Calculo_Diferencial_e_Integral_II_-_Armando_Righetto_e_Antonio_Sergio_Ferraudo[1]

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,
CALCULO
DIFERENCIAL
E INTEGRAL
VOLUME 11
Armando Righetto
Antonio Sérgio Ferraado
Professores do Instituto Politécnico
de Ribeirão Preto da
Instituição Moura Lacerda
IBEC - Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda.
1982
Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcançar
certos objetivos.
Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores em
quase todas as áreas: Social, Humana e principalmente as Tecnológicas.
Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indis-
pensáveis para um bom curso de Engenharia, de Física, de Estatística, de Medicina
e de Computação.
Os dois volumes são ricos em exercícids resolvidos e propostos. Estes, com
respostas e, quando necessário, com sugestões para sua resolução.
O primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano,
com 4 ou 6 'horas aula semanais. '
Cálculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: números reais, funções, limi-
tes, derivadas e diferenciais. Cálculo, 11, no segundo termo letivo, com a mesma
duração: integrais indefinidas e as técnicas de integração, integrais defrnidas, cálculo
de áreas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas.
O segundo volume poderá ter alterada a ordem dos assuntos.
Sugerimos, para Cálculo III, funções de várias variáveis, derivadas parciais,
diferenciais e equações diferenciais, com modelos matemáticos aplicados à Bio-
logia. Para o Cálculo IV: estudo de máximos e mÚlimos, derivadas direcionais,
integrais de linha, integrais duplas e triplas e séries.
Outros assuntos, como cônicas, quádricas, vetores, números complexos e
funções hiperbólicas, são tratados nos livros de Geometria Analítica e Vetores e
Números complexos e funções hiperbólicas de autoria do Armando Righetto.
Procuramos familiarizar o aluno com o pesnamento matemático e a mani-
pular modelos por métodos matemáticos.
Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos for-
maram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestões.
OS AUTORES
Ribeirão Preto, maio de 1981
ÍNDICE
Capítulo 1
Funções de Várias Variáveis '. . . 3
Conceitos Básicos. Limites. Continuidade. Problemas Resolvidos .. Problemas
Propostos.
Capítulo 2
Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ . . . . . . . . . . . .. 19
Acréscimos. Derivadas Parciais. Interpretação Geométrica das DerivadasParciais.
Derivadas Parciais de Ordem Superior. Invertibilidade da Ordem de Derivação.
Exercfcios Resolvidos. Exerdctos Propostos.
Capítulo 3
Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
Diferencial Total. Aplicações. Diferenciais de Ordem Supen'or. Problemas Resol·
vidos. Problemas Propostos.
Capítulo 4
Funções Compostas 79
Funções Compostas de uma VariávelIndependente. Funções Compostas de duas
ou mais VariáveisIndependentes. Diferenciação de Funções Compostas. Funções
ImpUcitas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 5
Máximos e Mínimos 109
Máximos e Minimos Locais. Hessiano. Pontos Extremos de Funções ImpUcitas.
Ajustamento de Retas. Máximos e Minimos Condicionados. Problemas Resolvi-
dos. Problemas Propostos.
Capitulo 6
Derivadas Direcionais 145
Conceitos. Gradiente - Divergente e Rotacional. Campo Vetorial. Curvas de
Nevel. Funções de três Variáveis - Derivada Direcional. Problemas Resolvidos.
Problemas Propostos.
Capitulo 7
Integrais Múltiplas 175
Integrais Duplos. Integrais Triplos. Aplicações. Transformações das Integrais
Múltiplas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 8
Integrais Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223
Definições. Notação Vetorial das Integrais CurviUneas. Propriedades das Integrais
CurviUneas. Teorema de Green no Plono. Teorema de Green no Espaço. Teore-
ma de Stokes. Problemas Resolvidos. Probl~masPropostos.
Capítulo 9
Séries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241
Séries. Convergência Absoluta e Condicional. Critérios de Convergência e Diver-
gência. Série~de Potências. Desenvolvimento em Séries de Potências. Problemas
Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 10
Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
Definiç6es. Solução de uma Equação Diferencial. Equação Diferencial de Pri-
meira Ordem e Primeiro Grau. Aplicações das Equações Diferenciais Lineares.
Aplicaç6es das Equações Diferenciais à Biologia. Problemas Resolvidos. Proble-
masPropostos.
1
FUNÇÕES DE vÁRIAS VARIÁVEIS
Reaqueça a confzança nos irmãos que esmo-
recem ao contato dos problemos do mundo e os
ajude a refletir na Bondade Divina que nos'
acolhe a todos. ,-
As funções reais de váriasvariáveisreais aparecem naturalmente em problemas
práticos.
Quando procuramos a área S de um paralelogramo de base x e altura y,
multiplicamos a base pela altura. Então, o valor de S :::::xy depende dos valores
da base e da altura.
Dizemos que a área S é função das duas variáveisx e y.
Da mesma forma concluímos que o volume de um paralelepípedo, de
dimensões x, y e z é uma função de 3 variáveis, pois V = xyz e a cada temo
de valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor determinado do volume.
Inúmeras funções podem ser definidas por fórmulas.
Assim, z = x + .JY - 4 é função das variáveis x e y. De fato, a cada
x
par (x, y) de números reais, com x '* O e y ~ 4,. corresponde um valor bem
determinado de z.
A Física, através de suas fórDulas, também oferece inúmeros exemplos de
funções de várias variáveis.
Sejam X, Y e Z, conjuntos de números reais, tais que, a cada x E X e a
cada y E Y corresponda, mediante certa lei f, um e um só z E Z.
1.1.1 - FUNÇÃO
Diremos que o conjunto Z é função dos
Y conjuntos X e Y.
Se a cada x E X e a cada y E Y corres-
ponder mais de um z E Z, diremos que
Z é uma relação de X e de Y.
Concluímos do exposto que
F = {(x, y, z) Ix E X, Y E Y, z E Z Iz = f(x, y)}
onde X e Y são denominados domínio e Z contradomínio. Usa-se representar a
função apenas pela lei de correspondência:
Façamos uma representação gráfica mais conveniente. Tomemos 3 eixos
ortogonais 2 a 2.
A cada par (x, y) corresponde um z.
O terno ordenado (x, y, z) tem por
imagem gráfica um ponto do espaço.
A função de 2 variáveis reais é defi-
nida em certos pontos (x, y) do plano
real; portanto, o conjunto D destes
pontos, domínio da função, é uma super-
fície de R2•
Fig. 1.2.
Quando a função f é de 3 variáveis x, y, z. A cada terno (x, y, z) corres-
ponderá, através da lei f, um valor real w = f (x, y, z). O conjunto de todos
os ternos ordenados (x, y, z) de números reais é o espaço R3 = R X R X R.
Logo, toda a função real de 3 variáveis reais é definida em um subconjunto D
do espaço tridimensional real.
, ///
................................................. 1.. .
Deternúnemos o domínio de algumas funções, construindo um esboço do
mesmo.
Exemplos:
/'
E1 Seja z = xyx-y
A característica da função z é um quociente e ele só é defInido para
x - y =1= O, isto é, para x =1= y.
O domínio de z é o conjunto D ~ {(x, y) E R21 x =1=y }, conjunto dos pon-
tos do plano xOy que não pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares
x = y.
./.
./
./
./
/
Se· f - VX - 2Ja a unçao z = -_-_-_-_-_.yy - 4
Além do quociente, temos que considerar a raiz quadrada. A função z é
definida para
x-2~O====>x~2
y-4>O===>y>4
D = {(x, y) E IR.2lx ~ 2 y > 4}
E3 \ Seja a função z = x2 - 3xy + y2 - 1.
\~ Esta função é de.fmidapara \Ix e \ty E IR, então:
D.....:R2
o domínio D é todq o plano real R2•
E4 Seja a função w = 4xy - 6xz + 8yz.
O valor de w é defmido em todo ponto (x, y, z) E R3• Podemos admitir
como domínio da função o espaço real R3•
D=R3
Es' Seja a função
w = J 1- x2 - J 4 - y2 - 2 J 9 - Z2.
Para w ser um número real bem definido
1 - x" ~ O, 4 - y" ~ O e 9 - z" ~ O
Resolvendo as desigualdades,.resulta
-1 :S:;;;x:S:;;;I,-2:S:;;;y:S:;;;2e-3:S:;;;z:S:;;;3
o domínio da função é
D = {(x, y, z) E IR31-1 :s:;;; x :s:;;; 1, - 2 :s:;;; y :s:;;; 2, - 3 :s:;;; z :s:;;; 3}
D ,-Geometricamente, o domínio D é um
// paralelepípedo de faces paralelas aos pla-
,/ nos coordenados.,
,/
No Capo 11I do 1Q volume estudamos limite de uma função real de uma
variável. Estendamos tal conceito às funções de duas ou mais variáveis.
Consideremos a função z = f (x, y) de domínio D C IR" e um ponto
(xo, Yo) E D, tais que f seja definida em pontos (x, y) bastante próximos do
ponto (xo, yo). Denominamos vizinhança circular de raio 6 do ponto (xo, Yo) ao
conjunto dos pontos (x, y), tais que:
O < .J (x - XO)2 + (y - Yo)z < 6
o < (x - XO)2 + (y - Yo)" < 6"
que constitui o disco aberto de centro (x o, Yo)'
Diremos que a constante Q E ]R é o limite da função f, quando o ponto
variável (x, y) tende para o ponto (xo, Yo), quando dado um número E: > O,
tão pequeno quanto desejarmos, for possível determinarmos em correspondência
com ele um outro número ô > O, tal que para todo ponto (x, y) que satisfaça a
demgwildade .
O < (x - xoi + (y - Yoi < ô2
tenhamos
If(x, y) - Q I< E:
1im f(x, y) = Q
(x,y) ~(xo,Yo)
1im f(x, y) = Q
x-+xo
Y-Yo
No cálculo de limites de funções de várias variáveis aplicamos as mesmas
propriedades estudadas no volume I.
Exemplos:
Calcule lim (1 + y2) sen 2 x .
x-o X
y-+l
Solução: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminação do tipo ~ .
Levantamos a indeterminação
1irn (l + y2) sen 2x = lim sen 2x
x -+0 xy x-o X
y-+l y-+l
lim 1 + y2
x-o y
y-+l
FUNÇOES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
lim (l + y2) sen 2x = 2 [ lim sen 2X] • 1 + 1
x~o xy x~o 2x 1
Y~l Y~l
, v .J
-1
lim (l + y2) sçn 2x = 2 • 1 • 2 = 4
x~o xy
Y~l
Calcule lim 2';.
x~o X Y
y~o
Solução: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminação do tipo ~ .
Procuremos levantar a indeterminação. _
O ponto (x, y) está próximo da origem. São ,inúmeros os caminhos de
aproximação do ponto (x, y) à origem e sempre através de uma reta.
S . 2xy 2y drni' d vizinho d'eJa z = + - e a tin o que, nas anças a ongem,
x y 1 +L
x
o ponto (X, y) tenda a (xo, Yo) através da reta
y = mx ====>.L= m
x
19 Caminho:
Segundo a reta y = x, portanto, m = 1. Daí,
lim 2xy = lim 2y = lim 2y = 2 • O = O
X ~o x + Y x ~o 1 +.l. x ~o 1 + m 1 + 1
y~o y~o X y~o
29 Caminho:
Segundo a reta y = O (eixo dos x) ====>- m = O. Assim,
lim 2xy = 1im 2y _ lim 2y =-º-= O
(x,y)~(o,o) x + y . (x,y)~(o,o) 1 +1: (x,y)-(O,o) 1 + m 1
- x
39 Caminho:
11'
Segundo a reta x = O (eixo dos y) ====> m = tg 2" = 00. Neste caso,
lirn 2xy = lim 2y O O
(x,y)-+(o,o)X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m - 1 + 00 =
49 Caminho:
Segundo a reta y. = - x ==:> m = - 1. Nestas condições,
lim _2_x~y_= lim _2 y__ O
(x,y)-+(o,o) X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m O
Uma função z = [(x, y) diz·se contínua no ponto (xo, Yo) quando
lim [(x, y) = f(xo, Yo)
X-+Xo
y-+Yo
Se esta condição não for satisfeita, a função será descontínua no ponto
(xo, Yo)'
Exemplos:
E1 Verifique a continuidade da função z = 2xy - 4 no ponto (2, 1).
Calculemos:
lim (2xy - 4) = O
X-+2
y-+l
~ Verifique se a função [(x, y) = 2 - Y senx é contínua no ponto (O, O).
x
Calculemos:
[(O, O) = 2 ~ O sen O == g (Deixa de existir o valor da função).
tim 2 - Y lim (2 ) ti sen x 2 1 2e --senx= -y m--= • =
x-o X x-o x-o X
y-o y-o y-o
Nota: Em casos como este, onde deixa de existir o valor da função, mas
existe o valor do limite, podemos modificar a definição da função de modo a
tomá-Ia contínua.
~sim:
z =f(x. y) {
_2_-_y_ senx para x =1=O
x
.;:) Determine o domínio da função z = Qn (4 - x - 2y) e faça um esboço grá-J fico.
Solução: Examinemos a função
z = Qn (4 - x - 2y)
Existirá z real para
4 - x - 2y > O ou x + 2 Y - 4 < O
D = {(x, y) E lR?lx + 2y - 4 < O}
Vejamos o esboço gráfico.
A desigualdade x + 2 y - 4 = O
e não situados sobre a reta.
Representemos a reta
x + 2y :- 4 = O
.paray = O--> x = 4
para x = 0--> y = 2
Experimentemos o ponto (O, O) na
desigualdade x + 2y - 4 <
< O > O + O - 4 < O. O
ponto (O, O) satisfaz a inequação,
logo o semi-plano é o hachurado.
Ç\
~ Determine o domínio da função z = .j - x' + 5x - 4 - v' 3Y - y' e repre-
sente-o geometricamente.
Solução: Examinando a função, notamos que z real acontece quando
- x2 + 5 x - 4 ~ O e 3 y - y2 ~ O
Resolvendo as inequações:.
- x2 + 5 x - 4 ~ O =-~--->- 1 ~ x ~ 4
3y_y2~O_~>O~y~3
Então,
D = {(x, y)E R211 ~ x ~ 4 O ~y ~ 3}
Representemos graficamente
PR3 Calcule o lim _x_ (1 + yl )Y
(x,Y)-+-(O,+oo) sen x \
lim x (1 +1..)y . lim 2:.- lim (1 + yl)Y =
(x,y)-+-(o,+oo) sen x Y x-+-o sen X x-+-o
y-+-+oo y-+-oo
J (- 2)2XCalcule lim x (l + x) .-y-2--x-o Y ! - 4
Y-2
Solução:
lim x~1 + x) (y - 2)2X = lim (1 + X)l/X (y - 2)2 =
x-o V y2_ 4 x-o y2 - 4
Y-+-2 Y-2
PRs Calcule lirn (x
2 + 2x - 3)(y2 - 1)
"""J/ (x,y)-+( -3,1) xy - x + 3y - 3
Solução:
lirn (x2 + 2x - 3xy2 - 1) =
(x,Y)-+(-3,l) xy - x + 3Y - 3
_ 1im (x + 3)(x - 1)(y + 1)(y - 1) =
(x,:Y)-+(-3,1) x(y - 1) + 3(y - 1)
_ lim ..(x-l-3J(x - 1Xv + 1XJz--11 =
(x,y)-+(-3,1) ~
PR6 Calcule 1im 1 - cos x Qn (1 + y)
x-+o xy senx
y-+o
Solução:
lirn 1 - cosx Qn (1 + y) = lim [1 - cosx] [.1. fln (1 + y)] _
X-+O xy sen x X-+O X sen x y
Y-+O y-+o
= 1im [1 - cosx] [Qn (1 + y)l/Y] =
x-+o X sen x X-+O .
y-+o y-+o
= lirn (l - cos xXI + cos x) Qn [ lirn (1 + Y)l/Y] _
x-+o (senx(1 + cosx) x-+o,
Y-+O y-+o
sen2 x----------..
= 1im 1 - cos
2
x Qn [ 1im (1 + Y)l/Y] _
x-+o X senx(1 + cosx) x-+o
Y-+O Y-+O
= 1im senx 1im 1 Qn [ 1im (1 + y)1/Y] _
x-+o X X-+O 1 + cos x x-+o
y-+o· Y-+O Y-+O
=1 1 n ·11 + 1 Jt.ne =2"
PR
7
Calcule lim x
2y - 2x2 - 5xy + lOx + 4y - 8
x -+ 1 x2y - 2 x2 - y + 2
Y-+2
Solução: ~e passarmos ao linúte chegaremos a ~. Levantemos a indeter-
núTIação
lim x2 Y - 2 x2 - 5 xy + 10 x + 4Y - 8 =
X-+1 x2(y - 2) - (y - 2)
Y-+2
= lim x2 (y - 2) - 5x (y - 2) + 4 (y - 2) =
x -+ 1 x2 (y - 2) - (y - 2)
y-+2
= lim (x2 - 5 x + 4)(;)z.----21= lim (x - 4)(x--t) _
X-+1 (x2 - l~ X-+1 (x + l)(.x----t)-
y-+2 y-+2
1 - 4 3
- 1 + 1 = -2'"
Estude a continuidade da função z ::: Qn (x2 + y2).
SoluçãÓ: Como g (x, y) = x2 + y2 e f(w) = Qnw, podemos considerar a
função z = Qn (x2 + y2) como composta de g com f:
(fog)(x, y) = f[g(x, y)] = f(x2 + y2) = Qn (x2 + y2)
Esta função é descontínua apenas no ponto (O, O). Portanto, é contínua na
região R2 - {(O, O)},
aw = sen-
(3
A função w é descontínua apenas para [3= O. Portanto, é contínua nos
semi-planos abertos
D1 = {(a, (3) E R21[3 > O} e D2 = {(a, (3) E R21[3 < O},
conforme o gráfico.
PR 10 Estude a continuidade da função
w = 4xyz
.J 9 - x2 - y2 - Z2
Solução: Existe w = f(x, y, z) se, e somente se, 9 - x2 - y2 - Z2 > O
ou x2 + y2 + Z2 < 9. Portanto, a função w é contínua na bola aberta de
raio 3.
PRll\Verifique se a função f(x, Y) = 1
1
- yX . y
2
- ; é contínua no ponto
- x y-
(1, 2).
Solução: Calculemos:
l-I
f(l, 2) = I _ I
4-4 O=-
2 - 2 O
1 - . rx y2 - 4lim __ v_~. --- -
l-x y-2-X-J
Y-2
= lim (1 - vx)(I + vx) lim (y + 2)(y - 2) =
X-I (1 - xXl + vx) X-I y - 2
y-2 Y-2
1
= ;~1.L-.(l'---'lI:~)(1 :- vx) X~l (y + 2) = I ~ I (2 + 2) = 2
Y-2 y-2
A função é descontínua no ponto (1, 2). Para torná-Ia contínua teremos que
redefini·la, assim:
{
I - vx- . _y_2_-_4_ para x =1= I e y =1= 2
f (x, y) = 1 - x y - 2
2 para x = 1 ey=2
Determine, em cada caso, o maior subconjunto de R3 no qual são defmidas
as funções:
PP
2
W = x + y - z + 2
xyz
pp4 Z = x - 2y + -J 12 + x - x2
~4y _y2
PP5 z = -J Iy I - Ix I
~2x -y - 1z= .Jx+3y-4Calcule lim 2y
(x,y)-(o,o) x + y
Resp.: ~
Calcule 1im y [cotg xl ~n (1 + tg x)
(X,y)-(O,o) e2Y - 1
1
Resp.: 2"
PP10 Calcule lim 22xy 2
x-o x + Y
y-o
Resp.: ~
PPu Calcule ~2 (V"X - ~ ;);1 + 2y)
y-o
V2Resp.: -2-
. esen2X - 1 y 3PP12 Calcule 1im ----. -x -o sen x cos x y2 - 7y + 12
y-3
Resp.: -2
f (x, y) = x2 - 4x + 3 • y2 + 4
x2 - 6x + 9 Y - 2
Resp.: Contínua nos pontos {(x, y) E R21x =1=3 e y =1=2}
PP13 Descreva o subconjunto de ]R'2 em que a função z = cos ; é contínu.a.
Resp.: É contínua nos semi-planos abertos
D" = {(x, y) E R"ly < O}
Descreva o subconjunto de ]R" em que a função [(x, y) = x + Y .x-y
Resp.~·Semi-planos abertos {(x, y) E ]R" Ix #: y}.
PP1S Descreva o subconjunto de ]R" em que a função [(x, y) = 2n (y - x).
Resp.: Semi-planos abertos {(x, y) E]R21y > x}.
PP16 A função w = Ix + y - z + 21 é contínua em ]R2. Justifique.
PP17 Determine o conjunto de pontos para os quais a função [(x, y, z) -
= ~ x2 + y2 + Z2 - 9 não é definida.
PP18 Determine o ponto para o qual não é definida a função w = X2y2 fn Izl.
Resp.: z = O
PP19 Dê o domínio de [(x, y) = arc sen 2x +- y.
x Y
1
2X -y!Resp. : x + y =:;;; 1
PP,o Sendo f(x, y) = x3 - 2xy +3 y2, Calcule f(;, ~).
1 4 ]2Resp.:---+-x3 xy y2
2
DERIVADAS PARCIAIS
Não te queixes, trabalha.
Não te desculpes, aceita.
Não te lastimes, age.
Não provoques, silencia.
Não acuses, ampara.
Não te irrites, desculpa.
Não grites, pondera e explica.
Não reclames, coopera.
Não condenes, socorre.
Não te perturbes, espera.
Nada exijas dos outros,
Conta sempre com Deus.
Seja a função z = f(x, y) definida na região D C lR? Tomemos o ponto
(x, y) E D e atribuamos a x o acréscimo 6.x e a y o acréscimo fj.y, tais que o
ponto (x + b,.x,y + fj.y) ED.
O acréscimo da função quando passamos do ponto (x, y) ao ponto
(x + b,.x, Y + 6.y) é
fj.z = f(x + fj.x, y + fj.y) - f(x, y)
e se chama acréscimo total da função.
A variação das variáveis independentes x e y pode ser aferida através da
distância fj.Qentre os pontos (x, y) e (x + fj.x, y + fj.y).
A - 6.z f(x + fj.x y + fj.y) - f1x y) - . alrazao - = ' " , é uma razao mcrement efj.Q 6.Q
seu limite, para fj.Q ) Q, definiria a derivada de z = f(x, y), no ponto,
caso o limite existisse.
Entretanto, este limite quase sempre não existe, pois o ponto, (x, y)
poderá aproximar-se do ponto (x + ô'x, y + ô.y) de inúmeras maneiras e o limite
vai depender da maneira de aproximação, isto é, da direção de aproximação.
Estas considerações levar-nos':ão ao conceito de derivada direcional, que estuda-
remps mais adiante.
I - Acréscimo parcial em x
Seja a função z = f(x, y) e o ponto (x, y) ED. Conservemosy constante
e atribuamos a x o acréscimo ô'x, tal que o ponto (x + ô'x, y) ED. O acréscimo
da função quando passamos do ponto (x, y) para o ponto (x + ô'x, y) é
t1xz = f(x + ô'x, y) - f(x, y)
I~~"~"T......... iz
.II - Acréscimo parcial em y
Se na função z = {(x, y) conservarmos x constante e dermos a y o acr~s-
cimo 6y, de modo a passarmos do ponto (x, y) ao ponto (x, y + 6y), também
pertencente a D, teremos o acréscimo parcial em y,
6yz = {(x, y + 6y) - {(x, y) .
... -_......1"y Z
z I 1.<;:::/{li.Y::i
(ill.'!'~y
Vimos no capítulo anterior que 6xz = {(x + 6x, y) - [(x, y) e 6yz =
= {(x, y + 6y) - {(x, y) são os acréscimos parciais em x e y, respectivamente.
As razões 6xz = {(x + 6x, y) - {(x, y) e 6yz = {(x, y + 6y) - [(x, y)
6x 6x 6y 6x
são as razões incrementais da função z em relação a x e a y.
Os limites destas razões para 6x ) O na primeira e 6y ) O na
segunda, caso existam, são as derivadas parciais da função Z ={(x, y).
Assim:
1im 6xz = {(x + lu, y) - {(x, y) = az =D {( ) = -r' ( )
Ax -+0 6x lu ax x x, y J X x, Y
1im 6yz = {(x, y + 6y) -{(x, y)= az =D {(x ) ={,' ( )
Ax-+o 6)' 6y ay y , y y x, y
Exemplos:
E1 Determine a derivada parcial de z = X2y2 - 3xy + 4 em relação a variável
x.
Atribuamos a x o acréscimo 6x e façamos y fIxo, teremos:
Valor inicial da função:
f(x, y) = xZy2 - 3xy + 4
Valor acrescido da função:
f(x + Ôx, y) = (x + ÔX)2y2 - 3 (x + 6.x)y + 4
Valor acrescido Valor inicialr_--- Á , r__---A--- •••••••"
ÔxZ == (x + ÔX)2y2 - 3 (x + Ôx)y + 4 - (X2y2 - 3xy + 4)
6.xz _ [x2+ 2x Ôx + (ÔX)2]y2- 3 (x +Ôx)y + 4 _X2y2 + 3xy - 4
Ôx - Ôx
6.xz- =X2y2 + 2xy2ôx +y2(ÔX)2 ,- 3xy - 3y6.x + 4 _X2y2 + 3xy - 4
6x 6.x
6.xz 2xy26.x - 3y 6.x +y2 (6.X)2 E&t d di·--Ô-x-= ------------'-Ô-x- ......•..--.....--· le uan O a Vlsao-->
6.xz=>--= 2xy2 - 3y +y2ôx
ÔX
Ôxz
lim - = lim (2xy2 - 3y + y26.X)
tox-o 6.x tox-o
'-----v-----'
ôz "-=2xy"- 3y
ôx
Observação: Chegaremos a este resultado de forma mais simples aplicando
as regras de derivação estudadas no Cap..N do volume I e considerando
y constante quando derivamos parcialmente em relação a x e, x constante,
quando derivamos parcialmente em relação a y.
Assim:
az 2
C-=2XY -3yaxz = X2y2 - 3 xy + 4 az Z-= 2x Y - 3xay
Ez DeterIlÚne as derivadas parciais de z = sen (x + 3y) - cos (2 x - y).
Solução: Apliquemos a regra prática:
der. sen • der. arco der. cos • der. arco
__ Á A
az' --.., r. ---,
ZC aX = COS(X + 3y) + 2sen(2x - y)
azay = 3 cos (x + 3y) - sen (2x - y)
Uz~ •...2 ~ ~Determine as derivadas parciais de z = Qn x2 - yz com ".2 ~ Y~:> (),'x + Y x -,-y:l. I
Solução: Preparemos a função:
az x
ax = x2 _ yZ
_ 2xy2
- x4 _"y4
x = x3 + xy2 _ x3 + xy2 =
XZ + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2)
az -y
ay = xZ _ y2
2x2y- - x4 _ y4
y = _x2y _ y3 _ x2y + y3 _
x2 + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2)
2.3 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS
PARCIAIS
Seja z = f(x, y)
urna função defInida na
região D C R 2 tendo
por imagem gráfica a
superfície S do R3 que
se projeta sobre D no
plano xOy.
Fixemos x, fazendo-o igual a Xo. A função z = f(xo, y) será unicamente
da variável y e representará a curva Cb intersecção do plano x = xo, paralelo
ao plano yOz, com a superfície S de equação z = f(x, y).
Se fIZermos y = Yo, a função z = f (x, Yo) será unicamente da variável
x e representará a curva C2, intersecção do plano y =Yo, paralelo ao plano xOz,
com a superfíCie S.
Obtemos, assim, o ponto Po(xo, Yo, zo) da superfície Se intersecção das
curvas C1 e C2•
A derivada parcial aaz nos dá o declive da tangente t2 à curva· C2 no
Xo
ponto Po (xo, Yo, zo), em relação à reta (7), paralela ao eixo dos x.
~
z-= tgaaxo
A derivada p~cial aaz nos dá o declive da tangente ti à curva C1no ponto
Yo
Po, em relação à reta (s) paralela ao eixo dos y
I az ~p Iayo
As duas tangentes tI e tz, tangentes à superfície S no ponto Po, determinam
um plano tangente à superfície S, cuja equação geral é
Como ele passa pelo ponto Po (xo, Yo, zo), sua equação é satisfeita pelas coorde-
nadas do ponto, assim:
Axo + Byo + CZo + D = O (2)
Subtraindo a (2) da (1) > A (x - xo) + B (y - Yo) + C(z - zo) = O.
Isolandb o termo em z ->
A B. > z - Zo = -C(x - xo) -C(y - Yo) (3)
Para y = Yo na (3) ====> z - Zo = - ~ (x - xo), equação da reta tz, tangente
-'
à S no ponto (xo, Yo, ~o).
Portanto,
A az--=tga=-
C axo
Para x = Xo na (3) ====> z - Zo = - ~ (y - Yo), equação da reta th tangente
à S no ponto Po.
Portanto,
B az
--=tg{3=-C ayo
-Substituindo na (3) - ~ e - ~ pelos seus respectivos valores, resulta
az az·z - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayo
equação do plano (17) tangente à superfície S de equação z =I(x, y), no ponto
Po (xo, Yô, zo). Deduzamos agora as equações canônicas (simétricas) da normal
à superfície S no ponto Po (XO, Yo, zo).
A normal (n) à superfície S no ponto Po (xo, Yo, zo) é perpendicular ao
plano (n) tangente à superfície no mesmo ponto e conseqüentemente perpendicular
às tangentes tI e tz.
O vetor diretor da reta (n), normal à superfície S é, portanto paralelo ao
~
vetor normal do plano (17) Vn = (A, B, C).
~
A normal n = [Po (xo, Yo, zo); Vn = (A, B, C)],terá por equações
x - Xo Y - Yo z - Zo
- -A B C
x - Xo Y - Yo Z - Zo
-C--= -C--= -C--A B C
x - Xo
A
-C
Y - Yo Z - Zo
- -B C
-C -C
A ôz B ôz CComo --= - -- =- e --= -1 resulta
C ôXo' C ôYo C '
x - Xo
ôz
ôXo
Y - Yo z - Zo
- -ôz -1
ôYo
Exemplos:
E1 Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície z =
= x2 - 4 y2 no ponto P~(5, - 2).
Solução: Determinemos o ponto Po (xo, Yo, zo), determinando
Zo = (5)2 - 4 (- 2)2
~ ~
Xo Yo
Zo = 25 - 16
Zo = 9
Então, Po (5, - 2, 9).
As funções derivadas parciais são
C~=2Xôxz = x2 ~ 4y2 ôz-= -8yôy derivadas--> ====>no ponto
~. ôz
C- = 2·5 = 103xo---> ôz- = -8(-2) = 16
ôYo
a) Equação do plano tangente:
az azz - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayo
z - 9 = 10 (x - S) + 16 (y + 2)
z - 9 = 10x - SO + 16y + 32
110X + 16y - z - 9 = O I
b)IEquação da normal:
x - Xo
az
axo
x-S_y+2_z-9
10 - 16 - -1
Dada a função z = f (x, y), diferenciável, as suas derivadas, parciais são
funções das -mesmas variáveis.
Assim, ~: = Ix (x, y) e ~; = I; (x, y).
Podemos querer derivar parcialmente estas derivadas. Se for possível, obte-
remos as derivadas parciais de segunda ordem da função inicial. As derivadas
parciais das derivadas de segunda ordem, se existirem, constituirão as: derivadas
parciais de terceira ordem; e assim sucessivamente.
Partindo de z= 1(x, y)
a (az) a2z 4:"az C ax ax = ax2 = Jx,x (x, y).
ax = Ix (x, y) () 2a az a z ,ay ax = axay = Ix,y (X, y)
. a (az) a2z r' ( )
C ax ay = ayax =Jy,~ x, Yaz , ( )ay =Iy x, Y 2a (az) a z r'- - =-=Jyy(x,y)ay ay ay2 '
Notamos no dispositivo acima que as derivadas parciais de primeira ordem são
Ix e /y. Se essas funçõe~ derivadas admitirem derivadas parciais, iremos obter
4 funções derivadas parciais de segunda ordem:
h,x; Ix:y; íJ,x e íJ,y
Se as derivadas parciais de 2' ordem admitirem derivadas parciais, iremos obter
8 derivadas parciais de 3' ordem, conforme os dispositivo abaixo.
Se for possível continuar derivando, obteremos 16 derivadas de 4' ordem, e assim
sucessivamente. A função derivada parcial de 2' ordem a~2:yindica a derivada
obtida após derivar duas vezes, a primeira vez em relação a x e a segunda vez
em relação a y.
Já a função derivada parcial a
3
z indica a derivada obtida após 3 deri·'axay2
váveis sucessivas, a primeira vez em relação a x, a segunda vez em relação a y
e a terceira vez em relação a y.
Consideremos agora a função w = f (x, y, z) e consideremos possível a
sua derivação sucessiva.
DElUV ADAS PARCIAIS 29
E4~Xh,x, h,~,y
Ix"X,x,Z
E4Y,XIx ' . "t'x,y t'x,y,y
Ix"x,y,z
/ E4~Xh,z h,~,y
{;."x,z,zE!Y.~.x
t;,x 1J,~,y
h"Y,X,z
~"E y,y,x
w = {(x, y, z) Íy tY.y, !Y.Y,y
. "'''" 'y,y,zE!Y.~x
t;,zt;,~,y
Ii,~z
Et.:~,x
Íz:x Iz:~,y
. t'z"Z,X,z
Et.:~.x
t;, h,y Iz:'y,y
Íz"z,y,z
Et.:~x
Iz:z . Iz:~,y
Iz"Z,Z,z
Exemplo:
Dada a função z = x4 - 3x3y + 6X2y2 - 4xy3 - 6y4 + 2, determine as derivadas parciais de 3~ ordem
( te)
\ - --- .\ '() "I /
N d . das Ô
3
Z Ô
3
Z - difiotamos que as enva extremas -3 e -3 sao erentes, enquanto as
ôx ôy
mistas são iguais 3 a 3, mostrando-nos a invertibilidade da ordem de derivação:
2.5 - INVERTIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAÇAO
Conforme o exemplo estudado, notamos que a ordem de derivação é irrele-
vante, se as derivadas parciais forem contínuas.
Teorema de Schwarz: Se a função f (x, y) admitir todas as derivadas parciais
de 2ª, ordem na região D C R2, e se estas derivadas forem funções contínuas em
D, então:
ô2f ô2f-ô Ô =-ô ô emtodoponto~EDx y' y x
Este teorema se estende às derivadas mistas de ordem superior à 2ª, ordem. Assim:
ÔSz ôSz ôSz
ôxôxôxôxôy - ôxôxôxôyôx - ôxôxôyôxôx -
asz ôSz
- ôxôyôxôxôx - ôyôxôxôxôx
podendo todas estas derivadas serem representadas unicamente por ô:z , indi-
ôx ôy
cando que a função z deve ser derivada 4 vezes em relação a x ~ em relação
ay.
O número de derivadas parciais distintas de ordem n nos é dado pelas
combinações com repetição de m elementos (número de variáveis independentes)
tomados n a n.
(CR) - C - (m + n - IXm + n - 2) ... em + 2Xm + 1)mm,n - m+n-l,n - n!
Uma função de várias variáveis y = F (x h X2, X3, ••• , xm) dir-se-á de
classe Cn em uma região D C Rm, com n inteiro positivo, se e somente se exis-
tirem e forem contínuas em D todas as derivadas parciais de F de ordens 1, 2,
3, 4, ... , n. Escrevemos
F E Cn (classe de diferenciabilidade).
PR1 Deternúne, em cada caso, as derivadas parciais da função:
z = (x2 - xy +y2t
Solução: Notemos a existência das componentes potência e base.
PR2 Z = xy • yX, com x > O e y > O.
Solução: Nos dois fatores figuram x e y, teremos então a função produto
õz , ,
C õx = JlxV + JlVxz õz , ,õy = Jlyv + JlVy
a) Deternúnação de ~:. Em relação a x
Il = xy (potência natural) ====>: Jl~ = yxY-1
V = yX (exponencial) ===.=-.::::.-~> v~ = yX ~n y
b) Detenninação de ~;. Em relação a y
JJ. = xY (exponencial) --> JJ.~ = xY inx
v = yX (potência natural) ====:> Vy = xyX-l
PR3 Z = cos2(v'X - y).
Solução: Notemos a existência das 3 componentes: potência, co-seno e arco.
~z = [2 cos(vx - y)][-sen(-vfX - y)]" _Ir::-x ,_______ ,;2 v x
v
- seno do arco duplo
sen2(y'X - y)
- -
2 v'X
az = [2 cos (-vfX - y)][-sen(v'X - y)](-I) = sen2(v'X - y)ay
PR4 Z = X3y2 + x22ny - cos(xy).
Solução: Na última parcela, quer em x ou y, temos as componentes co-seno
e arco
zC ::= 3X2y2 + 2x 2ny + y sen(xy)
az x2- = 2x3y +- +x sen(xy)ay y
PRs z = xex-y +yex+y•
Solução: Em relação a x, a primeira parcela é função produto, pois tem x nos
dois fatores e, em relação a y, a segunda parcela é função produto.
C .az = (1e
X-Y + xex-y • 1) +yex+y • 1ax
z az = xeX-r(-I) + (1 eX+Y + y~+Y • 1)ay
C~:= (l + x)e
X-Y + yeX+Y
z ÔZ = (l + y)eX+Y _ xeX-Y
ôy
eX, PR6 w =- - ~nxyz + sen(x - 2z)
eY
Solução:Preparemos a função: w = eX-Y - ~nx - ~ny - ~nz + sen(x - 2z)
ôw = eX-Y • 1 - 1-+ [cos (x - 2z)] 1
ôx x
ôw = eX-Y (-1) _1-
ôy y
ÔW 1 .
ôz = - Z + [cos(x - 2z)](- 2)
ÔW eX 1
- =- --+ cos(x - 2z)
ÔX eY x .
ÔW eX 1-=----
ôy eY y
ôw 1
ôz =-z-2cos(x-2z)
PR7 Z = x2 ~nxy.
Solução: Notemos que em relação a x a função é do tipo JlV (produto),
pois tem x nos dois fatores.
Função preparada: z = x2 (~n x + ~ny)
, , + ' Et-z = uv -~> Zx = UxV UVX. n ao, como
u = x2 ====:::> u~ = 2x
v = ~nx + ~ny ====> v~ =-;
, 2 1> zx = 2 x (~n x + ~n y) + x - >
x
-> z~ = 2xQnxy + x
az 2 1 x2-= X -=-ay y y
C z~ = 2x Qnxy + xz = x2(Qnx + Qny)- , x2z =-y y
PRs z = f(senxy).
Solução: Notemos que a derivada da função f é a mesma, quer em relação
a x, quer em relação a y. O mesmo acontece com a derivada do seno. Apenas
as derivadas do arco são diferentes
d . d f derivo d' denv. e d env. o arcoecosaz ---------- ,...-A--... ...----A----
C ax = rr (sen xy )][cos xy J yz = f(sen xy) .-az rray = (senxy)][cosxy]x
a -- C a: = y rr (senxy)] cosxy
z = f(senxy)
~; = x [f' (sen xy)] cos xy
Solução: Preparemos a função:
f(x, y) = senx-1 y + Qny - Qnx
af [ -1]( -2) 1
C-= cosx Y -x y--ax xf(x, y) af = [cosx-1Y]X-1 +1.-ay y
af y y 1
f(x, y) C ax = - x2 cos"X-X"
af 1 y 1-=-cos-+-ay x x y
PR10 Dada a função z = f(;), verifique se x :~ + y :; = o.
Solução:
1. Deternúnemos as derivadas parciais de z
x af +yEt=~t(x) _x t(x) =0ax ay y y y Y
Sim.
_ all all 31l 2
PRu Dada a funçao Il = are sen (xyz), verfique se 3x • 3y • az = see Il tg Il·
Solução:
1. Determinação das derivadas parciais
_a Il_ = --;:==1==yz
3x v' 1 - (XYZ)2
all = 1 xz
3y .J 1 - (XYZ)2
all 1
-= ---""""'X.Yaz v' 1 - (xYZ)2
2. Verificação da igualdade ~~ • ~; • ~~ = see Il tg2 Jl. Montemos o produto
das 3 derivadas
'"
a Il a Il a Il _ yz • xz • xy
ax . 3y • ai - [.J 1 - (XYZ)2]3
31l • all • all = (xYzi
3x 3y ax [v' 1 - (xyz)2]3
De Il = are sen (xyz) > xyz =sen Jl.
SubstitUindo em (1) =>
ap. ap. ap. sen"p.
-->_.-.-= ------ ax ay az [y' 1 - sen"p.]3
sen"p. 1 sen" p.=--= __ 0_-
cos3 P. COS J.l cos" J.l
v
COS J.L
PR 12 Ache a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície
z" = x2 + y2 no ponto (3,4, 5).
Solução: Vimos que a equação do plano tangente (1T) à superfície z no ponto
Po (xo, Yo, zo) é
az az
z - Zo = axo (x - xo) + ayo (y - Yo)
Determinemos pois as derivadas parciais no ponto.
De Z2 = x2 + y" > Z = .J x2 + y2 (z = 5 > O)
az 1 -\, az
ax = ~y'X2+y2 ""x => axo =
_ 1 3=1
v9 + 16 S
az 1 -b az
ay =.~ y'x2 + y2 ",y => ayo =
_ 1 4 =.±..
V9 + 16 S
Substit]lipdo na equação do plano (1T)
z'- 5 =l(x - 3) +.!(y - 4)5 5
5z - 2S = 3x - 9 + 4Y - 16
13X + 4y - 5z = O I
As equações simétricas da normal (n) são:
x - Xo Y - Yo z - Zo
- -az az -1
axo ayo
Então, (n)
x-3_y-4_z-5__ x-3_y-4_z-5
3 - 4 - -1 --.> (n) 3 - 4 - -5
- -
5 5
PR 13 Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície x2 +
+ y2 + Z2 = 38, no ponto que se projeta sobre o plano xOy em (2,3) e
tem z > O.
Solução:
1. Determinação do ponto Po (xo, Yo, zo).
Temos Xo = 2 e Yo = 3. Substituindo na função, vem 4 + 9 + Z2 =
= 38 => 1 z 51, pois, z > O
2. Determinação das derivadas parciais em Po•
Preparemos a função x2 + y2 + Z2 = 38:
z = ..j 38 - x2 _ y2
3. Determinação da equação do plano tangente.
Como (1T)
-........
az az 2
z - Zo = -ax-o (x - xo) + -ay-o (y - Yo) =-.::=----.> Z - 5 = - "5 (x -.2) -
3-SÓ' - 3)
5z-25=-2x+4-3y+9
\2x + 3 y + 5 z - 38 = O I
4. Determinação das equações canânicas da normal (n).
Como (n)
x - Xo Y - Yo z - Zo
-õz õz -1- -õXo õYo
Substituindo em (n)
x-2_y-3_ z-5
2 - 3 - -1
-- --5 5
x-2_y-3_z-5
2 - 3 - 5
PR14 Determine o ponto da superfície z = x2 + y2 - 4x - 6y + 9 em que o
plano tangente é paralelo ao plano cartesiano xOy.
Solução: Se o 'plano tangente à superfície z for paralelo ao plano xOy, as
derivadas parciais de z serão nulas.
C _õ_z= 2x - 4==:> 2x -4 = 0==> x = 2ÕXz õz- = 2y - 6===>" 2y - 6= 0--> Y = 3õy
z=4+9-8-l8+9
z =-4
O ponto procurado é Po (2, 3, - 4).
PR 15 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da função
y2 x2
z=----
X Y
Solução: Preparemos a função:
F.P. (função preparada)
z = X-1y2 _ x2y-1
a2z 2 2x2- - 2x-1 2x2y-3-2 - - -----ay x y3
PR16 Calcule as derivadas parciais de 2~ ordem da função z = e2Y sen x no ponto
Po(rr/6, O).
z[
a2z = vf3
axoayo
a2z-=2ayJ
. X
PR17 Calcule as derivadas parciais de 3~ ordem da função z = ey + Qn (xy).e
Solução: Preparemos a função
F.P. => z = eX-Y + Qnx + Qny
Aplicaremos a invertibilidade da ordem de derivação, calculando as derivadas
parciais extremas e delas as mistas, assim:
[
~: = eX-Y + ~ r
z az _ x-y +1.-
ay - -e y l
PR V 'f' f - 2 xy , h ~.18 en lque se a unçao z = arc tg 2 2 e armomcao
x -y
Solução: "Uma função z =f (x, y) diz-se harmônica quando satisfaz à equaçãoa2z a2z
de Laplace - + - = O",ax2 ay2
a2z a2z
Calculemos então --2 e -2 oax ay
derivo do arctg
~
1
4X2y2
1+---(x2 _ y2)2
1
- (x2 _ y2)2 + 4X2y2
(x2 _ y2)2
az
ax -
az-=ay
1
4X2y2
1+---(x2 _ y2)2
derivo do quoçj.ente
F .A ,
2y (x2 - y2) - 2xy • 2x _
, (x2 _ y2)2
2x2y - 2y3 - 4x2y
(x2 _ y2)'1.
2x(x2 - y2) - 2xy(-2y) =
(x2 _ y2)2
1 2x3 - 2xy2 + 4xy2- ,--------
(x2 _ y2)2 + 4X2y2 (x2 _ y2)2
(x2 _ y2)2
, . ,
Ob - 2xy • d t' U 1 _ Ux
V - UVxservaçao: 2 2 e o lpO-, portanto, em re açao a x ==--=--=....> 2
X -y V V
U~V UV~
, r A__ -.., ~
> Ux = 2y 2y(x2 _ y2) - 2xy • 2x
=--=----> 2 2 2
V = X2 - y2 ====.> V~ = 2x (X - Y )
, I
2xy U· UyV - UVy
2 2 é do tipo -, portanto, em relação a y --> --v-
2
--
X -y V
, UV'UyV Y
r A \ ~
2x(x2 - y2) - 2xy (-2y)-->----------
2 2 ' 2 (x2 _ y2)2V = X - Y => Vy = - y
--> U~ = 2x
az -2x2y - 2y3 = -2y(x2 + y2) =
ax = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 x4 + 2X2y2 + y4
= -2y(x2 + y2) = _ 2y
(x2 + y2i x2 +y2
az 2x3 + 2xy2 2x(x2 + y2)
ay = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 - x4 + 2X2y2 + y4 -
= 2x(x2 + y2) = 2x
(x2 + y2)2 x2 + y2
L a2z- = -2x(x2 + y2)-22y =ay2
4xy= -
(x2 + y2l
a2z a2z 4xy-+-=----
ax2 ay2 (x2 + y2)2
A função é harmônica.
PR19 Determine as derivadas parciais de 4~ ordem da função z = sen (x - y) - cos (2 x + y).
Solução: Até às derivadas parciais de 3~ ordem determinamos apenas as extremas e a partir delas achalemos as de 4~ mnp.m.
32zr -2= -sen(x- y) + 4cos(2x + y)axaz
C
-= cos(x - y) + 2scn(2x + y)ax
z = sen(x - y) -- cos(2x + y)
az
-= -cos(x - y) + sen(2x + y)Lay
a2z
-2 = ~sen(x - y) + cos(2x + y)
ay
Resp.:
a4z
-4::: sen(x - y) - 16cos(2x + y)aX
34z a4z a4z a4Z '--::: --::: --- ---::: -sen(x - y) - 8cos(2x + y)
ax3ay ayax3 ax3y3x2 3x23yax
34z-- :::sen(x - y) - 4cos(2x + y)
3x23y2
a4z a4Z a4Z a4Z--::: -- = --- ----::: -sen(x - y) - 2cos(2x + y)
3y3ax ax3y3 ày3xay2 3y23x3y
34z- ::: sen (x - y) - cos (2 x + y)ay4
a4z
C
4= sen(x - y) - 16cos(2x + y)
a3 ax-4= -cos(x - y) - 8sen(2x + y)
a.\" a4z
-- = -sen(x - y) - 8cos(2x + y)
ax3ay
a3z
-3 = cos(x - y) - sen(2x + y)
ay
a4z
C
-3- = -sen(x - y) - 2cos(2x + y)
ay ax
a4z4 = sen(x - y) - cos(2x + y)
ay
PRzo Verifique se a função w = e3X + 4Y cos 5 z é harmônica.
Solução: Será harmônica a função w = f(x, y, z) se, e somente se,
a2w a2w a2w-+-+-=0
ax2 ay2 az2
aw = 3 e3X + 4Y cos S zax
aw = 4 e3X + 4Y cos Szay
. a2w
j -= -25e3
x+4Y cos 5zaz2
aw = _ 5 e3X + 4Y sen 5 zaz
Façamos a verificação:
a2w a2w a2w-- + - + - = ge3X+4Y cos 5z + 16e3x+4Y cos 5z -
ax2 ay2 az2
- 2S e 3X + 4Y cos 5 z = O
PRZ1 Dadaafunçãof(x, y) = eX ~ny + (seny)~nx, determine as derivadas parciais
de 2~ ordem no ponto P~ (17/2, 7T).
Solução: Derivemos f (x, y)
af = eX ~ny + seny Cax x
f(x,y)
ay y .
No ponto P~ (rr/2, rr) as derivadas parciais de 2~ ordem assumem os valores:
- 1
~e 1T/2 cos x e 1T/2 - 2
=-+--=---
rr rr 1T
2
oa2[ e 1T/2 ,,---A---,. rr e 1T/2
- = - - - (sen1T)Qn-= ---~J ~ 2 ~
Solução: Determinemos as derivadas parciais de 3a ordem que figuram na
expressão cujo valor procuramos.
a2z 1 a3z 1- = -sen(x +y) -- - -- = -cos(x +y) +-
ayax x axax2 x2
az- = cos (x + y) - Q nxay a2z
C
-2- = -cos(x + y)
a2z. ay ax
-2= -scn(x + y)
ay a3z
-= -cos(x + y)
ay3
a~ a~ a~ 1
--2 - 2 2 + -3 = - cos (x + y) + - + 2 cos (x + y) -ayax ay ax ay x2
1
- cos(x + y) =""""2
x
az ·2 2 X2-= xye _.--aX
2= 4xeX
'--v--'I
função
produto em relação a x
PR24 Derive z = f(senxy).
Solução: Consideremos as componentes f, seno e arco xy
~: = [f' (sen xy)][cos xy]y = y 11' (sen xy)] cos xy
~; = [f' (sen xy)][cos xy] x = x [f' (sen xy)] cos xy
Dada a função Jl = Qn (x + Jx2 + y2), verifique se x ~~ + Y ~y= 1.
Resp.: Sim.
Calcule a Jl • a Jl • a Jl com Jl = arctg (xyz).
ax ay az'
Resp.: sen2 Jl • cos4 Jl.
PP3 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem da função z = f (tg;).
Resp.: az = 1. t' [(tg~)] sec2~ax y y y
az = _ ~ t' [(tg X).]
ay y2 \: y
PP4 Determine as derivadas parciais de 1a ordem da função z = 4 sen (; ) -
- Qn (~).
ôz 4 ·x 1Resp.: _. = - cos - + -
ôx y y x
ôz 4x x 1-=--cos---
ôy y2 Y y
PP 5 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = xyeXY .
ôz y
Resp.: ôx = yeX (1 + xy)
ÔZ = xexy (l + xy)
ôy
PP 6 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = arc tg (sen xy ).
Resp.: ÔZ = Y cos xy
ôx 1+ sen2 xy
ÔZ xcosxy-=----
ôy 1 + sen2 xy
PP, Calcule x ~: + y ~; + z, quando z . ~ f(~).
Resp.: O
, xY
PPs Deterriúne as derivadas parciais de 1a ordem de z =x.y
ÔZ xY-1 xY
Resp.: - =-- -- ~nyôx yX-l yX
ÔZ xY xY+1-=-~nx---ôy yX yX+l
PP9 Determine a equação do plano tangente à superfície 3x2 + y2 + Z2 + xy +
+yz + z - 4 = Ono ponto P~(1, -1) de cota negativa.
Resp.: 5 x - 2Y - 2 z - 5 = O
PPutDetermine a equação do plano tangente e o vetor normal da superfície z =
= .J x2 - y2 no ponto P~(5, 3).
Resp.: (7T) 5x - 3y - 4z = O
~
n = (5, -3, -4)
PP11 Calcule as derivadas parciais de 2a ordem da função z = arc sen Y2' com
x
a2z y
ay2 ..j (X4 _ y2)3
a2Z a2Z 2x3--=--=-axay ayax ..j (X4 _ y2)3
a2z y
Calcule -a a da função z = (x2 + y2) arc tg-.x Y x
. a2z x2 _ y2
Resp.: -a a = 2 2,
X Y X + Y
PP13 Verifique a função z = eX seny + eY cos x é harmônica.
Resp.: Sim
2 a4f
Dada a função f (x, y) = yeX , determine 2 2ax ay
Resp.: O
Resp.: a3z 3
-= -y cosxyax3
a3z-- = - 2y sen xy - xy2 cos xyax2ay
a3z
-- = -2x senxy - x2y cosxyay2ax
a3z
-= -x3cosxyay3 , '''\ . ,:: ~
C' -- "',.."'-',
PP16 Determine as derivadas parciais de 2éJ.ordem da função z = Qn.J x2 + y2.
a2z x2 _ y2
Resp.: - = - ----ax2 (x2 + y2)2
a2z a2z 2xy
axay = ayax = - (x2 + y2)2
a2z x2 _ y2
--= --~-ay2 (x2 + y2i
Determine as derivadas parciais de H ordem da função z = are tgL... x
az -y az xResp'-=--- e -=---
.' ax x2 + v'2 ay x'2 + y2
_ y az az
Dada a funçao z = e are sen (x - y), calcule ax + ay'
Resp.: eY arc sen (x - y)
PP S xy 'fo a
3z
19 e z = e , ven lque que 2
ax ay
x2 + y2 az az 3
PP20 Verifique se z = -=====tem-se x ax + y - =-2 z ...j x + y ay
x - y _ õz az
PP21 Prove que se z = are sen + ' entao, x -a + y -a . = o.x y x y
_ / '2 2
PP22 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da função z = Qn x - v x - y .. x + ..j x2 - y'2
a2z 2x
Resp.: -2 = '2 2 3/2ãx (x - y )
a2z a2z 2y
ãxay = ayax = - (x2 _ y2)312
ã2z = _ 2x (x2 - 2y2)
ay2 y2 (x2 _ y2)3/2
PP23 Determine as derivadas parciais de 3~ ordem da função z = x2seny + y2 senx.
a3zResp.: -3 = - y2cosxax
a3z ã3z a3z
- - axayax = 2 cosy - 2y senxãx2ay ayãx2
a3z ã3z a3z
-- - -- - ayaxay = -2xseny + 2cosx
ay2ax axay2
a3z- = -x2eosyay3
2 2' aZ aZPP2S Se z = Qn (x + xy + Y ) verIfique que x ax + y ay = 2.
. az az
Dado z = f(tg xy), deterrmne x ax - y ay'
Resp.: O
PP27 Determine o ângulo no ponto (3, 4, 5) do parabolóide hiperbólico 5xy -
- 12 z = O e a esfera x2 + y2 + Z2 = 50.
Resp.: f) :::: 720 11'
az az , I
PP28 Mostre que x ax + y ay =.xy + z para z = xy + X6Y'x.
ax ax
ar a<p
{
X = r cos i{)
para
y = r sen 'P
PP30 Verifique se para w = (x - y)(y - z)(z - x) tem-se aaW + aaW + aaW = o.x y z .
DIFERENCIAÇÃO
Somos uma família só - a Humanidade. E os
companheiros da família mais necessitados de
nós são aqueles irmãos sofredores e menos
preparados para as lu tas da vida.
Seja a função z = f(x, y) definida e contínua na regiâ;oD C 1R2•
Atribuamos a x e a y os acréscimos b:.x e b:.y, respectivamente.
O acréscimo total, como Vimos no Capo lI, será
b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y).
Por outro lado, no Capo V do Volume I, para a função de uma variável,
y =f (x), vimos que o acréscimo da função
b:.y = t' (x) b:.x + 11b:.x
'---v-----' '--y--/
parte parte
principal secundária
dy
Então, tiramos para b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y) o valor
b:.z = [f~(x, y)] b:.x + 111b:.X+ l(;J (x, y)] b:.y + 112t:.y
b:.z = [f~(x, y)] b:.x + [f;(x, y)] b:.y + 111b:.X+ 112b:.y
\~-----v /, v--_./
parte principal parte secundária
dz
Logo a diferencial total da função z = f (x, y) nos é dada por dz -
= lf'x (x, y)] ~x + li;(x, y)] ~y ou
em que dx e dy são as diferenciais das variáveis livres x e y, respectivamente.
Para o caso de função de 3 ou mais variáveis, procedemos da mesma forma.
Assim, se
aw aw aww = f(x y z) => dw = - dx + . - dy + - rlz, , ax ôy az
Exemplos:
E1 Determine a diferencial total da função
z = 4x2y - tg(2x - y).
Solução: Vimos que dz = ~: dx + ~; dy. Determinemos, pois, as derivadas
parciais de 1~ ordem de z.
az 2ax = 8xy - 2sec (2x - y)
dz = [8xy - 2sec2(2x - y)]dx + [4x2 + sec2(2x - y)]dy
Ez Determine a diferencial total da função
w = eXY - 4 xz + yz
_ aw ax aw
Soluçao: dw = -dx + - dy + - dzax ax az
aw xy 4-=ye - zax
aw-=-4x+yaz
Então,
dw = (yexy - 4z)dx + (xexy + z)dy - (4x - y)dz
3.2 - APLICAÇÕES
Seja a barra prismática de dimensões x, y e z fixada num suporte S.
Apliquemos à extrenúdade livre uma força F. A barra sofre uma deformação
medida pela variação de volume.
O volume inicial é xyz.
O volume acrescido é
(x + .ôx)(y + b-y)(z + .ôz)
O acréscimo de volume nos é dado por
.ôV = (x' + b-x)(y + .ôy)(z + .ôz) - xyz
.ô V ...;~+ xz!::,.y+ yzb-x + z!::"x!::"y+ xy!::"z +
+ x.ôy.ôz + y!::,.x!::,.z+ !::,.x!::,.y.ôz- ~
.ôV = (yz!::"x+ xz!::"z+ xy.ôz) +
+ (z.ôx!::,.y+ xb-y.ôz + y!::,.x.ôz + !::"x!::,.y!::"z)
.ô V :::yz.ôx + xz.ôy + xy.ôz I CD
av-=yzax .
~; = xz e I dV = yz!J.x + xz!J.y + xy!J.z I @
av-=xyaz
Comparando CD e (3)
Na prática fazemos a deformação igual à diferencial.
-~-------------
Como vimos no Capo V do Volume I, !J.x = X2 - Xl = dx, erro absoluto
na variável x,
dx. 1 .. sa- e o erro re atlvo = -x x
e 100 dx é o erro percentual = IDOs,x ..
E1 Deseja-se medir a distância dos pontos A e B separados por um obstáculo.
Mediram-se, então, as distâncias x e y com erro de 3% em cada uma. Deter-
mine o erro percentual cometido em AB"
AB = ~= f(x, y)
z =.J x2 + y2
A
Obstáculo ~'<:.. xii' I
7/ !
~~ IY
L/i;i/ !
----- ~ J
B x C
1Q) Cálculo do erro absoluto
O erro absoluto é a diferencial dz
az azs =dz=-dx+-dy
a ax ay
Calculemos as derivadas parciais de 1~ ordem
_a_z = 1 2x = x
ax 2 ~ x2 + y2 ~ x2 + y2
_az_ = 1 2y = Y
ay 2 ~ x2 + y2 .J x2 + y2
Ea = dz = _..=-x..=-dx-=--===+ --;=y=d=O'==-v'x2 + y2 .J x2 + y2
29) Cálculo do erro relativo
O erro relativo
dz .QA...!
E =- \..'
r Z
Dividamos, então, o erro absoluto dz por z
xdx + ydy
dz _ v' x2 + y2 .J x2 + y2
Z - vx2 + y2
_d_z= xdx + ydy
z x2 + y2 x2 + y2
39) Cálculo do erro percentual
O erro percentual é o erro relativo multiplicado por 100
dz
Ep = 100-z
Portanto,
E = 100( xdx + ydy \
p x2 + y2 x2 + y2)
Como vimos no problema, o erro percentual em x e em y foi de 3%.
Logo:
100 dx = 3 => dx = 3x
x 100
Substituindo fórmula de Ep
E - 100( x ~ + y ifo \
p - x2 + y2 x2 + yi)
Ep = 100 [ 3x
2
+ 3y2 ]
l00(x2 + y2) l00(x2 + y2)
Ep = 3C.:y' + x/; yi)
x2 + y2
Ep = 3---x2 + y2
Ep = 3%
Ez Num triângulo os lados x e y mediram 2 dm e 10 cm com erros de 0,0005 cm
e 0,0002 cm, respectivamente, e o ângulo a por eles formado mediu ; rd,
com erro de ~ rd. Determine o erro relativo cometido na medida z do
lado oposto ao ângulo a.
De acordo com o enunciado do problema,
x = 2dm= 20 em e dx = 0,0005 em B
y = 10 em e dy = 0,0002 em
1T v'3
a =3rd e da = 100 rd
A medida z do lado BC depende das medidas x de AC e y de AB e da medida
a do ângulo A.
Assim, z = f (x, y, z). Determinamos a lei f pela lei dos eo-senos
, Z2 = x2 + y2 - 2xy cosa ==--=--> z = .v x2 + y2 - 2xy cosa
O erro absoluto cometido em z nos será dado por
dz = ~ dx + ~ d + az daax ay Y aa
DIFERENCIAÇÃO 57
oz 1 (2x - 2y cos a)- -ox 2 y'x2 + y2 - 2xycosa
oz 1 (2y - 2 x cos a)z - -oy 2 y'x2 + y2 - 2xy cosa
oz 1 (- 2xyX- sen a)--oa 2 y'x2 + y2 - 2 xy cos a
Tiramos
dz = x - y cos a dx + y - x cos a dy +
y'x2 + y2 - 2xy cosa y' x2 + y2 - 2xy cosa
+ xy sen a .--da
vi x" + y2 - 2xy cos a
x - y cos o: d Y - x cos o: d xy sen o: d
-------- X -I- ------- Y + ------- o:
dz _.J x2 + y2 - 2xy coso: .J x2 + y" - 2xy coso: J x2 + y" - 2 xy coso:
z - J x2 + y2 - 2xy coso:
dz _ (x - y COS0:) dx + (y - x COS0:) dy + (xy sen 0:) do:
Z - x" + y2 - 2xycoso:
1/2 112 ../3/2
~ ~ ,,-A-..
dz (20 - 10COS-f) 0,0005 + (10 -, 2ocosi) 0,0002 + (20' 10sen~)~
-=
z 20" + 102 - 2 • 20 • 10 cos ;
_dz _ 15 • 0,0005 + O + 3
z 400 + 100 - 200
dz 3,0075 1,0025
-= =z 300 100
dz= 0010025
z '
Vimos no item 3.1 que o acréscimo total da função z = f(x, y) é
!:lz = f(x + !:lx, y + .6.y) - f(x, y)
Então,transpondo
f(x, y) --> f(x + .6.x, y + .6.y) = f(x, y) + .6.z CD
az az . CDComo ôz = ax dx + ay dy + 17tÔX + 112ÔY a Igualdade 1 fica:
az azf(x + ôx, y + ôx) = f(x., y) + ax dx + ay dy + 1hÔX + 1l2l:iy
, " \ ./
v infinitésimo
dz de ordem
superior
. az azf(x + Ôx, y + ôy) -::::.f(x,y) + ax dx + ay dy
I f(x + Ôx, y + ôy) == f(x, y) + dz I
Exemples:
E1 Calcule o valor aproximado de J (3,96)3 •V (8,002)2.
Solução:
1. Fórmula:
f(x + Ôx, y + ôy) -::::.f(x, y) + dz
2. Substituição de f:
J(x+ ÔX)3 tt (y + Ôy)2 -::::.# VY2 + dz
3. Determinação de dz:
x + D.x = 3,96
x =4
Subtraindo ==--=----"> D.x = - 0,04
--> valor mais aproximado de
x + D.x, que admite raiz
quadrada exata
y + D.y = 8,002
Y = 8 =='> valor mais aproximado de y + D.y,
===> D.y = 0,002 que admite ~~C1JJ?!~ª..~xata
Substituindo em CD
v' (3,96)'!j (8,002)2:::.,j43W +;.J4W (-0)04) + ; 4#(0,002)
.J (3,96)3 V (8,002)2:::: 23 • 22 + ~ 2 • 22 (- 0,04) + ~ 4 ; 2 0,002
.J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,~16
.J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,0053
.J (3,96)3 V (8,002)2 ,.., 31,5253
E2 Calcule o valor aproxfinado de J 36,24 ..tg 44° 40'. ~
Solução:
1. Fórmula: f(x + D.x, y + D.y) ::::f(x, y) + dz
2. Substituição de f: .J (x + D.x) tg (y + D.y) ::::y'; tg Y + dz
3. Determinação de dz: z = f(x, y) = yX tgy
x + b.x = 36,24
x = 36
--> b.x = 0,24
e y + b.y = 44° 40'
y = 45° (pois tg 45° = 1)
==> b.y = - 20' ===> b.y = - ~~.0,017 = -0,0056 (veja
CapoV do Volume I)
Substituindo em Q)
.j 36,24 tg 44° 40' ::: ../36 tg 45° + C~ tg 45°) 0,24 +
+ (../36 sec2 45°)(-0,0056)
.j 36,24 tg 44° 10' ::: 6 . 1 + 2 ~ 6 1 . 0,24 - 6(.}r)2 0,0056
~ 36,24 tg 44° 10' ~ 6 + 0,02 - 0,0672
~ 36,24 tg 44° 10' ,.....,5,9528
A diferencial de uma função z =f (x, y), normalmente é ainda uma função de
. , d . d . . ô z .f' ( ) Ô z f' ( ) figx e y, Ja que as enva as parcIaIs. ôx = x x, y e ôy = y x, y que I uram
nela são funções de x e y.
Se as funções derivadas parciais sucessivas de f (x, y) forem contínuas, pode-
remos calcular as diferenciais totais de ordem superior.
Desta forma, a diferencial de 2~ ordem é a diferencial de dz:
d (dz) = d2z
A diferencial de 3~ ordem é a diferencial da de 2~ ordem
d (d2z) = d3z
Tomemos z = f (x, y) com
ÔZ ÔZdz=-dx+-dy
ôx ôy
d (dz) = d (~~ dx + ~; dY)
d2z = d (~~ dx) + d (~; dY) (diferencial de soma)
d2z = [ d (;~) ] dx + ;~ [d (dx)] + [ d (;;) ] dy +
+ ~; [d (dy)] CD (diferencial de produto)
ôz
ôx = t
ôz-=JJ.
ôy
d (ôz) = dt = E.!.dx + El.. d f2\
ox ôx ôy y \.V
(
ô z ) ô JJ. Ô JJ. /i)'-d - = dJJ. = - dx + - dy ( 3
ôy ÔX ôy'
. f1\ ôz (;\ ÔZ
SubstItuamos em 0 t por ÔX e em 0 JJ. por ôy
Q) => d (~~) = [ô~ (~~)]
®=>d(~;) =[ô~ (~~)]
0=> dG~)
'3' =-=> d (ÔÔyz) =Ê- dx + ô2z d\.V ôxôy ôy2 y
(~:) ] dy
(~;) ] dy
a2z
axay dx dy
r
A
,
d2z = a2Z (dx)2 + a2Z d dx + az d2xaX2 ayax Y aX
Para x e y variáveis independentes, suas diferenciais de H ordem são
constantes e as de 2~ ordem, conseqüentemente, são nulas.
dx = constante ==~->- d2x = d (dx) = d (constante) = O
dy = constante ====>: d2y = d (dy) = d (constante) = O
Com esta simplificação a igualdade 0 se reduz a
Para facilitar a memorização da fórmula de d2z, podemos usar o quadrado
da soma indicada de 2 parcelas, convencionando-se que o índice 2 seja expoente
nas diferenciais dx e dy e seja ordem de derivação nas derivadas parciais.
d2z = (az dx + az dY) 2ax ay
d2z = a2z (dx)'- + 2 a2z dx d + a2z (d )2ax2 axay Y ay2 Y
'------v----" ---v / '------v----"
quadrado dobro do 19 quadrado
do 19 pelo 29 do 29
Podemos determinar d3z da mesma forma que o fizemos para d2z e com a
consideração que dx e dy sejam constantes, d2x = d3x = O e d2y = d3y = O.
Então:
d3z = (_o_z dx + _o_zdY) 3 ====> d3z = _03_Z(dx)3 +ox oy ox3
'--y-----/
cubo do 19
+ 3 03Z (dx)2dy + 3 03Z dx (dy)2 + 03Z (dy)3
02xoy . oxoy2 oy3
---v .J ~--v I '---v-------"
3 x quadrado 3 X 19 pelo quadrado cubo do 29
do 19 pelo 29 do 29
(o expoente na derivada indica ordem de derivação e na diférencial in~~c3:potência).
Exemplos:
E1 Determine a diferencial de 2~ ordem da função z = sen (2x - y).
Solução: A fórmula de d2z na forma sintética é:
d2z = (oz dx + oz dY\"
3x oy)
Desenvolvendo, vem:
02. 32 02d2z = -2 (dx)2 + 2 _z_ dx d + --.:. (d )2
3x2 3x oy y oy~ lY
. 02Z
-2 = -4sen(2x - y)
oz . ox-o = 2cos(2x - y) , .
x 02Z 02Z
oz oxoy oyox
-= -cos(2x - y)oy . 02Z
- = -sen(2x - y)
oy2
Substituindo na fórmula de d2z, resulta
d2z = [-4sen(2x - Y)](dx)2 + [4sen(2x - y)ldxdy -
- [sen(2x - y)](dYi
~ Determine a diferencial de 3a ordem da função z = eX cos y.
Solução: A fórmula de d3z é
d3z = (3 z dx + 3Z dY) 33x 3y
3z
C -= eXcosy3xz = eX cosy 3z xay = -e senYL
Substituindo na fórmula de d3z, resulta:
d3z = (eX cosyXdx)3 - 3 [eX seny](dx)2dy - 3 [eX cosy]dx(dy)2 +
+ [eX seny](dy)3
Para a diferencial de ordem n, podemos tomar a forma sintética e para usá-Ia
usamos o desenvolvimento pelo "Binômio de Newton".
3.3.4 - FUNÇÕES DE 3 OU MAIS VARIÁVEIS
aw aw aw
w = f(x,y, z)--> dw = -a-dx + -a-dy + -a-dzx y z
d2w = (~; dx + ~w dy + ~: dZ) 2 (quadrado da soma indicada de
y 3 parcelas)
[ aw aw aw]nw = f(x,y, z) --> dnw = -a- + -a-dy + - dzy y az
Para mais de 3 variáveis, procedemos da mesma forma:
Assim, se
t = f (xl> X2,X3,... , xm)·
n [at at at at]12d t= -dXl+-dx2+-dx3+""+-a-dxmaXl aX2 aX3 Xm
Determine as diferenciais totais de 1~ ordem em cada caso.
PR
1
z = e2narc1gxy
_ az az
Soluçao: dz = - dx + - dyax ay
F.P. Qnz = Qnarctgxy
z = arc tgxy
3z 1
[
3x = 1 + (xy)2Y ydx + xdy
z => dz = --_~-
3z = 1 x 1 + X2y2
3y 1 + (xy)2
.J x2 - y2
PR2 Z = Qn ----. 2xy
_ 3z 3z
Soluçao: dz = - dx + - dy
3x 3y
1F.P. z =2Qn(x2 - y2) - Qn 2 - Qnx - Qny
y2dx x2dydz = ---- -----
X (x2 _ y2) Y (x2 _ y2)
y3dx _ x3dy
dz=----
xy (x2 _ y2)
PR3 w =~ +L+-=-y z x
_ 3w 3w 3wSoluçao: dw = - dx + -dy + - dz
3x 3y 3z
F.P. w = xy-I + yz-I + zx-I
3w -I -2 1 Z x2_yz-=y -zx =---=
3x Y x2 x2y
élw _ . -2 + -I _ X + 1 _ -xz + y2- - -~y Z - - - --ély y2 Z y2z
él w _ -2 + -I _ - y + 1 _ - xy + Z2- - -yz x -- --
3z Z2 X xz2
2 ·2 2
dz = x - yz dx + y - xz dy + z - xy dz
x2y y2z XZ2
PR4 W = e2n(Qnxyz)
_ aW aW aW
Soluçao: dw = - dx + - dy + - dzaX ay aZ
F.P. Qnw = Qn(Qnxyz)
w = Qnxyz
w = Qnx + Qny + Qnz
aw 1-=-ax x
aw 1
-=-ay y
aw -az
Logo:
-dw = dx +!!l.- + dz
. x. y z
PR 5 .Na medida da aceleração da gravidade g usou-se a fórmula h = ; gt 2• Calcule o
erro percentual resultante das medidas de h e t, com erros de 1%.
dh100-= 1%
h
dt100- = 1%
t
2h
g=f
Procuremos o erro percentual em g, que é Ep = 100dg.g
dg = ~ dh + ~dt CDah at
2hDe g ==-
t2
Substituamos em CD
. 2 4h
dg == - dh - - dt
t2 t3
dg = dh _ 2 dt
g h t
O erro percentual é t.p = 100 dg, isto é, o erro relativo multiplicado por 100.g
E:p = 100 g = 100 dh - 2 • 100 dth t
Nota: Os erros cometidos podem ser por falta ou por excesso, portanto,
negativo ou positivo. Para apreciarmos o erro máximo possível, no nosso
caso, tomamos o erro
dt100 - = -1
t
100 dh == 1
h
!00 dg = 1% - 2 (- 1%) == 1 + 2 == 3%
g
PRó No cálculo do comprimento Q de um pêndulo, usou-se a fórmula T == 211'A,
O período da oscilação mediu 2 segundos com erro de 0,001 s, e g, acele-
ração da gravidade mediu 10 m/ç2, com erro de 0,01 cm/ç2. Calcule o
erro relativo em Q.
Solução: Do problema tiramos
T = 2 s e dT = 0,001 s
g = 10 m/s-2 = 1.000 cm/s-2 e
Procuremos dQQ, então, de T = 21Th vem:
Como queremos d~, dividamos ambos os membros por Q
dQ = 0,01 cm/s-2 + 0,001 s
Q 1.000 cm/s-2 2 s
~Q = 0,00001 + 0,0005
dQ = 000051Q ,
As diagonais de um losango mediram 8 e 6 m com erros de 2 e 3 cm, respec-
tivamente. Calcule o erro percentualcometido na sua área.
Solução: Do problema tiramos:--~T x =D = 8 m = 800 cm ey = d = 6 m = 600 cm dx=2cm -< Jdy=3cm
A =f(x,y)->A =1'I
I
__.-1._.
I
i
[
~~=~ .
De A = X; Então, da Q) => dA = ~ dx + ~ dy
aA x
-=-ay 2
Ldx ~dy
_dA_ = 2 +_2_
A xy xy
2 2
dA = dx + dy
A x y
Substituindo pelos valores dados no pro~lema,
dA 2 3
A = 800 + 600
dA 1 1 3
A = 400 + 200 = 400
dA
Ep = 100 A' logo:
Sp = 0,75%
PRs Calcule o valor aproximado de (sen 30° 10')(cos 59° 50').
Solução:
1. Fórmula:
f(x + !::J.x,y + !::J.y)::::f(x, y) + dz
2. Substituição de f:
sen (x + !::J.x)cos (y + !::J.x)::::sen x cosy + dz
3. Determinação de dz:
z = f(x, y) = senx cosy
ôz
Ca = cosx cosyz x=> dz = (cosx cosy)!::J.x - (senx seny)!::J.y =>ôz- = -senx senyôy
=> sen(x + !::J.x)cos(y + !::J.y)::::senx cosy + (cosx cosy)!::J.x -
- (senx seny)!::J.y ,
x + !::J.x= 30° 10'
x = 30°
, 10'
=> !::J.x= 10 ==--==---->!::J.x= 60' • 0,017 = 0,003
e y + !::J.y= 59° 50'
y = 60°
===> !::J.y~ - 10' ===.> !::J.y= - 0,003
Substituindo na CD =>
==:==>" sen 30° 10' cos 59° 50' ~ sen 30° cos 60° + (cos 30 cos 60)0,003
- (sen 30 sen 60)(- 0,003)
300' o, 1 1 V3 1 1 y'3"
sen 10 cos 59 50 :::::.2" 2" + 22"0,003 + 2"-2- 0,003
sen 30° 10' cos 59° 50' =.1 + 2 • 0,003 VI
- 4 4
sen 30° 10' cos 59° 50' :::::0,25 + 0,0026
sen 30° 10' cos 59° 50' :::::0,2526
PR9 Calcule o valor aproximado de J (3,86)3 X 36,74 sen 150° 10'.
Solução: Temos uma função de 3 variáveis independentes
w = f(x, y, z)
1. Fórmula:
f(x + 6.x, y + 6.x, z + 6.z) :::::f(x, y, z) + dw
2. Substituição de f:
..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::J x3y senz + dw
3. Determinação de dW:
ow ow owdv..: = - b.x + - b.y + - 6.z
ox oy oz
w = f(x, y, z) =..j x3y senz
ow 1 2- = ---3x ysenz
ox 2 ..J x3y
d 3x2y senz A +=> w = 2..j x3y uX
ow r7C:-- = V x3y coszOZ
x3senz rr::+ ;-::;:::6.y + V X'Y cosz 6.z -->2vx~ .
=> ..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::..J x3y senz +
3 2 3+ x y sen z A + x sen Z A + ~ A CD~ uX ~ uy V .~"'Ycosz uZ
2 vx3y 2 vx3y
x + 6.x = 3,86
x =4
--> 6.x = - 0,14
y + b:.y = 36,74
y = 36
=> 6.y = 0,74
z + 6z = 150°10'
z = 1500
10' .
=> 6z = 10' ==> 6z = 60' • 0,017 = 0,003
Substituindo na CD >
=> ..j (3,86)336,74 sen 1500 10' '" ..j 43 . 36 sen 1500 +
~
sen 30°
3· 42• 36sen1S0° (-O 14) + 43sen150° 074 +
+ 2 ..j 43 . 36 ' 2 ..j 43 . 36 '
+ (v'43 '36 cos 150°) 0,003
13 . 16 . 36 .-
)(3,86)336,74 sen 150° 10' ::::::23 • 6 . ; + .2
•. 2 • 23 • 6
64 • 1.
. (-0,14) + 2_ . 0,74 + 23 • 6 . _V3_3. 0,003
2 . 23 . 6 2
)(3,86)336,74 sen 150010' ::::::24 - 1.26 + 0,246 + 0,125
) (3,86)336,74 sen 150010' ::::::23,111
PI'it Ul Calcule o valor aproximado do número (0,998)4.003.
Solução: A função é do tipo z = xY
1. Fórmula:
f(x + 6.x, y + 6.)) ::::::f(x, y) + dz
2. Substituição de f:
(x + 6.xY'+6y ::::::xY + dz
3. Determinação de dz:
az azdz = -::- 6x + - 6yox ay
[
~=YXY_1ax
De z = xY =-==--=--> dz = yxY -1 6.x +
az Y- = x Qnxay
+ (xY Qnx)b.y ==> (x + b.x)Y+6Y :::: xY +- yxY-1b.x +
+ (xY Qnx)b.y CD
4. Adaptação ao exercício:
x + b.x = 0,998
x = 1
====>: b.x = - 0,002
y + b.y = 4,003
Y =4
--> 6.y = 0,003
Substituindo na CD
(0,998t,003:::: 14 + 4 • 13(-0,002) + (l4Qn 1)0,003
'--.r-"
O
(0,998)4,003 :::: 1 - 0,008
(0,998)4,003 '" 0,992
PR 11 Determine a diferencial total, de 2? ordem da função z == x3 + 2 x2y -
- 4xy2 - 2y3.
Solução:
d2z == (az dx + az d ) 2 = a2z (dx)2 + 2 ~ dx d +ax ay Y ax2 axay Y
+ a2z (d .)2ay2 Y
d2z = (6x + 4y)(dx)2 + 2(4x .- 8y)dxdy - (8x + 12y)(dyi
x
PR 12 Calcule a diferencial total de 3? ordem da função z =!.-.ye
Solução: A fórmula de d3z é:
d3z = [az dx + az d ] 3 = a3z (dx 3 + 3. a3z . (dx)2d . +ax ay Y ax3) ax2ay y
+ 3. a3z dx (dy)2 + a3z (dy)3
axa2y ay3
. x
Determinemos as derivadas de 3~ ordem da função z = ey = eX - y
e
.. az _ x-y r
- - e 1ax
ay
Determine as diferenciais totais de 1~ordem em cada caso:
PP1 z = e2n J 2xseny-y2
Resp.: dz = (seny)dx + (x cosy - y)dy.J 2x seny _ y2
x+yz~sen-.--
1 + xy
Resp.: dz = [ 1 - y2 cos
(1 + xy)2
.
x + Y ] dx + [ 1 - x2 x '+ y ] d
1 + xy (1 + xy)2 cos 1 + xy . Y
x-yz=
x + Y
R . d - 2 y dx - 2 x dy
esp.. z - (x + y)2
pp4 W = xyeZ - xzeY + yzeX
Resp.: dw = (yeZ - zeY + yzeX)dx + (xeY - xzeY + zeX)dy +
+ (xyeZ - xeY + yeX) dz
PPs )Na medida da aceleração da gravidade usou-se a fórmula T = 217' fi,. Vg'
tendo o comprimento Q do pêndulo medido 1 m, com erro de 0,01 cm, e o
período da oscilação 2 s com erro de 0,001 s. Calcule o erro percentual
cometido em g.
Resp.: 0,9% ,
" - ....•.• , ,......•..•
, "
PP6 Na medida da distância dos pontos A e B, em virtude do obstáculo O, foi
necessário medir as distâncias AC = 150 m e BC = 200 m, perpendiculares,
com erros de 1% e 2% respectivamente. Determine o erro absoluto em
AB = z e o erro percentual em a.
da
Resp.: dz = 4,1 m e 100 - = 2,2%a
PP7 A área de um losango foi medida, determinando-se as medidas de suas
diagonais. A diagonal maior mediu 100 cm com erro de 0,002 e a diagonal
menor 50 cm com erro de 0,004. Calcule o erm absoluto cometido na área
do losango.
Resp.: 15 cm2
PPs Na determinação da medida do volume de um cone foi cometido um erro em
virtude dos erros de 2 • 10-3 e 1 . 10-3 cometidos, respectivamente, nas
medidas do raio e da altura. Calcule o erro percentual no volume.
Resp.: 0,5%
PP9 Na medida do pe;íodo de oscilação de um pêndulo (T = 2" A)cometeu-se
um erro motivado pelos erros cometidos nas medidas do comprimento Q e da
aceleração g,que foram de 0,001 e 0,002, respectivamente. Calcule o erro
relativo em T. .
PP 1. Calcule o erro relativo cometido na medida do volume de um paralelepípedo
retângulo, sabendo-se que nas medidas de suas dimensões foram cometidos os
erros de 0,02; 0,04 e 0,04, respectivamente.
Resp.: 0,10
sen 29° 55'
'Pu Calcule o valor aproximado de tg 45° 30'
Resp.: 0,4903
PP12 Calcule o valor aproximado de -y!57 cos 59° 50'. Sugestão: O número
quadrado perfeito bastante próximo de 57 é 56,25. '
Resp.:· 3,793
24,936
81,082 .
Resp. 0,5545
PP14 Calcule o valor aproximado de .J (4,99)3 - (2,02)2.
Sugestão: x + 6.x = 4,99
Y + 6.x = 2,02
Resp.: 10,96
x=5
y=2
PP1S Calcule o valor aproximado de sen 29
0 cos 610•
Resp.: 0,235278
j 1 +x
(I + y)(1 + z)
Sugestão: Faça corresponder a x + D..x o valor 1 + x, o que dará D.x = 1.
Proceda da mesma forma para 1 + Y e 1+ z.
Resp.: Ai [1 + ; C - ~ - ~)]
PP17 Calcule o valor aproximado de V sen 30° 5' + cos 59° 58'.
Resp. : 1,00055
PP18 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da função z = x2seny + y2senx.
Resp.: d2z = (2 seny - y2 senx)(dx)2 + (2 senx - x2 seny)(dy)2 +
+ 2(2x cosy + 2y cosx) dxdy
PP19 Determine o diferencial de 2:(1 ordem da função w = eXYz.
Resp.: d2w = wy2z2(dx)2 + X2Z2W(dy)2 + X2y2W(dz)2 +
+ 2 w(l + xyz)(z dx dy + ydxdz + x dydz)
PP20 Determine a diferencial de 3:(1 ordem da função z = Qn~.y
2 2
Resp.: d3z =3' (dxY -"3 (dy)3
X Y
PP21 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da função w = eX Qn xy.
(
2ex eX ) 2exResp.: d2z = eX Qnx + -- - 2 + eX Qny (dx)2 + - dxdy -
x x Y
eX__ (dy)2
y2
4
,
j
I'-o .I
!
I
FUNÇÕES COMPOSTAS
A esperança e a alegria são remédios preciosos
na farmácia da alma.
4.1 - FUNÇÕES COMPOSTAS DE UMA VARIÃVEL
INDEPENDENTE
Neste caso, z depende da única variável t e, para calcular sua derivada :'
podemos eliminar as variáveis intermediárias x e y, fazendo z = /111 (t), /2 (t)] =
= F(t) e derivar diretamente z em relação à t.
Procederemos de outra forma, sem eliminar x e y, estabelecendo uma regra
de cadeia.
Para tanto, no ponto t, atribuamos à variável t um acréscimo D.t. Corres-
ponderão os acréscimos ~x e D.y às variáveis x e y, e à função z, oacréscimo D.z.
Assim:
D.x = /1 (t + D.t) - /1 (t)
D.y = /2 (t + D.t) - /2 (t)
Como z = / (x, y) é diferenciável ==>
az az-> D.z = ax D.x + ay ó,y + 771.6.X + 772D.y
~o
~o
-> o
~o
I" f::.z dZ}" 6.x + dZ l' 6.y + I' 6.x + 1 f::.y'1m - = - 1m - - 1m - 1m T'/l - im T'/2 A t
!H-O f::.t dX 6t-O 6.t dY 6t-"'0 6.t 6t-o 6.[ 6t-o u
'--v---" '----y------" '-----v---" ~-v / '-v-------'
dz dx dy O O
dt dt dt
Esta fórmula se estende para o caso de
Z = l(xI, X2, X3, .•. , xn)
onde cada Xi é função diferenciável da variável t:
dz dZ dXl dZ dX2 dZ dxn-=--+--+ +--dt dXl dt dXz dt . . . dXn dt
dz In dZ d:xi
dt =" dX' d;-
I = 1 1
Exemplos:
E1 Determine a derivada de Z = x
3 - 4x2y + xy2 - y3 + 1, com x = sent e
y = cost.
Solução: Notamos que
Z = I (x, y) e x = 11 (t) e
=> z = 1[11 (t), 12(t)] = F (t)
Determinamos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais de
x e y em relação à t
az 2
C ax = 3x
2
- 8xy + Y
z
az 2 2- = - 4x + 2 xy - 3yay
dx
dt = cos t
dy = -sent
dt
E2 No exercício anterior, calcule a derivada no ponto t = ~.
Solução: Como
~~ = (3x2 - 8xy + y2) cos t + (4x2 - 2xy + 3y2) sen t
calculemos:
1T 1
x = sen"6=2"
1T -vf3
y=cos-=--
6 2
Sb' 'd dzu StItUlD o em dt' vem:
dz = (3 . 1-_ 8 . 1. . ..j3+1)cos 1T +
dt \ 4 2 2 4 6
+4 .l._ 2 .l.. v'3 + 3 .1-)sen!!.
\ 4 2 2 4 6
dz = (~_ 2 v'3 + 3) y'3 + (1 _ y'3 + 9) . .l-
dt \4 4 2 \ 2 4 2. .
dz =~. y'3 -2y'3 . ..j3 +.!i .1._ V3 . .l-
dt 4 2 2 4 2 2 2
dz = 3 v'3 _ 3 + 13 _ v'3 )
dt 4 8 4
dz 2..j3 11
-=----dt 4 8
_dz = _4 •..•...Y3_3_-_I_I__ o dz = _(11 - 4 Y3)
dt 8 --.> dt \, 8
F 3 Derive w = eXYz, com x = 2 t, Y = 1 - t 2 e z = 1 + t.
Solução: Como vemos, w = f (x, y, z) com x = fI (i); y . f2 (t) e z =
= f3(t). Então,
w = f (fI (t), f2 (t), f3 (t)] ==> w = 'P (t)
Logo:
dw = aw dx + aw dy + aw dz CD
dt ax dt ay dt az dt
aw' dx- = yzexyz -=2ax dt
aw !!z = -2tw - = xzexyz eay dt
aw xy dz-=xye Z -= 1az dt
Substituindo em CD =>
dw==> - = 2yzexyz - 2 txzexyz + xyeXYz
dt
dw = eXYz (2yz - 2 txz + xy)
dt
4.2 - FUNÇÕES COMPOSTAS DE 2 OU MAIS VARIÃVEIS
INDEPENDENTES
Seja a função z = f (x, y) uma função diferenciável e suponhamos x =
= f1 (s, t) e y = f2 (s, t), também diferenciáveis.
Neste caso, z depende das variáveis s e t e,. para calcular suas derivadas
". az az d 1" ., . . d"' . f dparcIaIs a:; e ai' po emos e lmmar as vanavelS mterme lanas x e y, azen o
z = fft1 (s, t), f2 (s, t)] ==>- z = F(s, t)
e derivar z, parcialmente, em relação à variável s e em relação à t.
Procederemos p~la regra de cadeia:
az = az ax + az ay
as ax as ay as
az = az ax + az ay
at ax at ay at
Exemplo:
z = senxy + eX-Y,
onde x = p sen O e y = p cos O.
Solução:
z = f(x, y),
onde x = fi (p, O) e y = f2 (p, O) --> z = F (p, O).
Logo:
az = az ax + az ay
ap ax ap ay ap
az = az ax + az ay
ao ax ao ay ao
CD
Determinemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadas
parciais de x e y em relação às variáveis p e O.
C
~~= y cosxy + eX-Y
z = senxy + eX-Y
az X-Y- =xcosxy - eõy
C élx= sene C ély= coseélp élpx = pscne y = pcoseÔX ôyãe=pcose ae= -psene
Substituindo nas fórmulas CD -->
;~ = (ycosxy + eX~Y)senO + (xcosxy - eX-Y)cosO
~; = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy - eX-Y)psenO
Admitamos a função w = f(x y, z) com x = fi (p, O), Y = f2(P, O) e z = f3(P, O),
todas diferenciáveis.
w = f Ifl (p, 0),12, (p, O), f3 (p, O)] --> w = F (p, O)
As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCIaiS e w sao a p e ao ' aSSImc C a as:
Já a função z = f (x, y), onde x = fI (p, (J, a), y = f2 (p, O, a), todas diferen-
ClavelS==>.z = f ftl (p, O, a), f2 (p, O, a)] --> z = F (p, O, a) e suas deri-
vadas parciais:
az = az ax + az ay
ao ax ao ay ao
az = az ax + az ay
aa dX aa ay aa
Como vemos, mediante esta regra, podemos estabelecer fórmulas de deri-
vação, qualquer que seja o número de variáveis independentes.
Exemplo: Determine a~ derivadas parciais de z = 2x2y - 4xy'2 - y3, onde
x = p2 Osen a e y = pO cos 2 a.
Solução: Em última análise, z = F (p, O, a). Então, suas derivadas parciais
az az az . ,
ap' ao e aa podem ser calculadas pelas formulas
az = az ax + az ay
ap ax ap ayap
az = az ax + az ay
ao ax ao ay ao
Calculemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadas
parciais de x e y em relação às variáveis p, O e a.
az 2-. = 4xy - 4yax
a .-.!... = 2 x2 - 8 xy - 3y2ay
ax
ap = 2pOsena ay = O cos2aap
ay
- = pcos2aao
ax 2- = p senaao
ax 2-= P Ocosaaa ay = -2pO sen 2aaa
Exemplo:
z = senxy + eX-Y,
onde x = p sen O e y = p cos O.
Solução:
z = I(x, y),
onde x = 11(p, O) e y = 12(p, O) --> z = F(p, O).
Logo:
az = az ax + az ay
ap ax ap ay ap
az = az ax + az ay
ao ax ao ay ao
CD
Determinemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadas
parciais de x e y em relação às variáveis p e O.
C
~~= y cosxy + eX-Y
z = senxy + eX-y
ÕZ x-y- =xcosxy - eõy
(
õX=sen8 ( õy =cos8õp õp
x = pscn8 y = pcose
õX õy- = p cose - = - p sen eõe õe
Substituindo nas fórmulas Q) ==>
~~= (y cosxy + eX~Y)sen O+ (x cosxy - eX-Y) cos O
~~ = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy:"'- eX-Y)psenO
Admitamos a função w =I (x y, z) com x = 11(p, O), Y = 12(p, O) e z = /3 (p, O),
todas diferenciáveis.
w = / [(1 (p, 0),12 (p, O), 13 (p, O)] ==> w = F (p, O)
As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCl3.1Se w sao a p e ao ' assun c c a as:
O
oz= (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap •
4.3 - DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES COMP9STAS
Vimos, no capítulo anterior, que dada a função z = f(x, y) com x e y
variáveis livres, sua diferencial
oz oz
dz=-dx+-dy
ox oy
Admitamos que x e y sejam funções diferenciáveis das variáveis independentes
p e O.
Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) -->
==> z = f [(1 (p, O), f2 (p, O)] ===>" Z = F (p, O)
Então a diferencial
dz = oz d + àz dO
op p 00 CD
dx = ox d + ox dOop P õ'e
dy = oY dp + oy dOop 00 ®
Multipliquemos a0 por ~~ e a0 por ~;:
OZ dx = OZ OX d + oz ox dO
OX OX op p ox 00
OZ d = az ~ d + az ~ dO
ay Y ay ap p ay ao
Somanrfo membr-o a membro
az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay lY ax ap a~ ap p ax ae ay ae
'---v'---/' v ,/ \ V' j
az az 6l1"\
dz = ap dp + ae de ~
Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen ~ e
y = p2e.
az- =y - 8xax
ax- = seneap
az
-=xay
ax- = pcos()ae
az dz dx dZ ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen () + x 2 p()
dp ax ap ayap
az az ax az ay 2- = - - + - - = (y - 8 x) p cos () + xpae ax ae ay de
dz = [0' - 8x)sene + 2pexld~ + [0' - 8x)pcos() + p2X] de
4.4 - FUNÇÕES IMPLíCITAS
Tomemos a função y =f (x) definida implicitamente pela equação F (x, y) =
= O. Podemos escrever tal equação C01l}.O F [x, f (x)] = O, portanto o 19 membro
da equação dada é uma função de x que é constante (igual a zero). No estudo
destas funções no Volume I, demos um tratamento prático. Tomemos um exemplo
2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O.
Derivamos a função considerando y = f (x), então a parcela 2 xy3 derivamos
como produto, y3 como função de função.
Assim:
2y3 + 2x 3y2 dy + 2y dy + dy - 8x - 1 = Odx dx dx
aaz = (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap •
4.3 - DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES COMP9STAS
Vimos, no capítulo anterior, que dada a função z = f(x, y) com x e y
variáveis livres, sua diferencial
az az
dz=-dx+-dyax ay
Admitamos que x e y sejam funções diferenciáveis das variáveis independentes
p e O.
Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) -->
==> z = f VI (p, O), f2 (p, O)] ==> Z = F (p, O)
Então a diferencial
dz = az d + ~dOap p ao CD
dx = ax d + ax dOap P nO
dy = ay dp + ay dOap ao ®
Multipliquemos a (3) por ~~ e a ® por ~;:
az dx = az ax d + az ax dOax ax ap p ax ao
az d = az ~ d + az ~ dO
ay Y ay ap p ay aoSomanrio membr-o a membro
az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay Y ax ap a;: ap p ax ae ay ae
V
/ ,
V
J /
V
dz az az- -ap ae
az azdz = - dp + - deap a8
Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen (j e
y = p28.
az- =y - 8xax
ax- = sen8ap
az-=xay
ax
- = pcoseae
az az ax az ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen e + x 2 peap ax ap ayap
az az ax az ay _ 2ae = ax ae + ay a8 - (y - 8x)pcose + xp
dz = [(y - 8x)sene + 2p8xlélp + [0' - 8x)pcos8 + p2x]d8
4.4 - FUNÇÕES IMPLíCITAS
Tomemos a função y =f (x) definida implicitamente pela equação F (x, y) =
= O. Podemos escrever tal equação corno F [x, f(x)] = O, portanto o 19 membro
da equação dada é uma função de x que é constante (igual a zero). No estudo
destas funções no Volume I, demos um tratamento prático. Tomemos um exemplo
2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O.
Derivamos a função considerando y = f(x), então a parcela 2xy3 derivamos
como produto, y3 como função de função.
Assim:
2y3 + 2 x 3 y2 dy + 2y dy + dy - 8 x-I = O
dx dx dx
Coloquemos : em evidência:
(6xy2 + 2y + 1) : + (2y3-_ 8x - 1) = O
2 ) dy (3 8 )(6 xy + 2y + 1 - = - 2y - x-Idx .
dy = _ 2y3 - 8x-I
dx 6xy2 + 2y + 1
aF
dy _ ax
dx - - aF
ay
Com o estudo das funções compostas estamos habilitados a dedüzi. esta fórmula a
partir do exemplo genérico F [x, y] = O.
Assim:
,
d aF dx aF dy
dx F [x, y] = axdx + ay dx= O (lembremo-nos que y = f(x))
'-v-"
1
aF + aF !lJ!... = O
ax ay dx
aF dy aF
ay dx = - ax
aF
dy = _ ax
dx aF
ay
Tomemos z = f (x, y) definida implicitamente por F (x, y, z) = O, diferenciável.
Como z é função de duas variáveis independentes, ela admitirá 2 derivadas
.. az az D .
parcIaIs ax e ay' etermmemo-Ias:
y constante em
relação ax
~
~ F (x y z) = aF dx + aF ay + aF az = O
ax " ax dx ay ax az ax
~ '---y--/
1 O
x constante em
relação ay
~
~ F (x z) = aFax + aF dy + aF az = O
ay ,y, ax ay ay dy az ay
~ '-v-'
O 1
aF
aF + aF az = O __ > _az= __ax_
ax az ax ax aF
az
aF
aF + aF az = O > az = _ ay
ay az ay ay aF
az
Exemplo: Derive 2x2yz - 4xy2z2 + 6xz3 - 4 yz + 1 = O.
S I - D . aF aF aF E d d· - d 2o uçao: etermmemos ax' ay e az' m ca a envaçao estas, as outras
variáveis são consideradas constantes.
aF = 2x2z _ 8xyz2 - 4zay
~~= 2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4y
v ••
aF
az ax- -- - ----ax aF
az
4xyz - 4y2z2 + 6z3
2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4y
oF
oz _ õY _ 2x2z - 8xyz2 - 4z
oy - - oF - - 2x2y - 8Xy2z + 18xz2 - 4y
õz
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Seja o sistema formado por duas eauações de três variáveis:
{
f1 (x, y, z) = O
12 (x, y, z) = O
onde 11 e /2 são funções diferenciáveis.
Cada equação representa, como vimos, uma superfície do R3 e o sistema
representa o lugar geométrico dos pontos de R3 comuns às duas superfícies, a
curva intersecção das duas superfícies.
Procuremos as derivadas de x e de y em relação a z.
Se pudermos resolver o sistema de modo a exprimir cada uma das duas
prime~ variáveis como função da terceira:
x = g (z) e y = h (z),
dx = g' (z)
dz
dY=h'(z)
dz
Se-não pudermos ou não quisermos explícitar as funções x e y, da variável z,
aplicamos as derivadas parciais de funções compostas na determinação de : e : .
Assim:
r 0/1 dx + 011 dy + 0/1 dz = O
ox dz oy dz oz dz--1
0/2 ri» 0/2 dy Õ/2 dz--+--+--=0
ox dz oy dz oz E!
1
af1 dx a/1 dy a/1--+---=--
ox dz oy dz az
al2 dx + al2 EJ: = _ 012
ox dz oy dz az
Sistema de duas equações cujas incógnitas são : e : .
Calcule as derivadas : e : no ponto P (3, 1, 8).
Facilmente explicitamos x e y em função de z.
Somando as duas equações, membro a membro, => 2x2 + Z2 = Z + 74
j_z2+ z + 74 .x = 2 . (no ponto consIderado x > O)
Subtraindo ==> - 2 y2 - Z2 = Z - 74
Y
_- j~z2 - z + 74. - 2 (no ponto considerado y > O)
10) dx = 1. -2z + 1 = -16 + 1 = _ IS
. dz ~2v'-Z2+Z+74 4.J-64+8+74 4.J18
20) E!l. = 1- - 2z - 1 = 1. -16 - 1 _ _ 17
. dz 2 2 v' -Z2 - Z + 74 2 2 v' -64 - 8 + 74 4 '\Íf
I ~=_17j2
E D . dx dz ·t d -2 etermmemos dz e dy no SISema e equaçoes
{
X2 + 4 y2 + Z2 - 12 = O
x2 + y2 - 2 z - 1 = O
no ponto A (2, 1, 2).
Apliquemos as derivadas parciais de funções compostas.
à/1 dx à/1 dy à/1--+--=--àx dz ày dz õz
àlz dx + àlz ~ = _ àlz
àx dz ày dz àz
2X: + 8y: =-2z
dx dy .
2x dz + 2y dz = 2
No ponto A (2, 1, 2)
4 dx + 8 dy = -4
dz dz
4dx+2El.=2
dz dz
Subtraindo - > 6 t = - 6 > I t 1 I >1 ~~ 11
Substituindo na 2~ ddzY por - 1 ==.> 4 _dx - 2 '2 ==> I dx 1 Idz dz
PR1 Derive z = xZy - 4, onde x = senO e y = cosO.
Solução: Como z = I(x, y), onde x = /1(0) e y :- Iz(O) ==>" z =
= 1[(1(0),/2(8)] > z = F(O).
Então
dz àz dx àz dy
dO = àx dO + ày dO
C àz = 2xyàxz àz 2- =xày
dx
- = cosOdO
!!l... = - sen O
dO
dz
dO = 2xy cos O - x2 sen O
~
PR2 Determine a velocidáde angular do vetar posição OP, sendo O (O,O) e P(x, y),
com x = 1 - 2 t2 e y = 4 + t2, no instante t = 1 s.
Solução:
{
X=1-2=-1
No instante t = 1 S ====> --> P(-l, 5)
y=4+1=S
A velocidade angular do vetar oP é w = ~~'
derivada do ângulo O em relação a t, por ser
o ângulo descrito na unidade de tempo.
Da figura, tiramos tg O = L ==> O =
X
= are tgL.
x
Como y = g (t) e x = h (t) e O =f (x, y) >
==-> O = f fg (t), h (t)] ==> O = F (t).
dO ao dx ao dyw::;;-=--+--
dt ax dt ay dt
J:= -4t
1dy = 2t
dt
W ====>: W = dO = 4 ty + 2 tx
dt x2 + y2 x2 + y2
_4ty+2tx di
w- 2 2 r s
x + Y
{
X = -1
No instante t = 1, >
y = 5
4 . 1 • S + 2 . 1 (- 1)>w=---------1 + 2S
18
w = 26
9
w = - rd/s
13
De um funil cônico escoa água à razão de 36 7T cm3/s. Sabendo-se que a
ge~atriz faz com o eixo do cone um ângulo a = 30°, ache a velocidade com
que baixa o nível da água no funil, no instante em que o raio da base do
volume líquido for igual a 4 cm.
Solução: Consideremos um corte ABC do funil.
B 7TR2h
O volume do funil é V = -3-' Logo, V =
= f(R, h), porém R = fI (t) e h = f2 (t),pois o
nível baixa com o. tempo, variando a altura e o
raio conforme t.
dV = av dR + av dh CD (velocidade de variação do volume)
dt aR dt ah dt
av 27TRh-=
aR 3
av 7TR2-=-
ah 3
Do triângulo retângulo ABD tiramos tg a = ~ ou
o R ..j3 R 3R
tg30 =- >-=- >h=- >h=R..j3h 3 h ..j3
av
aRNo instante em que R = r = 4 cm ==> h = 4 -J3 cm,
27T • 4 • 4 ..j3 327T..j3 av 7T. 16 161T
- 3 = 3 e ah = 3 = -3-
Como, ~~ = 36rrcm3/s, substituindo na CD, vem:
36rr = 32rr .v3 dR + 16rr dh
3 dt 3 dt
h = R . ;-:::;-3 ===> dh = ;-:::;-3 dR === dR 1 dhV.:J dt V.:J dt > -dt =-y'3-3 -dt
36rr = 32 rr>p? 1 dh + 16rr dh
3 ~dt 3 dt
108rr = 48rr dh
dt
dh 108 1T dh 9 . .
dt = 48 rr ---> dt = 4" cm/ s, velocIdade com que baixa a altura do
líquido no funil, no instante em que r = 4 cm.
PR4 Determine a velocidade de variação do volume de um paralelepípedo retân-
gulo, sabendo-se que as arestas da base crescem à razão de 2 cm/s cada uma
e a aresta vertical decresce à razão de 1 cm/s, no instante t, em que as
arestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm.
Solução: V = xyz, logo:
V = f(x, y, z) e x = g (t), Y = h (t) e z = i (t)
~----------- --
/'~~
Por outro lado, a velocidade de variação do volume é
dV , d ddt ' que nos e a a por
dV = a V dx + a V ~ + a V dz
dt ax dt ay dt az dt CD
dx dy
- = - = 2cm/s
dt dt
dz
e dt = - 1 cm/s (velocidade decrescente)
av
-=yzax av = 20 X 60 = 1.200 em2aXt
av
-=xzay
av
-=xyaz
av
- = 30 X 60 = 1.800 em2
aYt
av- = 30 X 20 = 600 em2aZt
Substituindo na CD
c;:; = 1.200 • 2 + 1.800 • 2 + 600(-1)
c;:; = 2.400 + 3.600 - 600
dV
dt = 5.400 cm3/s
PRs Os lados de um triângulo em certo instante mediram 60 cm, 40 em e 70 cm.
Sabendo-se que os dois primeiros crescem à razão de 1 em/ s-1 e 2 cm/ ç 1,
respectivamente, e o 3Q decresce à razão de 2 cm/ç 1, determine a veloci-
dade de variação