrupo de G. 18. Exibir exemplo de grupos demaneira que H < G e K < G, mas H ∪K não é um subgrupo de G. 19. Se H < G e g ∈ G, mostrar que gHg′ < G, para gHg′ = {ghg′ : h ∈ H}. 2.8 Classes laterais Nessa seção envolvemos o conceito de classes de equivalência com o conceito de grupos. Definição 2.13. SejamG um grupo eH um subgrupo deG. Para a, b ∈ G, definimos a relação a ≡ b(mod H), que deve ser lida como “a é congruente a b móduloH”, se ab′ ∈ H. Proposição 2.3. A relação a ≡ b(mod H) é uma relação de equivalência. Demonstração: Propriedade reflexiva: para todo a ∈ G, aa′ = e ∈ H. Logo, a ≡ a(mod H). Propriedade simétrica: Sejam a, b ∈ G e a ≡ b(mod H). Assim, ab′ ∈ H e comoH é um grupo, então ba′ = (ab′)′ ∈ H. Logo, b ≡ a(mod H). Propriedade transitiva: Sejam a, b, c ∈ G, a ≡ b(mod H) e b ≡ c(mod H). Daí ab′ ∈ H e bc′ ∈ H, e como H é um grupo, então ac′ = ab′bc′ ∈ H . Daí, a ≡ c(mod H). A classe de equivalência de um elemento a de G, é denotada por: a = {b ∈ G : b ≡ a(mod H)} = {b ∈ G : ba′ ∈ H}. Segue então que b ∈ a se, e somente se, existe h ∈ H tal que ba′ = h i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 53 — #47 i i i i i i | GRUPOS 53 se, e somente se, b = ha, para algum h ∈ H se, e somente se, b ∈ Ha = {ha : h ∈ H}. Assim, a = Ha. Definição 2.14. Chamamos de classe lateral à direita deH emG a cada classe de equivalênciaHa. Denotamos o conjunto quociente deG pela relação de equivalência dada pela congruência móduloH por: G/H = {Ha : a ∈ G}, que é o conjunto das classes laterais à direita deH em G. Observar que: (CL1) a ∈ Ha, pois a = ea e e ∈ H; (CL2) Ha = Hb ⇔ a ∈ Hb, pois duas classes de equivalência ou coincidem ou são disjuntas; (CL3)Ha = Hb⇔ ab′ ∈ H (verificar); (CL4) Ha = H ⇔ a ∈ H, pois H = He e por (b), Ha = He⇔ a ∈ He = H. SeX é um conjunto, denotamos por |X| o número cardinal deX. O cardinal de um conjunto indica sua quantidade de elementos. Se X é finito, então |X| = n, para algum número natural n. Definição 2.15. SeG é um grupo finito, a ordem deG é dada por |G|. Se G é um grupo qualquer e g ∈ G é tal que 〈g〉 é um grupo finito, chamamos de ordem de g ao número | 〈g〉 |, o qual será denotado simplesmente por |g|. Dizemos que um grupoG tem ordem prima se |G| é um número primo. Lema 2.4. SejamG um grupo finito eH < G. Se a ∈ G, então |Ha| = |H|. Demonstração: Consideremos a função f : H → Ha, definida por f(h) = ha. Precisamos mostrar que f é bijetiva. A função f é injetiva, pois se f(h) = f(k), então ha = ka e, daí, h = k. A função f também é sobrejetiva, pois se ha ∈ Ha, então f(h) = ha. Portanto, f é bijetiva e |H| = |Ha|. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 54 — #48 i i i i i i 54 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Definição 2.16. SeH < G eG/H é um conjunto finito, então chamamos de índice deH em G ao número |G/H|. Notação: (G : H) = |G/H| é o número de classes laterais à direita deH em G. Teorema 2.5. (Teorema de Lagrange) Se G é um grupo finito e H < G, então |G| = |H|(G : H). Demonstração: Como G é finito, então G/H é finito, digamos, G/H = {Ha1,Ha2, ..., Han}, com Hai 6= Haj quando i 6= j. Como Hai e Haj são classes de equivalências distintas quando i 6= j, entãoHai∩Haj = ∅. Por outro lado, G = Ha1 ∪ Ha2 ∪ ... ∪ Han. Então, pelo lema anterior, |G| = |Ha1|+ |Ha2|+ ...+ |Han| = n · |H| = |H| ·n = |H| · |G/H|. Desse modo, |G| = |H|(G : H). Em vista do Teorema de Lagrange temos que seH é um subgrupo de G, então a ordem deH divide a ordem de G. Portanto, {0, 3, 6, 9} não é subgrupo de Z10. Exemplo 2.33. Seja H = {e, (1, 2)} < S3. Então, pelo Teorema de La- grange, (S3 : H) = |S3|/|H| = 6/2 = 3. Logo, temos 3 classes laterais distintas: H = {e, (1, 2)} (= H(1, 2)) H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} (= H(1, 2, 3)) H(1, 3) = {(1, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 3, 2)) e assim, G/H = {H,H(2, 3),H(1, 3)}. Quando G é um grupo aditivo e H é um subgrupo de G, temos que a ≡ b(mod H) ⇔ a − b ∈ H e as classes laterais são da forma H + a = {h+ a : h ∈ H}. Exemplo 2.34. Seja H = {0, 2, 4} < Z6. Então (Z6 : H) = |Z6|/|H| = 6/3 = 2. Daí, temos 2 classes laterais: H = {0, 2, 4} (= H + 2 = H + 4) H + 1 = {1, 3, 5} (= H + 3 = H + 5). Corolário 2.6. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então |a| divide |G|. Demonstração: Do Teorema de Lagrange, temos que |G| = |a|(G : 〈a〉). Logo, |a| divide |G|. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 55 — #49 i i i i i i | GRUPOS 55 Proposição 2.7. SejamG um grupo e a ∈ G tal que 〈a〉 é um grupo finito. Então |a| é o menor inteiro positivo n tal que an = e. Demonstração: Se a = e, então n = 1 e 〈a〉 = {e}. Agora, consideremos a 6= e. Como 〈a〉 = {an : n ∈ Z} é finito, então existem inteiros i e j (podemos supor i < j), tais que ai = aj . Logo, aj−i = aja−i = aia−i = e e j − i > 0. Assim, {n ∈ N∗ : an = e} 6= ∅ e, pelo princípio da boa ordenação, contém um menor elemento n. Mostraremos que 〈a〉 = {e, a, ..., an−1} e que os elementos e, a, ..., an−1 são todos distintos. Daí, concluímos que |a| = n. Sejam i, j ∈ Z tais que 0 ≤ j ≤ i < n. Se ai = aj , então ai.a−j = aj .a−j . Logo, ai−j = aj−j = a0 = e. Como 0 ≤ i − j < n e n é o menor inteiro positivo tal que an = e, então i − j = 0, ou seja, i = j. Diante disso, {e, a, ..., an−1} é um subconjunto de 〈a〉 que contém exatamente n elementos. Se b ∈ 〈a〉, digamos que b = am, para algumm ∈ Z, então, pelo algoritmo da divisão, existem q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < n, tais quem = qn+r. Logo, b = am = aqn+r = (an)q.ar = eq.ar = e.ar = ar ∈ {e, a, ..., an−1}. Assim, 〈a〉 = {e, a, ..., an−1} e, portanto, |a| = n. Corolário 2.8. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então a|G| = e. Demonstração: Sejam |a| = n e |G| = m. Pelo corolário anterior, n divide m, ou seja, m = nr, r ∈ N. Então am = anr = (an)r = er = e. Desse modo, a|G| = e. Exemplo 2.35. Como |S3| = 6, então para todo a ∈ S3, temos que a6 = e. Exemplo 2.36. Como |Z8| = 8, então 8.a = 0, para todo a ∈ Z8. Corolário 2.9. Se G é um grupo de ordem prima, então G é cíclico e é gerado por qualquer a 6= e. Demonstração: Seja p = |G|, em que p é um número primo. Tomemos a ∈ G, com a 6= e. Então |G| = |a|(G : 〈a〉), isto é, |a| divide |G| = p. Como |a| > 1 e os únicos divisores de p são 1 e p, então |a| = p = |G|. Logo, 〈a〉 = G. Exemplo 2.37. Em Z7, 〈a〉 = Z7, para cada a 6= 0. i i “Estruturas*Algebricas” — 2013/4/16 — 10:15 — page 56 — #50 i i i i i i 56 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS | Definição 2.17. Sejam 1 < r ≤ n inteiros. Um r-ciclo em Sn é uma permutação (i1, i2, . . . , ir) para i1, i2, . . . , ir inteiros distintos entre 1 e n. Proposição 2.10. Para todo inteiro n ≥ 2, temos que: (i) O grupo Sn é gerado pelos seus 2-ciclos; (ii) Os ciclos (1, 2) e (1, 2, ..., n) geram o grupo Sn. Demonstração: (i) Para cada r-ciclo temos que (i1, i2, ..., ir) = (i1, ir)(i1, ir−1)...(i1, i3)(i1, i2). Como toda permutação é um produto de r-ciclos, então toda permutação é um produto de 2-ciclos. Assim, os 2- ciclos geram Sn. (ii) Seja H o subgrupo de Sn gerado por a e b, em que a = (1, 2) e b = (1, 2, ..., n). Mostraremos que H = Sn. Por (i), basta mostrar- mos que cada 2-ciclo está em H. Como cada 2-ciclo se escreve como (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i), basta mostrarmos que cada 2-ciclo (1, i) está em H: bab−1 = (2, 3), pois aplicando as compostas, temos 1 → n → n → 1; 2 → 1 → 2 → 3; 3 → 2 → 1 → 2, 4 → 3 → 3 → 4, ..., n→ n− 1→ n− 1→ n. Assim, (2, 3) está emH. b2ab−2 = (3, 4) pois aplicando as compostas, temos 1→ n−1→ n−1→ 1 ; 2 → n → n → 2; 3 → 1 → 2 → 4, 4 → 2 → 1 → 3, ..., n→ n− 2→ n− 2→ n. Assim, (3, 4) está emH. · · · bn−2ab−(n−2) = (n− 1, n) e bn−1ab−(n−1) = (n, 1) Assim, temos {(1, 2), (2, 3), (3, 4), ..., (n− 1, n), (n, 1)} ⊆ H . Também, (1, 2)(2, 3)(1, 2) = (1, 3); (1, 3)(3, 4)(1, 3) = (1, 4); (1, 4)(4, 5)(1, 4) = (1, 5); ... ; (1, n− 1)(n− 1, n)(1, n− 1) = (1, n). Finalmente, {(1, 2), (1, 3), (1, 4), ..., (1, n)} ⊆ H. Definição 2.18.
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